Theorem eliood 45744

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
eliood.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliood	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliood.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
3		eliood.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		eliood.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliood.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elioo2 13302	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166  (,)cioo 13261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-ioo 13265

This theorem is referenced by:  ioomidp  45760  iocopn  45766  iooshift  45768  icoopn  45771  qinioo  45781  qelioo  45792  icomnfinre  45798  ressioosup  45801  ressiooinf  45803  uzubioo  45811  limciccioolb  45867  limcicciooub  45881  lptre2pt  45884  limcresiooub  45886  limcresioolb  45887  limcleqr  45888  xlimxrre  46075  cncfiooiccre  46139  dvbdfbdioolem2  46173  dvbdfbdioo  46174  ioodvbdlimc1lem1  46175  ioodvbdlimc1lem2  46176  ioodvbdlimc2lem  46178  itgioocnicc  46221  dirkercncflem1  46347  dirkercncflem4  46350  fourierdlem10  46361  fourierdlem20  46371  fourierdlem25  46376  fourierdlem27  46378  fourierdlem28  46379  fourierdlem31  46382  fourierdlem32  46383  fourierdlem33  46384  fourierdlem40  46391  fourierdlem41  46392  fourierdlem43  46394  fourierdlem44  46395  fourierdlem46  46396  fourierdlem48  46398  fourierdlem49  46399  fourierdlem57  46407  fourierdlem59  46409  fourierdlem60  46410  fourierdlem61  46411  fourierdlem62  46412  fourierdlem64  46414  fourierdlem68  46418  fourierdlem73  46423  fourierdlem74  46424  fourierdlem75  46425  fourierdlem76  46426  fourierdlem78  46428  fourierdlem81  46431  fourierdlem82  46432  fourierdlem84  46434  fourierdlem89  46439  fourierdlem90  46440  fourierdlem91  46441  fourierdlem92  46442  fourierdlem93  46443  fourierdlem97  46447  fourierdlem103  46453  fourierdlem104  46454  fourierdlem107  46457  fourierdlem109  46459  fourierdlem111  46461  fourierdlem112  46462  sqwvfourb  46473  fourierswlem  46474  fouriersw  46475  qndenserrnbllem  46538  ioorrnopnlem  46548  ioorrnopnxrlem  46550  hspdifhsp  46860  hspmbllem2  46871  pimiooltgt  46954  pimrecltneg  46968  smfresal  47032  smfmullem2  47036