Theorem pncan 11481

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11430	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 11200	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 11478	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   + caddc 11121   − cmin 11459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461

This theorem is used by:  pncan2  11482  addsubass  11485  pncan3oi  11491  subid1  11496  nppcan2  11507  pncand  11588  nn1m1nn  12272  nnsub  12298  elnn0nn  12564  elz2  12627  zrevaddcl  12657  nzadd  12660  qrevaddcl  13013  irradd  13015  fzrev3  13637  elfzp1b  13648  fzrevral3  13661  fzval3  13782  seqf1olem1  14097  seqf1olem2  14098  bcp1nk  14373  bcp1m1  14376  bcpasc  14377  hashbclem  14509  ccatalpha  14652  wrdind  14783  wrd2ind  14784  2cshwcshw  14888  shftlem  15131  shftval5  15141  isershft  15741  isercoll2  15746  mptfzshft  15855  telfsumo  15880  fsumparts  15884  bcxmas  15915  isum1p  15921  geolim  15950  mertenslem2  15965  mertens  15966  fsumkthpow  16135  eftlub  16190  effsumlt  16192  eirrlem  16285  dvdsadd  16385  prmind2  16768  iserodd  16920  fldivp1  16982  prmpwdvds  16989  pockthlem  16990  prmreclem4  17004  prmreclem6  17006  4sqlem11  17040  vdwapun  17059  ramub1lem1  17111  ramcl  17114  efgsval2  19834  efgsrel  19835  shft2rab  25704  uniioombllem3  25781  uniioombllem4  25782  dvexp  26149  dvfsumlem1  26222  degltp1le  26267  ply1divex  26331  plyaddlem1  26407  plymullem1  26408  dvply1  26482  dvply2g  26483  vieta1lem2  26509  aaliou3lem7  26549  dvradcnv  26621  pserdvlem2  26628  abssinper  26723  advlogexp  26857  atantayl3  27141  leibpilem2  27143  emcllem2  27198  harmonicbnd4  27212  basellem8  27289  ppiprm  27352  ppinprm  27353  chtprm  27354  chtnprm  27355  chpp1  27356  chtub  27413  perfectlem1  27430  perfectlem2  27431  perfect  27432  bcp1ctr  27480  lgsvalmod  27517  lgseisen  27580  lgsquadlem1  27581  lgsquad2lem1  27585  2sqlem10  27629  rplogsumlem1  27685  selberg2lem  27751  logdivbnd  27757  pntrsumo1  27766  pntpbnd2  27788  clwwlkf1  30437  subfacp1lem5  35697  subfacp1lem6  35698  subfacval2  35700  subfaclim  35701  cvmliftlem7  35804  cvmliftlem10  35807  mblfinlem2  38350  itg2addnclem3  38365  fdc  38437  mettrifi  38449  heiborlem4  38506  heiborlem6  38508  lzenom  43542  2nn0ind  43713  jm2.17a  43728  jm2.17b  43729  jm2.17c  43730  evensumeven  48513  perfectALTVlem2  48528  perfectALTV  48529