Theorem oyoncl 17977

Description: The opposite Yoneda embedding is a functor from oppCat‘𝐶 to the functor category 𝐶 → SetCat. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oyoncl.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oyoncl.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
oyoncl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
oyoncl.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
oyoncl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
oyoncl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
oyoncl.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
oyoncl	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))

Proof of Theorem oyoncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oyoncl.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
2		oyoncl.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		oyoncl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
4	3	oppccat 17422	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
7		oyoncl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
8		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)
9		oyoncl.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
10		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
11	3, 10	oppchomf 17420	. . . . . 6 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
12	11	rneqi 5841	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝑂)
13		relxp 5604	. . . . . . 7 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
14		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
15	10, 14	homffn 17391	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
16	15	fndmi 6531	. . . . . . . 8 ⊢ dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
17	16	releqi 5684	. . . . . . 7 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
18	13, 17	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ Rel dom (Homf ‘𝐶)
19		rntpos 8044	. . . . . 6 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) → ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶)
21	12, 20	eqtr3i 2768	. . . 4 ⊢ ran (Homf ‘𝑂) = ran (Homf ‘𝐶)
22		oyoncl.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
23	21, 22	eqsstrid 3970	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝑂) ⊆ 𝑈)
24	1, 5, 6, 7, 8, 9, 23	yoncl 17969	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
25		oyoncl.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)
26	3	2oppchomf 17424	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
28	3	2oppccomf 17425	. . . . . 6 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
30		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝑆) = (Homf ‘𝑆))
31		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝑆) = (compf‘𝑆))
32	6	oppccat 17422	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
33	5, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
34	7	setccat 17789	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ Cat)
35	9, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
36	27, 29, 30, 31, 2, 33, 35, 35	fucpropd 17684	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
37	25, 36	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
38	37	oveq2d 7285	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 Func 𝑄) = (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
39	24, 38	eleqtrrd 2842	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3888   × cxp 5584  dom cdm 5586  ran crn 5587  Rel wrel 5591  ‘cfv 6428  (class class class)co 7269  tpos ctpos 8030  Basecbs 16901  Catccat 17362  Hom_f chomf 17364  comp_fccomf 17365  oppCatcoppc 17409   Func cfunc 17558   FuncCat cfuc 17647  SetCatcsetc 17779  Yoncyon 17956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-tpos 8031  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8487  df-map 8606  df-ixp 8675  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-fin 8726  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-nn 11963  df-2 12025  df-3 12026  df-4 12027  df-5 12028  df-6 12029  df-7 12030  df-8 12031  df-9 12032  df-n0 12223  df-z 12309  df-dec 12427  df-uz 12572  df-fz 13229  df-struct 16837  df-sets 16854  df-slot 16872  df-ndx 16884  df-base 16902  df-hom 16975  df-cco 16976  df-cat 17366  df-cid 17367  df-homf 17368  df-comf 17369  df-oppc 17410  df-func 17562  df-nat 17648  df-fuc 17649  df-setc 17780  df-xpc 17878  df-curf 17921  df-hof 17957  df-yon 17958

This theorem is referenced by:  oyon1cl  17978