Theorem eliood 44509

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
eliood.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliood	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliood.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
3		eliood.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		eliood.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliood.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elioo2 13369	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1340	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252  (,)cioo 13328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ioo 13332

This theorem is referenced by:  ioomidp  44525  iocopn  44531  iooshift  44533  icoopn  44536  qinioo  44546  qelioo  44557  icomnfinre  44563  ressioosup  44566  ressiooinf  44568  uzubioo  44578  limciccioolb  44635  limcicciooub  44651  lptre2pt  44654  limcresiooub  44656  limcresioolb  44657  limcleqr  44658  xlimxrre  44845  cncfiooiccre  44909  dvbdfbdioolem2  44943  dvbdfbdioo  44944  ioodvbdlimc1lem1  44945  ioodvbdlimc1lem2  44946  ioodvbdlimc2lem  44948  itgioocnicc  44991  dirkercncflem1  45117  dirkercncflem4  45120  fourierdlem10  45131  fourierdlem20  45141  fourierdlem25  45146  fourierdlem27  45148  fourierdlem28  45149  fourierdlem31  45152  fourierdlem32  45153  fourierdlem33  45154  fourierdlem40  45161  fourierdlem41  45162  fourierdlem43  45164  fourierdlem44  45165  fourierdlem46  45166  fourierdlem48  45168  fourierdlem49  45169  fourierdlem57  45177  fourierdlem59  45179  fourierdlem60  45180  fourierdlem61  45181  fourierdlem62  45182  fourierdlem64  45184  fourierdlem68  45188  fourierdlem73  45193  fourierdlem74  45194  fourierdlem75  45195  fourierdlem76  45196  fourierdlem78  45198  fourierdlem81  45201  fourierdlem82  45202  fourierdlem84  45204  fourierdlem89  45209  fourierdlem90  45210  fourierdlem91  45211  fourierdlem92  45212  fourierdlem93  45213  fourierdlem97  45217  fourierdlem103  45223  fourierdlem104  45224  fourierdlem107  45227  fourierdlem109  45229  fourierdlem111  45231  fourierdlem112  45232  sqwvfourb  45243  fourierswlem  45244  fouriersw  45245  qndenserrnbllem  45308  ioorrnopnlem  45318  ioorrnopnxrlem  45320  hspdifhsp  45630  hspmbllem2  45641  pimiooltgt  45724  pimrecltneg  45738  smfresal  45802  smfmullem2  45806