Theorem oppchofcl 18259

Description: Closure of the opposite Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppchofcl.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppchofcl.m	⊢ 𝑀 = (HomF‘𝑂)
oppchofcl.d	⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑈)
oppchofcl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
oppchofcl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
oppchofcl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
oppchofcl	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷))

Proof of Theorem oppchofcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppchofcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (HomF‘𝑂)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
3		oppchofcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑈)
4		oppchofcl.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		oppchofcl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
6	5	oppccat 17721	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
8		oppchofcl.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
10	5, 9	oppchomf 17719	. . . . . 6 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
11	10	rneqi 5915	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝑂)
12		relxp 5670	. . . . . . 7 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
13		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
14	9, 13	homffn 17692	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
15	14	fndmi 6639	. . . . . . . 8 ⊢ dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
16	15	releqi 5754	. . . . . . 7 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
17	12, 16	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ Rel dom (Homf ‘𝐶)
18		rntpos 8233	. . . . . 6 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) → ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶)
20	11, 19	eqtr3i 2759	. . . 4 ⊢ ran (Homf ‘𝑂) = ran (Homf ‘𝐶)
21		oppchofcl.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
22	20, 21	eqsstrid 3995	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝑂) ⊆ 𝑈)
23	1, 2, 3, 7, 8, 22	hofcl 18258	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂) Func 𝐷))
24	5	2oppchomf 17723	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
26	5	2oppccomf 17724	. . . . 5 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
28		eqidd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝑂) = (Homf ‘𝑂))
29		eqidd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝑂) = (compf‘𝑂))
30	2	oppccat 17721	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
31	7, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
32	25, 27, 28, 29, 4, 31, 7, 7	xpcpropd 18207	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ×c 𝑂) = ((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂))
33	32	oveq1d 7415	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷) = (((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂) Func 𝐷))
34	23, 33	eleqtrrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3924   × cxp 5650  dom cdm 5652  ran crn 5653  Rel wrel 5657  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400  tpos ctpos 8219  Basecbs 17215  Catccat 17663  Hom_f chomf 17665  comp_fccomf 17666  oppCatcoppc 17710   Func cfunc 17854  SetCatcsetc 18075   ×_c cxpc 18167  Hom_Fchof 18247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-tpos 8220  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-er 8714  df-map 8837  df-ixp 8907  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-7 12301  df-8 12302  df-9 12303  df-n0 12495  df-z 12582  df-dec 12702  df-uz 12846  df-fz 13515  df-struct 17153  df-sets 17170  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-hom 17282  df-cco 17283  df-cat 17667  df-cid 17668  df-homf 17669  df-comf 17670  df-oppc 17711  df-func 17858  df-setc 18076  df-xpc 18171  df-hof 18249

This theorem is referenced by:  yoncl  18261  yon11  18263  yon12  18264  yon2  18265  yonpropd  18267