MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fullsubc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fullsubc 17744
Description: The full subcategory generated by a subset of objects is the category with these objects and the same morphisms as the original. The result is always a subcategory (and it is full, meaning that all morphisms of the original category between objects in the subcategory is also in the subcategory), see definition 4.1(2) of [Adamek] p. 48. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fullsubc.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
fullsubc.h 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
fullsubc.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
fullsubc.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
fullsubc (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Subcatβ€˜πΆ))

Proof of Theorem fullsubc
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fullsubc.h . . . . 5 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
2 fullsubc.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
31, 2homffn 17581 . . . 4 𝐻 Fn (𝐡 Γ— 𝐡)
42fvexi 6860 . . . 4 𝐡 ∈ V
5 sscres 17714 . . . 4 ((𝐻 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ†cat 𝐻)
63, 4, 5mp2an 691 . . 3 (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ†cat 𝐻
76a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ†cat 𝐻)
8 eqid 2733 . . . . . 6 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
9 eqid 2733 . . . . . 6 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
10 fullsubc.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
1110adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
12 fullsubc.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
1312sselda 3948 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
142, 8, 9, 11, 13catidcl 17570 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
15 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
1615, 15ovresd 7525 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) = (π‘₯𝐻π‘₯))
171, 2, 8, 13, 13homfval 17580 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯𝐻π‘₯) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
1816, 17eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
1914, 18eleqtrrd 2837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯))
20 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
2111ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
2213ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
2312adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2423sselda 3948 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
2524adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
2625adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
2723adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2827sselda 3948 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
2928adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
30 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
31 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
322, 8, 20, 21, 22, 26, 29, 30, 31catcocl 17573 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧))
3315ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
34 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
3533, 34ovresd 7525 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) = (π‘₯𝐻𝑧))
361, 2, 8, 22, 29homfval 17580 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧))
3735, 36eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧))
3832, 37eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
3938ralrimivva 3194 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
40 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
41 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
4240, 41ovresd 7525 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦) = (π‘₯𝐻𝑦))
4313adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
441, 2, 8, 43, 24homfval 17580 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
4542, 44eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
4645adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
47 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
48 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
4947, 48ovresd 7525 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) = (𝑦𝐻𝑧))
501, 2, 8, 25, 28homfval 17580 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
5149, 50eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) = (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
5251raleqdv 3312 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))
5346, 52raleqbidv 3318 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))
5439, 53mpbird 257 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
5554ralrimiva 3140 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
5655ralrimiva 3140 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
5719, 56jca 513 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))
5857ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))
59 xpss12 5652 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))
6012, 12, 59syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))
61 fnssres 6628 . . . 4 ((𝐻 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
623, 60, 61sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
631, 9, 20, 10, 62issubc2 17730 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ ((𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))))
647, 58, 63mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635   β†Ύ cres 5639   Fn wfn 6495  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  Hom chom 17152  compcco 17153  Catccat 17552  Idccid 17553  Homf chomf 17554   βŠ†cat cssc 17698  Subcatcsubc 17700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-cat 17556  df-cid 17557  df-homf 17558  df-ssc 17701  df-subc 17703
This theorem is referenced by:  resscat  17746  funcres2c  17796  ressffth  17833  funcsetcres2  17987
  Copyright terms: Public domain W3C validator