Theorem pncan 11515

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 11238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 11512	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℂcc 11154   + caddc 11159   − cmin 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-sub 11495

This theorem is referenced by:  pncan2  11516  addsubass  11519  pncan3oi  11525  subid1  11530  nppcan2  11541  pncand  11622  nn1m1nn  12288  nnsub  12311  elnn0nn  12570  elz2  12633  zrevaddcl  12664  nzadd  12667  qrevaddcl  13014  irradd  13016  fzrev3  13631  elfzp1b  13642  fzrevral3  13655  fzval3  13774  seqf1olem1  14083  seqf1olem2  14084  bcp1nk  14357  bcp1m1  14360  bcpasc  14361  hashbclem  14492  ccatalpha  14632  wrdind  14761  wrd2ind  14762  2cshwcshw  14865  shftlem  15108  shftval5  15118  isershft  15701  isercoll2  15706  mptfzshft  15815  telfsumo  15839  fsumparts  15843  bcxmas  15872  isum1p  15878  geolim  15907  mertenslem2  15922  mertens  15923  fsumkthpow  16093  eftlub  16146  effsumlt  16148  eirrlem  16241  dvdsadd  16340  prmind2  16723  iserodd  16874  fldivp1  16936  prmpwdvds  16943  pockthlem  16944  prmreclem4  16958  prmreclem6  16960  4sqlem11  16994  vdwapun  17013  ramub1lem1  17065  ramcl  17068  efgsval2  19752  efgsrel  19753  shft2rab  25544  uniioombllem3  25621  uniioombllem4  25622  dvexp  25992  dvfsumlem1  26067  degltp1le  26113  ply1divex  26177  plyaddlem1  26253  plymullem1  26254  dvply1  26326  dvply2g  26327  dvply2gOLD  26328  vieta1lem2  26354  aaliou3lem7  26392  dvradcnv  26465  pserdvlem2  26473  abssinper  26564  advlogexp  26698  atantayl3  26983  leibpilem2  26985  emcllem2  27041  harmonicbnd4  27055  basellem8  27132  ppiprm  27195  ppinprm  27196  chtprm  27197  chtnprm  27198  chpp1  27199  chtub  27257  perfectlem1  27274  perfectlem2  27275  perfect  27276  bcp1ctr  27324  lgsvalmod  27361  lgseisen  27424  lgsquadlem1  27425  lgsquad2lem1  27429  2sqlem10  27473  rplogsumlem1  27529  selberg2lem  27595  logdivbnd  27601  pntrsumo1  27610  pntpbnd2  27632  clwwlkf1  30069  subfacp1lem5  35190  subfacp1lem6  35191  subfacval2  35193  subfaclim  35194  cvmliftlem7  35297  cvmliftlem10  35300  mblfinlem2  37666  itg2addnclem3  37681  fdc  37753  mettrifi  37765  heiborlem4  37822  heiborlem6  37824  lzenom  42786  2nn0ind  42962  jm2.17a  42977  jm2.17b  42978  jm2.17c  42979  evensumeven  47699  perfectALTVlem2  47714  perfectALTV  47715