Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atexlemex6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atexlemex6 39471
Description: Lemma for 4atexlem7 39472. (Contributed by NM, 25-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4thatleme.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
4thatleme.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4thatleme.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4thatleme.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4thatleme.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
4atexlemex6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧, ∨   𝑧, ≀   𝑧, ∧   𝑧,𝑃   𝑧,𝑄   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆   𝑧,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem 4atexlemex6
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11l 1282 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp11 1201 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simp12 1202 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
4 simp13l 1286 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
5 simp32 1208 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
6 4thatleme.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 4thatleme.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 4thatleme.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
9 4thatleme.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
10 4thatleme.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
116, 7, 8, 9, 10lhpat 39440 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
122, 3, 4, 5, 11syl112anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
13 simp2r 1198 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
14 simp12l 1284 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
15 simp33 1209 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
166, 7, 9atnlej1 38776 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑆 β‰  𝑃)
171, 13, 14, 4, 15, 16syl131anc 1381 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑆 β‰  𝑃)
1817necomd 2991 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 β‰  𝑆)
196, 7, 8, 9, 10lhpat 39440 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑆)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
202, 3, 13, 18, 19syl112anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
217, 9hlsupr2 38784 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑))
221, 12, 20, 21syl3anc 1369 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑))
23 simp111 1300 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
24 simp112 1301 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
25 simp113 1302 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
26 simp12r 1285 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
27 simp2ll 1238 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
28273ad2ant1 1131 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
29 simp2lr 1239 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)
30293ad2ant1 1131 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑)) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)
31 simp131 1306 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
3228, 30, 313jca 1126 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑)) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
33 3simpc 1148 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑)))
34 simp132 1307 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑)) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
35 simp133 1308 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑)) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
36 biid 261 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))))
37 eqid 2727 . . . . . 6 ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
38 eqid 2727 . . . . . 6 ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)
39 eqid 2727 . . . . . 6 ((𝑄 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) = ((𝑄 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))
40 eqid 2727 . . . . . 6 ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))
4136, 6, 7, 8, 9, 10, 37, 38, 39, 404atexlemex4 39470 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) = 𝑆) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧)))
4236, 6, 7, 8, 9, 10, 37, 38, 394atexlemex2 39468 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑑) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) β‰  𝑆) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧)))
4341, 42pm2.61dane 3024 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧)))
4423, 24, 25, 26, 32, 33, 34, 35, 43syl332anc 1399 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧)))
4544rexlimdv3a 3154 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) = (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑑) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))))
4622, 45mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  lecple 17225  joincjn 18288  meetcmee 18289  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  LHypclh 39381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-lplanes 38896  df-lhyp 39385
This theorem is referenced by:  4atexlem7  39472
  Copyright terms: Public domain W3C validator