Theorem oyoncl 18350

Description: The opposite Yoneda embedding is a functor from oppCat‘𝐶 to the functor category 𝐶 → SetCat. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oyoncl.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oyoncl.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
oyoncl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
oyoncl.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
oyoncl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
oyoncl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
oyoncl.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
oyoncl	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))

Proof of Theorem oyoncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oyoncl.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
2		oyoncl.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		oyoncl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
4	3	oppccat 17802	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
5	2, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
6		eqid 2765	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
7		oyoncl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
8		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)
9		oyoncl.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
10		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
11	3, 10	oppchomf 17800	. . . . . 6 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
12	11	rneqi 5929	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝑂)
13		relxp 5681	. . . . . . 7 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
14		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
15	10, 14	homffn 17773	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
16	15	fndmi 6643	. . . . . . . 8 ⊢ dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
17	16	releqi 5766	. . . . . . 7 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
18	13, 17	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ Rel dom (Homf ‘𝐶)
19		rntpos 8241	. . . . . 6 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) → ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶)
21	12, 20	eqtr3i 2790	. . . 4 ⊢ ran (Homf ‘𝑂) = ran (Homf ‘𝐶)
22		oyoncl.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
23	21, 22	eqsstrid 3976	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝑂) ⊆ 𝑈)
24	1, 5, 6, 7, 8, 9, 23	yoncl 18342	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
25		oyoncl.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)
26	3	2oppchomf 17804	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
28	3	2oppccomf 17805	. . . . . 6 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
30		eqidd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝑆) = (Homf ‘𝑆))
31		eqidd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝑆) = (compf‘𝑆))
32	6	oppccat 17802	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
33	5, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
34	7	setccat 18166	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ Cat)
35	9, 34	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
36	27, 29, 30, 31, 2, 33, 35, 35	fucpropd 18061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
37	25, 36	eqtrid 2812	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
38	37	oveq2d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 Func 𝑄) = (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
39	24, 38	eleqtrrd 2868	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   × cxp 5661  dom cdm 5663  ran crn 5664  Rel wrel 5668  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  tpos ctpos 8227  Basecbs 17293  Catccat 17744  Hom_f chomf 17746  comp_fccomf 17747  oppCatcoppc 17791   Func cfunc 17935   FuncCat cfuc 18026  SetCatcsetc 18156  Yoncyon 18329

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-hom 17358  df-cco 17359  df-cat 17748  df-cid 17749  df-homf 17750  df-comf 17751  df-oppc 17792  df-func 17939  df-nat 18027  df-fuc 18028  df-setc 18157  df-xpc 18252  df-curf 18294  df-hof 18330  df-yon 18331

This theorem is used by:  oyon1cl  18351