MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oyoncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oyoncl 17263
Description: The opposite Yoneda embedding is a functor from oppCat‘𝐶 to the functor category 𝐶 → SetCat. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oyoncl.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oyoncl.y 𝑌 = (Yon‘𝑂)
oyoncl.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
oyoncl.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
oyoncl.u (𝜑𝑈𝑉)
oyoncl.h (𝜑 → ran (Homf𝐶) ⊆ 𝑈)
oyoncl.q 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)
Assertion
Ref Expression
oyoncl (𝜑𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))

Proof of Theorem oyoncl
StepHypRef Expression
1 oyoncl.y . . 3 𝑌 = (Yon‘𝑂)
2 oyoncl.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
3 oyoncl.o . . . . 5 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
43oppccat 16734 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
52, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ Cat)
6 eqid 2825 . . 3 (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
7 oyoncl.s . . 3 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
8 eqid 2825 . . 3 ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)
9 oyoncl.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
10 eqid 2825 . . . . . . 7 (Homf𝐶) = (Homf𝐶)
113, 10oppchomf 16732 . . . . . 6 tpos (Homf𝐶) = (Homf𝑂)
1211rneqi 5584 . . . . 5 ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝑂)
13 relxp 5360 . . . . . . 7 Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
14 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
1510, 14homffn 16705 . . . . . . . . 9 (Homf𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
16 fndm 6223 . . . . . . . . 9 ((Homf𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → dom (Homf𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom (Homf𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
1817releqi 5437 . . . . . . 7 (Rel dom (Homf𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
1913, 18mpbir 223 . . . . . 6 Rel dom (Homf𝐶)
20 rntpos 7630 . . . . . 6 (Rel dom (Homf𝐶) → ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝐶))
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5 ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝐶)
2212, 21eqtr3i 2851 . . . 4 ran (Homf𝑂) = ran (Homf𝐶)
23 oyoncl.h . . . 4 (𝜑 → ran (Homf𝐶) ⊆ 𝑈)
2422, 23syl5eqss 3874 . . 3 (𝜑 → ran (Homf𝑂) ⊆ 𝑈)
251, 5, 6, 7, 8, 9, 24yoncl 17255 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
26 oyoncl.q . . . 4 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)
2732oppchomf 16736 . . . . . 6 (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
2827a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
2932oppccomf 16737 . . . . . 6 (compf𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
3029a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (compf𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
31 eqidd 2826 . . . . 5 (𝜑 → (Homf𝑆) = (Homf𝑆))
32 eqidd 2826 . . . . 5 (𝜑 → (compf𝑆) = (compf𝑆))
336oppccat 16734 . . . . . 6 (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
345, 33syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
357setccat 17087 . . . . . 6 (𝑈𝑉𝑆 ∈ Cat)
369, 35syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Cat)
3728, 30, 31, 32, 2, 34, 36, 36fucpropd 16989 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
3826, 37syl5eq 2873 . . 3 (𝜑𝑄 = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
3938oveq2d 6921 . 2 (𝜑 → (𝑂 Func 𝑄) = (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
4025, 39eleqtrrd 2909 1 (𝜑𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1656  wcel 2164  wss 3798   × cxp 5340  dom cdm 5342  ran crn 5343  Rel wrel 5347   Fn wfn 6118  cfv 6123  (class class class)co 6905  tpos ctpos 7616  Basecbs 16222  Catccat 16677  Homf chomf 16679  compfccomf 16680  oppCatcoppc 16723   Func cfunc 16866   FuncCat cfuc 16954  SetCatcsetc 17077  Yoncyon 17242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-tpos 7617  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-hom 16329  df-cco 16330  df-cat 16681  df-cid 16682  df-homf 16683  df-comf 16684  df-oppc 16724  df-func 16870  df-nat 16955  df-fuc 16956  df-setc 17078  df-xpc 17165  df-curf 17207  df-hof 17243  df-yon 17244
This theorem is referenced by:  oyon1cl  17264
  Copyright terms: Public domain W3C validator