Theorem pncan 11542

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11492	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 11266	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 11539	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   + caddc 11187   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522

This theorem is referenced by:  pncan2  11543  addsubass  11546  pncan3oi  11552  subid1  11556  nppcan2  11567  pncand  11648  nn1m1nn  12314  nnsub  12337  elnn0nn  12595  elz2  12657  zrevaddcl  12688  nzadd  12691  qrevaddcl  13036  irradd  13038  fzrev3  13650  elfzp1b  13661  fzrevral3  13671  fzval3  13785  seqf1olem1  14092  seqf1olem2  14093  bcp1nk  14366  bcp1m1  14369  bcpasc  14370  hashbclem  14501  ccatalpha  14641  wrdind  14770  wrd2ind  14771  2cshwcshw  14874  shftlem  15117  shftval5  15127  isershft  15712  isercoll2  15717  mptfzshft  15826  telfsumo  15850  fsumparts  15854  bcxmas  15883  isum1p  15889  geolim  15918  mertenslem2  15933  mertens  15934  fsumkthpow  16104  eftlub  16157  effsumlt  16159  eirrlem  16252  dvdsadd  16350  prmind2  16732  iserodd  16882  fldivp1  16944  prmpwdvds  16951  pockthlem  16952  prmreclem4  16966  prmreclem6  16968  4sqlem11  17002  vdwapun  17021  ramub1lem1  17073  ramcl  17076  efgsval2  19775  efgsrel  19776  shft2rab  25562  uniioombllem3  25639  uniioombllem4  25640  dvexp  26011  dvfsumlem1  26086  degltp1le  26132  ply1divex  26196  plyaddlem1  26272  plymullem1  26273  dvply1  26343  dvply2g  26344  dvply2gOLD  26345  vieta1lem2  26371  aaliou3lem7  26409  dvradcnv  26482  pserdvlem2  26490  abssinper  26581  advlogexp  26715  atantayl3  27000  leibpilem2  27002  emcllem2  27058  harmonicbnd4  27072  basellem8  27149  ppiprm  27212  ppinprm  27213  chtprm  27214  chtnprm  27215  chpp1  27216  chtub  27274  perfectlem1  27291  perfectlem2  27292  perfect  27293  bcp1ctr  27341  lgsvalmod  27378  lgseisen  27441  lgsquadlem1  27442  lgsquad2lem1  27446  2sqlem10  27490  rplogsumlem1  27546  selberg2lem  27612  logdivbnd  27618  pntrsumo1  27627  pntpbnd2  27649  clwwlkf1  30081  subfacp1lem5  35152  subfacp1lem6  35153  subfacval2  35155  subfaclim  35156  cvmliftlem7  35259  cvmliftlem10  35262  mblfinlem2  37618  itg2addnclem3  37633  fdc  37705  mettrifi  37717  heiborlem4  37774  heiborlem6  37776  lzenom  42726  2nn0ind  42902  jm2.17a  42917  jm2.17b  42918  jm2.17c  42919  evensumeven  47581  perfectALTVlem2  47596  perfectALTV  47597