Theorem pncan 10881

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 10831	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 10608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 10878	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   + caddc 10529   − cmin 10859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861

This theorem is referenced by:  pncan2  10882  addsubass  10885  pncan3oi  10891  subid1  10895  nppcan2  10906  pncand  10987  nn1m1nn  11646  nnsub  11669  elnn0nn  11927  elz2  11987  zrevaddcl  12015  nzadd  12018  qrevaddcl  12358  irradd  12360  fzrev3  12968  elfzp1b  12979  fzrevral3  12989  fzval3  13101  seqf1olem1  13405  seqf1olem2  13406  bcp1nk  13673  bcp1m1  13676  bcpasc  13677  hashbclem  13806  ccatalpha  13938  wrdind  14075  wrd2ind  14076  2cshwcshw  14178  shftlem  14419  shftval5  14429  isershft  15012  isercoll2  15017  fsump1  15103  mptfzshft  15125  telfsumo  15149  fsumparts  15153  bcxmas  15182  isum1p  15188  geolim  15218  mertenslem2  15233  mertens  15234  fsumkthpow  15402  eftlub  15454  effsumlt  15456  eirrlem  15549  dvdsadd  15644  prmind2  16019  iserodd  16162  fldivp1  16223  prmpwdvds  16230  pockthlem  16231  prmreclem4  16245  prmreclem6  16247  4sqlem11  16281  vdwapun  16300  ramub1lem1  16352  ramcl  16355  efgsval2  18851  efgsrel  18852  shft2rab  24112  uniioombllem3  24189  uniioombllem4  24190  dvexp  24556  dvfsumlem1  24629  degltp1le  24674  ply1divex  24737  plyaddlem1  24810  plymullem1  24811  dvply1  24880  dvply2g  24881  vieta1lem2  24907  aaliou3lem7  24945  dvradcnv  25016  pserdvlem2  25023  abssinper  25113  advlogexp  25246  atantayl3  25525  leibpilem2  25527  emcllem2  25582  harmonicbnd4  25596  basellem8  25673  ppiprm  25736  ppinprm  25737  chtprm  25738  chtnprm  25739  chpp1  25740  chtub  25796  perfectlem1  25813  perfectlem2  25814  perfect  25815  bcp1ctr  25863  lgsvalmod  25900  lgseisen  25963  lgsquadlem1  25964  lgsquad2lem1  25968  2sqlem10  26012  rplogsumlem1  26068  selberg2lem  26134  logdivbnd  26140  pntrsumo1  26149  pntpbnd2  26171  clwwlkf1  27834  subfacp1lem5  32544  subfacp1lem6  32545  subfacval2  32547  subfaclim  32548  cvmliftlem7  32651  cvmliftlem10  32654  mblfinlem2  35095  itg2addnclem3  35110  fdc  35183  mettrifi  35195  heiborlem4  35252  heiborlem6  35254  lzenom  39711  2nn0ind  39886  jm2.17a  39901  jm2.17b  39902  jm2.17c  39903  evensumeven  44225  perfectALTVlem2  44240  perfectALTV  44241