Theorem eliood 45660

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
eliood.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliood	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliood.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
3		eliood.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		eliood.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliood.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elioo2 13293	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  ℝ^*cxr 11156   < clt 11157  (,)cioo 13252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-ioo 13256

This theorem is referenced by:  ioomidp  45676  iocopn  45682  iooshift  45684  icoopn  45687  qinioo  45697  qelioo  45708  icomnfinre  45714  ressioosup  45717  ressiooinf  45719  uzubioo  45727  limciccioolb  45783  limcicciooub  45797  lptre2pt  45800  limcresiooub  45802  limcresioolb  45803  limcleqr  45804  xlimxrre  45991  cncfiooiccre  46055  dvbdfbdioolem2  46089  dvbdfbdioo  46090  ioodvbdlimc1lem1  46091  ioodvbdlimc1lem2  46092  ioodvbdlimc2lem  46094  itgioocnicc  46137  dirkercncflem1  46263  dirkercncflem4  46266  fourierdlem10  46277  fourierdlem20  46287  fourierdlem25  46292  fourierdlem27  46294  fourierdlem28  46295  fourierdlem31  46298  fourierdlem32  46299  fourierdlem33  46300  fourierdlem40  46307  fourierdlem41  46308  fourierdlem43  46310  fourierdlem44  46311  fourierdlem46  46312  fourierdlem48  46314  fourierdlem49  46315  fourierdlem57  46323  fourierdlem59  46325  fourierdlem60  46326  fourierdlem61  46327  fourierdlem62  46328  fourierdlem64  46330  fourierdlem68  46334  fourierdlem73  46339  fourierdlem74  46340  fourierdlem75  46341  fourierdlem76  46342  fourierdlem78  46344  fourierdlem81  46347  fourierdlem82  46348  fourierdlem84  46350  fourierdlem89  46355  fourierdlem90  46356  fourierdlem91  46357  fourierdlem92  46358  fourierdlem93  46359  fourierdlem97  46363  fourierdlem103  46369  fourierdlem104  46370  fourierdlem107  46373  fourierdlem109  46375  fourierdlem111  46377  fourierdlem112  46378  sqwvfourb  46389  fourierswlem  46390  fouriersw  46391  qndenserrnbllem  46454  ioorrnopnlem  46464  ioorrnopnxrlem  46466  hspdifhsp  46776  hspmbllem2  46787  pimiooltgt  46870  pimrecltneg  46884  smfresal  46948  smfmullem2  46952