Theorem pncan 11390

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11339	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 11111	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 11387	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   + caddc 11032   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  pncan2  11391  addsubass  11394  pncan3oi  11400  subid1  11405  nppcan2  11416  pncand  11497  nn1m1nn  12186  nnsub  12212  elnn0nn  12470  elz2  12533  zrevaddcl  12563  nzadd  12566  qrevaddcl  12912  irradd  12914  fzrev3  13535  elfzp1b  13546  fzrevral3  13559  fzval3  13680  seqf1olem1  13994  seqf1olem2  13995  bcp1nk  14270  bcp1m1  14273  bcpasc  14274  hashbclem  14405  ccatalpha  14547  wrdind  14675  wrd2ind  14676  2cshwcshw  14778  shftlem  15021  shftval5  15031  isershft  15617  isercoll2  15622  mptfzshft  15731  telfsumo  15756  fsumparts  15760  bcxmas  15791  isum1p  15797  geolim  15826  mertenslem2  15841  mertens  15842  fsumkthpow  16012  eftlub  16067  effsumlt  16069  eirrlem  16162  dvdsadd  16262  prmind2  16645  iserodd  16797  fldivp1  16859  prmpwdvds  16866  pockthlem  16867  prmreclem4  16881  prmreclem6  16883  4sqlem11  16917  vdwapun  16936  ramub1lem1  16988  ramcl  16991  efgsval2  19699  efgsrel  19700  shft2rab  25485  uniioombllem3  25562  uniioombllem4  25563  dvexp  25930  dvfsumlem1  26003  degltp1le  26048  ply1divex  26112  plyaddlem1  26188  plymullem1  26189  dvply1  26260  dvply2g  26261  dvply2gOLD  26262  vieta1lem2  26288  aaliou3lem7  26326  dvradcnv  26399  pserdvlem2  26406  abssinper  26498  advlogexp  26632  atantayl3  26916  leibpilem2  26918  emcllem2  26974  harmonicbnd4  26988  basellem8  27065  ppiprm  27128  ppinprm  27129  chtprm  27130  chtnprm  27131  chpp1  27132  chtub  27189  perfectlem1  27206  perfectlem2  27207  perfect  27208  bcp1ctr  27256  lgsvalmod  27293  lgseisen  27356  lgsquadlem1  27357  lgsquad2lem1  27361  2sqlem10  27405  rplogsumlem1  27461  selberg2lem  27527  logdivbnd  27533  pntrsumo1  27542  pntpbnd2  27564  clwwlkf1  30134  subfacp1lem5  35382  subfacp1lem6  35383  subfacval2  35385  subfaclim  35386  cvmliftlem7  35489  cvmliftlem10  35492  mblfinlem2  37993  itg2addnclem3  38008  fdc  38080  mettrifi  38092  heiborlem4  38149  heiborlem6  38151  lzenom  43216  2nn0ind  43391  jm2.17a  43406  jm2.17b  43407  jm2.17c  43408  evensumeven  48195  perfectALTVlem2  48210  perfectALTV  48211