Theorem pncan 11397

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11346	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 11118	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 11394	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 258	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   + caddc 11039   − cmin 11375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-sub 11377

This theorem is referenced by:  pncan2  11398  addsubass  11401  pncan3oi  11407  subid1  11412  nppcan2  11423  pncand  11504  nn1m1nn  12193  nnsub  12219  elnn0nn  12477  elz2  12540  zrevaddcl  12570  nzadd  12573  qrevaddcl  12919  irradd  12921  fzrev3  13542  elfzp1b  13553  fzrevral3  13566  fzval3  13687  seqf1olem1  14001  seqf1olem2  14002  bcp1nk  14277  bcp1m1  14280  bcpasc  14281  hashbclem  14412  ccatalpha  14554  wrdind  14682  wrd2ind  14683  2cshwcshw  14785  shftlem  15028  shftval5  15038  isershft  15624  isercoll2  15629  mptfzshft  15738  telfsumo  15763  fsumparts  15767  bcxmas  15798  isum1p  15804  geolim  15833  mertenslem2  15848  mertens  15849  fsumkthpow  16019  eftlub  16074  effsumlt  16076  eirrlem  16169  dvdsadd  16269  prmind2  16652  iserodd  16804  fldivp1  16866  prmpwdvds  16873  pockthlem  16874  prmreclem4  16888  prmreclem6  16890  4sqlem11  16924  vdwapun  16943  ramub1lem1  16995  ramcl  16998  efgsval2  19706  efgsrel  19707  shft2rab  25500  uniioombllem3  25577  uniioombllem4  25578  dvexp  25945  dvfsumlem1  26018  degltp1le  26063  ply1divex  26127  plyaddlem1  26203  plymullem1  26204  dvply1  26275  dvply2g  26276  vieta1lem2  26302  aaliou3lem7  26340  dvradcnv  26411  pserdvlem2  26418  abssinper  26510  advlogexp  26644  atantayl3  26928  leibpilem2  26930  emcllem2  26985  harmonicbnd4  26999  basellem8  27076  ppiprm  27139  ppinprm  27140  chtprm  27141  chtnprm  27142  chpp1  27143  chtub  27200  perfectlem1  27217  perfectlem2  27218  perfect  27219  bcp1ctr  27267  lgsvalmod  27304  lgseisen  27367  lgsquadlem1  27368  lgsquad2lem1  27372  2sqlem10  27416  rplogsumlem1  27472  selberg2lem  27538  logdivbnd  27544  pntrsumo1  27553  pntpbnd2  27575  clwwlkf1  30144  subfacp1lem5  35419  subfacp1lem6  35420  subfacval2  35422  subfaclim  35423  cvmliftlem7  35526  cvmliftlem10  35529  mblfinlem2  38032  itg2addnclem3  38047  fdc  38119  mettrifi  38131  heiborlem4  38188  heiborlem6  38190  lzenom  43226  2nn0ind  43397  jm2.17a  43412  jm2.17b  43413  jm2.17c  43414  evensumeven  48205  perfectALTVlem2  48220  perfectALTV  48221