Theorem eliood 45451

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
eliood.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliood	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliood.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
3		eliood.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		eliood.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliood.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elioo2 13425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1341	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293  (,)cioo 13384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ioo 13388

This theorem is referenced by:  ioomidp  45467  iocopn  45473  iooshift  45475  icoopn  45478  qinioo  45488  qelioo  45499  icomnfinre  45505  ressioosup  45508  ressiooinf  45510  uzubioo  45520  limciccioolb  45577  limcicciooub  45593  lptre2pt  45596  limcresiooub  45598  limcresioolb  45599  limcleqr  45600  xlimxrre  45787  cncfiooiccre  45851  dvbdfbdioolem2  45885  dvbdfbdioo  45886  ioodvbdlimc1lem1  45887  ioodvbdlimc1lem2  45888  ioodvbdlimc2lem  45890  itgioocnicc  45933  dirkercncflem1  46059  dirkercncflem4  46062  fourierdlem10  46073  fourierdlem20  46083  fourierdlem25  46088  fourierdlem27  46090  fourierdlem28  46091  fourierdlem31  46094  fourierdlem32  46095  fourierdlem33  46096  fourierdlem40  46103  fourierdlem41  46104  fourierdlem43  46106  fourierdlem44  46107  fourierdlem46  46108  fourierdlem48  46110  fourierdlem49  46111  fourierdlem57  46119  fourierdlem59  46121  fourierdlem60  46122  fourierdlem61  46123  fourierdlem62  46124  fourierdlem64  46126  fourierdlem68  46130  fourierdlem73  46135  fourierdlem74  46136  fourierdlem75  46137  fourierdlem76  46138  fourierdlem78  46140  fourierdlem81  46143  fourierdlem82  46144  fourierdlem84  46146  fourierdlem89  46151  fourierdlem90  46152  fourierdlem91  46153  fourierdlem92  46154  fourierdlem93  46155  fourierdlem97  46159  fourierdlem103  46165  fourierdlem104  46166  fourierdlem107  46169  fourierdlem109  46171  fourierdlem111  46173  fourierdlem112  46174  sqwvfourb  46185  fourierswlem  46186  fouriersw  46187  qndenserrnbllem  46250  ioorrnopnlem  46260  ioorrnopnxrlem  46262  hspdifhsp  46572  hspmbllem2  46583  pimiooltgt  46666  pimrecltneg  46680  smfresal  46744  smfmullem2  46748