Theorem eliood 46099

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
eliood.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliood	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliood.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
3		eliood.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		eliood.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliood.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elioo2 13409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1359	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239  (,)cioo 13368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-ioo 13372

This theorem is referenced by:  ioomidp  46115  iocopn  46121  iooshift  46123  icoopn  46126  qinioo  46136  qelioo  46147  icomnfinre  46153  ressioosup  46156  ressiooinf  46158  uzubioo  46166  limciccioolb  46222  limcicciooub  46236  lptre2pt  46239  limcresiooub  46241  limcresioolb  46242  limcleqr  46243  xlimxrre  46430  cncfiooiccre  46494  dvbdfbdioolem2  46528  dvbdfbdioo  46529  ioodvbdlimc1lem1  46530  ioodvbdlimc1lem2  46531  ioodvbdlimc2lem  46533  itgioocnicc  46576  dirkercncflem1  46702  dirkercncflem4  46705  fourierdlem10  46716  fourierdlem20  46726  fourierdlem25  46731  fourierdlem27  46733  fourierdlem28  46734  fourierdlem31  46737  fourierdlem32  46738  fourierdlem33  46739  fourierdlem40  46746  fourierdlem41  46747  fourierdlem43  46749  fourierdlem44  46750  fourierdlem46  46751  fourierdlem48  46753  fourierdlem49  46754  fourierdlem57  46762  fourierdlem59  46764  fourierdlem60  46765  fourierdlem61  46766  fourierdlem62  46767  fourierdlem64  46769  fourierdlem68  46773  fourierdlem73  46778  fourierdlem74  46779  fourierdlem75  46780  fourierdlem76  46781  fourierdlem78  46783  fourierdlem81  46786  fourierdlem82  46787  fourierdlem84  46789  fourierdlem89  46794  fourierdlem90  46795  fourierdlem91  46796  fourierdlem92  46797  fourierdlem93  46798  fourierdlem97  46802  fourierdlem103  46808  fourierdlem104  46809  fourierdlem107  46812  fourierdlem109  46814  fourierdlem111  46816  fourierdlem112  46817  sqwvfourb  46828  fourierswlem  46829  fouriersw  46830  qndenserrnbllem  46893  ioorrnopnlem  46903  ioorrnopnxrlem  46905  hspdifhsp  47215  hspmbllem2  47226  pimiooltgt  47309  pimrecltneg  47323  smfresal  47387  smfmullem2  47391