Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppchofcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppchofcl 17581
 Description: Closure of the opposite Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppchofcl.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppchofcl.m 𝑀 = (HomF𝑂)
oppchofcl.d 𝐷 = (SetCat‘𝑈)
oppchofcl.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
oppchofcl.u (𝜑𝑈𝑉)
oppchofcl.h (𝜑 → ran (Homf𝐶) ⊆ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
oppchofcl (𝜑𝑀 ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷))

Proof of Theorem oppchofcl
StepHypRef Expression
1 oppchofcl.m . . 3 𝑀 = (HomF𝑂)
2 eqid 2758 . . 3 (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
3 oppchofcl.d . . 3 𝐷 = (SetCat‘𝑈)
4 oppchofcl.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
5 oppchofcl.o . . . . 5 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
65oppccat 17055 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
74, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ Cat)
8 oppchofcl.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
9 eqid 2758 . . . . . . 7 (Homf𝐶) = (Homf𝐶)
105, 9oppchomf 17053 . . . . . 6 tpos (Homf𝐶) = (Homf𝑂)
1110rneqi 5782 . . . . 5 ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝑂)
12 relxp 5545 . . . . . . 7 Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
13 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
149, 13homffn 17026 . . . . . . . . 9 (Homf𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
1514fndmi 6441 . . . . . . . 8 dom (Homf𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
1615releqi 5625 . . . . . . 7 (Rel dom (Homf𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
1712, 16mpbir 234 . . . . . 6 Rel dom (Homf𝐶)
18 rntpos 7920 . . . . . 6 (Rel dom (Homf𝐶) → ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝐶))
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝐶)
2011, 19eqtr3i 2783 . . . 4 ran (Homf𝑂) = ran (Homf𝐶)
21 oppchofcl.h . . . 4 (𝜑 → ran (Homf𝐶) ⊆ 𝑈)
2220, 21eqsstrid 3942 . . 3 (𝜑 → ran (Homf𝑂) ⊆ 𝑈)
231, 2, 3, 7, 8, 22hofcl 17580 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂) Func 𝐷))
2452oppchomf 17057 . . . . 5 (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
2524a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
2652oppccomf 17058 . . . . 5 (compf𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
2726a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (compf𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
28 eqidd 2759 . . . 4 (𝜑 → (Homf𝑂) = (Homf𝑂))
29 eqidd 2759 . . . 4 (𝜑 → (compf𝑂) = (compf𝑂))
302oppccat 17055 . . . . 5 (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
317, 30syl 17 . . . 4 (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
3225, 27, 28, 29, 4, 31, 7, 7xpcpropd 17529 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ×c 𝑂) = ((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂))
3332oveq1d 7170 . 2 (𝜑 → ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷) = (((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂) Func 𝐷))
3423, 33eleqtrrd 2855 1 (𝜑𝑀 ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3860   × cxp 5525  dom cdm 5527  ran crn 5528  Rel wrel 5532  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  tpos ctpos 7906  Basecbs 16546  Catccat 16998  Homf chomf 17000  compfccomf 17001  oppCatcoppc 17044   Func cfunc 17188  SetCatcsetc 17406   ×c cxpc 17489  HomFchof 17569 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-tpos 7907  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-fz 12945  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-hom 16652  df-cco 16653  df-cat 17002  df-cid 17003  df-homf 17004  df-comf 17005  df-oppc 17045  df-func 17192  df-setc 17407  df-xpc 17493  df-hof 17571 This theorem is referenced by:  yoncl  17583  yon11  17585  yon12  17586  yon2  17587  yonpropd  17589
 Copyright terms: Public domain W3C validator