Theorem amgmwlem 46392

Description: Weighted version of amgmlem 26044. (Contributed by Kunhao Zheng, 19-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgmwlem.0	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgmwlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
amgmwlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
amgmwlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
amgmwlem.4	⊢ (𝜑 → 𝑊:𝐴⟶ℝ+)
amgmwlem.5	⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝑊) = 1)

Assertion

Ref	Expression
amgmwlem	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) ≤ (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)))

Proof of Theorem amgmwlem

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑢 𝑣 𝑘 𝑦 𝑤 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		amgmwlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		amgmwlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
3	2	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
4		amgmwlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊:𝐴⟶ℝ+)
5	4	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑊‘𝑘) ∈ ℝ+)
6	5	rpred 12701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑊‘𝑘) ∈ ℝ)
7	3, 6	rpcxpcld 25792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘)) ∈ ℝ+)
8	7	relogcld 25683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) ∈ ℝ)
9	8	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) ∈ ℂ)
10	1, 9	gsumfsum 20577	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))
11	9	negnegd 11253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → --(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) = (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))
12	11	sumeq2dv 15343	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 --(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))
13	8	renegcld 11332	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) ∈ ℝ)
14	13	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) ∈ ℂ)
15	1, 14	fsumneg 15427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 --(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))
16	3, 6	logcxpd 25793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) = ((𝑊‘𝑘) · (log‘(𝐹‘𝑘))))
17	16	negeqd 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) = -((𝑊‘𝑘) · (log‘(𝐹‘𝑘))))
18	17	sumeq2dv 15343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 -((𝑊‘𝑘) · (log‘(𝐹‘𝑘))))
19	18	negeqd 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -((𝑊‘𝑘) · (log‘(𝐹‘𝑘))))
20	5	rpcnd 12703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑊‘𝑘) ∈ ℂ)
21	3	relogcld 25683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 10934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
23	20, 22	mulneg2d 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))) = -((𝑊‘𝑘) · (log‘(𝐹‘𝑘))))
24	23	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -((𝑊‘𝑘) · (log‘(𝐹‘𝑘))) = ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))
25	24	sumeq2dv 15343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 -((𝑊‘𝑘) · (log‘(𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))
26	25	negeqd 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -((𝑊‘𝑘) · (log‘(𝐹‘𝑘))) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))
27	15, 19, 26	3eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 --(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))
28	10, 12, 27	3eqtr2rd 2785	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))))
29		negex 11149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V)
31	4	feqmptd 6819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑊‘𝑘)))
32		eqidd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))
33	1, 5, 30, 31, 32	offval2 7531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘)))))
34	33	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
35	22	negcld 11249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
36	20, 35	mulcld 10926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))) ∈ ℂ)
37	1, 36	gsumfsum 20577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))
38	34, 37	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))
39	38	negeqd 11145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))
40		relogf1o 25627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
41		f1of 6700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ
43		rpre 12667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
44	43	anim2i 616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
45	44	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
46		rpcxpcl 25736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥↑𝑐𝑦) ∈ ℝ+)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥↑𝑐𝑦) ∈ ℝ+)
48		inidm 4149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
49	47, 2, 4, 1, 1, 48	off 7529	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊):𝐴⟶ℝ+)
50		fcompt 6987	. . . . . . . . 9 ⊢ (((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ∧ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊):𝐴⟶ℝ+) → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘))))
51	42, 49, 50	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘))))
52	49	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘) ∈ ℝ+)
53		fvres 6775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘) ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘)) = (log‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘)))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘)) = (log‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘)))
55	2	ffnd 6585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
56	4	ffnd 6585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn 𝐴)
57		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
58		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑊‘𝑘) = (𝑊‘𝑘))
59	55, 56, 1, 1, 48, 57, 58	ofval 7522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘)))
60	59	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘)) = (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))
61	54, 60	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘)) = (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))
62	61	mpteq2dva 5170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘)))))
63	51, 62	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘)))))
64	63	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))))
65	28, 39, 64	3eqtr4d 2788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))) = (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))))
66		amgmwlem.0	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
67	66	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
68	67	rpmsubg 20574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
69		subgsubm 18692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))))
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
71		cnring 20532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ Ring
72		cnfldbas 20514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
73		cnfld0 20534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
74		cndrng 20539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
75	72, 73, 74	drngui 19912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
76	75, 66	unitsubm 19827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
77		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))
78	77	subsubm 18370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
79	71, 76, 78	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
80	70, 79	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
81	80	simpli 483	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀)
82		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = (𝑀 ↾s ℝ+)
83	82	submbas 18368	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
84	81, 83	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+))
85		cnfld1 20535	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
86	66, 85	ringidval 19654	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
87		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
88	82, 87	subm0 18369	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g‘𝑀) = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
89	81, 88	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
90	86, 89	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
91		cncrng 20531	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ CRing
92	66	crngmgp 19706	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
93	91, 92	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
94	82	submmnd 18367	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
95	81, 94	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
96	82	subcmn 19353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
97	93, 95, 96	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
98		resubdrg 20725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
99	98	simpli 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
100		df-refld 20722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
101	100	subrgring 19942	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
102	99, 101	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℝfld ∈ Ring
103		ringmnd 19708	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Mnd)
104	102, 103	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝfld ∈ Mnd)
105	66	oveq1i 7265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
106	105	reloggim 25659	. . . . . . . . 9 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpIso ℝfld)
107		gimghm 18795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpIso ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld))
108	106, 107	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld)
109		ghmmhm 18759	. . . . . . . 8 ⊢ ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom ℝfld))
110	108, 109	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom ℝfld))
111		1red 10907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
112	49, 1, 111	fdmfifsupp 9068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊) finSupp 1)
113	84, 90, 97, 104, 1, 110, 49, 112	gsummhm 19454	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))))
114		subrgsubg 19945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
115	99, 114	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
116		subgsubm 18692	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld)
118	117	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
119	40, 41	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
120		fco 6608	. . . . . . . 8 ⊢ (((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ∧ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊):𝐴⟶ℝ+) → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)):𝐴⟶ℝ)
121	119, 49, 120	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)):𝐴⟶ℝ)
122	1, 118, 121, 100	gsumsubm 18388	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) = (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))))
123	81	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
124	1, 123, 49, 82	gsumsubm 18388	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)))
125	124	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))))
126	113, 122, 125	3eqtr4d 2788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) = ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))))
127	86, 93, 1, 123, 49, 112	gsumsubmcl 19435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) ∈ ℝ+)
128		fvres 6775	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) = (log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))))
129	127, 128	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) = (log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))))
130	65, 126, 129	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))) = (log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))))
131		simprl 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
132	131	rpcnd 12703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℂ)
133		simprr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
134	133	rpcnd 12703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
135	132, 134	mulcomd 10927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
136	1, 4, 2, 135	caofcom 7546	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘f · 𝐹) = (𝐹 ∘f · 𝑊))
137	136	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)))
138	2	feqmptd 6819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
139	1, 5, 3, 31, 138	offval2 7531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘f · 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑊‘𝑘) · (𝐹‘𝑘))))
140	139	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑊‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))))
141	5, 3	rpmulcld 12717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑊‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ+)
142	141	rpcnd 12703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑊‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
143	1, 142	gsumfsum 20577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑊‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
144	140, 143	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
145		amgmwlem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
146	1, 145, 141	fsumrpcl 15377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ+)
147	144, 146	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ+)
148	137, 147	eqeltrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)) ∈ ℝ+)
149	148	relogcld 25683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))) ∈ ℝ)
150		ringcmn 19735	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
151	71, 150	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
152		remulcl 10887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
153	152	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
154		rpssre 12666	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
155		fss 6601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊:𝐴⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → 𝑊:𝐴⟶ℝ)
156	4, 154, 155	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊:𝐴⟶ℝ)
157	21	renegcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
158	157	fmpttd 6971	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))):𝐴⟶ℝ)
159	153, 156, 158, 1, 1, 48	off 7529	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))):𝐴⟶ℝ)
160		0red 10909	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
161	159, 1, 160	fdmfifsupp 9068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) finSupp 0)
162	73, 151, 1, 118, 159, 161	gsumsubmcl 19435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))) ∈ ℝ)
163	154	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
164		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
165	164	relogcld 25683	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
166	165	renegcld 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑤) ∈ ℝ)
167	166	fmpttd 6971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℝ)
168		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+)
169		ioorp 13086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
170	168, 169	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ (0(,)+∞))
171		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ+)
172	171, 169	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ (0(,)+∞))
173		iccssioo2 13081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (0(,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0(,)+∞)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
174	170, 172, 173	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
175	174, 169	sseqtrdi 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
176	175	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
177		ioossico 13099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
178	169, 177	eqsstrri 3952	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)
179		fss 6601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊:𝐴⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)) → 𝑊:𝐴⟶(0[,)+∞))
180	4, 178, 179	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊:𝐴⟶(0[,)+∞))
181		0lt1 11427	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
182		amgmwlem.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝑊) = 1)
183	181, 182	breqtrrid 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg 𝑊))
184		logccv 25723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
185	184	3adant1 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
186		elioore 13038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ ℝ)
187	186	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
188		simp21 1204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
189	188	relogcld 25683	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
190	187, 189	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
191		1red 10907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 1 ∈ ℝ)
192	191, 186	resubcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
193	192	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
194		simp22 1205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
195	194	relogcld 25683	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
196	193, 195	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
197	190, 196	readdcld 10935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) ∈ ℝ)
198		eliooord 13067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 1))
199	198	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝑡)
200	186, 199	elrpd 12698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ ℝ+)
201	200	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℝ+)
202	201, 188	rpmulcld 12717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · 𝑥) ∈ ℝ+)
203		0red 10909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 0 ∈ ℝ)
204	198	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 < 1)
205		1m0e1 12024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 − 0) = 1
206	204, 205	breqtrrdi 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 < (1 − 0))
207	186, 191, 203, 206	ltsub13d 11511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 0 < (1 − 𝑡))
208	192, 207	elrpd 12698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ+)
209	208	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ+)
210	209, 194	rpmulcld 12717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) ∈ ℝ+)
211		rpaddcl 12681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 · 𝑥) ∈ ℝ+ ∧ ((1 − 𝑡) · 𝑦) ∈ ℝ+) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
212	202, 210, 211	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
213	212	relogcld 25683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ ℝ)
214	197, 213	ltnegd 11483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ↔ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))))
215	185, 214	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
216		eqidd 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)))
217		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → (log‘𝑤) = (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
218	217	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → (log‘𝑤) = (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
219	218	negeqd 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → -(log‘𝑤) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
220		negex 11149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ V
221	220	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ V)
222	216, 219, 212, 221	fvmptd 6864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
223		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (log‘𝑤) = (log‘𝑥))
224	223	negeqd 11145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑥))
225		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))
226		negex 11149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -(log‘𝑤) ∈ V
227	224, 225, 226	fvmpt3i 6862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
228	188, 227	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
229	228	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = (𝑡 · -(log‘𝑥)))
230	187	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
231	189	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
232	230, 231	mulneg2d 11359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · -(log‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
233	229, 232	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
234		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (log‘𝑤) = (log‘𝑦))
235	234	negeqd 11145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑦))
236	235, 225, 226	fvmpt3i 6862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
237	194, 236	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
238	237	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)))
239	209	rpcnd 12703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
240	195	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
241	239, 240	mulneg2d 11359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
242	238, 241	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
243	233, 242	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
244	190	recnd 10934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
245	196	recnd 10934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
246	244, 245	negdid 11275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
247	243, 246	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
248	215, 222, 247	3brtr4d 5102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))))
249	163, 167, 176, 248	scvxcvx 26040	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑠 · 𝑢) + ((1 − 𝑠) · 𝑣))) ≤ ((𝑠 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑢)) + ((1 − 𝑠) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑣))))
250	163, 167, 176, 1, 180, 2, 183, 249	jensen 26043	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊)) ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊))) ≤ ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg 𝑊))))
251	250	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊))) ≤ ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg 𝑊)))
252	182	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊)) = ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / 1))
253	252	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊))) = ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / 1)))
254	147	rpcnd 12703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) ∈ ℂ)
255	254	div1d 11673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / 1) = (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)))
256	255	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / 1)) = ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))))
257		fveq2 6756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) → (log‘𝑤) = (log‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))))
258	257	negeqd 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) → -(log‘𝑤) = -(log‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))))
259	258, 225, 226	fvmpt3i 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))))
260	147, 259	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))))
261	137	fveq2d 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))) = (log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))))
262	261	negeqd 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(log‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))))
263	260, 262	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))))
264	253, 256, 263	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))))
265	182	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg 𝑊)) = ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / 1))
266		ringmnd 19708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
267	71, 266	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
268	72	submid 18364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Mnd → ℂ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
269	267, 268	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
270		mulcl 10886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
271	270	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
272		rpcn 12669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ)
273	272	ssriv 3921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
274	273	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℂ)
275	4, 274	fssd 6602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊:𝐴⟶ℂ)
276	165	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (log‘𝑤) ∈ ℂ)
277	276	negcld 11249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑤) ∈ ℂ)
278	277	fmpttd 6971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℂ)
279		fco 6608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
280	278, 2, 279	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
281	271, 275, 280, 1, 1, 48	off 7529	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)):𝐴⟶ℂ)
282	281, 1, 160	fdmfifsupp 9068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)) finSupp 0)
283	73, 151, 1, 269, 281, 282	gsumsubmcl 19435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) ∈ ℂ)
284	283	div1d 11673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / 1) = (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))))
285		eqidd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)))
286		fveq2 6756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑘) → (log‘𝑤) = (log‘(𝐹‘𝑘)))
287	286	negeqd 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑘) → -(log‘𝑤) = -(log‘(𝐹‘𝑘)))
288	3, 138, 285, 287	fmptco 6983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))
289	288	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)) = (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))))
290	289	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
291	265, 284, 290	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg 𝑊)) = (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
292	251, 264, 291	3brtr3d 5101	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))) ≤ (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
293	149, 162, 292	lenegcon1d 11487	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))) ≤ (log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))))
294	130, 293	eqbrtrrd 5094	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) ≤ (log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))))
295	127	relogcld 25683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) ∈ ℝ)
296		efle 15755	. . . 4 ⊢ (((log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) ∈ ℝ ∧ (log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))) ∈ ℝ) → ((log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) ≤ (log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))) ↔ (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)))) ≤ (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))))))
297	295, 149, 296	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) ≤ (log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))) ↔ (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)))) ≤ (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))))))
298	294, 297	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)))) ≤ (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)))))
299	127	reeflogd 25684	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)))) = (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)))
300	299	eqcomd 2744	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) = (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)))))
301	148	reeflogd 25684	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)))) = (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)))
302	301	eqcomd 2744	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)) = (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)))))
303	298, 300, 302	3brtr4d 5102	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) ≤ (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  Fincfn 8691  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  +∞cpnf 10937   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℝ⁺crp 12659  (,)cioo 13008  [,)cico 13010  [,]cicc 13011  Σcsu 15325  expce 15699  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  Mndcmnd 18300   MndHom cmhm 18343  SubMndcsubmnd 18344  SubGrpcsubg 18664   GrpHom cghm 18746   GrpIso cgim 18788  CMndccmn 19301  mulGrpcmgp 19635  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699  DivRingcdr 19906  SubRingcsubrg 19935  ℂ_fldccnfld 20510  ℝ_fldcrefld 20721  logclog 25615  ↑_𝑐ccxp 25616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-gim 18790  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-subrg 19937  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-refld 20722  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-cxp 25618

This theorem is referenced by:  amgmlemALT  46393  amgmw2d  46394