Theorem pncan 11386

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11335	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 11108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 11383	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366

This theorem is referenced by:  pncan2  11387  addsubass  11390  pncan3oi  11396  subid1  11401  nppcan2  11412  pncand  11493  nn1m1nn  12166  nnsub  12189  elnn0nn  12443  elz2  12506  zrevaddcl  12536  nzadd  12539  qrevaddcl  12884  irradd  12886  fzrev3  13506  elfzp1b  13517  fzrevral3  13530  fzval3  13650  seqf1olem1  13964  seqf1olem2  13965  bcp1nk  14240  bcp1m1  14243  bcpasc  14244  hashbclem  14375  ccatalpha  14517  wrdind  14645  wrd2ind  14646  2cshwcshw  14748  shftlem  14991  shftval5  15001  isershft  15587  isercoll2  15592  mptfzshft  15701  telfsumo  15725  fsumparts  15729  bcxmas  15758  isum1p  15764  geolim  15793  mertenslem2  15808  mertens  15809  fsumkthpow  15979  eftlub  16034  effsumlt  16036  eirrlem  16129  dvdsadd  16229  prmind2  16612  iserodd  16763  fldivp1  16825  prmpwdvds  16832  pockthlem  16833  prmreclem4  16847  prmreclem6  16849  4sqlem11  16883  vdwapun  16902  ramub1lem1  16954  ramcl  16957  efgsval2  19662  efgsrel  19663  shft2rab  25465  uniioombllem3  25542  uniioombllem4  25543  dvexp  25913  dvfsumlem1  25988  degltp1le  26034  ply1divex  26098  plyaddlem1  26174  plymullem1  26175  dvply1  26247  dvply2g  26248  dvply2gOLD  26249  vieta1lem2  26275  aaliou3lem7  26313  dvradcnv  26386  pserdvlem2  26394  abssinper  26486  advlogexp  26620  atantayl3  26905  leibpilem2  26907  emcllem2  26963  harmonicbnd4  26977  basellem8  27054  ppiprm  27117  ppinprm  27118  chtprm  27119  chtnprm  27120  chpp1  27121  chtub  27179  perfectlem1  27196  perfectlem2  27197  perfect  27198  bcp1ctr  27246  lgsvalmod  27283  lgseisen  27346  lgsquadlem1  27347  lgsquad2lem1  27351  2sqlem10  27395  rplogsumlem1  27451  selberg2lem  27517  logdivbnd  27523  pntrsumo1  27532  pntpbnd2  27554  clwwlkf1  30124  subfacp1lem5  35378  subfacp1lem6  35379  subfacval2  35381  subfaclim  35382  cvmliftlem7  35485  cvmliftlem10  35488  mblfinlem2  37859  itg2addnclem3  37874  fdc  37946  mettrifi  37958  heiborlem4  38015  heiborlem6  38017  lzenom  43012  2nn0ind  43187  jm2.17a  43202  jm2.17b  43203  jm2.17c  43204  evensumeven  47953  perfectALTVlem2  47968  perfectALTV  47969