Theorem pncan 11366

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11315	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 11088	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 11363	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004   + caddc 11009   − cmin 11344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346

This theorem is referenced by:  pncan2  11367  addsubass  11370  pncan3oi  11376  subid1  11381  nppcan2  11392  pncand  11473  nn1m1nn  12146  nnsub  12169  elnn0nn  12423  elz2  12486  zrevaddcl  12517  nzadd  12520  qrevaddcl  12869  irradd  12871  fzrev3  13490  elfzp1b  13501  fzrevral3  13514  fzval3  13634  seqf1olem1  13948  seqf1olem2  13949  bcp1nk  14224  bcp1m1  14227  bcpasc  14228  hashbclem  14359  ccatalpha  14501  wrdind  14629  wrd2ind  14630  2cshwcshw  14732  shftlem  14975  shftval5  14985  isershft  15571  isercoll2  15576  mptfzshft  15685  telfsumo  15709  fsumparts  15713  bcxmas  15742  isum1p  15748  geolim  15777  mertenslem2  15792  mertens  15793  fsumkthpow  15963  eftlub  16018  effsumlt  16020  eirrlem  16113  dvdsadd  16213  prmind2  16596  iserodd  16747  fldivp1  16809  prmpwdvds  16816  pockthlem  16817  prmreclem4  16831  prmreclem6  16833  4sqlem11  16867  vdwapun  16886  ramub1lem1  16938  ramcl  16941  efgsval2  19646  efgsrel  19647  shft2rab  25437  uniioombllem3  25514  uniioombllem4  25515  dvexp  25885  dvfsumlem1  25960  degltp1le  26006  ply1divex  26070  plyaddlem1  26146  plymullem1  26147  dvply1  26219  dvply2g  26220  dvply2gOLD  26221  vieta1lem2  26247  aaliou3lem7  26285  dvradcnv  26358  pserdvlem2  26366  abssinper  26458  advlogexp  26592  atantayl3  26877  leibpilem2  26879  emcllem2  26935  harmonicbnd4  26949  basellem8  27026  ppiprm  27089  ppinprm  27090  chtprm  27091  chtnprm  27092  chpp1  27093  chtub  27151  perfectlem1  27168  perfectlem2  27169  perfect  27170  bcp1ctr  27218  lgsvalmod  27255  lgseisen  27318  lgsquadlem1  27319  lgsquad2lem1  27323  2sqlem10  27367  rplogsumlem1  27423  selberg2lem  27489  logdivbnd  27495  pntrsumo1  27504  pntpbnd2  27526  clwwlkf1  30027  subfacp1lem5  35226  subfacp1lem6  35227  subfacval2  35229  subfaclim  35230  cvmliftlem7  35333  cvmliftlem10  35336  mblfinlem2  37704  itg2addnclem3  37719  fdc  37791  mettrifi  37803  heiborlem4  37860  heiborlem6  37862  lzenom  42809  2nn0ind  42984  jm2.17a  42999  jm2.17b  43000  jm2.17c  43001  evensumeven  47744  perfectALTVlem2  47759  perfectALTV  47760