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Theorem hofcllem 18259
Description: Lemma for hofcl 18260. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
hofcl.m 𝑀 = (HomFβ€˜πΆ)
hofcl.o 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
hofcl.d 𝐷 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
hofcl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
hofcl.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
hofcl.h (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜πΆ) βŠ† π‘ˆ)
hofcllem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
hofcllem.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
hofcllem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
hofcllem.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
hofcllem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
hofcllem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
hofcllem.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
hofcllem.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
hofcllem.m (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝑍𝐻𝑋))
hofcllem.n (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (π‘Œπ»π‘Š))
hofcllem.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝑆𝐻𝑍))
hofcllem.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘Šπ»π‘‡))
Assertion
Ref Expression
hofcllem (πœ‘ β†’ ((𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)(𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)) = ((𝑃(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)𝑄)(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©)𝐿)))

Proof of Theorem hofcllem
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hofcllem.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 hofcllem.h . . . . 5 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
3 eqid 2728 . . . . 5 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
4 hofcl.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
54adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
6 hofcllem.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
76adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
8 hofcllem.z . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
98adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
10 hofcllem.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1110adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
12 hofcllem.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝑆𝐻𝑍))
1312adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑃 ∈ (𝑆𝐻𝑍))
14 hofcllem.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝑍𝐻𝑋))
1514adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ (𝑍𝐻𝑋))
16 hofcllem.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
1716adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
18 hofcllem.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
1918adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
20 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ))
21 hofcllem.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
22 hofcllem.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (π‘Œπ»π‘Š))
23 hofcllem.q . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘Šπ»π‘‡))
241, 2, 3, 4, 18, 21, 16, 22, 23catcocl 17674 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿) ∈ (π‘Œπ»π‘‡))
2524adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ (𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿) ∈ (π‘Œπ»π‘‡))
261, 2, 3, 5, 11, 19, 17, 20, 25catcocl 17674 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓) ∈ (𝑋𝐻𝑇))
271, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 26catass 17675 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃) = (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘†, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃)))
2821adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
2922adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝐿 ∈ (π‘Œπ»π‘Š))
3023adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Šπ»π‘‡))
311, 2, 3, 5, 11, 19, 28, 20, 29, 17, 30catass 17675 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓) = (𝑄(βŸ¨π‘‹, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)))
3231oveq1d 7441 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾) = ((𝑄(βŸ¨π‘‹, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓))(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾))
331, 2, 3, 5, 11, 19, 28, 20, 29catcocl 17674 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ (𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓) ∈ (π‘‹π»π‘Š))
341, 2, 3, 5, 9, 11, 28, 15, 33, 17, 30catass 17675 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((𝑄(βŸ¨π‘‹, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓))(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾) = (𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)))
3532, 34eqtrd 2768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾) = (𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)))
3635oveq1d 7441 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃) = ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃))
3727, 36eqtr3d 2770 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘†, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃)) = ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃))
3837mpteq2dva 5252 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘†, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃))) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)))
39 hofcl.m . . 3 𝑀 = (HomFβ€˜πΆ)
401, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14catcocl 17674 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃) ∈ (𝑆𝐻𝑋))
4139, 4, 1, 2, 10, 18, 6, 16, 3, 40, 24hof2val 18257 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)(𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘†, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃))))
4239, 4, 1, 2, 8, 21, 6, 16, 3, 12, 23hof2val 18257 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)𝑄) = (𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)))
4339, 4, 1, 2, 10, 18, 8, 21, 3, 14, 22hof2val 18257 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©)𝐿) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)))
4442, 43oveq12d 7444 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑃(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)𝑄)(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©)𝐿)) = ((𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃))(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))))
45 hofcl.d . . . 4 𝐷 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
46 hofcl.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
47 eqid 2728 . . . 4 (compβ€˜π·) = (compβ€˜π·)
48 eqid 2728 . . . . . 6 (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜πΆ)
4948, 1, 2, 10, 18homfval 17681 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋(Homf β€˜πΆ)π‘Œ) = (π‘‹π»π‘Œ))
5048, 1homffn 17682 . . . . . . . 8 (Homf β€˜πΆ) Fn (𝐡 Γ— 𝐡)
5150a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜πΆ) Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
52 hofcl.h . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜πΆ) βŠ† π‘ˆ)
53 df-f 6557 . . . . . . 7 ((Homf β€˜πΆ):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆπ‘ˆ ↔ ((Homf β€˜πΆ) Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ ran (Homf β€˜πΆ) βŠ† π‘ˆ))
5451, 52, 53sylanbrc 581 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜πΆ):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆπ‘ˆ)
5554, 10, 18fovcdmd 7600 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋(Homf β€˜πΆ)π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5649, 55eqeltrrd 2830 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‹π»π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5748, 1, 2, 8, 21homfval 17681 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑍(Homf β€˜πΆ)π‘Š) = (π‘π»π‘Š))
5854, 8, 21fovcdmd 7600 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑍(Homf β€˜πΆ)π‘Š) ∈ π‘ˆ)
5957, 58eqeltrrd 2830 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘π»π‘Š) ∈ π‘ˆ)
6048, 1, 2, 6, 16homfval 17681 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆(Homf β€˜πΆ)𝑇) = (𝑆𝐻𝑇))
6154, 6, 16fovcdmd 7600 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆(Homf β€˜πΆ)𝑇) ∈ π‘ˆ)
6260, 61eqeltrrd 2830 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆𝐻𝑇) ∈ π‘ˆ)
631, 2, 3, 5, 9, 11, 28, 15, 33catcocl 17674 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾) ∈ (π‘π»π‘Š))
6463fmpttd 7130 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)):(π‘‹π»π‘Œ)⟢(π‘π»π‘Š))
654adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
666adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
678adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
6816adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
6912adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ (𝑆𝐻𝑍))
7021adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
71 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š))
7223adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Šπ»π‘‡))
731, 2, 3, 65, 67, 70, 68, 71, 72catcocl 17674 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ (𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔) ∈ (𝑍𝐻𝑇))
741, 2, 3, 65, 66, 67, 68, 69, 73catcocl 17674 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃) ∈ (𝑆𝐻𝑇))
7574fmpttd 7130 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)):(π‘π»π‘Š)⟢(𝑆𝐻𝑇))
7645, 46, 47, 56, 59, 62, 64, 75setcco 18081 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃))(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))) = ((𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)) ∘ (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))))
77 eqidd 2729 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)))
78 eqidd 2729 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)) = (𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)))
79 oveq2 7434 . . . . 5 (𝑔 = ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾) β†’ (𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔) = (𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)))
8079oveq1d 7441 . . . 4 (𝑔 = ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾) β†’ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃) = ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃))
8163, 77, 78, 80fmptco 7144 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)) ∘ (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)))
8244, 76, 813eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑃(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)𝑄)(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©)𝐿)) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)))
8338, 41, 823eqtr4d 2778 1 (πœ‘ β†’ ((𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)(𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)) = ((𝑃(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)𝑄)(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©)𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4638   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680  ran crn 5683   ∘ ccom 5686   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  2nd c2nd 8000  Basecbs 17189  Hom chom 17253  compcco 17254  Catccat 17653  Homf chomf 17655  oppCatcoppc 17700  SetCatcsetc 18073  HomFchof 18249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-hom 17266  df-cco 17267  df-cat 17657  df-homf 17659  df-setc 18074  df-hof 18251
This theorem is referenced by:  hofcl  18260
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