Theorem eliood 46479

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
eliood.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliood	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliood.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
3		eliood.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		eliood.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliood.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elioo2 13510	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336  (,)cioo 13469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-ioo 13473

This theorem is used by:  ioomidp  46495  iocopn  46501  iooshift  46503  icoopn  46506  qinioo  46516  qelioo  46527  icomnfinre  46533  ressioosup  46536  ressiooinf  46538  uzubioo  46546  limciccioolb  46602  limcicciooub  46616  lptre2pt  46619  limcresiooub  46621  limcresioolb  46622  limcleqr  46623  xlimxrre  46810  cncfiooiccre  46874  dvbdfbdioolem2  46908  dvbdfbdioo  46909  ioodvbdlimc1lem1  46910  ioodvbdlimc1lem2  46911  ioodvbdlimc2lem  46913  itgioocnicc  46956  dirkercncflem1  47082  dirkercncflem4  47085  fourierdlem10  47096  fourierdlem20  47106  fourierdlem25  47111  fourierdlem27  47113  fourierdlem28  47114  fourierdlem31  47117  fourierdlem32  47118  fourierdlem33  47119  fourierdlem40  47126  fourierdlem41  47127  fourierdlem43  47129  fourierdlem44  47130  fourierdlem46  47131  fourierdlem48  47133  fourierdlem49  47134  fourierdlem57  47142  fourierdlem59  47144  fourierdlem60  47145  fourierdlem61  47146  fourierdlem62  47147  fourierdlem64  47149  fourierdlem68  47153  fourierdlem73  47158  fourierdlem74  47159  fourierdlem75  47160  fourierdlem76  47161  fourierdlem78  47163  fourierdlem81  47166  fourierdlem82  47167  fourierdlem84  47169  fourierdlem89  47174  fourierdlem90  47175  fourierdlem91  47176  fourierdlem92  47177  fourierdlem93  47178  fourierdlem97  47182  fourierdlem103  47188  fourierdlem104  47189  fourierdlem107  47192  fourierdlem109  47194  fourierdlem111  47196  fourierdlem112  47197  sqwvfourb  47208  fourierswlem  47209  fouriersw  47210  qndenserrnbllem  47273  ioorrnopnlem  47283  ioorrnopnxrlem  47285  hspdifhsp  47595  hspmbllem2  47606  pimiooltgt  47689  pimrecltneg  47703  smfresal  47767  smfmullem2  47771