Theorem eliood 46035

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
eliood.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliood	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliood.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
3		eliood.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		eliood.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliood.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elioo2 13384	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1355	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  ℝ^*cxr 11209   < clt 11210  (,)cioo 13343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-ioo 13347

This theorem is referenced by:  ioomidp  46051  iocopn  46057  iooshift  46059  icoopn  46062  qinioo  46072  qelioo  46083  icomnfinre  46089  ressioosup  46092  ressiooinf  46094  uzubioo  46102  limciccioolb  46158  limcicciooub  46172  lptre2pt  46175  limcresiooub  46177  limcresioolb  46178  limcleqr  46179  xlimxrre  46366  cncfiooiccre  46430  dvbdfbdioolem2  46464  dvbdfbdioo  46465  ioodvbdlimc1lem1  46466  ioodvbdlimc1lem2  46467  ioodvbdlimc2lem  46469  itgioocnicc  46512  dirkercncflem1  46638  dirkercncflem4  46641  fourierdlem10  46652  fourierdlem20  46662  fourierdlem25  46667  fourierdlem27  46669  fourierdlem28  46670  fourierdlem31  46673  fourierdlem32  46674  fourierdlem33  46675  fourierdlem40  46682  fourierdlem41  46683  fourierdlem43  46685  fourierdlem44  46686  fourierdlem46  46687  fourierdlem48  46689  fourierdlem49  46690  fourierdlem57  46698  fourierdlem59  46700  fourierdlem60  46701  fourierdlem61  46702  fourierdlem62  46703  fourierdlem64  46705  fourierdlem68  46709  fourierdlem73  46714  fourierdlem74  46715  fourierdlem75  46716  fourierdlem76  46717  fourierdlem78  46719  fourierdlem81  46722  fourierdlem82  46723  fourierdlem84  46725  fourierdlem89  46730  fourierdlem90  46731  fourierdlem91  46732  fourierdlem92  46733  fourierdlem93  46734  fourierdlem97  46738  fourierdlem103  46744  fourierdlem104  46745  fourierdlem107  46748  fourierdlem109  46750  fourierdlem111  46752  fourierdlem112  46753  sqwvfourb  46764  fourierswlem  46765  fouriersw  46766  qndenserrnbllem  46829  ioorrnopnlem  46839  ioorrnopnxrlem  46841  hspdifhsp  47151  hspmbllem2  47162  pimiooltgt  47245  pimrecltneg  47259  smfresal  47323  smfmullem2  47327