Theorem eliood 42711

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
eliood.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliood	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliood.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
3		eliood.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		eliood.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliood.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elioo2 12976	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1089   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867  (,)cioo 12935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-ioo 12939

This theorem is referenced by:  ioomidp  42727  iocopn  42733  iooshift  42735  icoopn  42738  qinioo  42748  qelioo  42759  icomnfinre  42765  ressioosup  42768  ressiooinf  42770  uzubioo  42780  limciccioolb  42837  limcicciooub  42853  lptre2pt  42856  limcresiooub  42858  limcresioolb  42859  limcleqr  42860  xlimxrre  43047  cncfiooiccre  43111  dvbdfbdioolem2  43145  dvbdfbdioo  43146  ioodvbdlimc1lem1  43147  ioodvbdlimc1lem2  43148  ioodvbdlimc2lem  43150  itgioocnicc  43193  dirkercncflem1  43319  dirkercncflem4  43322  fourierdlem10  43333  fourierdlem20  43343  fourierdlem25  43348  fourierdlem27  43350  fourierdlem28  43351  fourierdlem31  43354  fourierdlem32  43355  fourierdlem33  43356  fourierdlem40  43363  fourierdlem41  43364  fourierdlem43  43366  fourierdlem44  43367  fourierdlem46  43368  fourierdlem48  43370  fourierdlem49  43371  fourierdlem57  43379  fourierdlem59  43381  fourierdlem60  43382  fourierdlem61  43383  fourierdlem62  43384  fourierdlem64  43386  fourierdlem68  43390  fourierdlem73  43395  fourierdlem74  43396  fourierdlem75  43397  fourierdlem76  43398  fourierdlem78  43400  fourierdlem81  43403  fourierdlem82  43404  fourierdlem84  43406  fourierdlem89  43411  fourierdlem90  43412  fourierdlem91  43413  fourierdlem92  43414  fourierdlem93  43415  fourierdlem97  43419  fourierdlem103  43425  fourierdlem104  43426  fourierdlem107  43429  fourierdlem109  43431  fourierdlem111  43433  fourierdlem112  43434  sqwvfourb  43445  fourierswlem  43446  fouriersw  43447  qndenserrnbllem  43510  ioorrnopnlem  43520  ioorrnopnxrlem  43522  hspdifhsp  43829  hspmbllem2  43840  pimiooltgt  43920  pimrecltneg  43932  smfresal  43994  smfmullem2  43998