Theorem pncan 11464

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 11183	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 11461	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099   + caddc 11104   − cmin 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11444

This theorem is referenced by:  pncan2  11465  addsubass  11468  pncan3oi  11474  subid1  11479  nppcan2  11490  pncand  11571  nn1m1nn  12255  nnsub  12281  elnn0nn  12547  elz2  12610  zrevaddcl  12640  nzadd  12643  qrevaddcl  12996  irradd  12998  fzrev3  13620  elfzp1b  13631  fzrevral3  13644  fzval3  13765  seqf1olem1  14079  seqf1olem2  14080  bcp1nk  14355  bcp1m1  14358  bcpasc  14359  hashbclem  14491  ccatalpha  14633  wrdind  14761  wrd2ind  14762  2cshwcshw  14864  shftlem  15107  shftval5  15117  isershft  15717  isercoll2  15722  mptfzshft  15831  telfsumo  15856  fsumparts  15860  bcxmas  15891  isum1p  15897  geolim  15926  mertenslem2  15941  mertens  15942  fsumkthpow  16111  eftlub  16166  effsumlt  16168  eirrlem  16261  dvdsadd  16361  prmind2  16744  iserodd  16896  fldivp1  16958  prmpwdvds  16965  pockthlem  16966  prmreclem4  16980  prmreclem6  16982  4sqlem11  17016  vdwapun  17035  ramub1lem1  17087  ramcl  17090  efgsval2  19804  efgsrel  19805  shft2rab  25648  uniioombllem3  25725  uniioombllem4  25726  dvexp  26093  dvfsumlem1  26166  degltp1le  26211  ply1divex  26275  plyaddlem1  26351  plymullem1  26352  dvply1  26426  dvply2g  26427  vieta1lem2  26453  aaliou3lem7  26493  dvradcnv  26565  pserdvlem2  26572  abssinper  26667  advlogexp  26801  atantayl3  27085  leibpilem2  27087  emcllem2  27142  harmonicbnd4  27156  basellem8  27233  ppiprm  27296  ppinprm  27297  chtprm  27298  chtnprm  27299  chpp1  27300  chtub  27357  perfectlem1  27374  perfectlem2  27375  perfect  27376  bcp1ctr  27424  lgsvalmod  27461  lgseisen  27524  lgsquadlem1  27525  lgsquad2lem1  27529  2sqlem10  27573  rplogsumlem1  27629  selberg2lem  27695  logdivbnd  27701  pntrsumo1  27710  pntpbnd2  27732  clwwlkf1  30381  subfacp1lem5  35657  subfacp1lem6  35658  subfacval2  35660  subfaclim  35661  cvmliftlem7  35764  cvmliftlem10  35767  mblfinlem2  38290  itg2addnclem3  38305  fdc  38377  mettrifi  38389  heiborlem4  38446  heiborlem6  38448  lzenom  43484  2nn0ind  43655  jm2.17a  43670  jm2.17b  43671  jm2.17c  43672  evensumeven  48455  perfectALTVlem2  48470  perfectALTV  48471