Theorem pncan 11567

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11516	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 11286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 11564	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202   + caddc 11207   − cmin 11545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-sub 11547

This theorem is used by:  pncan2  11568  addsubass  11571  pncan3oi  11577  subid1  11582  nppcan2  11593  pncand  11674  nn1m1nn  12360  nnsub  12386  elnn0nn  12652  elz2  12715  zrevaddcl  12745  nzadd  12748  qrevaddcl  13103  irradd  13105  fzrev3  13728  elfzp1b  13739  fzrevral3  13752  fzval3  13873  seqf1olem1  14188  seqf1olem2  14189  bcp1nk  14465  bcp1m1  14468  bcpasc  14469  hashbclem  14601  ccatalpha  14744  wrdind  14876  wrd2ind  14877  2cshwcshw  14981  shftlem  15227  shftval5  15237  isershft  15837  isercoll2  15842  mptfzshft  15950  telfsumo  15975  fsumparts  15979  bcxmas  16010  isum1p  16016  geolim  16045  mertenslem2  16060  mertens  16061  fsumkthpow  16228  eftlub  16283  effsumlt  16285  eirrlem  16378  dvdsadd  16478  prmind2  16866  iserodd  17019  fldivp1  17081  prmpwdvds  17088  pockthlem  17089  prmreclem4  17103  prmreclem6  17105  4sqlem11  17139  vdwapun  17158  ramub1lem1  17210  ramcl  17213  efgsval2  19953  efgsrel  19954  shft2rab  25835  uniioombllem3  25912  uniioombllem4  25913  dvexp  26279  dvfsumlem1  26352  degltp1le  26397  ply1divex  26461  plyaddlem1  26538  plymullem1  26539  dvply1  26611  dvply2g  26612  vieta1lem2  26640  aaliou3lem7  26682  dvradcnv  26754  pserdvlem2  26761  abssinper  26855  advlogexp  26989  atantayl3  27273  leibpilem2  27275  emcllem2  27330  harmonicbnd4  27344  basellem8  27421  ppiprm  27484  ppinprm  27485  chtprm  27486  chtnprm  27487  chpp1  27488  chtub  27545  perfectlem1  27562  perfectlem2  27563  perfect  27564  bcp1ctr  27612  lgsvalmod  27649  lgseisen  27712  lgsquadlem1  27713  lgsquad2lem1  27717  2sqlem10  27761  rplogsumlem1  27817  selberg2lem  27883  logdivbnd  27889  pntrsumo1  27898  pntpbnd2  27920  clwwlkf1  30646  subfacp1lem5  36036  subfacp1lem6  36037  subfacval2  36039  subfaclim  36040  cvmliftlem7  36143  cvmliftlem10  36146  mblfinlem2  38670  itg2addnclem3  38685  fdc  38773  mettrifi  38785  heiborlem4  38842  heiborlem6  38844  lzenom  43875  2nn0ind  44046  jm2.17a  44061  jm2.17b  44062  jm2.17c  44063  evensumeven  48899  perfectALTVlem2  48914  perfectALTV  48915