Theorem eliood 45527

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
eliood.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliood	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliood.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
3		eliood.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		eliood.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliood.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elioo2 13403	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269  (,)cioo 13362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-ioo 13366

This theorem is referenced by:  ioomidp  45543  iocopn  45549  iooshift  45551  icoopn  45554  qinioo  45564  qelioo  45575  icomnfinre  45581  ressioosup  45584  ressiooinf  45586  uzubioo  45594  limciccioolb  45650  limcicciooub  45666  lptre2pt  45669  limcresiooub  45671  limcresioolb  45672  limcleqr  45673  xlimxrre  45860  cncfiooiccre  45924  dvbdfbdioolem2  45958  dvbdfbdioo  45959  ioodvbdlimc1lem1  45960  ioodvbdlimc1lem2  45961  ioodvbdlimc2lem  45963  itgioocnicc  46006  dirkercncflem1  46132  dirkercncflem4  46135  fourierdlem10  46146  fourierdlem20  46156  fourierdlem25  46161  fourierdlem27  46163  fourierdlem28  46164  fourierdlem31  46167  fourierdlem32  46168  fourierdlem33  46169  fourierdlem40  46176  fourierdlem41  46177  fourierdlem43  46179  fourierdlem44  46180  fourierdlem46  46181  fourierdlem48  46183  fourierdlem49  46184  fourierdlem57  46192  fourierdlem59  46194  fourierdlem60  46195  fourierdlem61  46196  fourierdlem62  46197  fourierdlem64  46199  fourierdlem68  46203  fourierdlem73  46208  fourierdlem74  46209  fourierdlem75  46210  fourierdlem76  46211  fourierdlem78  46213  fourierdlem81  46216  fourierdlem82  46217  fourierdlem84  46219  fourierdlem89  46224  fourierdlem90  46225  fourierdlem91  46226  fourierdlem92  46227  fourierdlem93  46228  fourierdlem97  46232  fourierdlem103  46238  fourierdlem104  46239  fourierdlem107  46242  fourierdlem109  46244  fourierdlem111  46246  fourierdlem112  46247  sqwvfourb  46258  fourierswlem  46259  fouriersw  46260  qndenserrnbllem  46323  ioorrnopnlem  46333  ioorrnopnxrlem  46335  hspdifhsp  46645  hspmbllem2  46656  pimiooltgt  46739  pimrecltneg  46753  smfresal  46817  smfmullem2  46821