Theorem pncan 11491

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11440	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 11210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 11488	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   + caddc 11131   − cmin 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-sub 11471

This theorem is used by:  pncan2  11492  addsubass  11495  pncan3oi  11501  subid1  11506  nppcan2  11517  pncand  11598  nn1m1nn  12282  nnsub  12308  elnn0nn  12574  elz2  12637  zrevaddcl  12667  nzadd  12670  qrevaddcl  13025  irradd  13027  fzrev3  13649  elfzp1b  13660  fzrevral3  13673  fzval3  13794  seqf1olem1  14109  seqf1olem2  14110  bcp1nk  14385  bcp1m1  14388  bcpasc  14389  hashbclem  14521  ccatalpha  14664  wrdind  14795  wrd2ind  14796  2cshwcshw  14900  shftlem  15145  shftval5  15155  isershft  15755  isercoll2  15760  mptfzshft  15868  telfsumo  15893  fsumparts  15897  bcxmas  15928  isum1p  15934  geolim  15963  mertenslem2  15978  mertens  15979  fsumkthpow  16148  eftlub  16203  effsumlt  16205  eirrlem  16298  dvdsadd  16398  prmind2  16781  iserodd  16933  fldivp1  16995  prmpwdvds  17002  pockthlem  17003  prmreclem4  17017  prmreclem6  17019  4sqlem11  17053  vdwapun  17072  ramub1lem1  17124  ramcl  17127  efgsval2  19866  efgsrel  19867  shft2rab  25742  uniioombllem3  25819  uniioombllem4  25820  dvexp  26187  dvfsumlem1  26260  degltp1le  26305  ply1divex  26369  plyaddlem1  26446  plymullem1  26447  dvply1  26521  dvply2g  26522  vieta1lem2  26550  aaliou3lem7  26592  dvradcnv  26664  pserdvlem2  26671  abssinper  26766  advlogexp  26900  atantayl3  27184  leibpilem2  27186  emcllem2  27241  harmonicbnd4  27255  basellem8  27332  ppiprm  27395  ppinprm  27396  chtprm  27397  chtnprm  27398  chpp1  27399  chtub  27456  perfectlem1  27473  perfectlem2  27474  perfect  27475  bcp1ctr  27523  lgsvalmod  27560  lgseisen  27623  lgsquadlem1  27624  lgsquad2lem1  27628  2sqlem10  27672  rplogsumlem1  27728  selberg2lem  27794  logdivbnd  27800  pntrsumo1  27809  pntpbnd2  27831  clwwlkf1  30527  subfacp1lem5  35771  subfacp1lem6  35772  subfacval2  35774  subfaclim  35775  cvmliftlem7  35878  cvmliftlem10  35881  mblfinlem2  38415  itg2addnclem3  38430  fdc  38503  mettrifi  38515  heiborlem4  38572  heiborlem6  38574  lzenom  43623  2nn0ind  43794  jm2.17a  43809  jm2.17b  43810  jm2.17c  43811  evensumeven  48631  perfectALTVlem2  48646  perfectALTV  48647