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Theorem hofcllem 18223
Description: Lemma for hofcl 18224. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
hofcl.m 𝑀 = (HomFβ€˜πΆ)
hofcl.o 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
hofcl.d 𝐷 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
hofcl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
hofcl.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
hofcl.h (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜πΆ) βŠ† π‘ˆ)
hofcllem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
hofcllem.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
hofcllem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
hofcllem.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
hofcllem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
hofcllem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
hofcllem.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
hofcllem.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
hofcllem.m (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝑍𝐻𝑋))
hofcllem.n (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (π‘Œπ»π‘Š))
hofcllem.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝑆𝐻𝑍))
hofcllem.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘Šπ»π‘‡))
Assertion
Ref Expression
hofcllem (πœ‘ β†’ ((𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)(𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)) = ((𝑃(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)𝑄)(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©)𝐿)))

Proof of Theorem hofcllem
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hofcllem.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 hofcllem.h . . . . 5 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
3 eqid 2726 . . . . 5 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
4 hofcl.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
54adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
6 hofcllem.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
76adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
8 hofcllem.z . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
98adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
10 hofcllem.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1110adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
12 hofcllem.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝑆𝐻𝑍))
1312adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑃 ∈ (𝑆𝐻𝑍))
14 hofcllem.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝑍𝐻𝑋))
1514adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ (𝑍𝐻𝑋))
16 hofcllem.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
1716adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
18 hofcllem.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
20 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ))
21 hofcllem.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
22 hofcllem.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (π‘Œπ»π‘Š))
23 hofcllem.q . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘Šπ»π‘‡))
241, 2, 3, 4, 18, 21, 16, 22, 23catcocl 17638 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿) ∈ (π‘Œπ»π‘‡))
2524adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ (𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿) ∈ (π‘Œπ»π‘‡))
261, 2, 3, 5, 11, 19, 17, 20, 25catcocl 17638 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓) ∈ (𝑋𝐻𝑇))
271, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 26catass 17639 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃) = (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘†, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃)))
2821adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
2922adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝐿 ∈ (π‘Œπ»π‘Š))
3023adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Šπ»π‘‡))
311, 2, 3, 5, 11, 19, 28, 20, 29, 17, 30catass 17639 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓) = (𝑄(βŸ¨π‘‹, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)))
3231oveq1d 7420 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾) = ((𝑄(βŸ¨π‘‹, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓))(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾))
331, 2, 3, 5, 11, 19, 28, 20, 29catcocl 17638 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ (𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓) ∈ (π‘‹π»π‘Š))
341, 2, 3, 5, 9, 11, 28, 15, 33, 17, 30catass 17639 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((𝑄(βŸ¨π‘‹, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓))(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾) = (𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)))
3532, 34eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾) = (𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)))
3635oveq1d 7420 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃) = ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃))
3727, 36eqtr3d 2768 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘†, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃)) = ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃))
3837mpteq2dva 5241 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘†, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃))) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)))
39 hofcl.m . . 3 𝑀 = (HomFβ€˜πΆ)
401, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14catcocl 17638 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃) ∈ (𝑆𝐻𝑋))
4139, 4, 1, 2, 10, 18, 6, 16, 3, 40, 24hof2val 18221 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)(𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘†, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃))))
4239, 4, 1, 2, 8, 21, 6, 16, 3, 12, 23hof2val 18221 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)𝑄) = (𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)))
4339, 4, 1, 2, 10, 18, 8, 21, 3, 14, 22hof2val 18221 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©)𝐿) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)))
4442, 43oveq12d 7423 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑃(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)𝑄)(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©)𝐿)) = ((𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃))(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))))
45 hofcl.d . . . 4 𝐷 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
46 hofcl.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
47 eqid 2726 . . . 4 (compβ€˜π·) = (compβ€˜π·)
48 eqid 2726 . . . . . 6 (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜πΆ)
4948, 1, 2, 10, 18homfval 17645 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋(Homf β€˜πΆ)π‘Œ) = (π‘‹π»π‘Œ))
5048, 1homffn 17646 . . . . . . . 8 (Homf β€˜πΆ) Fn (𝐡 Γ— 𝐡)
5150a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜πΆ) Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
52 hofcl.h . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜πΆ) βŠ† π‘ˆ)
53 df-f 6541 . . . . . . 7 ((Homf β€˜πΆ):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆπ‘ˆ ↔ ((Homf β€˜πΆ) Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ ran (Homf β€˜πΆ) βŠ† π‘ˆ))
5451, 52, 53sylanbrc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜πΆ):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆπ‘ˆ)
5554, 10, 18fovcdmd 7576 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋(Homf β€˜πΆ)π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5649, 55eqeltrrd 2828 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‹π»π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5748, 1, 2, 8, 21homfval 17645 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑍(Homf β€˜πΆ)π‘Š) = (π‘π»π‘Š))
5854, 8, 21fovcdmd 7576 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑍(Homf β€˜πΆ)π‘Š) ∈ π‘ˆ)
5957, 58eqeltrrd 2828 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘π»π‘Š) ∈ π‘ˆ)
6048, 1, 2, 6, 16homfval 17645 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆(Homf β€˜πΆ)𝑇) = (𝑆𝐻𝑇))
6154, 6, 16fovcdmd 7576 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆(Homf β€˜πΆ)𝑇) ∈ π‘ˆ)
6260, 61eqeltrrd 2828 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆𝐻𝑇) ∈ π‘ˆ)
631, 2, 3, 5, 9, 11, 28, 15, 33catcocl 17638 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾) ∈ (π‘π»π‘Š))
6463fmpttd 7110 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)):(π‘‹π»π‘Œ)⟢(π‘π»π‘Š))
654adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
666adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
678adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
6816adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
6912adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ (𝑆𝐻𝑍))
7021adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
71 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š))
7223adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Šπ»π‘‡))
731, 2, 3, 65, 67, 70, 68, 71, 72catcocl 17638 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ (𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔) ∈ (𝑍𝐻𝑇))
741, 2, 3, 65, 66, 67, 68, 69, 73catcocl 17638 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃) ∈ (𝑆𝐻𝑇))
7574fmpttd 7110 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)):(π‘π»π‘Š)⟢(𝑆𝐻𝑇))
7645, 46, 47, 56, 59, 62, 64, 75setcco 18045 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃))(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))) = ((𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)) ∘ (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))))
77 eqidd 2727 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)))
78 eqidd 2727 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)) = (𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)))
79 oveq2 7413 . . . . 5 (𝑔 = ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾) β†’ (𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔) = (𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)))
8079oveq1d 7420 . . . 4 (𝑔 = ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾) β†’ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃) = ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃))
8163, 77, 78, 80fmptco 7123 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)) ∘ (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)))
8244, 76, 813eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑃(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)𝑄)(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©)𝐿)) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)))
8338, 41, 823eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ ((𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)(𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)) = ((𝑃(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)𝑄)(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©)𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  βŸ¨cop 4629   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  ran crn 5670   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  2nd c2nd 7973  Basecbs 17153  Hom chom 17217  compcco 17218  Catccat 17617  Homf chomf 17619  oppCatcoppc 17664  SetCatcsetc 18037  HomFchof 18213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-hom 17230  df-cco 17231  df-cat 17621  df-homf 17623  df-setc 18038  df-hof 18215
This theorem is referenced by:  hofcl  18224
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