Theorem pncan 11399

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11348	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 11120	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 11396	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379

This theorem is referenced by:  pncan2  11400  addsubass  11403  pncan3oi  11409  subid1  11414  nppcan2  11425  pncand  11506  nn1m1nn  12195  nnsub  12221  elnn0nn  12479  elz2  12542  zrevaddcl  12572  nzadd  12575  qrevaddcl  12921  irradd  12923  fzrev3  13544  elfzp1b  13555  fzrevral3  13568  fzval3  13689  seqf1olem1  14003  seqf1olem2  14004  bcp1nk  14279  bcp1m1  14282  bcpasc  14283  hashbclem  14414  ccatalpha  14556  wrdind  14684  wrd2ind  14685  2cshwcshw  14787  shftlem  15030  shftval5  15040  isershft  15626  isercoll2  15631  mptfzshft  15740  telfsumo  15765  fsumparts  15769  bcxmas  15800  isum1p  15806  geolim  15835  mertenslem2  15850  mertens  15851  fsumkthpow  16021  eftlub  16076  effsumlt  16078  eirrlem  16171  dvdsadd  16271  prmind2  16654  iserodd  16806  fldivp1  16868  prmpwdvds  16875  pockthlem  16876  prmreclem4  16890  prmreclem6  16892  4sqlem11  16926  vdwapun  16945  ramub1lem1  16997  ramcl  17000  efgsval2  19708  efgsrel  19709  shft2rab  25475  uniioombllem3  25552  uniioombllem4  25553  dvexp  25920  dvfsumlem1  25993  degltp1le  26038  ply1divex  26102  plyaddlem1  26178  plymullem1  26179  dvply1  26250  dvply2g  26251  vieta1lem2  26277  aaliou3lem7  26315  dvradcnv  26386  pserdvlem2  26393  abssinper  26485  advlogexp  26619  atantayl3  26903  leibpilem2  26905  emcllem2  26960  harmonicbnd4  26974  basellem8  27051  ppiprm  27114  ppinprm  27115  chtprm  27116  chtnprm  27117  chpp1  27118  chtub  27175  perfectlem1  27192  perfectlem2  27193  perfect  27194  bcp1ctr  27242  lgsvalmod  27279  lgseisen  27342  lgsquadlem1  27343  lgsquad2lem1  27347  2sqlem10  27391  rplogsumlem1  27447  selberg2lem  27513  logdivbnd  27519  pntrsumo1  27528  pntpbnd2  27550  clwwlkf1  30119  subfacp1lem5  35366  subfacp1lem6  35367  subfacval2  35369  subfaclim  35370  cvmliftlem7  35473  cvmliftlem10  35476  mblfinlem2  37979  itg2addnclem3  37994  fdc  38066  mettrifi  38078  heiborlem4  38135  heiborlem6  38137  lzenom  43202  2nn0ind  43373  jm2.17a  43388  jm2.17b  43389  jm2.17c  43390  evensumeven  48183  perfectALTVlem2  48198  perfectALTV  48199