Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgmwlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmwlem 47239
Description: Weighted version of amgmlem 26339. (Contributed by Kunhao Zheng, 19-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
amgmwlem.0 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgmwlem.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
amgmwlem.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
amgmwlem.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
amgmwlem.4 (𝜑𝑊:𝐴⟶ℝ+)
amgmwlem.5 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝑊) = 1)
Assertion
Ref Expression
amgmwlem (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊)) ≤ (ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊)))

Proof of Theorem amgmwlem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑢 𝑣 𝑘 𝑦 𝑤 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 amgmwlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 amgmwlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
32ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
4 amgmwlem.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊:𝐴⟶ℝ+)
54ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑊𝑘) ∈ ℝ+)
65rpred 12957 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑊𝑘) ∈ ℝ)
73, 6rpcxpcld 26087 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘)) ∈ ℝ+)
87relogcld 25978 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) ∈ ℝ)
98recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) ∈ ℂ)
101, 9gsumfsum 20864 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))) = Σ𝑘𝐴 (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))
119negnegd 11503 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → --(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) = (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))
1211sumeq2dv 15588 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 --(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) = Σ𝑘𝐴 (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))
138renegcld 11582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) ∈ ℝ)
1413recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) ∈ ℂ)
151, 14fsumneg 15672 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 --(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) = -Σ𝑘𝐴 -(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))
163, 6logcxpd 26088 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) = ((𝑊𝑘) · (log‘(𝐹𝑘))))
1716negeqd 11395 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) = -((𝑊𝑘) · (log‘(𝐹𝑘))))
1817sumeq2dv 15588 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 -(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) = Σ𝑘𝐴 -((𝑊𝑘) · (log‘(𝐹𝑘))))
1918negeqd 11395 . . . . . . . 8 (𝜑 → -Σ𝑘𝐴 -(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) = -Σ𝑘𝐴 -((𝑊𝑘) · (log‘(𝐹𝑘))))
205rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑊𝑘) ∈ ℂ)
213relogcld 25978 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2221recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
2320, 22mulneg2d 11609 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))) = -((𝑊𝑘) · (log‘(𝐹𝑘))))
2423eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → -((𝑊𝑘) · (log‘(𝐹𝑘))) = ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))
2524sumeq2dv 15588 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 -((𝑊𝑘) · (log‘(𝐹𝑘))) = Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))
2625negeqd 11395 . . . . . . . 8 (𝜑 → -Σ𝑘𝐴 -((𝑊𝑘) · (log‘(𝐹𝑘))) = -Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))
2715, 19, 263eqtrd 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 --(log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))) = -Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))
2810, 12, 273eqtr2rd 2783 . . . . . 6 (𝜑 → -Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))))
29 negex 11399 . . . . . . . . . . 11 -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ V)
314feqmptd 6910 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 = (𝑘𝐴 ↦ (𝑊𝑘)))
32 eqidd 2737 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))) = (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))
331, 5, 30, 31, 32offval2 7637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊f · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘)))))
3433oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊f · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))))
3522negcld 11499 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
3620, 35mulcld 11175 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))) ∈ ℂ)
371, 36gsumfsum 20864 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))) = Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))
3834, 37eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊f · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))) = Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))
3938negeqd 11395 . . . . . 6 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑊f · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))) = -Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · -(log‘(𝐹𝑘))))
40 relogf1o 25922 . . . . . . . . . 10 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
41 f1of 6784 . . . . . . . . . 10 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ
43 rpre 12923 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
4443anim2i 617 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ))
4544adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ))
46 rpcxpcl 26031 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℝ+)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℝ+)
48 inidm 4178 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐴) = 𝐴
4947, 2, 4, 1, 1, 48off 7635 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹f𝑐𝑊):𝐴⟶ℝ+)
50 fcompt 7079 . . . . . . . . 9 (((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ∧ (𝐹f𝑐𝑊):𝐴⟶ℝ+) → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹f𝑐𝑊)) = (𝑘𝐴 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹f𝑐𝑊)‘𝑘))))
5142, 49, 50sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹f𝑐𝑊)) = (𝑘𝐴 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹f𝑐𝑊)‘𝑘))))
5249ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹f𝑐𝑊)‘𝑘) ∈ ℝ+)
53 fvres 6861 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹f𝑐𝑊)‘𝑘) ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹f𝑐𝑊)‘𝑘)) = (log‘((𝐹f𝑐𝑊)‘𝑘)))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹f𝑐𝑊)‘𝑘)) = (log‘((𝐹f𝑐𝑊)‘𝑘)))
552ffnd 6669 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
564ffnd 6669 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 Fn 𝐴)
57 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
58 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑊𝑘) = (𝑊𝑘))
5955, 56, 1, 1, 48, 57, 58ofval 7628 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹f𝑐𝑊)‘𝑘) = ((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘)))
6059fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘((𝐹f𝑐𝑊)‘𝑘)) = (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))
6154, 60eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹f𝑐𝑊)‘𝑘)) = (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))
6261mpteq2dva 5205 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘((𝐹f𝑐𝑊)‘𝑘))) = (𝑘𝐴 ↦ (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘)))))
6351, 62eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹f𝑐𝑊)) = (𝑘𝐴 ↦ (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘)))))
6463oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹f𝑐𝑊))) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘((𝐹𝑘)↑𝑐(𝑊𝑘))))))
6528, 39, 643eqtr4d 2786 . . . . 5 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑊f · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))) = (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹f𝑐𝑊))))
66 amgmwlem.0 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
6766oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
6867rpmsubg 20861 . . . . . . . . . . 11 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
69 subgsubm 18950 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
71 cnring 20819 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ Ring
72 cnfldbas 20800 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ = (Base‘ℂfld)
73 cnfld0 20821 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g‘ℂfld)
74 cndrng 20826 . . . . . . . . . . . . 13 fld ∈ DivRing
7572, 73, 74drngui 20191 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
7675, 66unitsubm 20099 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
77 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
7877subsubm 18627 . . . . . . . . . . 11 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
7971, 76, 78mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
8070, 79mpbi 229 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
8180simpli 484 . . . . . . . 8 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
82 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑀s+) = (𝑀s+)
8382submbas 18625 . . . . . . . 8 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → ℝ+ = (Base‘(𝑀s+)))
8481, 83ax-mp 5 . . . . . . 7 + = (Base‘(𝑀s+))
85 cnfld1 20822 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘ℂfld)
8666, 85ringidval 19915 . . . . . . . 8 1 = (0g𝑀)
87 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (0g𝑀) = (0g𝑀)
8882, 87subm0 18626 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+)))
8981, 88ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+))
9086, 89eqtri 2764 . . . . . . 7 1 = (0g‘(𝑀s+))
91 cncrng 20818 . . . . . . . . 9 fld ∈ CRing
9266crngmgp 19972 . . . . . . . . 9 (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
9391, 92mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
9482submmnd 18624 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀s+) ∈ Mnd)
9581, 94mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Mnd)
9682subcmn 19615 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀s+) ∈ Mnd) → (𝑀s+) ∈ CMnd)
9793, 95, 96syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ CMnd)
98 resubdrg 21012 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
9998simpli 484 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
100 df-refld 21009 . . . . . . . . . 10 fld = (ℂflds ℝ)
101100subrgring 20225 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
10299, 101ax-mp 5 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
103 ringmnd 19974 . . . . . . . 8 (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Mnd)
104102, 103mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝfld ∈ Mnd)
10566oveq1i 7367 . . . . . . . . . 10 (𝑀s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
106105reloggim 25954 . . . . . . . . 9 (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpIso ℝfld)
107 gimghm 19054 . . . . . . . . 9 ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpIso ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld))
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . 8 (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld)
109 ghmmhm 19018 . . . . . . . 8 ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) MndHom ℝfld))
110108, 109mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) MndHom ℝfld))
111 1red 11156 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11249, 1, 111fdmfifsupp 9315 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹f𝑐𝑊) finSupp 1)
11384, 90, 97, 104, 1, 110, 49, 112gsummhm 19715 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹f𝑐𝑊))) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀s+) Σg (𝐹f𝑐𝑊))))
114 subrgsubg 20228 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
11599, 114ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
116 subgsubm 18950 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . 8 ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld)
118117a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
11940, 41mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
120 fco 6692 . . . . . . . 8 (((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ∧ (𝐹f𝑐𝑊):𝐴⟶ℝ+) → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹f𝑐𝑊)):𝐴⟶ℝ)
121119, 49, 120syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹f𝑐𝑊)):𝐴⟶ℝ)
1221, 118, 121, 100gsumsubm 18645 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹f𝑐𝑊))) = (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹f𝑐𝑊))))
12381a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
1241, 123, 49, 82gsumsubm 18645 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊)) = ((𝑀s+) Σg (𝐹f𝑐𝑊)))
125124fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊))) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀s+) Σg (𝐹f𝑐𝑊))))
126113, 122, 1253eqtr4d 2786 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ (𝐹f𝑐𝑊))) = ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊))))
12786, 93, 1, 123, 49, 112gsumsubmcl 19696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊)) ∈ ℝ+)
128 fvres 6861 . . . . . 6 ((𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊)) ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊))) = (log‘(𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊))))
129127, 128syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊))) = (log‘(𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊))))
13065, 126, 1293eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑊f · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))) = (log‘(𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊))))
131 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
132131rpcnd 12959 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℂ)
133 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
134133rpcnd 12959 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
135132, 134mulcomd 11176 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
1361, 4, 2, 135caofcom 7652 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊f · 𝐹) = (𝐹f · 𝑊))
137136oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊)))
1382feqmptd 6910 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
1391, 5, 3, 31, 138offval2 7637 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊f · 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝑊𝑘) · (𝐹𝑘))))
140139oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝑊𝑘) · (𝐹𝑘)))))
1415, 3rpmulcld 12973 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑊𝑘) · (𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
142141rpcnd 12959 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑊𝑘) · (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
1431, 142gsumfsum 20864 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝑊𝑘) · (𝐹𝑘)))) = Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · (𝐹𝑘)))
144140, 143eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) = Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · (𝐹𝑘)))
145 amgmwlem.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
1461, 145, 141fsumrpcl 15622 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝑊𝑘) · (𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
147144, 146eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) ∈ ℝ+)
148137, 147eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊)) ∈ ℝ+)
149148relogcld 25978 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊))) ∈ ℝ)
150 ringcmn 20003 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
15171, 150mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
152 remulcl 11136 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
153152adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
154 rpssre 12922 . . . . . . . 8 + ⊆ ℝ
155 fss 6685 . . . . . . . 8 ((𝑊:𝐴⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → 𝑊:𝐴⟶ℝ)
1564, 154, 155sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑𝑊:𝐴⟶ℝ)
15721renegcld 11582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
158157fmpttd 7063 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))):𝐴⟶ℝ)
159153, 156, 158, 1, 1, 48off 7635 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊f · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))):𝐴⟶ℝ)
160 0red 11158 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
161159, 1, 160fdmfifsupp 9315 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊f · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) finSupp 0)
16273, 151, 1, 118, 159, 161gsumsubmcl 19696 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊f · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))) ∈ ℝ)
163154a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
164 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
165164relogcld 25978 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
166165renegcld 11582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑤) ∈ ℝ)
167166fmpttd 7063 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℝ)
168 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+)
169 ioorp 13342 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)+∞) = ℝ+
170168, 169eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ (0(,)+∞))
171 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ+)
172171, 169eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ (0(,)+∞))
173 iccssioo2 13337 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (0(,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0(,)+∞)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
174170, 172, 173syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
175174, 169sseqtrdi 3994 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
176175adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
177 ioossico 13355 . . . . . . . . . 10 (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
178169, 177eqsstrri 3979 . . . . . . . . 9 + ⊆ (0[,)+∞)
179 fss 6685 . . . . . . . . 9 ((𝑊:𝐴⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)) → 𝑊:𝐴⟶(0[,)+∞))
1804, 178, 179sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊:𝐴⟶(0[,)+∞))
181 0lt1 11677 . . . . . . . . 9 0 < 1
182 amgmwlem.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝑊) = 1)
183181, 182breqtrrid 5143 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg 𝑊))
184 logccv 26018 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
1851843adant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
186 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ ℝ)
1871863ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
188 simp21 1206 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
189188relogcld 25978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
190187, 189remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
191 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 1 ∈ ℝ)
192191, 186resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (0(,)1) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
1931923ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
194 simp22 1207 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
195194relogcld 25978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
196193, 195remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
197190, 196readdcld 11184 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) ∈ ℝ)
198 eliooord 13323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑡𝑡 < 1))
199198simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝑡)
200186, 199elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ ℝ+)
2012003ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℝ+)
202201, 188rpmulcld 12973 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · 𝑥) ∈ ℝ+)
203 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 0 ∈ ℝ)
204198simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 < 1)
205 1m0e1 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 − 0) = 1
206204, 205breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 < (1 − 0))
207186, 191, 203, 206ltsub13d 11761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 0 < (1 − 𝑡))
208192, 207elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (0(,)1) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ+)
2092083ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ+)
210209, 194rpmulcld 12973 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) ∈ ℝ+)
211 rpaddcl 12937 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 · 𝑥) ∈ ℝ+ ∧ ((1 − 𝑡) · 𝑦) ∈ ℝ+) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
212202, 210, 211syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
213212relogcld 25978 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ ℝ)
214197, 213ltnegd 11733 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ↔ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))))
215185, 214mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
216 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)))
217 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → (log‘𝑤) = (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
218217adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → (log‘𝑤) = (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
219218negeqd 11395 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) → -(log‘𝑤) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
220 negex 11399 . . . . . . . . . . . 12 -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ V
221220a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ V)
222216, 219, 212, 221fvmptd 6955 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
223 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑥 → (log‘𝑤) = (log‘𝑥))
224223negeqd 11395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑥 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑥))
225 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))
226 negex 11399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(log‘𝑤) ∈ V
227224, 225, 226fvmpt3i 6953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
228188, 227syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
229228oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = (𝑡 · -(log‘𝑥)))
230187recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
231189recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
232230, 231mulneg2d 11609 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · -(log‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
233229, 232eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
234 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑦 → (log‘𝑤) = (log‘𝑦))
235234negeqd 11395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑦 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑦))
236235, 225, 226fvmpt3i 6953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
237194, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
238237oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)))
239209rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
240195recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
241239, 240mulneg2d 11609 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
242238, 241eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
243233, 242oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
244190recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
245196recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
246244, 245negdid 11525 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
247243, 246eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
248215, 222, 2473brtr4d 5137 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))))
249163, 167, 176, 248scvxcvx 26335 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (0[,]1))) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑠 · 𝑢) + ((1 − 𝑠) · 𝑣))) ≤ ((𝑠 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑢)) + ((1 − 𝑠) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑣))))
250163, 167, 176, 1, 180, 2, 183, 249jensen 26338 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊)) ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊))) ≤ ((ℂfld Σg (𝑊f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg 𝑊))))
251250simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊))) ≤ ((ℂfld Σg (𝑊f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg 𝑊)))
252182oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊)) = ((ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) / 1))
253252fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊))) = ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) / 1)))
254147rpcnd 12959 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) ∈ ℂ)
255254div1d 11923 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) / 1) = (ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)))
256255fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) / 1)) = ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘(ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹))))
257 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) → (log‘𝑤) = (log‘(ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹))))
258257negeqd 11395 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) → -(log‘𝑤) = -(log‘(ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹))))
259258, 225, 226fvmpt3i 6953 . . . . . . . . 9 ((ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘(ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹))))
260147, 259syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘(ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹))))
261137fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹))) = (log‘(ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊))))
262261negeqd 11395 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(log‘(ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊))))
263260, 262eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘(ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊))))
264253, 256, 2633eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg (𝑊f · 𝐹)) / (ℂfld Σg 𝑊))) = -(log‘(ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊))))
265182oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg 𝑊)) = ((ℂfld Σg (𝑊f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / 1))
266 ringmnd 19974 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
26771, 266ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Mnd
26872submid 18621 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Mnd → ℂ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
269267, 268mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
270 mulcl 11135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
271270adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
272 rpcn 12925 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
273272ssriv 3948 . . . . . . . . . . . 12 + ⊆ ℂ
274273a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℂ)
2754, 274fssd 6686 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊:𝐴⟶ℂ)
276165recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (log‘𝑤) ∈ ℂ)
277276negcld 11499 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑤) ∈ ℂ)
278277fmpttd 7063 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℂ)
279 fco 6692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
280278, 2, 279syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
281271, 275, 280, 1, 1, 48off 7635 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)):𝐴⟶ℂ)
282281, 1, 160fdmfifsupp 9315 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)) finSupp 0)
28373, 151, 1, 269, 281, 282gsumsubmcl 19696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) ∈ ℂ)
284283div1d 11923 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / 1) = (ℂfld Σg (𝑊f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))))
285 eqidd 2737 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)))
286 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝐹𝑘) → (log‘𝑤) = (log‘(𝐹𝑘)))
287286negeqd 11395 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝐹𝑘) → -(log‘𝑤) = -(log‘(𝐹𝑘)))
2883, 138, 285, 287fmptco 7075 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))
289288oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)) = (𝑊f · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))))
290289oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑊f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = (ℂfld Σg (𝑊f · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))))
291265, 284, 2903eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑊f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg 𝑊)) = (ℂfld Σg (𝑊f · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))))
292251, 264, 2913brtr3d 5136 . . . . 5 (𝜑 → -(log‘(ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊))) ≤ (ℂfld Σg (𝑊f · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))))
293149, 162, 292lenegcon1d 11737 . . . 4 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑊f · (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))) ≤ (log‘(ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊))))
294130, 293eqbrtrrd 5129 . . 3 (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊))) ≤ (log‘(ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊))))
295127relogcld 25978 . . . 4 (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊))) ∈ ℝ)
296 efle 16000 . . . 4 (((log‘(𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊))) ∈ ℝ ∧ (log‘(ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊))) ∈ ℝ) → ((log‘(𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊))) ≤ (log‘(ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊))) ↔ (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊)))) ≤ (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊))))))
297295, 149, 296syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((log‘(𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊))) ≤ (log‘(ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊))) ↔ (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊)))) ≤ (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊))))))
298294, 297mpbid 231 . 2 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊)))) ≤ (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊)))))
299127reeflogd 25979 . . 3 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊)))) = (𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊)))
300299eqcomd 2742 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊)) = (exp‘(log‘(𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊)))))
301148reeflogd 25979 . . 3 (𝜑 → (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊)))) = (ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊)))
302301eqcomd 2742 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊)) = (exp‘(log‘(ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊)))))
303298, 300, 3023brtr4d 5137 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹f𝑐𝑊)) ≤ (ℂfld Σg (𝐹f · 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cres 5635  ccom 5637  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  Σcsu 15570  expce 15944  Basecbs 17083  s cress 17112  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556   MndHom cmhm 18599  SubMndcsubmnd 18600  SubGrpcsubg 18922   GrpHom cghm 19005   GrpIso cgim 19047  CMndccmn 19562  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  DivRingcdr 20185  SubRingcsubrg 20218  fldccnfld 20796  fldcrefld 21008  logclog 25910  𝑐ccxp 25911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-refld 21009  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913
This theorem is referenced by:  amgmlemALT  47240  amgmw2d  47241
  Copyright terms: Public domain W3C validator