Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppchofcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppchofcl 17339
 Description: Closure of the opposite Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppchofcl.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppchofcl.m 𝑀 = (HomF𝑂)
oppchofcl.d 𝐷 = (SetCat‘𝑈)
oppchofcl.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
oppchofcl.u (𝜑𝑈𝑉)
oppchofcl.h (𝜑 → ran (Homf𝐶) ⊆ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
oppchofcl (𝜑𝑀 ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷))

Proof of Theorem oppchofcl
StepHypRef Expression
1 oppchofcl.m . . 3 𝑀 = (HomF𝑂)
2 eqid 2795 . . 3 (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
3 oppchofcl.d . . 3 𝐷 = (SetCat‘𝑈)
4 oppchofcl.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
5 oppchofcl.o . . . . 5 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
65oppccat 16821 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
74, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ Cat)
8 oppchofcl.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
9 eqid 2795 . . . . . . 7 (Homf𝐶) = (Homf𝐶)
105, 9oppchomf 16819 . . . . . 6 tpos (Homf𝐶) = (Homf𝑂)
1110rneqi 5689 . . . . 5 ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝑂)
12 relxp 5461 . . . . . . 7 Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
13 eqid 2795 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
149, 13homffn 16792 . . . . . . . . 9 (Homf𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
15 fndm 6325 . . . . . . . . 9 ((Homf𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → dom (Homf𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom (Homf𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
1716releqi 5538 . . . . . . 7 (Rel dom (Homf𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
1812, 17mpbir 232 . . . . . 6 Rel dom (Homf𝐶)
19 rntpos 7756 . . . . . 6 (Rel dom (Homf𝐶) → ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝐶))
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝐶)
2111, 20eqtr3i 2821 . . . 4 ran (Homf𝑂) = ran (Homf𝐶)
22 oppchofcl.h . . . 4 (𝜑 → ran (Homf𝐶) ⊆ 𝑈)
2321, 22eqsstrid 3936 . . 3 (𝜑 → ran (Homf𝑂) ⊆ 𝑈)
241, 2, 3, 7, 8, 23hofcl 17338 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂) Func 𝐷))
2552oppchomf 16823 . . . . 5 (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
2625a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
2752oppccomf 16824 . . . . 5 (compf𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (compf𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
29 eqidd 2796 . . . 4 (𝜑 → (Homf𝑂) = (Homf𝑂))
30 eqidd 2796 . . . 4 (𝜑 → (compf𝑂) = (compf𝑂))
312oppccat 16821 . . . . 5 (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
327, 31syl 17 . . . 4 (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
3326, 28, 29, 30, 4, 32, 7, 7xpcpropd 17287 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ×c 𝑂) = ((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂))
3433oveq1d 7031 . 2 (𝜑 → ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷) = (((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂) Func 𝐷))
3524, 34eleqtrrd 2886 1 (𝜑𝑀 ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ⊆ wss 3859   × cxp 5441  dom cdm 5443  ran crn 5444  Rel wrel 5448   Fn wfn 6220  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  tpos ctpos 7742  Basecbs 16312  Catccat 16764  Homf chomf 16766  compfccomf 16767  oppCatcoppc 16810   Func cfunc 16953  SetCatcsetc 17164   ×c cxpc 17247  HomFchof 17327 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-tpos 7743  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-hom 16418  df-cco 16419  df-cat 16768  df-cid 16769  df-homf 16770  df-comf 16771  df-oppc 16811  df-func 16957  df-setc 17165  df-xpc 17251  df-hof 17329 This theorem is referenced by:  yoncl  17341  yon11  17343  yon12  17344  yon2  17345  yonpropd  17347
 Copyright terms: Public domain W3C validator