MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fullsubc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fullsubc 17805
Description: The full subcategory generated by a subset of objects is the category with these objects and the same morphisms as the original. The result is always a subcategory (and it is full, meaning that all morphisms of the original category between objects in the subcategory is also in the subcategory), see definition 4.1(2) of [Adamek] p. 48. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fullsubc.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
fullsubc.h 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
fullsubc.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
fullsubc.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
fullsubc (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Subcatβ€˜πΆ))

Proof of Theorem fullsubc
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fullsubc.h . . . . 5 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
2 fullsubc.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
31, 2homffn 17642 . . . 4 𝐻 Fn (𝐡 Γ— 𝐡)
42fvexi 6896 . . . 4 𝐡 ∈ V
5 sscres 17775 . . . 4 ((𝐻 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ†cat 𝐻)
63, 4, 5mp2an 689 . . 3 (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ†cat 𝐻
76a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ†cat 𝐻)
8 eqid 2724 . . . . . 6 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
9 eqid 2724 . . . . . 6 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
10 fullsubc.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
12 fullsubc.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
1312sselda 3975 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
142, 8, 9, 11, 13catidcl 17631 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
15 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
1615, 15ovresd 7568 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) = (π‘₯𝐻π‘₯))
171, 2, 8, 13, 13homfval 17641 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯𝐻π‘₯) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
1816, 17eqtrd 2764 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
1914, 18eleqtrrd 2828 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯))
20 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
2111ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
2213ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
2312adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2423sselda 3975 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
2625adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
2723adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2827sselda 3975 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
2928adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
30 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
31 simprr 770 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
322, 8, 20, 21, 22, 26, 29, 30, 31catcocl 17634 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧))
3315ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
34 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
3533, 34ovresd 7568 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) = (π‘₯𝐻𝑧))
361, 2, 8, 22, 29homfval 17641 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧))
3735, 36eqtrd 2764 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧))
3832, 37eleqtrrd 2828 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
3938ralrimivva 3192 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
40 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
41 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
4240, 41ovresd 7568 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦) = (π‘₯𝐻𝑦))
4313adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
441, 2, 8, 43, 24homfval 17641 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
4542, 44eqtrd 2764 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
4645adantr 480 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
47 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
48 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
4947, 48ovresd 7568 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) = (𝑦𝐻𝑧))
501, 2, 8, 25, 28homfval 17641 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
5149, 50eqtrd 2764 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) = (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
5251raleqdv 3317 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))
5346, 52raleqbidv 3334 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))
5439, 53mpbird 257 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
5554ralrimiva 3138 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
5655ralrimiva 3138 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
5719, 56jca 511 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))
5857ralrimiva 3138 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))
59 xpss12 5682 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))
6012, 12, 59syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))
61 fnssres 6664 . . . 4 ((𝐻 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
623, 60, 61sylancr 586 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
631, 9, 20, 10, 62issubc2 17791 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ ((𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))))
647, 58, 63mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941  βŸ¨cop 4627   class class class wbr 5139   Γ— cxp 5665   β†Ύ cres 5669   Fn wfn 6529  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  Hom chom 17213  compcco 17214  Catccat 17613  Idccid 17614  Homf chomf 17615   βŠ†cat cssc 17759  Subcatcsubc 17761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-cat 17617  df-cid 17618  df-homf 17619  df-ssc 17762  df-subc 17764
This theorem is referenced by:  resscat  17807  funcres2c  17859  ressffth  17896  funcsetcres2  18051
  Copyright terms: Public domain W3C validator