Theorem eliood 43036

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
eliood.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliood	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliood.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
3		eliood.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		eliood.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliood.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elioo2 13120	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1341	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009  (,)cioo 13079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-ioo 13083

This theorem is referenced by:  ioomidp  43052  iocopn  43058  iooshift  43060  icoopn  43063  qinioo  43073  qelioo  43084  icomnfinre  43090  ressioosup  43093  ressiooinf  43095  uzubioo  43105  limciccioolb  43162  limcicciooub  43178  lptre2pt  43181  limcresiooub  43183  limcresioolb  43184  limcleqr  43185  xlimxrre  43372  cncfiooiccre  43436  dvbdfbdioolem2  43470  dvbdfbdioo  43471  ioodvbdlimc1lem1  43472  ioodvbdlimc1lem2  43473  ioodvbdlimc2lem  43475  itgioocnicc  43518  dirkercncflem1  43644  dirkercncflem4  43647  fourierdlem10  43658  fourierdlem20  43668  fourierdlem25  43673  fourierdlem27  43675  fourierdlem28  43676  fourierdlem31  43679  fourierdlem32  43680  fourierdlem33  43681  fourierdlem40  43688  fourierdlem41  43689  fourierdlem43  43691  fourierdlem44  43692  fourierdlem46  43693  fourierdlem48  43695  fourierdlem49  43696  fourierdlem57  43704  fourierdlem59  43706  fourierdlem60  43707  fourierdlem61  43708  fourierdlem62  43709  fourierdlem64  43711  fourierdlem68  43715  fourierdlem73  43720  fourierdlem74  43721  fourierdlem75  43722  fourierdlem76  43723  fourierdlem78  43725  fourierdlem81  43728  fourierdlem82  43729  fourierdlem84  43731  fourierdlem89  43736  fourierdlem90  43737  fourierdlem91  43738  fourierdlem92  43739  fourierdlem93  43740  fourierdlem97  43744  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  fourierdlem107  43754  fourierdlem109  43756  fourierdlem111  43758  fourierdlem112  43759  sqwvfourb  43770  fourierswlem  43771  fouriersw  43772  qndenserrnbllem  43835  ioorrnopnlem  43845  ioorrnopnxrlem  43847  hspdifhsp  44154  hspmbllem2  44165  pimiooltgt  44247  pimrecltneg  44260  smfresal  44322  smfmullem2  44326