Theorem pncan 10614

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 476	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 10564	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 10341	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 10611	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1494	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 249	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  (class class class)co 6910  ℂcc 10257   + caddc 10262   − cmin 10592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-ltxr 10403  df-sub 10594

This theorem is referenced by:  pncan2  10615  addsubass  10619  pncan3oi  10625  subid1  10629  nppcan2  10640  pncand  10721  nn1m1nn  11379  nnsub  11402  elnn0nn  11669  elz2  11728  zrevaddcl  11757  nzadd  11760  qrevaddcl  12100  irradd  12102  fzrev3  12707  elfzp1b  12718  fzrevral3  12728  fzval3  12839  seqf1olem1  13141  seqf1olem2  13142  subsq2  13274  bcp1nk  13404  bcp1m1  13407  bcpasc  13408  hashbclem  13532  ccatalpha  13660  wrdind  13819  wrdindOLD  13820  wrd2ind  13821  wrd2indOLD  13822  2cshwcshw  13953  shftlem  14192  shftval5  14202  isershft  14778  isercoll2  14783  fsump1  14869  mptfzshft  14891  telfsumo  14915  fsumparts  14919  bcxmas  14948  isum1p  14954  geolim  14982  mertenslem2  14997  mertens  14998  fsumkthpow  15166  eftlub  15218  effsumlt  15220  eirrlem  15313  dvdsadd  15408  prmind2  15777  iserodd  15918  fldivp1  15979  prmpwdvds  15986  pockthlem  15987  prmreclem4  16001  prmreclem6  16003  4sqlem11  16037  vdwapun  16056  ramub1lem1  16108  ramcl  16111  efgsval2  18504  efgsrel  18505  pcoass  23200  shft2rab  23681  uniioombllem3  23758  uniioombllem4  23759  dvexp  24122  dvfsumlem1  24195  degltp1le  24239  ply1divex  24302  plyaddlem1  24375  plymullem1  24376  dvply1  24445  dvply2g  24446  vieta1lem2  24472  aaliou3lem7  24510  dvradcnv  24581  pserdvlem2  24588  abssinper  24677  advlogexp  24807  atantayl3  25086  leibpilem1  25087  leibpilem2  25088  emcllem2  25143  harmonicbnd4  25157  wilthlem2  25215  basellem8  25234  ppiprm  25297  ppinprm  25298  chtprm  25299  chtnprm  25300  chpp1  25301  chtub  25357  perfectlem1  25374  perfectlem2  25375  perfect  25376  bcp1ctr  25424  lgsvalmod  25461  lgseisen  25524  lgsquadlem1  25525  lgsquad2lem1  25529  2sqlem10  25573  rplogsumlem1  25593  selberg2lem  25659  logdivbnd  25665  pntrsumo1  25674  pntpbnd2  25696  wwlksnext  27211  clwwlkf1OLD  27395  clwwlkf1  27400  subfacp1lem5  31708  subfacp1lem6  31709  subfacval2  31711  subfaclim  31712  cvmliftlem7  31815  cvmliftlem10  31818  mblfinlem2  33990  itg2addnclem3  34005  fdc  34082  mettrifi  34094  heiborlem4  34154  heiborlem6  34156  lzenom  38176  2nn0ind  38352  jm2.17a  38369  jm2.17b  38370  jm2.17c  38371  evensumeven  42464  perfectALTVlem2  42479  perfectALTV  42480