Theorem pncan 11227

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11177	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 10953	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 11224	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   + caddc 10874   − cmin 11205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207

This theorem is referenced by:  pncan2  11228  addsubass  11231  pncan3oi  11237  subid1  11241  nppcan2  11252  pncand  11333  nn1m1nn  11994  nnsub  12017  elnn0nn  12275  elz2  12337  zrevaddcl  12365  nzadd  12368  qrevaddcl  12711  irradd  12713  fzrev3  13322  elfzp1b  13333  fzrevral3  13343  fzval3  13456  seqf1olem1  13762  seqf1olem2  13763  bcp1nk  14031  bcp1m1  14034  bcpasc  14035  hashbclem  14164  ccatalpha  14298  wrdind  14435  wrd2ind  14436  2cshwcshw  14538  shftlem  14779  shftval5  14789  isershft  15375  isercoll2  15380  fsump1  15468  mptfzshft  15490  telfsumo  15514  fsumparts  15518  bcxmas  15547  isum1p  15553  geolim  15582  mertenslem2  15597  mertens  15598  fsumkthpow  15766  eftlub  15818  effsumlt  15820  eirrlem  15913  dvdsadd  16011  prmind2  16390  iserodd  16536  fldivp1  16598  prmpwdvds  16605  pockthlem  16606  prmreclem4  16620  prmreclem6  16622  4sqlem11  16656  vdwapun  16675  ramub1lem1  16727  ramcl  16730  efgsval2  19339  efgsrel  19340  shft2rab  24672  uniioombllem3  24749  uniioombllem4  24750  dvexp  25117  dvfsumlem1  25190  degltp1le  25238  ply1divex  25301  plyaddlem1  25374  plymullem1  25375  dvply1  25444  dvply2g  25445  vieta1lem2  25471  aaliou3lem7  25509  dvradcnv  25580  pserdvlem2  25587  abssinper  25677  advlogexp  25810  atantayl3  26089  leibpilem2  26091  emcllem2  26146  harmonicbnd4  26160  basellem8  26237  ppiprm  26300  ppinprm  26301  chtprm  26302  chtnprm  26303  chpp1  26304  chtub  26360  perfectlem1  26377  perfectlem2  26378  perfect  26379  bcp1ctr  26427  lgsvalmod  26464  lgseisen  26527  lgsquadlem1  26528  lgsquad2lem1  26532  2sqlem10  26576  rplogsumlem1  26632  selberg2lem  26698  logdivbnd  26704  pntrsumo1  26713  pntpbnd2  26735  clwwlkf1  28413  subfacp1lem5  33146  subfacp1lem6  33147  subfacval2  33149  subfaclim  33150  cvmliftlem7  33253  cvmliftlem10  33256  mblfinlem2  35815  itg2addnclem3  35830  fdc  35903  mettrifi  35915  heiborlem4  35972  heiborlem6  35974  lzenom  40592  2nn0ind  40767  jm2.17a  40782  jm2.17b  40783  jm2.17c  40784  evensumeven  45159  perfectALTVlem2  45174  perfectALTV  45175