MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oyoncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oyoncl 18269
Description: The opposite Yoneda embedding is a functor from oppCatβ€˜πΆ to the functor category 𝐢 β†’ SetCat. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oyoncl.o 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
oyoncl.y π‘Œ = (Yonβ€˜π‘‚)
oyoncl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
oyoncl.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
oyoncl.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
oyoncl.h (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜πΆ) βŠ† π‘ˆ)
oyoncl.q 𝑄 = (𝐢 FuncCat 𝑆)
Assertion
Ref Expression
oyoncl (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑂 Func 𝑄))

Proof of Theorem oyoncl
StepHypRef Expression
1 oyoncl.y . . 3 π‘Œ = (Yonβ€˜π‘‚)
2 oyoncl.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
3 oyoncl.o . . . . 5 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
43oppccat 17711 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ 𝑂 ∈ Cat)
52, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ Cat)
6 eqid 2728 . . 3 (oppCatβ€˜π‘‚) = (oppCatβ€˜π‘‚)
7 oyoncl.s . . 3 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
8 eqid 2728 . . 3 ((oppCatβ€˜π‘‚) FuncCat 𝑆) = ((oppCatβ€˜π‘‚) FuncCat 𝑆)
9 oyoncl.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
10 eqid 2728 . . . . . . 7 (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜πΆ)
113, 10oppchomf 17709 . . . . . 6 tpos (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜π‘‚)
1211rneqi 5943 . . . . 5 ran tpos (Homf β€˜πΆ) = ran (Homf β€˜π‘‚)
13 relxp 5700 . . . . . . 7 Rel ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))
14 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
1510, 14homffn 17680 . . . . . . . . 9 (Homf β€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))
1615fndmi 6663 . . . . . . . 8 dom (Homf β€˜πΆ) = ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))
1716releqi 5783 . . . . . . 7 (Rel dom (Homf β€˜πΆ) ↔ Rel ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))
1813, 17mpbir 230 . . . . . 6 Rel dom (Homf β€˜πΆ)
19 rntpos 8251 . . . . . 6 (Rel dom (Homf β€˜πΆ) β†’ ran tpos (Homf β€˜πΆ) = ran (Homf β€˜πΆ))
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 ran tpos (Homf β€˜πΆ) = ran (Homf β€˜πΆ)
2112, 20eqtr3i 2758 . . . 4 ran (Homf β€˜π‘‚) = ran (Homf β€˜πΆ)
22 oyoncl.h . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜πΆ) βŠ† π‘ˆ)
2321, 22eqsstrid 4030 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜π‘‚) βŠ† π‘ˆ)
241, 5, 6, 7, 8, 9, 23yoncl 18261 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑂 Func ((oppCatβ€˜π‘‚) FuncCat 𝑆)))
25 oyoncl.q . . . 4 𝑄 = (𝐢 FuncCat 𝑆)
2632oppchomf 17713 . . . . . 6 (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜(oppCatβ€˜π‘‚))
2726a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜(oppCatβ€˜π‘‚)))
2832oppccomf 17714 . . . . . 6 (compfβ€˜πΆ) = (compfβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚))
2928a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (compfβ€˜πΆ) = (compfβ€˜(oppCatβ€˜π‘‚)))
30 eqidd 2729 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Homf β€˜π‘†) = (Homf β€˜π‘†))
31 eqidd 2729 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (compfβ€˜π‘†) = (compfβ€˜π‘†))
326oppccat 17711 . . . . . 6 (𝑂 ∈ Cat β†’ (oppCatβ€˜π‘‚) ∈ Cat)
335, 32syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (oppCatβ€˜π‘‚) ∈ Cat)
347setccat 18081 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑆 ∈ Cat)
359, 34syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Cat)
3627, 29, 30, 31, 2, 33, 35, 35fucpropd 17976 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 FuncCat 𝑆) = ((oppCatβ€˜π‘‚) FuncCat 𝑆))
3725, 36eqtrid 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 = ((oppCatβ€˜π‘‚) FuncCat 𝑆))
3837oveq2d 7442 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑂 Func 𝑄) = (𝑂 Func ((oppCatβ€˜π‘‚) FuncCat 𝑆)))
3924, 38eleqtrrd 2832 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑂 Func 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949   Γ— cxp 5680  dom cdm 5682  ran crn 5683  Rel wrel 5687  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  tpos ctpos 8237  Basecbs 17187  Catccat 17651  Homf chomf 17653  compfccomf 17654  oppCatcoppc 17698   Func cfunc 17847   FuncCat cfuc 17939  SetCatcsetc 18071  Yoncyon 18248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-hom 17264  df-cco 17265  df-cat 17655  df-cid 17656  df-homf 17657  df-comf 17658  df-oppc 17699  df-func 17851  df-nat 17940  df-fuc 17941  df-setc 18072  df-xpc 18170  df-curf 18213  df-hof 18249  df-yon 18250
This theorem is referenced by:  oyon1cl  18270
  Copyright terms: Public domain W3C validator