Theorem eliood 45855

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
eliood.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliood	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliood.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
3		eliood.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		eliood.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliood.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elioo2 13314	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178  (,)cioo 13273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-ioo 13277

This theorem is referenced by:  ioomidp  45871  iocopn  45877  iooshift  45879  icoopn  45882  qinioo  45892  qelioo  45903  icomnfinre  45909  ressioosup  45912  ressiooinf  45914  uzubioo  45922  limciccioolb  45978  limcicciooub  45992  lptre2pt  45995  limcresiooub  45997  limcresioolb  45998  limcleqr  45999  xlimxrre  46186  cncfiooiccre  46250  dvbdfbdioolem2  46284  dvbdfbdioo  46285  ioodvbdlimc1lem1  46286  ioodvbdlimc1lem2  46287  ioodvbdlimc2lem  46289  itgioocnicc  46332  dirkercncflem1  46458  dirkercncflem4  46461  fourierdlem10  46472  fourierdlem20  46482  fourierdlem25  46487  fourierdlem27  46489  fourierdlem28  46490  fourierdlem31  46493  fourierdlem32  46494  fourierdlem33  46495  fourierdlem40  46502  fourierdlem41  46503  fourierdlem43  46505  fourierdlem44  46506  fourierdlem46  46507  fourierdlem48  46509  fourierdlem49  46510  fourierdlem57  46518  fourierdlem59  46520  fourierdlem60  46521  fourierdlem61  46522  fourierdlem62  46523  fourierdlem64  46525  fourierdlem68  46529  fourierdlem73  46534  fourierdlem74  46535  fourierdlem75  46536  fourierdlem76  46537  fourierdlem78  46539  fourierdlem81  46542  fourierdlem82  46543  fourierdlem84  46545  fourierdlem89  46550  fourierdlem90  46551  fourierdlem91  46552  fourierdlem92  46553  fourierdlem93  46554  fourierdlem97  46558  fourierdlem103  46564  fourierdlem104  46565  fourierdlem107  46568  fourierdlem109  46570  fourierdlem111  46572  fourierdlem112  46573  sqwvfourb  46584  fourierswlem  46585  fouriersw  46586  qndenserrnbllem  46649  ioorrnopnlem  46659  ioorrnopnxrlem  46661  hspdifhsp  46971  hspmbllem2  46982  pimiooltgt  47065  pimrecltneg  47079  smfresal  47143  smfmullem2  47147