MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fullsubc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fullsubc 17835
Description: The full subcategory generated by a subset of objects is the category with these objects and the same morphisms as the original. The result is always a subcategory (and it is full, meaning that all morphisms of the original category between objects in the subcategory is also in the subcategory), see definition 4.1(2) of [Adamek] p. 48. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fullsubc.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
fullsubc.h 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
fullsubc.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
fullsubc.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
fullsubc (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Subcatβ€˜πΆ))

Proof of Theorem fullsubc
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fullsubc.h . . . . 5 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
2 fullsubc.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
31, 2homffn 17672 . . . 4 𝐻 Fn (𝐡 Γ— 𝐡)
42fvexi 6911 . . . 4 𝐡 ∈ V
5 sscres 17805 . . . 4 ((𝐻 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ†cat 𝐻)
63, 4, 5mp2an 691 . . 3 (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ†cat 𝐻
76a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ†cat 𝐻)
8 eqid 2728 . . . . . 6 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
9 eqid 2728 . . . . . 6 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
10 fullsubc.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
12 fullsubc.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
1312sselda 3980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
142, 8, 9, 11, 13catidcl 17661 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
15 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
1615, 15ovresd 7588 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) = (π‘₯𝐻π‘₯))
171, 2, 8, 13, 13homfval 17671 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯𝐻π‘₯) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
1816, 17eqtrd 2768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
1914, 18eleqtrrd 2832 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯))
20 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
2111ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
2213ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
2312adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2423sselda 3980 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
2625adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
2723adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2827sselda 3980 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
2928adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
30 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
31 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
322, 8, 20, 21, 22, 26, 29, 30, 31catcocl 17664 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧))
3315ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
34 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
3533, 34ovresd 7588 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) = (π‘₯𝐻𝑧))
361, 2, 8, 22, 29homfval 17671 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧))
3735, 36eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧))
3832, 37eleqtrrd 2832 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
3938ralrimivva 3197 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
40 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
41 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
4240, 41ovresd 7588 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦) = (π‘₯𝐻𝑦))
4313adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
441, 2, 8, 43, 24homfval 17671 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
4542, 44eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
4645adantr 480 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
47 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
48 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
4947, 48ovresd 7588 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) = (𝑦𝐻𝑧))
501, 2, 8, 25, 28homfval 17671 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
5149, 50eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) = (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
5251raleqdv 3322 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))
5346, 52raleqbidv 3339 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))
5439, 53mpbird 257 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
5554ralrimiva 3143 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
5655ralrimiva 3143 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
5719, 56jca 511 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))
5857ralrimiva 3143 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))
59 xpss12 5693 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))
6012, 12, 59syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))
61 fnssres 6678 . . . 4 ((𝐻 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
623, 60, 61sylancr 586 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
631, 9, 20, 10, 62issubc2 17821 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ ((𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))))
647, 58, 63mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5676   β†Ύ cres 5680   Fn wfn 6543  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  Hom chom 17243  compcco 17244  Catccat 17643  Idccid 17644  Homf chomf 17645   βŠ†cat cssc 17789  Subcatcsubc 17791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-cat 17647  df-cid 17648  df-homf 17649  df-ssc 17792  df-subc 17794
This theorem is referenced by:  resscat  17837  funcres2c  17889  ressffth  17926  funcsetcres2  18081
  Copyright terms: Public domain W3C validator