Theorem oyoncl 17988

Description: The opposite Yoneda embedding is a functor from oppCat‘𝐶 to the functor category 𝐶 → SetCat. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oyoncl.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oyoncl.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
oyoncl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
oyoncl.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
oyoncl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
oyoncl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
oyoncl.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
oyoncl	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))

Proof of Theorem oyoncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oyoncl.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝑂)
2		oyoncl.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		oyoncl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
4	3	oppccat 17433	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
7		oyoncl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
8		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)
9		oyoncl.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
10		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
11	3, 10	oppchomf 17431	. . . . . 6 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
12	11	rneqi 5846	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝑂)
13		relxp 5607	. . . . . . 7 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
14		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
15	10, 14	homffn 17402	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
16	15	fndmi 6537	. . . . . . . 8 ⊢ dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
17	16	releqi 5688	. . . . . . 7 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
18	13, 17	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ Rel dom (Homf ‘𝐶)
19		rntpos 8055	. . . . . 6 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) → ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶)
21	12, 20	eqtr3i 2768	. . . 4 ⊢ ran (Homf ‘𝑂) = ran (Homf ‘𝐶)
22		oyoncl.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
23	21, 22	eqsstrid 3969	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝑂) ⊆ 𝑈)
24	1, 5, 6, 7, 8, 9, 23	yoncl 17980	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
25		oyoncl.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝑆)
26	3	2oppchomf 17435	. . . . . 6 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
28	3	2oppccomf 17436	. . . . . 6 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
30		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝑆) = (Homf ‘𝑆))
31		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝑆) = (compf‘𝑆))
32	6	oppccat 17433	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
33	5, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
34	7	setccat 17800	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ Cat)
35	9, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Cat)
36	27, 29, 30, 31, 2, 33, 35, 35	fucpropd 17695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FuncCat 𝑆) = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
37	25, 36	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆))
38	37	oveq2d 7291	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 Func 𝑄) = (𝑂 Func ((oppCat‘𝑂) FuncCat 𝑆)))
39	24, 38	eleqtrrd 2842	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑂 Func 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   × cxp 5587  dom cdm 5589  ran crn 5590  Rel wrel 5594  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  tpos ctpos 8041  Basecbs 16912  Catccat 17373  Hom_f chomf 17375  comp_fccomf 17376  oppCatcoppc 17420   Func cfunc 17569   FuncCat cfuc 17658  SetCatcsetc 17790  Yoncyon 17967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-hom 16986  df-cco 16987  df-cat 17377  df-cid 17378  df-homf 17379  df-comf 17380  df-oppc 17421  df-func 17573  df-nat 17659  df-fuc 17660  df-setc 17791  df-xpc 17889  df-curf 17932  df-hof 17968  df-yon 17969

This theorem is referenced by:  oyon1cl  17989