Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atexlemex6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atexlemex6 37090
Description: Lemma for 4atexlem7 37091. (Contributed by NM, 25-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4thatleme.l = (le‘𝐾)
4thatleme.j = (join‘𝐾)
4thatleme.m = (meet‘𝐾)
4thatleme.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4thatleme.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
4atexlemex6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,   𝑧,   𝑧,   𝑧,𝑃   𝑧,𝑄   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆   𝑧,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem 4atexlemex6
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11l 1276 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp11 1195 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp12 1196 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
4 simp13l 1280 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
5 simp32 1202 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝑄)
6 4thatleme.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
7 4thatleme.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
8 4thatleme.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
9 4thatleme.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 4thatleme.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
116, 7, 8, 9, 10lhpat 37059 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴)
122, 3, 4, 5, 11syl112anc 1366 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴)
13 simp2r 1192 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝐴)
14 simp12l 1278 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
15 simp33 1203 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
166, 7, 9atnlej1 36395 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑆𝑃)
171, 13, 14, 4, 15, 16syl131anc 1375 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝑃)
1817necomd 3068 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝑆)
196, 7, 8, 9, 10lhpat 37059 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑆𝐴𝑃𝑆)) → ((𝑃 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐴)
202, 3, 13, 18, 19syl112anc 1366 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐴)
217, 9hlsupr2 36403 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐴) → ∃𝑡𝐴 (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡))
221, 12, 20, 21syl3anc 1363 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ∃𝑡𝐴 (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡))
23 simp111 1294 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
24 simp112 1295 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
25 simp113 1296 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
26 simp12r 1279 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡)) → 𝑆𝐴)
27 simp2ll 1232 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅𝐴)
28273ad2ant1 1125 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡)) → 𝑅𝐴)
29 simp2lr 1233 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑅 𝑊)
30293ad2ant1 1125 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡)) → ¬ 𝑅 𝑊)
31 simp131 1300 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡)) → (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))
3228, 30, 313jca 1120 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡)) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)))
33 3simpc 1142 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡)) → (𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡)))
34 simp132 1301 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡)) → 𝑃𝑄)
35 simp133 1302 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡)) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
36 biid 262 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)) ∧ (𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)) ∧ (𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))))
37 eqid 2818 . . . . . 6 ((𝑃 𝑄) 𝑊) = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
38 eqid 2818 . . . . . 6 ((𝑃 𝑆) 𝑊) = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
39 eqid 2818 . . . . . 6 ((𝑄 𝑡) (𝑃 𝑆)) = ((𝑄 𝑡) (𝑃 𝑆))
40 eqid 2818 . . . . . 6 ((𝑅 𝑡) (𝑃 𝑆)) = ((𝑅 𝑡) (𝑃 𝑆))
4136, 6, 7, 8, 9, 10, 37, 38, 39, 404atexlemex4 37089 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)) ∧ (𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑄 𝑡) (𝑃 𝑆)) = 𝑆) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧)))
4236, 6, 7, 8, 9, 10, 37, 38, 394atexlemex2 37087 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)) ∧ (𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑄 𝑡) (𝑃 𝑆)) ≠ 𝑆) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧)))
4341, 42pm2.61dane 3101 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)) ∧ (𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧)))
4423, 24, 25, 26, 32, 33, 34, 35, 43syl332anc 1393 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑡𝐴 ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡)) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧)))
4544rexlimdv3a 3283 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (∃𝑡𝐴 (((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑡) = (((𝑃 𝑆) 𝑊) 𝑡) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))))
4622, 45mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑆𝐴) ∧ ((𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  lecple 16560  joincjn 17542  meetcmee 17543  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LHypclh 37000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lhyp 37004
This theorem is referenced by:  4atexlem7  37091
  Copyright terms: Public domain W3C validator