MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan 10886
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pncan ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan
StepHypRef Expression
1 simpr 487 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2 simpl 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31, 2addcomd 10836 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4 addcl 10613 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5 subadd 10883 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
64, 1, 2, 5syl3anc 1367 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
73, 6mpbird 259 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  (class class class)co 7150  cc 10529   + caddc 10534  cmin 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866
This theorem is referenced by:  pncan2  10887  addsubass  10890  pncan3oi  10896  subid1  10900  nppcan2  10911  pncand  10992  nn1m1nn  11652  nnsub  11675  elnn0nn  11933  elz2  11993  zrevaddcl  12021  nzadd  12024  qrevaddcl  12364  irradd  12366  fzrev3  12967  elfzp1b  12978  fzrevral3  12988  fzval3  13100  seqf1olem1  13403  seqf1olem2  13404  bcp1nk  13671  bcp1m1  13674  bcpasc  13675  hashbclem  13804  ccatalpha  13941  wrdind  14078  wrd2ind  14079  2cshwcshw  14181  shftlem  14421  shftval5  14431  isershft  15014  isercoll2  15019  fsump1  15105  mptfzshft  15127  telfsumo  15151  fsumparts  15155  bcxmas  15184  isum1p  15190  geolim  15220  mertenslem2  15235  mertens  15236  fsumkthpow  15404  eftlub  15456  effsumlt  15458  eirrlem  15551  dvdsadd  15646  prmind2  16023  iserodd  16166  fldivp1  16227  prmpwdvds  16234  pockthlem  16235  prmreclem4  16249  prmreclem6  16251  4sqlem11  16285  vdwapun  16304  ramub1lem1  16356  ramcl  16359  efgsval2  18853  efgsrel  18854  shft2rab  24103  uniioombllem3  24180  uniioombllem4  24181  dvexp  24544  dvfsumlem1  24617  degltp1le  24661  ply1divex  24724  plyaddlem1  24797  plymullem1  24798  dvply1  24867  dvply2g  24868  vieta1lem2  24894  aaliou3lem7  24932  dvradcnv  25003  pserdvlem2  25010  abssinper  25100  advlogexp  25232  atantayl3  25511  leibpilem2  25513  emcllem2  25568  harmonicbnd4  25582  basellem8  25659  ppiprm  25722  ppinprm  25723  chtprm  25724  chtnprm  25725  chpp1  25726  chtub  25782  perfectlem1  25799  perfectlem2  25800  perfect  25801  bcp1ctr  25849  lgsvalmod  25886  lgseisen  25949  lgsquadlem1  25950  lgsquad2lem1  25954  2sqlem10  25998  rplogsumlem1  26054  selberg2lem  26120  logdivbnd  26126  pntrsumo1  26135  pntpbnd2  26157  clwwlkf1  27822  subfacp1lem5  32426  subfacp1lem6  32427  subfacval2  32429  subfaclim  32430  cvmliftlem7  32533  cvmliftlem10  32536  mblfinlem2  34924  itg2addnclem3  34939  fdc  35014  mettrifi  35026  heiborlem4  35086  heiborlem6  35088  lzenom  39360  2nn0ind  39535  jm2.17a  39550  jm2.17b  39551  jm2.17c  39552  evensumeven  43866  perfectALTVlem2  43881  perfectALTV  43882
  Copyright terms: Public domain W3C validator