MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fullsubc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fullsubc 17799
Description: The full subcategory generated by a subset of objects is the category with these objects and the same morphisms as the original. The result is always a subcategory (and it is full, meaning that all morphisms of the original category between objects in the subcategory is also in the subcategory), see definition 4.1(2) of [Adamek] p. 48. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fullsubc.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
fullsubc.h 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
fullsubc.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
fullsubc.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
fullsubc (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Subcatβ€˜πΆ))

Proof of Theorem fullsubc
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fullsubc.h . . . . 5 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
2 fullsubc.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
31, 2homffn 17636 . . . 4 𝐻 Fn (𝐡 Γ— 𝐡)
42fvexi 6905 . . . 4 𝐡 ∈ V
5 sscres 17769 . . . 4 ((𝐻 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ†cat 𝐻)
63, 4, 5mp2an 690 . . 3 (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ†cat 𝐻
76a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ†cat 𝐻)
8 eqid 2732 . . . . . 6 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
9 eqid 2732 . . . . . 6 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
10 fullsubc.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
12 fullsubc.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
1312sselda 3982 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
142, 8, 9, 11, 13catidcl 17625 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
15 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
1615, 15ovresd 7573 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) = (π‘₯𝐻π‘₯))
171, 2, 8, 13, 13homfval 17635 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯𝐻π‘₯) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
1816, 17eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
1914, 18eleqtrrd 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯))
20 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
2111ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
2213ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
2312adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2423sselda 3982 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
2625adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
2723adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2827sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
30 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
31 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
322, 8, 20, 21, 22, 26, 29, 30, 31catcocl 17628 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧))
3315ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
34 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
3533, 34ovresd 7573 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) = (π‘₯𝐻𝑧))
361, 2, 8, 22, 29homfval 17635 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧))
3735, 36eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧))
3832, 37eleqtrrd 2836 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
3938ralrimivva 3200 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
40 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
41 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
4240, 41ovresd 7573 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦) = (π‘₯𝐻𝑦))
4313adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
441, 2, 8, 43, 24homfval 17635 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
4542, 44eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
4645adantr 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
47 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
48 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
4947, 48ovresd 7573 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) = (𝑦𝐻𝑧))
501, 2, 8, 25, 28homfval 17635 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
5149, 50eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) = (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
5251raleqdv 3325 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))
5346, 52raleqbidv 3342 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))
5439, 53mpbird 256 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
5554ralrimiva 3146 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
5655ralrimiva 3146 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧))
5719, 56jca 512 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))
5857ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))
59 xpss12 5691 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))
6012, 12, 59syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))
61 fnssres 6673 . . . 4 ((𝐻 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
623, 60, 61sylancr 587 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
631, 9, 20, 10, 62issubc2 17785 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ ((𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))𝑧)))))
647, 58, 63mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  Hom chom 17207  compcco 17208  Catccat 17607  Idccid 17608  Homf chomf 17609   βŠ†cat cssc 17753  Subcatcsubc 17755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-cat 17611  df-cid 17612  df-homf 17613  df-ssc 17756  df-subc 17758
This theorem is referenced by:  resscat  17801  funcres2c  17851  ressffth  17888  funcsetcres2  18042
  Copyright terms: Public domain W3C validator