Theorem pncan 11464

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 11189	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 11461	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7402  ℂcc 11105   + caddc 11110   − cmin 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-ltxr 11251  df-sub 11444

This theorem is referenced by:  pncan2  11465  addsubass  11468  pncan3oi  11474  subid1  11478  nppcan2  11489  pncand  11570  nn1m1nn  12231  nnsub  12254  elnn0nn  12512  elz2  12574  zrevaddcl  12605  nzadd  12608  qrevaddcl  12953  irradd  12955  fzrev3  13565  elfzp1b  13576  fzrevral3  13586  fzval3  13699  seqf1olem1  14005  seqf1olem2  14006  bcp1nk  14275  bcp1m1  14278  bcpasc  14279  hashbclem  14409  ccatalpha  14541  wrdind  14670  wrd2ind  14671  2cshwcshw  14774  shftlem  15013  shftval5  15023  isershft  15608  isercoll2  15613  mptfzshft  15722  telfsumo  15746  fsumparts  15750  bcxmas  15779  isum1p  15785  geolim  15814  mertenslem2  15829  mertens  15830  fsumkthpow  15998  eftlub  16051  effsumlt  16053  eirrlem  16146  dvdsadd  16244  prmind2  16621  iserodd  16769  fldivp1  16831  prmpwdvds  16838  pockthlem  16839  prmreclem4  16853  prmreclem6  16855  4sqlem11  16889  vdwapun  16908  ramub1lem1  16960  ramcl  16963  efgsval2  19645  efgsrel  19646  shft2rab  25361  uniioombllem3  25438  uniioombllem4  25439  dvexp  25809  dvfsumlem1  25884  degltp1le  25933  ply1divex  25996  plyaddlem1  26069  plymullem1  26070  dvply1  26140  dvply2g  26141  vieta1lem2  26167  aaliou3lem7  26205  dvradcnv  26276  pserdvlem2  26284  abssinper  26374  advlogexp  26508  atantayl3  26790  leibpilem2  26792  emcllem2  26848  harmonicbnd4  26862  basellem8  26939  ppiprm  27002  ppinprm  27003  chtprm  27004  chtnprm  27005  chpp1  27006  chtub  27064  perfectlem1  27081  perfectlem2  27082  perfect  27083  bcp1ctr  27131  lgsvalmod  27168  lgseisen  27231  lgsquadlem1  27232  lgsquad2lem1  27236  2sqlem10  27280  rplogsumlem1  27336  selberg2lem  27402  logdivbnd  27408  pntrsumo1  27417  pntpbnd2  27439  clwwlkf1  29774  subfacp1lem5  34666  subfacp1lem6  34667  subfacval2  34669  subfaclim  34670  cvmliftlem7  34773  cvmliftlem10  34776  mblfinlem2  37020  itg2addnclem3  37035  fdc  37107  mettrifi  37119  heiborlem4  37176  heiborlem6  37178  lzenom  42022  2nn0ind  42198  jm2.17a  42213  jm2.17b  42214  jm2.17c  42215  evensumeven  46885  perfectALTVlem2  46900  perfectALTV  46901