Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oyoncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oyoncl 17511
 Description: The opposite Yoneda embedding is a functor from oppCat‘𝐶 to the functor category 𝐶 → SetCat. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oyoncl.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oyoncl.y 𝑌 = (Yon‘𝑂)
oyoncl.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
oyoncl.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
oyoncl.u (𝜑𝑈𝑉)
oyoncl.h (𝜑 → ran (Homf𝐶) ⊆ 𝑈)
oyoncl.q 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)
Assertion
Ref Expression
oyoncl (𝜑𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))

Proof of Theorem oyoncl
StepHypRef Expression
1 oyoncl.y . . 3 𝑌 = (Yon‘𝑂)
2 oyoncl.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
3 oyoncl.o . . . . 5 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
43oppccat 16983 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
52, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ Cat)
6 eqid 2822 . . 3 (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
7 oyoncl.s . . 3 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
8 eqid 2822 . . 3 ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)
9 oyoncl.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
10 eqid 2822 . . . . . . 7 (Homf𝐶) = (Homf𝐶)
113, 10oppchomf 16981 . . . . . 6 tpos (Homf𝐶) = (Homf𝑂)
1211rneqi 5784 . . . . 5 ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝑂)
13 relxp 5550 . . . . . . 7 Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
14 eqid 2822 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
1510, 14homffn 16954 . . . . . . . . 9 (Homf𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
1615fndmi 6435 . . . . . . . 8 dom (Homf𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
1716releqi 5629 . . . . . . 7 (Rel dom (Homf𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
1813, 17mpbir 234 . . . . . 6 Rel dom (Homf𝐶)
19 rntpos 7892 . . . . . 6 (Rel dom (Homf𝐶) → ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝐶))
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝐶)
2112, 20eqtr3i 2847 . . . 4 ran (Homf𝑂) = ran (Homf𝐶)
22 oyoncl.h . . . 4 (𝜑 → ran (Homf𝐶) ⊆ 𝑈)
2321, 22eqsstrid 3990 . . 3 (𝜑 → ran (Homf𝑂) ⊆ 𝑈)
241, 5, 6, 7, 8, 9, 23yoncl 17503 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
25 oyoncl.q . . . 4 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)
2632oppchomf 16985 . . . . . 6 (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
2726a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
2832oppccomf 16986 . . . . . 6 (compf𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
2928a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (compf𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
30 eqidd 2823 . . . . 5 (𝜑 → (Homf𝑆) = (Homf𝑆))
31 eqidd 2823 . . . . 5 (𝜑 → (compf𝑆) = (compf𝑆))
326oppccat 16983 . . . . . 6 (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
335, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
347setccat 17336 . . . . . 6 (𝑈𝑉𝑆 ∈ Cat)
359, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Cat)
3627, 29, 30, 31, 2, 33, 35, 35fucpropd 17238 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
3725, 36syl5eq 2869 . . 3 (𝜑𝑄 = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
3837oveq2d 7156 . 2 (𝜑 → (𝑂 Func 𝑄) = (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
3924, 38eleqtrrd 2917 1 (𝜑𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3908   × cxp 5530  dom cdm 5532  ran crn 5533  Rel wrel 5537  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  tpos ctpos 7878  Basecbs 16474  Catccat 16926  Homf chomf 16928  compfccomf 16929  oppCatcoppc 16972   Func cfunc 17115   FuncCat cfuc 17203  SetCatcsetc 17326  Yoncyon 17490 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-hom 16580  df-cco 16581  df-cat 16930  df-cid 16931  df-homf 16932  df-comf 16933  df-oppc 16973  df-func 17119  df-nat 17204  df-fuc 17205  df-setc 17327  df-xpc 17413  df-curf 17455  df-hof 17491  df-yon 17492 This theorem is referenced by:  oyon1cl  17512
 Copyright terms: Public domain W3C validator