Theorem oyoncl 18230

Description: The opposite Yoneda embedding is a functor from oppCat‘𝐶 to the functor category 𝐶 → SetCat. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oyoncl.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oyoncl.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
oyoncl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
oyoncl.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
oyoncl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
oyoncl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
oyoncl.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
oyoncl	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))

Proof of Theorem oyoncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oyoncl.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
2		oyoncl.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		oyoncl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
4	3	oppccat 17682	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
7		oyoncl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
8		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)
9		oyoncl.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
10		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
11	3, 10	oppchomf 17680	. . . . . 6 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
12	11	rneqi 5887	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝑂)
13		relxp 5643	. . . . . . 7 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
14		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
15	10, 14	homffn 17653	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
16	15	fndmi 6597	. . . . . . . 8 ⊢ dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
17	16	releqi 5728	. . . . . . 7 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
18	13, 17	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ Rel dom (Homf ‘𝐶)
19		rntpos 8183	. . . . . 6 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) → ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶)
21	12, 20	eqtr3i 2762	. . . 4 ⊢ ran (Homf ‘𝑂) = ran (Homf ‘𝐶)
22		oyoncl.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
23	21, 22	eqsstrid 3961	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝑂) ⊆ 𝑈)
24	1, 5, 6, 7, 8, 9, 23	yoncl 18222	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
25		oyoncl.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)
26	3	2oppchomf 17684	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
28	3	2oppccomf 17685	. . . . . 6 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
30		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝑆) = (Homf ‘𝑆))
31		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝑆) = (compf‘𝑆))
32	6	oppccat 17682	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
33	5, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
34	7	setccat 18046	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ Cat)
35	9, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
36	27, 29, 30, 31, 2, 33, 35, 35	fucpropd 17941	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
37	25, 36	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
38	37	oveq2d 7377	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 Func 𝑄) = (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
39	24, 38	eleqtrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   × cxp 5623  dom cdm 5625  ran crn 5626  Rel wrel 5630  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  tpos ctpos 8169  Basecbs 17173  Catccat 17624  Hom_f chomf 17626  comp_fccomf 17627  oppCatcoppc 17671   Func cfunc 17815   FuncCat cfuc 17906  SetCatcsetc 18036  Yoncyon 18209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-hom 17238  df-cco 17239  df-cat 17628  df-cid 17629  df-homf 17630  df-comf 17631  df-oppc 17672  df-func 17819  df-nat 17907  df-fuc 17908  df-setc 18037  df-xpc 18132  df-curf 18174  df-hof 18210  df-yon 18211

This theorem is referenced by:  oyon1cl  18231