Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11l 1285 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
2 | | simp11 1204 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
3 | | simp12 1205 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp13l 1289 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
5 | | simp32 1211 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
6 | | 4thatleme.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
7 | | 4thatleme.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | 4thatleme.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
9 | | 4thatleme.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
10 | | 4thatleme.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
11 | 6, 7, 8, 9, 10 | lhpat 38535 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β ((π β¨ π) β§ π) β π΄) |
12 | 2, 3, 4, 5, 11 | syl112anc 1375 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ π) β π΄) |
13 | | simp2r 1201 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
14 | | simp12l 1287 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
15 | | simp33 1212 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
16 | 6, 7, 9 | atnlej1 37871 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π β π) |
17 | 1, 13, 14, 4, 15, 16 | syl131anc 1384 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
18 | 17 | necomd 3000 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
19 | 6, 7, 8, 9, 10 | lhpat 38535 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β ((π β¨ π) β§ π) β π΄) |
20 | 2, 3, 13, 18, 19 | syl112anc 1375 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ π) β π΄) |
21 | 7, 9 | hlsupr2 37879 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ ((π β¨ π) β§ π) β π΄ β§ ((π β¨ π) β§ π) β π΄) β βπ‘ β π΄ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘)) |
22 | 1, 12, 20, 21 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β βπ‘ β π΄ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘)) |
23 | | simp111 1303 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
24 | | simp112 1304 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
25 | | simp113 1305 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
26 | | simp12r 1288 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘)) β π β π΄) |
27 | | simp2ll 1241 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
28 | 27 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘)) β π
β π΄) |
29 | | simp2lr 1242 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π
β€ π) |
30 | 29 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘)) β Β¬ π
β€ π) |
31 | | simp131 1309 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘)) β (π β¨ π
) = (π β¨ π
)) |
32 | 28, 30, 31 | 3jca 1129 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘)) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π β§ (π β¨ π
) = (π β¨ π
))) |
33 | | 3simpc 1151 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘)) β (π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘))) |
34 | | simp132 1310 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘)) β π β π) |
35 | | simp133 1311 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘)) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
36 | | biid 261 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π β§ (π β¨ π
) = (π β¨ π
)) β§ (π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π β§ (π β¨ π
) = (π β¨ π
)) β§ (π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) |
37 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’ ((π β¨ π) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π) |
38 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’ ((π β¨ π) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π) |
39 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’ ((π β¨ π‘) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π‘) β§ (π β¨ π)) |
40 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’ ((π
β¨ π‘) β§ (π β¨ π)) = ((π
β¨ π‘) β§ (π β¨ π)) |
41 | 36, 6, 7, 8, 9, 10,
37, 38, 39, 40 | 4atexlemex4 38565 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π β§ (π β¨ π
) = (π β¨ π
)) β§ (π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π β¨ π‘) β§ (π β¨ π)) = π) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) |
42 | 36, 6, 7, 8, 9, 10,
37, 38, 39 | 4atexlemex2 38563 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π β§ (π β¨ π
) = (π β¨ π
)) β§ (π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ ((π β¨ π‘) β§ (π β¨ π)) β π) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) |
43 | 41, 42 | pm2.61dane 3033 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π β§ (π β¨ π
) = (π β¨ π
)) β§ (π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) |
44 | 23, 24, 25, 26, 32, 33, 34, 35, 43 | syl332anc 1402 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ π‘ β π΄ β§ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘)) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) |
45 | 44 | rexlimdv3a 3157 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (βπ‘ β π΄ (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π‘) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) |
46 | 22, 45 | mpd 15 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β¨ π
) = (π β¨ π
) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) |