Theorem eliood 46247

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
eliood.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliood	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliood.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
3		eliood.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		eliood.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliood.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elioo2 13424	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254  (,)cioo 13383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-ioo 13387

This theorem is used by:  ioomidp  46263  iocopn  46269  iooshift  46271  icoopn  46274  qinioo  46284  qelioo  46295  icomnfinre  46301  ressioosup  46304  ressiooinf  46306  uzubioo  46314  limciccioolb  46370  limcicciooub  46384  lptre2pt  46387  limcresiooub  46389  limcresioolb  46390  limcleqr  46391  xlimxrre  46578  cncfiooiccre  46642  dvbdfbdioolem2  46676  dvbdfbdioo  46677  ioodvbdlimc1lem1  46678  ioodvbdlimc1lem2  46679  ioodvbdlimc2lem  46681  itgioocnicc  46724  dirkercncflem1  46850  dirkercncflem4  46853  fourierdlem10  46864  fourierdlem20  46874  fourierdlem25  46879  fourierdlem27  46881  fourierdlem28  46882  fourierdlem31  46885  fourierdlem32  46886  fourierdlem33  46887  fourierdlem40  46894  fourierdlem41  46895  fourierdlem43  46897  fourierdlem44  46898  fourierdlem46  46899  fourierdlem48  46901  fourierdlem49  46902  fourierdlem57  46910  fourierdlem59  46912  fourierdlem60  46913  fourierdlem61  46914  fourierdlem62  46915  fourierdlem64  46917  fourierdlem68  46921  fourierdlem73  46926  fourierdlem74  46927  fourierdlem75  46928  fourierdlem76  46929  fourierdlem78  46931  fourierdlem81  46934  fourierdlem82  46935  fourierdlem84  46937  fourierdlem89  46942  fourierdlem90  46943  fourierdlem91  46944  fourierdlem92  46945  fourierdlem93  46946  fourierdlem97  46950  fourierdlem103  46956  fourierdlem104  46957  fourierdlem107  46960  fourierdlem109  46962  fourierdlem111  46964  fourierdlem112  46965  sqwvfourb  46976  fourierswlem  46977  fouriersw  46978  qndenserrnbllem  47041  ioorrnopnlem  47051  ioorrnopnxrlem  47053  hspdifhsp  47363  hspmbllem2  47374  pimiooltgt  47457  pimrecltneg  47471  smfresal  47535  smfmullem2  47539