Theorem pncan 11375

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11324	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 11097	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 11372	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7354  ℂcc 11013   + caddc 11018   − cmin 11353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-ltxr 11160  df-sub 11355

This theorem is referenced by:  pncan2  11376  addsubass  11379  pncan3oi  11385  subid1  11390  nppcan2  11401  pncand  11482  nn1m1nn  12155  nnsub  12178  elnn0nn  12432  elz2  12495  zrevaddcl  12525  nzadd  12528  qrevaddcl  12873  irradd  12875  fzrev3  13494  elfzp1b  13505  fzrevral3  13518  fzval3  13638  seqf1olem1  13952  seqf1olem2  13953  bcp1nk  14228  bcp1m1  14231  bcpasc  14232  hashbclem  14363  ccatalpha  14505  wrdind  14633  wrd2ind  14634  2cshwcshw  14736  shftlem  14979  shftval5  14989  isershft  15575  isercoll2  15580  mptfzshft  15689  telfsumo  15713  fsumparts  15717  bcxmas  15746  isum1p  15752  geolim  15781  mertenslem2  15796  mertens  15797  fsumkthpow  15967  eftlub  16022  effsumlt  16024  eirrlem  16117  dvdsadd  16217  prmind2  16600  iserodd  16751  fldivp1  16813  prmpwdvds  16820  pockthlem  16821  prmreclem4  16835  prmreclem6  16837  4sqlem11  16871  vdwapun  16890  ramub1lem1  16942  ramcl  16945  efgsval2  19649  efgsrel  19650  shft2rab  25439  uniioombllem3  25516  uniioombllem4  25517  dvexp  25887  dvfsumlem1  25962  degltp1le  26008  ply1divex  26072  plyaddlem1  26148  plymullem1  26149  dvply1  26221  dvply2g  26222  dvply2gOLD  26223  vieta1lem2  26249  aaliou3lem7  26287  dvradcnv  26360  pserdvlem2  26368  abssinper  26460  advlogexp  26594  atantayl3  26879  leibpilem2  26881  emcllem2  26937  harmonicbnd4  26951  basellem8  27028  ppiprm  27091  ppinprm  27092  chtprm  27093  chtnprm  27094  chpp1  27095  chtub  27153  perfectlem1  27170  perfectlem2  27171  perfect  27172  bcp1ctr  27220  lgsvalmod  27257  lgseisen  27320  lgsquadlem1  27321  lgsquad2lem1  27325  2sqlem10  27369  rplogsumlem1  27425  selberg2lem  27491  logdivbnd  27497  pntrsumo1  27506  pntpbnd2  27528  clwwlkf1  30033  subfacp1lem5  35251  subfacp1lem6  35252  subfacval2  35254  subfaclim  35255  cvmliftlem7  35358  cvmliftlem10  35361  mblfinlem2  37721  itg2addnclem3  37736  fdc  37808  mettrifi  37820  heiborlem4  37877  heiborlem6  37879  lzenom  42890  2nn0ind  43065  jm2.17a  43080  jm2.17b  43081  jm2.17c  43082  evensumeven  47834  perfectALTVlem2  47849  perfectALTV  47850