Theorem oppchofcl 18305

Description: Closure of the opposite Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppchofcl.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppchofcl.m	⊢ 𝑀 = (HomF‘𝑂)
oppchofcl.d	⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑈)
oppchofcl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
oppchofcl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
oppchofcl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
oppchofcl	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷))

Proof of Theorem oppchofcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppchofcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (HomF‘𝑂)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
3		oppchofcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑈)
4		oppchofcl.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		oppchofcl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
6	5	oppccat 17765	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
8		oppchofcl.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
10	5, 9	oppchomf 17763	. . . . . 6 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
11	10	rneqi 5948	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝑂)
12		relxp 5703	. . . . . . 7 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
13		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
14	9, 13	homffn 17736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
15	14	fndmi 6672	. . . . . . . 8 ⊢ dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
16	15	releqi 5787	. . . . . . 7 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
17	12, 16	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ Rel dom (Homf ‘𝐶)
18		rntpos 8264	. . . . . 6 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) → ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶)
20	11, 19	eqtr3i 2767	. . . 4 ⊢ ran (Homf ‘𝑂) = ran (Homf ‘𝐶)
21		oppchofcl.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
22	20, 21	eqsstrid 4022	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝑂) ⊆ 𝑈)
23	1, 2, 3, 7, 8, 22	hofcl 18304	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂) Func 𝐷))
24	5	2oppchomf 17767	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
26	5	2oppccomf 17768	. . . . 5 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
28		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝑂) = (Homf ‘𝑂))
29		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝑂) = (compf‘𝑂))
30	2	oppccat 17765	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
31	7, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
32	25, 27, 28, 29, 4, 31, 7, 7	xpcpropd 18253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ×c 𝑂) = ((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂))
33	32	oveq1d 7446	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷) = (((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂) Func 𝐷))
34	23, 33	eleqtrrd 2844	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951   × cxp 5683  dom cdm 5685  ran crn 5686  Rel wrel 5690  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  tpos ctpos 8250  Basecbs 17247  Catccat 17707  Hom_f chomf 17709  comp_fccomf 17710  oppCatcoppc 17754   Func cfunc 17899  SetCatcsetc 18120   ×_c cxpc 18213  Hom_Fchof 18293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-hom 17321  df-cco 17322  df-cat 17711  df-cid 17712  df-homf 17713  df-comf 17714  df-oppc 17755  df-func 17903  df-setc 18121  df-xpc 18217  df-hof 18295

This theorem is referenced by:  yoncl  18307  yon11  18309  yon12  18310  yon2  18311  yonpropd  18313