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Theorem hofcllem 18152
Description: Lemma for hofcl 18153. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
hofcl.m 𝑀 = (HomFβ€˜πΆ)
hofcl.o 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
hofcl.d 𝐷 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
hofcl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
hofcl.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
hofcl.h (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜πΆ) βŠ† π‘ˆ)
hofcllem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
hofcllem.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
hofcllem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
hofcllem.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
hofcllem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
hofcllem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
hofcllem.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
hofcllem.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
hofcllem.m (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝑍𝐻𝑋))
hofcllem.n (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (π‘Œπ»π‘Š))
hofcllem.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝑆𝐻𝑍))
hofcllem.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘Šπ»π‘‡))
Assertion
Ref Expression
hofcllem (πœ‘ β†’ ((𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)(𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)) = ((𝑃(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)𝑄)(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©)𝐿)))

Proof of Theorem hofcllem
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hofcllem.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 hofcllem.h . . . . 5 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
3 eqid 2733 . . . . 5 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
4 hofcl.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
54adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
6 hofcllem.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
76adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
8 hofcllem.z . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
98adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
10 hofcllem.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1110adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
12 hofcllem.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝑆𝐻𝑍))
1312adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑃 ∈ (𝑆𝐻𝑍))
14 hofcllem.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝑍𝐻𝑋))
1514adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ (𝑍𝐻𝑋))
16 hofcllem.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
1716adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
18 hofcllem.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
1918adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
20 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ))
21 hofcllem.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
22 hofcllem.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (π‘Œπ»π‘Š))
23 hofcllem.q . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘Šπ»π‘‡))
241, 2, 3, 4, 18, 21, 16, 22, 23catcocl 17570 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿) ∈ (π‘Œπ»π‘‡))
2524adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ (𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿) ∈ (π‘Œπ»π‘‡))
261, 2, 3, 5, 11, 19, 17, 20, 25catcocl 17570 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓) ∈ (𝑋𝐻𝑇))
271, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 26catass 17571 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃) = (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘†, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃)))
2821adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
2922adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝐿 ∈ (π‘Œπ»π‘Š))
3023adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Šπ»π‘‡))
311, 2, 3, 5, 11, 19, 28, 20, 29, 17, 30catass 17571 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓) = (𝑄(βŸ¨π‘‹, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)))
3231oveq1d 7373 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾) = ((𝑄(βŸ¨π‘‹, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓))(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾))
331, 2, 3, 5, 11, 19, 28, 20, 29catcocl 17570 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ (𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓) ∈ (π‘‹π»π‘Š))
341, 2, 3, 5, 9, 11, 28, 15, 33, 17, 30catass 17571 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((𝑄(βŸ¨π‘‹, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓))(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾) = (𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)))
3532, 34eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾) = (𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)))
3635oveq1d 7373 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐾)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃) = ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃))
3727, 36eqtr3d 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘†, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃)) = ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃))
3837mpteq2dva 5206 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘†, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃))) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)))
39 hofcl.m . . 3 𝑀 = (HomFβ€˜πΆ)
401, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14catcocl 17570 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃) ∈ (𝑆𝐻𝑋))
4139, 4, 1, 2, 10, 18, 6, 16, 3, 40, 24hof2val 18150 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)(𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ (((𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓)(βŸ¨π‘†, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)(𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃))))
4239, 4, 1, 2, 8, 21, 6, 16, 3, 12, 23hof2val 18150 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)𝑄) = (𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)))
4339, 4, 1, 2, 10, 18, 8, 21, 3, 14, 22hof2val 18150 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©)𝐿) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)))
4442, 43oveq12d 7376 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑃(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)𝑄)(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©)𝐿)) = ((𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃))(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))))
45 hofcl.d . . . 4 𝐷 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
46 hofcl.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
47 eqid 2733 . . . 4 (compβ€˜π·) = (compβ€˜π·)
48 eqid 2733 . . . . . 6 (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜πΆ)
4948, 1, 2, 10, 18homfval 17577 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋(Homf β€˜πΆ)π‘Œ) = (π‘‹π»π‘Œ))
5048, 1homffn 17578 . . . . . . . 8 (Homf β€˜πΆ) Fn (𝐡 Γ— 𝐡)
5150a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜πΆ) Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
52 hofcl.h . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜πΆ) βŠ† π‘ˆ)
53 df-f 6501 . . . . . . 7 ((Homf β€˜πΆ):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆπ‘ˆ ↔ ((Homf β€˜πΆ) Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ ran (Homf β€˜πΆ) βŠ† π‘ˆ))
5451, 52, 53sylanbrc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜πΆ):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆπ‘ˆ)
5554, 10, 18fovcdmd 7527 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋(Homf β€˜πΆ)π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5649, 55eqeltrrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‹π»π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5748, 1, 2, 8, 21homfval 17577 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑍(Homf β€˜πΆ)π‘Š) = (π‘π»π‘Š))
5854, 8, 21fovcdmd 7527 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑍(Homf β€˜πΆ)π‘Š) ∈ π‘ˆ)
5957, 58eqeltrrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘π»π‘Š) ∈ π‘ˆ)
6048, 1, 2, 6, 16homfval 17577 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆(Homf β€˜πΆ)𝑇) = (𝑆𝐻𝑇))
6154, 6, 16fovcdmd 7527 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆(Homf β€˜πΆ)𝑇) ∈ π‘ˆ)
6260, 61eqeltrrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆𝐻𝑇) ∈ π‘ˆ)
631, 2, 3, 5, 9, 11, 28, 15, 33catcocl 17570 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾) ∈ (π‘π»π‘Š))
6463fmpttd 7064 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)):(π‘‹π»π‘Œ)⟢(π‘π»π‘Š))
654adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
666adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
678adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
6816adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
6912adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ (𝑆𝐻𝑍))
7021adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
71 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š))
7223adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Šπ»π‘‡))
731, 2, 3, 65, 67, 70, 68, 71, 72catcocl 17570 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ (𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔) ∈ (𝑍𝐻𝑇))
741, 2, 3, 65, 66, 67, 68, 69, 73catcocl 17570 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š)) β†’ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃) ∈ (𝑆𝐻𝑇))
7574fmpttd 7064 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)):(π‘π»π‘Š)⟢(𝑆𝐻𝑇))
7645, 46, 47, 56, 59, 62, 64, 75setcco 17974 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃))(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))) = ((𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)) ∘ (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))))
77 eqidd 2734 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)))
78 eqidd 2734 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)) = (𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)))
79 oveq2 7366 . . . . 5 (𝑔 = ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾) β†’ (𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔) = (𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾)))
8079oveq1d 7373 . . . 4 (𝑔 = ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾) β†’ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃) = ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃))
8163, 77, 78, 80fmptco 7076 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ (π‘π»π‘Š) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑔)(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)) ∘ (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)))
8244, 76, 813eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑃(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)𝑄)(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©)𝐿)) = (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ↦ ((𝑄(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)((𝐿(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝑓)(βŸ¨π‘, π‘‹βŸ©(compβ€˜πΆ)π‘Š)𝐾))(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑃)))
8338, 41, 823eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ ((𝐾(βŸ¨π‘†, π‘βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝑃)(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)(𝑄(βŸ¨π‘Œ, π‘ŠβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝐿)) = ((𝑃(βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘†, π‘‡βŸ©)𝑄)(⟨(π‘‹π»π‘Œ), (π‘π»π‘Š)⟩(compβ€˜π·)(𝑆𝐻𝑇))(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(2nd β€˜π‘€)βŸ¨π‘, π‘ŠβŸ©)𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  βŸ¨cop 4593   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  ran crn 5635   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  2nd c2nd 7921  Basecbs 17088  Hom chom 17149  compcco 17150  Catccat 17549  Homf chomf 17551  oppCatcoppc 17596  SetCatcsetc 17966  HomFchof 18142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-hom 17162  df-cco 17163  df-cat 17553  df-homf 17555  df-setc 17967  df-hof 18144
This theorem is referenced by:  hofcl  18153
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