MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oyoncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oyoncl 17977
Description: The opposite Yoneda embedding is a functor from oppCat‘𝐶 to the functor category 𝐶 → SetCat. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oyoncl.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oyoncl.y 𝑌 = (Yon‘𝑂)
oyoncl.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
oyoncl.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
oyoncl.u (𝜑𝑈𝑉)
oyoncl.h (𝜑 → ran (Homf𝐶) ⊆ 𝑈)
oyoncl.q 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)
Assertion
Ref Expression
oyoncl (𝜑𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))

Proof of Theorem oyoncl
StepHypRef Expression
1 oyoncl.y . . 3 𝑌 = (Yon‘𝑂)
2 oyoncl.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
3 oyoncl.o . . . . 5 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
43oppccat 17422 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
52, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ Cat)
6 eqid 2738 . . 3 (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
7 oyoncl.s . . 3 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
8 eqid 2738 . . 3 ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)
9 oyoncl.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
10 eqid 2738 . . . . . . 7 (Homf𝐶) = (Homf𝐶)
113, 10oppchomf 17420 . . . . . 6 tpos (Homf𝐶) = (Homf𝑂)
1211rneqi 5841 . . . . 5 ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝑂)
13 relxp 5604 . . . . . . 7 Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
14 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
1510, 14homffn 17391 . . . . . . . . 9 (Homf𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
1615fndmi 6531 . . . . . . . 8 dom (Homf𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
1716releqi 5684 . . . . . . 7 (Rel dom (Homf𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
1813, 17mpbir 230 . . . . . 6 Rel dom (Homf𝐶)
19 rntpos 8044 . . . . . 6 (Rel dom (Homf𝐶) → ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝐶))
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 ran tpos (Homf𝐶) = ran (Homf𝐶)
2112, 20eqtr3i 2768 . . . 4 ran (Homf𝑂) = ran (Homf𝐶)
22 oyoncl.h . . . 4 (𝜑 → ran (Homf𝐶) ⊆ 𝑈)
2321, 22eqsstrid 3970 . . 3 (𝜑 → ran (Homf𝑂) ⊆ 𝑈)
241, 5, 6, 7, 8, 9, 23yoncl 17969 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
25 oyoncl.q . . . 4 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)
2632oppchomf 17424 . . . . . 6 (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
2726a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (Homf𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
2832oppccomf 17425 . . . . . 6 (compf𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
2928a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (compf𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
30 eqidd 2739 . . . . 5 (𝜑 → (Homf𝑆) = (Homf𝑆))
31 eqidd 2739 . . . . 5 (𝜑 → (compf𝑆) = (compf𝑆))
326oppccat 17422 . . . . . 6 (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
335, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
347setccat 17789 . . . . . 6 (𝑈𝑉𝑆 ∈ Cat)
359, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Cat)
3627, 29, 30, 31, 2, 33, 35, 35fucpropd 17684 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
3725, 36eqtrid 2790 . . 3 (𝜑𝑄 = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
3837oveq2d 7285 . 2 (𝜑 → (𝑂 Func 𝑄) = (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
3924, 38eleqtrrd 2842 1 (𝜑𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  wss 3888   × cxp 5584  dom cdm 5586  ran crn 5587  Rel wrel 5591  cfv 6428  (class class class)co 7269  tpos ctpos 8030  Basecbs 16901  Catccat 17362  Homf chomf 17364  compfccomf 17365  oppCatcoppc 17409   Func cfunc 17558   FuncCat cfuc 17647  SetCatcsetc 17779  Yoncyon 17956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-tpos 8031  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8487  df-map 8606  df-ixp 8675  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-fin 8726  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-nn 11963  df-2 12025  df-3 12026  df-4 12027  df-5 12028  df-6 12029  df-7 12030  df-8 12031  df-9 12032  df-n0 12223  df-z 12309  df-dec 12427  df-uz 12572  df-fz 13229  df-struct 16837  df-sets 16854  df-slot 16872  df-ndx 16884  df-base 16902  df-hom 16975  df-cco 16976  df-cat 17366  df-cid 17367  df-homf 17368  df-comf 17369  df-oppc 17410  df-func 17562  df-nat 17648  df-fuc 17649  df-setc 17780  df-xpc 17878  df-curf 17921  df-hof 17957  df-yon 17958
This theorem is referenced by:  oyon1cl  17978
  Copyright terms: Public domain W3C validator