MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppchofcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppchofcl 18280
Description: Closure of the opposite Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppchofcl.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppchofcl.m 𝑀 = (HomF𝑂)
oppchofcl.d 𝐷 = (SetCat‘𝑈)
oppchofcl.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
oppchofcl.u (𝜑𝑈𝑉)
oppchofcl.h (𝜑 → ran (Homf𝐶) ⊆ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
oppchofcl (𝜑𝑀 ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷))

Proof of Theorem oppchofcl
StepHypRef Expression
1 oppchofcl.m . . 3 𝑀 = (HomF𝑂)
2 eqid 2725 . . 3 (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
3 oppchofcl.d . . 3 𝐷 = (SetCat‘𝑈)
4 oppchofcl.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
5 oppchofcl.o . . . . 5 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
65oppccat 17732 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
74, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ Cat)
8 oppchofcl.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
9 eqid 2725 . . . . . . 7 (Homf𝐶) = (Homf𝐶)
105, 9oppchomf 17730 . . . . . 6 tpos (Homf𝐶) = (Homf𝑂)
1110rneqi 5942 . . . . 5 ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝑂)
12 relxp 5699 . . . . . . 7 Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
13 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
149, 13homffn 17701 . . . . . . . . 9 (Homf𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
1514fndmi 6663 . . . . . . . 8 dom (Homf𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
1615releqi 5782 . . . . . . 7 (Rel dom (Homf𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
1712, 16mpbir 230 . . . . . 6 Rel dom (Homf𝐶)
18 rntpos 8253 . . . . . 6 (Rel dom (Homf𝐶) → ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝐶))
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝐶)
2011, 19eqtr3i 2755 . . . 4 ran (Homf𝑂) = ran (Homf𝐶)
21 oppchofcl.h . . . 4 (𝜑 → ran (Homf𝐶) ⊆ 𝑈)
2220, 21eqsstrid 4027 . . 3 (𝜑 → ran (Homf𝑂) ⊆ 𝑈)
231, 2, 3, 7, 8, 22hofcl 18279 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂) Func 𝐷))
2452oppchomf 17734 . . . . 5 (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
2524a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
2652oppccomf 17735 . . . . 5 (compf𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
2726a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (compf𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
28 eqidd 2726 . . . 4 (𝜑 → (Homf𝑂) = (Homf𝑂))
29 eqidd 2726 . . . 4 (𝜑 → (compf𝑂) = (compf𝑂))
302oppccat 17732 . . . . 5 (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
317, 30syl 17 . . . 4 (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
3225, 27, 28, 29, 4, 31, 7, 7xpcpropd 18228 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ×c 𝑂) = ((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂))
3332oveq1d 7438 . 2 (𝜑 → ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷) = (((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂) Func 𝐷))
3423, 33eleqtrrd 2828 1 (𝜑𝑀 ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3946   × cxp 5679  dom cdm 5681  ran crn 5682  Rel wrel 5686  cfv 6553  (class class class)co 7423  tpos ctpos 8239  Basecbs 17208  Catccat 17672  Homf chomf 17674  compfccomf 17675  oppCatcoppc 17719   Func cfunc 17868  SetCatcsetc 18092   ×c cxpc 18187  HomFchof 18268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8856  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-z 12606  df-dec 12725  df-uz 12870  df-fz 13534  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-hom 17285  df-cco 17286  df-cat 17676  df-cid 17677  df-homf 17678  df-comf 17679  df-oppc 17720  df-func 17872  df-setc 18093  df-xpc 18191  df-hof 18270
This theorem is referenced by:  yoncl  18282  yon11  18284  yon12  18285  yon2  18286  yonpropd  18288
  Copyright terms: Public domain W3C validator