Theorem pncan 11466

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11416	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 11192	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 11463	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   + caddc 11113   − cmin 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446

This theorem is referenced by:  pncan2  11467  addsubass  11470  pncan3oi  11476  subid1  11480  nppcan2  11491  pncand  11572  nn1m1nn  12233  nnsub  12256  elnn0nn  12514  elz2  12576  zrevaddcl  12607  nzadd  12610  qrevaddcl  12955  irradd  12957  fzrev3  13567  elfzp1b  13578  fzrevral3  13588  fzval3  13701  seqf1olem1  14007  seqf1olem2  14008  bcp1nk  14277  bcp1m1  14280  bcpasc  14281  hashbclem  14411  ccatalpha  14543  wrdind  14672  wrd2ind  14673  2cshwcshw  14776  shftlem  15015  shftval5  15025  isershft  15610  isercoll2  15615  mptfzshft  15724  telfsumo  15748  fsumparts  15752  bcxmas  15781  isum1p  15787  geolim  15816  mertenslem2  15831  mertens  15832  fsumkthpow  16000  eftlub  16052  effsumlt  16054  eirrlem  16147  dvdsadd  16245  prmind2  16622  iserodd  16768  fldivp1  16830  prmpwdvds  16837  pockthlem  16838  prmreclem4  16852  prmreclem6  16854  4sqlem11  16888  vdwapun  16907  ramub1lem1  16959  ramcl  16962  efgsval2  19601  efgsrel  19602  shft2rab  25025  uniioombllem3  25102  uniioombllem4  25103  dvexp  25470  dvfsumlem1  25543  degltp1le  25591  ply1divex  25654  plyaddlem1  25727  plymullem1  25728  dvply1  25797  dvply2g  25798  vieta1lem2  25824  aaliou3lem7  25862  dvradcnv  25933  pserdvlem2  25940  abssinper  26030  advlogexp  26163  atantayl3  26444  leibpilem2  26446  emcllem2  26501  harmonicbnd4  26515  basellem8  26592  ppiprm  26655  ppinprm  26656  chtprm  26657  chtnprm  26658  chpp1  26659  chtub  26715  perfectlem1  26732  perfectlem2  26733  perfect  26734  bcp1ctr  26782  lgsvalmod  26819  lgseisen  26882  lgsquadlem1  26883  lgsquad2lem1  26887  2sqlem10  26931  rplogsumlem1  26987  selberg2lem  27053  logdivbnd  27059  pntrsumo1  27068  pntpbnd2  27090  clwwlkf1  29302  subfacp1lem5  34175  subfacp1lem6  34176  subfacval2  34178  subfaclim  34179  cvmliftlem7  34282  cvmliftlem10  34285  mblfinlem2  36526  itg2addnclem3  36541  fdc  36613  mettrifi  36625  heiborlem4  36682  heiborlem6  36684  lzenom  41508  2nn0ind  41684  jm2.17a  41699  jm2.17b  41700  jm2.17c  41701  evensumeven  46375  perfectALTVlem2  46390  perfectALTV  46391