Theorem amgmwlem 49764

Description: Weighted version of amgmlem 26876. (Contributed by Kunhao Zheng, 19-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgmwlem.0	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgmwlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
amgmwlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
amgmwlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
amgmwlem.4	⊢ (𝜑 → 𝑊:𝐴⟶ℝ+)
amgmwlem.5	⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝑊) = 1)

Assertion

Ref	Expression
amgmwlem	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) ≤ (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)))

Proof of Theorem amgmwlem

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑢 𝑣 𝑘 𝑦 𝑤 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		amgmwlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		amgmwlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
3	2	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
4		amgmwlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊:𝐴⟶ℝ+)
5	4	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑊‘𝑘) ∈ ℝ+)
6	5	rpred 12971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑊‘𝑘) ∈ ℝ)
7	3, 6	rpcxpcld 26618	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘)) ∈ ℝ+)
8	7	relogcld 26508	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) ∈ ℂ)
10	1, 9	gsumfsum 21327	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))
11	9	negnegd 11500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → --(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) = (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))
12	11	sumeq2dv 15644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 --(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))
13	8	renegcld 11581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) ∈ ℂ)
15	1, 14	fsumneg 15729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 --(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))
16	3, 6	logcxpd 26619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) = ((𝑊‘𝑘) · (log‘(𝐹‘𝑘))))
17	16	negeqd 11391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) = -((𝑊‘𝑘) · (log‘(𝐹‘𝑘))))
18	17	sumeq2dv 15644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 -((𝑊‘𝑘) · (log‘(𝐹‘𝑘))))
19	18	negeqd 11391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -((𝑊‘𝑘) · (log‘(𝐹‘𝑘))))
20	5	rpcnd 12973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑊‘𝑘) ∈ ℂ)
21	3	relogcld 26508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
23	20, 22	mulneg2d 11608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))) = -((𝑊‘𝑘) · (log‘(𝐹‘𝑘))))
24	23	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -((𝑊‘𝑘) · (log‘(𝐹‘𝑘))) = ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))
25	24	sumeq2dv 15644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 -((𝑊‘𝑘) · (log‘(𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))
26	25	negeqd 11391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -((𝑊‘𝑘) · (log‘(𝐹‘𝑘))) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))
27	15, 19, 26	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 --(log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))
28	10, 12, 27	3eqtr2rd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))))
29		negex 11395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V)
31	4	feqmptd 6911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑊‘𝑘)))
32		eqidd 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))
33	1, 5, 30, 31, 32	offval2 7653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘)))))
34	33	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
35	22	negcld 11496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
36	20, 35	mulcld 11170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))) ∈ ℂ)
37	1, 36	gsumfsum 21327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))
38	34, 37	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))
39	38	negeqd 11391	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))
40		relogf1o 26451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
41		f1of 6782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ
43		rpre 12936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
44	43	anim2i 617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
45	44	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
46		rpcxpcl 26561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥↑𝑐𝑦) ∈ ℝ+)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥↑𝑐𝑦) ∈ ℝ+)
48		inidm 4186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
49	47, 2, 4, 1, 1, 48	off 7651	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊):𝐴⟶ℝ+)
50		fcompt 7087	. . . . . . . . 9 ⊢ (((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ∧ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊):𝐴⟶ℝ+) → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘))))
51	42, 49, 50	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘))))
52	49	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘) ∈ ℝ+)
53		fvres 6859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘) ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘)) = (log‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘)))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘)) = (log‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘)))
55	2	ffnd 6671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
56	4	ffnd 6671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn 𝐴)
57		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
58		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑊‘𝑘) = (𝑊‘𝑘))
59	55, 56, 1, 1, 48, 57, 58	ofval 7644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘)))
60	59	fveq2d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘)) = (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))
61	54, 60	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘)) = (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))
62	61	mpteq2dva 5195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘)))))
63	51, 62	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘)))))
64	63	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘((𝐹‘𝑘)↑𝑐(𝑊‘𝑘))))))
65	28, 39, 64	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))) = (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))))
66		amgmwlem.0	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
67	66	oveq1i 7379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
68	67	rpmsubg 21324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
69		subgsubm 19056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))))
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
71		cnring 21278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ Ring
72		cnfldbas 21244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
73		cnfld0 21280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
74		cndrng 21286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
75	72, 73, 74	drngui 20620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
76	75, 66	unitsubm 20271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
77		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))
78	77	subsubm 18719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
79	71, 76, 78	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
80	70, 79	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
81	80	simpli 483	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀)
82		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = (𝑀 ↾s ℝ+)
83	82	submbas 18717	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
84	81, 83	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+))
85		cnfld1 21281	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
86	66, 85	ringidval 20068	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
87		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
88	82, 87	subm0 18718	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g‘𝑀) = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
89	81, 88	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
90	86, 89	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
91		cncrng 21276	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ CRing
92	66	crngmgp 20126	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
93	91, 92	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
94	82	submmnd 18716	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
95	81, 94	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
96	82	subcmn 19743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
97	93, 95, 96	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
98		resubdrg 21493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
99	98	simpli 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
100		df-refld 21490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
101	100	subrgring 20459	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
102	99, 101	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℝfld ∈ Ring
103		ringmnd 20128	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Mnd)
104	102, 103	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝfld ∈ Mnd)
105	66	oveq1i 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
106	105	reloggim 26484	. . . . . . . . 9 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpIso ℝfld)
107		gimghm 19172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpIso ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld))
108	106, 107	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld)
109		ghmmhm 19134	. . . . . . . 8 ⊢ ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom ℝfld))
110	108, 109	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom ℝfld))
111		1red 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
112	49, 1, 111	fdmfifsupp 9302	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊) finSupp 1)
113	84, 90, 97, 104, 1, 110, 49, 112	gsummhm 19844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))))
114		subrgsubg 20462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
115	99, 114	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
116		subgsubm 19056	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld)
118	117	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
119	40, 41	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
120		fco 6694	. . . . . . . 8 ⊢ (((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ∧ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊):𝐴⟶ℝ+) → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)):𝐴⟶ℝ)
121	119, 49, 120	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)):𝐴⟶ℝ)
122	1, 118, 121, 100	gsumsubm 18738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) = (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))))
123	81	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
124	1, 123, 49, 82	gsumsubm 18738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)))
125	124	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))))
126	113, 122, 125	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) = ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))))
127	86, 93, 1, 123, 49, 112	gsumsubmcl 19825	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) ∈ ℝ+)
128		fvres 6859	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) = (log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))))
129	127, 128	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) = (log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))))
130	65, 126, 129	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))) = (log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))))
131		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
132	131	rpcnd 12973	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℂ)
133		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
134	133	rpcnd 12973	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
135	132, 134	mulcomd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
136	1, 4, 2, 135	caofcom 7670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘f · 𝐹) = (𝐹 ∘f · 𝑊))
137	136	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)))
138	2	feqmptd 6911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
139	1, 5, 3, 31, 138	offval2 7653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘f · 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑊‘𝑘) · (𝐹‘𝑘))))
140	139	oveq2d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑊‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))))
141	5, 3	rpmulcld 12987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑊‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ+)
142	141	rpcnd 12973	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑊‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
143	1, 142	gsumfsum 21327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑊‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
144	140, 143	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
145		amgmwlem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
146	1, 145, 141	fsumrpcl 15679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑊‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ+)
147	144, 146	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ+)
148	137, 147	eqeltrrd 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)) ∈ ℝ+)
149	148	relogcld 26508	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))) ∈ ℝ)
150		ringcmn 20167	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
151	71, 150	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
152		remulcl 11129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
153	152	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
154		rpssre 12935	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
155		fss 6686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊:𝐴⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → 𝑊:𝐴⟶ℝ)
156	4, 154, 155	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊:𝐴⟶ℝ)
157	21	renegcld 11581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
158	157	fmpttd 7069	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))):𝐴⟶ℝ)
159	153, 156, 158, 1, 1, 48	off 7651	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))):𝐴⟶ℝ)
160		0red 11153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
161	159, 1, 160	fdmfifsupp 9302	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) finSupp 0)
162	73, 151, 1, 118, 159, 161	gsumsubmcl 19825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))) ∈ ℝ)
163	154	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
164		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
165	164	relogcld 26508	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
166	165	renegcld 11581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑤) ∈ ℝ)
167	166	fmpttd 7069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℝ)
168		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+)
169		ioorp 13362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
170	168, 169	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ (0(,)+∞))
171		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ+)
172	171, 169	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ (0(,)+∞))
173		iccssioo2 13356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (0(,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0(,)+∞)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
174	170, 172, 173	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
175	174, 169	sseqtrdi 3984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
176	175	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
177		ioossico 13375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
178	169, 177	eqsstrri 3991	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)
179		fss 6686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊:𝐴⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)) → 𝑊:𝐴⟶(0[,)+∞))
180	4, 178, 179	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊:𝐴⟶(0[,)+∞))
181		0lt1 11676	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
182		amgmwlem.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝑊) = 1)
183	181, 182	breqtrrid 5140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg 𝑊))
184		logccv 26548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
185	184	3adant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
186		elioore 13312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ ℝ)
187	186	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
188		simp21 1207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
189	188	relogcld 26508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
190	187, 189	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
191		1red 11151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 1 ∈ ℝ)
192	191, 186	resubcld 11582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
193	192	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
194		simp22 1208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
195	194	relogcld 26508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
196	193, 195	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
197	190, 196	readdcld 11179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) ∈ ℝ)
198		eliooord 13342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 1))
199	198	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝑡)
200	186, 199	elrpd 12968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ ℝ+)
201	200	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℝ+)
202	201, 188	rpmulcld 12987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · 𝑥) ∈ ℝ+)
203		0red 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 0 ∈ ℝ)
204	198	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 < 1)
205		1m0e1 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 − 0) = 1
206	204, 205	breqtrrdi 5144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 < (1 − 0))
207	186, 191, 203, 206	ltsub13d 11760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 0 < (1 − 𝑡))
208	192, 207	elrpd 12968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ+)
209	208	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ+)
210	209, 194	rpmulcld 12987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) ∈ ℝ+)
211		rpaddcl 12951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 · 𝑥) ∈ ℝ+ ∧ ((1 − 𝑡) · 𝑦) ∈ ℝ+) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
212	202, 210, 211	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
213	212	relogcld 26508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ ℝ)
214	197, 213	ltnegd 11732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ↔ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))))
215	185, 214	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
216		eqidd 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)))
217		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → (log‘𝑤) = (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
218	217	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → (log‘𝑤) = (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
219	218	negeqd 11391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → -(log‘𝑤) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
220		negex 11395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ V
221	220	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ V)
222	216, 219, 212, 221	fvmptd 6957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
223		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (log‘𝑤) = (log‘𝑥))
224	223	negeqd 11391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑥))
225		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))
226		negex 11395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -(log‘𝑤) ∈ V
227	224, 225, 226	fvmpt3i 6955	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
228	188, 227	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
229	228	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = (𝑡 · -(log‘𝑥)))
230	187	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
231	189	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
232	230, 231	mulneg2d 11608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · -(log‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
233	229, 232	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
234		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (log‘𝑤) = (log‘𝑦))
235	234	negeqd 11391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑦))
236	235, 225, 226	fvmpt3i 6955	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
237	194, 236	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
238	237	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)))
239	209	rpcnd 12973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
240	195	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
241	239, 240	mulneg2d 11608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
242	238, 241	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
243	233, 242	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
244	190	recnd 11178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
245	196	recnd 11178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
246	244, 245	negdid 11522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
247	243, 246	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
248	215, 222, 247	3brtr4d 5134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))))
249	163, 167, 176, 248	scvxcvx 26872	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑠 · 𝑢) + ((1 − 𝑠) · 𝑣))) ≤ ((𝑠 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑢)) + ((1 − 𝑠) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑣))))
250	163, 167, 176, 1, 180, 2, 183, 249	jensen 26875	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊)) ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊))) ≤ ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg 𝑊))))
251	250	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊))) ≤ ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg 𝑊)))
252	182	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊)) = ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / 1))
253	252	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊))) = ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / 1)))
254	147	rpcnd 12973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) ∈ ℂ)
255	254	div1d 11926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / 1) = (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)))
256	255	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / 1)) = ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))))
257		fveq2 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) → (log‘𝑤) = (log‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))))
258	257	negeqd 11391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) → -(log‘𝑤) = -(log‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))))
259	258, 225, 226	fvmpt3i 6955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))))
260	147, 259	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))))
261	137	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))) = (log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))))
262	261	negeqd 11391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(log‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))))
263	260, 262	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))))
264	253, 256, 263	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))))
265	182	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg 𝑊)) = ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / 1))
266		ringmnd 20128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
267	71, 266	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
268	72	submid 18713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Mnd → ℂ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
269	267, 268	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
270		mulcl 11128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
271	270	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
272		rpcn 12938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ)
273	272	ssriv 3947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
274	273	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℂ)
275	4, 274	fssd 6687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊:𝐴⟶ℂ)
276	165	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (log‘𝑤) ∈ ℂ)
277	276	negcld 11496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑤) ∈ ℂ)
278	277	fmpttd 7069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℂ)
279		fco 6694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
280	278, 2, 279	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
281	271, 275, 280, 1, 1, 48	off 7651	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)):𝐴⟶ℂ)
282	281, 1, 160	fdmfifsupp 9302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)) finSupp 0)
283	73, 151, 1, 269, 281, 282	gsumsubmcl 19825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) ∈ ℂ)
284	283	div1d 11926	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / 1) = (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))))
285		eqidd 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)))
286		fveq2 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑘) → (log‘𝑤) = (log‘(𝐹‘𝑘)))
287	286	negeqd 11391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑘) → -(log‘𝑤) = -(log‘(𝐹‘𝑘)))
288	3, 138, 285, 287	fmptco 7083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))
289	288	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)) = (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))))
290	289	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
291	265, 284, 290	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊 ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg 𝑊)) = (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
292	251, 264, 291	3brtr3d 5133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))) ≤ (ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
293	149, 162, 292	lenegcon1d 11736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑊 ∘f · (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))) ≤ (log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))))
294	130, 293	eqbrtrrd 5126	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) ≤ (log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))))
295	127	relogcld 26508	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) ∈ ℝ)
296		efle 16062	. . . 4 ⊢ (((log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) ∈ ℝ ∧ (log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))) ∈ ℝ) → ((log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) ≤ (log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))) ↔ (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)))) ≤ (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))))))
297	295, 149, 296	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊))) ≤ (log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))) ↔ (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)))) ≤ (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊))))))
298	294, 297	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)))) ≤ (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)))))
299	127	reeflogd 26509	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)))) = (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)))
300	299	eqcomd 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) = (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)))))
301	148	reeflogd 26509	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)))) = (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)))
302	301	eqcomd 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)) = (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)))))
303	298, 300, 302	3brtr4d 5134	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐𝑊)) ≤ (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631  Fincfn 8895  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  +∞cpnf 11181   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  -cneg 11382   / cdiv 11811  ℝ⁺crp 12927  (,)cioo 13282  [,)cico 13284  [,]cicc 13285  Σcsu 15628  expce 16003  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  0_gc0g 17378   Σ_g cgsu 17379  Mndcmnd 18637   MndHom cmhm 18684  SubMndcsubmnd 18685  SubGrpcsubg 19028   GrpHom cghm 19120   GrpIso cgim 19165  CMndccmn 19686  mulGrpcmgp 20025  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119  SubRingcsubrg 20454  DivRingcdr 20614  ℂ_fldccnfld 21240  ℝ_fldcrefld 21489  logclog 26439  ↑_𝑐ccxp 26440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19121  df-gim 19167  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-refld 21490  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-lp 22999  df-perf 23000  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-haus 23178  df-cmp 23250  df-tx 23425  df-hmeo 23618  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-xms 24184  df-ms 24185  df-tms 24186  df-cncf 24747  df-limc 25743  df-dv 25744  df-log 26441  df-cxp 26442

This theorem is referenced by:  amgmlemALT  49765  amgmw2d  49766