Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliood Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliood 43743
Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliood.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4 (𝜑𝐴 < 𝐶)
eliood.5 (𝜑𝐶 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliood (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood
StepHypRef Expression
1 eliood.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 eliood.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐶)
3 eliood.5 . 2 (𝜑𝐶 < 𝐵)
4 eliood.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 eliood.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6 elioo2 13306 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
74, 5, 6syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
81, 2, 3, 7mpbir3and 1343 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11051  *cxr 11189   < clt 11190  (,)cioo 13265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-ioo 13269
This theorem is referenced by:  ioomidp  43759  iocopn  43765  iooshift  43767  icoopn  43770  qinioo  43780  qelioo  43791  icomnfinre  43797  ressioosup  43800  ressiooinf  43802  uzubioo  43812  limciccioolb  43869  limcicciooub  43885  lptre2pt  43888  limcresiooub  43890  limcresioolb  43891  limcleqr  43892  xlimxrre  44079  cncfiooiccre  44143  dvbdfbdioolem2  44177  dvbdfbdioo  44178  ioodvbdlimc1lem1  44179  ioodvbdlimc1lem2  44180  ioodvbdlimc2lem  44182  itgioocnicc  44225  dirkercncflem1  44351  dirkercncflem4  44354  fourierdlem10  44365  fourierdlem20  44375  fourierdlem25  44380  fourierdlem27  44382  fourierdlem28  44383  fourierdlem31  44386  fourierdlem32  44387  fourierdlem33  44388  fourierdlem40  44395  fourierdlem41  44396  fourierdlem43  44398  fourierdlem44  44399  fourierdlem46  44400  fourierdlem48  44402  fourierdlem49  44403  fourierdlem57  44411  fourierdlem59  44413  fourierdlem60  44414  fourierdlem61  44415  fourierdlem62  44416  fourierdlem64  44418  fourierdlem68  44422  fourierdlem73  44427  fourierdlem74  44428  fourierdlem75  44429  fourierdlem76  44430  fourierdlem78  44432  fourierdlem81  44435  fourierdlem82  44436  fourierdlem84  44438  fourierdlem89  44443  fourierdlem90  44444  fourierdlem91  44445  fourierdlem92  44446  fourierdlem93  44447  fourierdlem97  44451  fourierdlem103  44457  fourierdlem104  44458  fourierdlem107  44461  fourierdlem109  44463  fourierdlem111  44465  fourierdlem112  44466  sqwvfourb  44477  fourierswlem  44478  fouriersw  44479  qndenserrnbllem  44542  ioorrnopnlem  44552  ioorrnopnxrlem  44554  hspdifhsp  44864  hspmbllem2  44875  pimiooltgt  44958  pimrecltneg  44972  smfresal  45036  smfmullem2  45040
  Copyright terms: Public domain W3C validator