Theorem oppchofcl 18396

Description: Closure of the opposite Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppchofcl.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppchofcl.m	⊢ 𝑀 = (HomF‘𝑂)
oppchofcl.d	⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑈)
oppchofcl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
oppchofcl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
oppchofcl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
oppchofcl	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷))

Proof of Theorem oppchofcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppchofcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (HomF‘𝑂)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
3		oppchofcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑈)
4		oppchofcl.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		oppchofcl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
6	5	oppccat 17858	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
7	4, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
8		oppchofcl.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
10	5, 9	oppchomf 17856	. . . . . 6 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
11	10	rneqi 5915	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝑂)
12		relxp 5665	. . . . . . 7 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
13		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
14	9, 13	homffn 17829	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
15	14	fndmi 6631	. . . . . . . 8 ⊢ dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
16	15	releqi 5750	. . . . . . 7 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
17	12, 16	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ Rel dom (Homf ‘𝐶)
18		rntpos 8234	. . . . . 6 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) → ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶)
20	11, 19	eqtr3i 2785	. . . 4 ⊢ ran (Homf ‘𝑂) = ran (Homf ‘𝐶)
21		oppchofcl.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
22	20, 21	eqsstrid 3968	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝑂) ⊆ 𝑈)
23	1, 2, 3, 7, 8, 22	hofcl 18395	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂) Func 𝐷))
24	5	2oppchomf 17860	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
26	5	2oppccomf 17861	. . . . 5 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
28		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝑂) = (Homf ‘𝑂))
29		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝑂) = (compf‘𝑂))
30	2	oppccat 17858	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
31	7, 30	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
32	25, 27, 28, 29, 4, 31, 7, 7	xpcpropd 18344	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ×c 𝑂) = ((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂))
33	32	oveq1d 7423	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷) = (((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂) Func 𝐷))
34	23, 33	eleqtrrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898   × cxp 5645  dom cdm 5647  ran crn 5648  Rel wrel 5652  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  tpos ctpos 8220  Basecbs 17349  Catccat 17800  Hom_f chomf 17802  comp_fccomf 17803  oppCatcoppc 17847   Func cfunc 17991  SetCatcsetc 18212   ×_c cxpc 18304  Hom_Fchof 18384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-fz 13610  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-hom 17414  df-cco 17415  df-cat 17804  df-cid 17805  df-homf 17806  df-comf 17807  df-oppc 17848  df-func 17995  df-setc 18213  df-xpc 18308  df-hof 18386

This theorem is used by:  yoncl  18398  yon11  18400  yon12  18401  yon2  18402  yonpropd  18404