Theorem oyoncl 17263

Description: The opposite Yoneda embedding is a functor from oppCat‘𝐶 to the functor category 𝐶 → SetCat. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oyoncl.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oyoncl.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
oyoncl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
oyoncl.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
oyoncl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
oyoncl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
oyoncl.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
oyoncl	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))

Proof of Theorem oyoncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oyoncl.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
2		oyoncl.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		oyoncl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
4	3	oppccat 16734	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
6		eqid 2825	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
7		oyoncl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
8		eqid 2825	. . 3 ⊢ ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)
9		oyoncl.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
10		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
11	3, 10	oppchomf 16732	. . . . . 6 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
12	11	rneqi 5584	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝑂)
13		relxp 5360	. . . . . . 7 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
14		eqid 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
15	10, 14	homffn 16705	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
16		fndm 6223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
18	17	releqi 5437	. . . . . . 7 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
19	13, 18	mpbir 223	. . . . . 6 ⊢ Rel dom (Homf ‘𝐶)
20		rntpos 7630	. . . . . 6 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) → ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶)
22	12, 21	eqtr3i 2851	. . . 4 ⊢ ran (Homf ‘𝑂) = ran (Homf ‘𝐶)
23		oyoncl.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
24	22, 23	syl5eqss 3874	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝑂) ⊆ 𝑈)
25	1, 5, 6, 7, 8, 9, 24	yoncl 17255	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
26		oyoncl.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)
27	3	2oppchomf 16736	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
29	3	2oppccomf 16737	. . . . . 6 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
31		eqidd 2826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝑆) = (Homf ‘𝑆))
32		eqidd 2826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝑆) = (compf‘𝑆))
33	6	oppccat 16734	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
34	5, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
35	7	setccat 17087	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ Cat)
36	9, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
37	28, 30, 31, 32, 2, 34, 36, 36	fucpropd 16989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
38	26, 37	syl5eq 2873	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
39	38	oveq2d 6921	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 Func 𝑄) = (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
40	25, 39	eleqtrrd 2909	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798   × cxp 5340  dom cdm 5342  ran crn 5343  Rel wrel 5347   Fn wfn 6118  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  tpos ctpos 7616  Basecbs 16222  Catccat 16677  Hom_f chomf 16679  comp_fccomf 16680  oppCatcoppc 16723   Func cfunc 16866   FuncCat cfuc 16954  SetCatcsetc 17077  Yoncyon 17242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-tpos 7617  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-hom 16329  df-cco 16330  df-cat 16681  df-cid 16682  df-homf 16683  df-comf 16684  df-oppc 16724  df-func 16870  df-nat 16955  df-fuc 16956  df-setc 17078  df-xpc 17165  df-curf 17207  df-hof 17243  df-yon 17244

This theorem is referenced by:  oyon1cl  17264