Theorem pncan 11493

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11442	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 11216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 11490	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132   + caddc 11137   − cmin 11471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-sub 11473

This theorem is referenced by:  pncan2  11494  addsubass  11497  pncan3oi  11503  subid1  11508  nppcan2  11519  pncand  11600  nn1m1nn  12266  nnsub  12289  elnn0nn  12548  elz2  12611  zrevaddcl  12642  nzadd  12645  qrevaddcl  12992  irradd  12994  fzrev3  13612  elfzp1b  13623  fzrevral3  13636  fzval3  13755  seqf1olem1  14064  seqf1olem2  14065  bcp1nk  14340  bcp1m1  14343  bcpasc  14344  hashbclem  14475  ccatalpha  14616  wrdind  14745  wrd2ind  14746  2cshwcshw  14849  shftlem  15092  shftval5  15102  isershft  15685  isercoll2  15690  mptfzshft  15799  telfsumo  15823  fsumparts  15827  bcxmas  15856  isum1p  15862  geolim  15891  mertenslem2  15906  mertens  15907  fsumkthpow  16077  eftlub  16132  effsumlt  16134  eirrlem  16227  dvdsadd  16326  prmind2  16709  iserodd  16860  fldivp1  16922  prmpwdvds  16929  pockthlem  16930  prmreclem4  16944  prmreclem6  16946  4sqlem11  16980  vdwapun  16999  ramub1lem1  17051  ramcl  17054  efgsval2  19719  efgsrel  19720  shft2rab  25466  uniioombllem3  25543  uniioombllem4  25544  dvexp  25914  dvfsumlem1  25989  degltp1le  26035  ply1divex  26099  plyaddlem1  26175  plymullem1  26176  dvply1  26248  dvply2g  26249  dvply2gOLD  26250  vieta1lem2  26276  aaliou3lem7  26314  dvradcnv  26387  pserdvlem2  26395  abssinper  26487  advlogexp  26621  atantayl3  26906  leibpilem2  26908  emcllem2  26964  harmonicbnd4  26978  basellem8  27055  ppiprm  27118  ppinprm  27119  chtprm  27120  chtnprm  27121  chpp1  27122  chtub  27180  perfectlem1  27197  perfectlem2  27198  perfect  27199  bcp1ctr  27247  lgsvalmod  27284  lgseisen  27347  lgsquadlem1  27348  lgsquad2lem1  27352  2sqlem10  27396  rplogsumlem1  27452  selberg2lem  27518  logdivbnd  27524  pntrsumo1  27533  pntpbnd2  27555  clwwlkf1  30035  subfacp1lem5  35211  subfacp1lem6  35212  subfacval2  35214  subfaclim  35215  cvmliftlem7  35318  cvmliftlem10  35321  mblfinlem2  37687  itg2addnclem3  37702  fdc  37774  mettrifi  37786  heiborlem4  37843  heiborlem6  37845  lzenom  42768  2nn0ind  42944  jm2.17a  42959  jm2.17b  42960  jm2.17c  42961  evensumeven  47701  perfectALTVlem2  47716  perfectALTV  47717