Theorem oppchofcl 18306

Description: Closure of the opposite Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppchofcl.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppchofcl.m	⊢ 𝑀 = (HomF‘𝑂)
oppchofcl.d	⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑈)
oppchofcl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
oppchofcl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
oppchofcl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
oppchofcl	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷))

Proof of Theorem oppchofcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppchofcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (HomF‘𝑂)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
3		oppchofcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑈)
4		oppchofcl.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		oppchofcl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
6	5	oppccat 17768	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
7	4, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
8		oppchofcl.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
10	5, 9	oppchomf 17766	. . . . . 6 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
11	10	rneqi 5918	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝑂)
12		relxp 5670	. . . . . . 7 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
13		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
14	9, 13	homffn 17739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
15	14	fndmi 6629	. . . . . . . 8 ⊢ dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
16	15	releqi 5755	. . . . . . 7 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
17	12, 16	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ Rel dom (Homf ‘𝐶)
18		rntpos 8223	. . . . . 6 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) → ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶)
20	11, 19	eqtr3i 2790	. . . 4 ⊢ ran (Homf ‘𝑂) = ran (Homf ‘𝐶)
21		oppchofcl.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
22	20, 21	eqsstrid 3977	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝑂) ⊆ 𝑈)
23	1, 2, 3, 7, 8, 22	hofcl 18305	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂) Func 𝐷))
24	5	2oppchomf 17770	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
26	5	2oppccomf 17771	. . . . 5 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
28		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝑂) = (Homf ‘𝑂))
29		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝑂) = (compf‘𝑂))
30	2	oppccat 17768	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
31	7, 30	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
32	25, 27, 28, 29, 4, 31, 7, 7	xpcpropd 18254	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ×c 𝑂) = ((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂))
33	32	oveq1d 7415	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷) = (((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂) Func 𝐷))
34	23, 33	eleqtrrd 2868	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907   × cxp 5650  dom cdm 5652  ran crn 5653  Rel wrel 5657  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  tpos ctpos 8209  Basecbs 17259  Catccat 17710  Hom_f chomf 17712  comp_fccomf 17713  oppCatcoppc 17757   Func cfunc 17901  SetCatcsetc 18122   ×_c cxpc 18214  Hom_Fchof 18294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-hom 17324  df-cco 17325  df-cat 17714  df-cid 17715  df-homf 17716  df-comf 17717  df-oppc 17758  df-func 17905  df-setc 18123  df-xpc 18218  df-hof 18296

This theorem is referenced by:  yoncl  18308  yon11  18310  yon12  18311  yon2  18312  yonpropd  18314