Theorem eliood 46604

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
eliood.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliood	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliood.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
3		eliood.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		eliood.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliood.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elioo2 13521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347  (,)cioo 13480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-ioo 13484

This theorem is used by:  ioomidp  46620  iocopn  46626  iooshift  46628  icoopn  46631  qinioo  46641  qelioo  46652  icomnfinre  46658  ressioosup  46661  ressiooinf  46663  uzubioo  46671  limciccioolb  46727  limcicciooub  46741  lptre2pt  46744  limcresiooub  46746  limcresioolb  46747  limcleqr  46748  xlimxrre  46935  cncfiooiccre  46999  dvbdfbdioolem2  47033  dvbdfbdioo  47034  ioodvbdlimc1lem1  47035  ioodvbdlimc1lem2  47036  ioodvbdlimc2lem  47038  itgioocnicc  47081  dirkercncflem1  47207  dirkercncflem4  47210  fourierdlem10  47221  fourierdlem20  47231  fourierdlem25  47236  fourierdlem27  47238  fourierdlem28  47239  fourierdlem31  47242  fourierdlem32  47243  fourierdlem33  47244  fourierdlem40  47251  fourierdlem41  47252  fourierdlem43  47254  fourierdlem44  47255  fourierdlem46  47256  fourierdlem48  47258  fourierdlem49  47259  fourierdlem57  47267  fourierdlem59  47269  fourierdlem60  47270  fourierdlem61  47271  fourierdlem62  47272  fourierdlem64  47274  fourierdlem68  47278  fourierdlem73  47283  fourierdlem74  47284  fourierdlem75  47285  fourierdlem76  47286  fourierdlem78  47288  fourierdlem81  47291  fourierdlem82  47292  fourierdlem84  47294  fourierdlem89  47299  fourierdlem90  47300  fourierdlem91  47301  fourierdlem92  47302  fourierdlem93  47303  fourierdlem97  47307  fourierdlem103  47313  fourierdlem104  47314  fourierdlem107  47317  fourierdlem109  47319  fourierdlem111  47321  fourierdlem112  47322  sqwvfourb  47333  fourierswlem  47334  fouriersw  47335  qndenserrnbllem  47398  ioorrnopnlem  47408  ioorrnopnxrlem  47410  hspdifhsp  47720  hspmbllem2  47731  pimiooltgt  47814  pimrecltneg  47828  smfresal  47892  smfmullem2  47896