Theorem eliood 43018

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
eliood.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliood	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliood.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
3		eliood.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		eliood.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliood.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elioo2 13131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1341	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  (class class class)co 7272  ℝcr 10881  ℝ^*cxr 11019   < clt 11020  (,)cioo 13090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-ioo 13094

This theorem is referenced by:  ioomidp  43034  iocopn  43040  iooshift  43042  icoopn  43045  qinioo  43055  qelioo  43066  icomnfinre  43072  ressioosup  43075  ressiooinf  43077  uzubioo  43087  limciccioolb  43144  limcicciooub  43160  lptre2pt  43163  limcresiooub  43165  limcresioolb  43166  limcleqr  43167  xlimxrre  43354  cncfiooiccre  43418  dvbdfbdioolem2  43452  dvbdfbdioo  43453  ioodvbdlimc1lem1  43454  ioodvbdlimc1lem2  43455  ioodvbdlimc2lem  43457  itgioocnicc  43500  dirkercncflem1  43626  dirkercncflem4  43629  fourierdlem10  43640  fourierdlem20  43650  fourierdlem25  43655  fourierdlem27  43657  fourierdlem28  43658  fourierdlem31  43661  fourierdlem32  43662  fourierdlem33  43663  fourierdlem40  43670  fourierdlem41  43671  fourierdlem43  43673  fourierdlem44  43674  fourierdlem46  43675  fourierdlem48  43677  fourierdlem49  43678  fourierdlem57  43686  fourierdlem59  43688  fourierdlem60  43689  fourierdlem61  43690  fourierdlem62  43691  fourierdlem64  43693  fourierdlem68  43697  fourierdlem73  43702  fourierdlem74  43703  fourierdlem75  43704  fourierdlem76  43705  fourierdlem78  43707  fourierdlem81  43710  fourierdlem82  43711  fourierdlem84  43713  fourierdlem89  43718  fourierdlem90  43719  fourierdlem91  43720  fourierdlem92  43721  fourierdlem93  43722  fourierdlem97  43726  fourierdlem103  43732  fourierdlem104  43733  fourierdlem107  43736  fourierdlem109  43738  fourierdlem111  43740  fourierdlem112  43741  sqwvfourb  43752  fourierswlem  43753  fouriersw  43754  qndenserrnbllem  43817  ioorrnopnlem  43827  ioorrnopnxrlem  43829  hspdifhsp  44136  hspmbllem2  44147  pimiooltgt  44227  pimrecltneg  44239  smfresal  44301  smfmullem2  44305