Theorem eliood 45544

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
eliood.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliood	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliood.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
3		eliood.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		eliood.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliood.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elioo2 13286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146  (,)cioo 13245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-ioo 13249

This theorem is referenced by:  ioomidp  45560  iocopn  45566  iooshift  45568  icoopn  45571  qinioo  45581  qelioo  45592  icomnfinre  45598  ressioosup  45601  ressiooinf  45603  uzubioo  45611  limciccioolb  45667  limcicciooub  45681  lptre2pt  45684  limcresiooub  45686  limcresioolb  45687  limcleqr  45688  xlimxrre  45875  cncfiooiccre  45939  dvbdfbdioolem2  45973  dvbdfbdioo  45974  ioodvbdlimc1lem1  45975  ioodvbdlimc1lem2  45976  ioodvbdlimc2lem  45978  itgioocnicc  46021  dirkercncflem1  46147  dirkercncflem4  46150  fourierdlem10  46161  fourierdlem20  46171  fourierdlem25  46176  fourierdlem27  46178  fourierdlem28  46179  fourierdlem31  46182  fourierdlem32  46183  fourierdlem33  46184  fourierdlem40  46191  fourierdlem41  46192  fourierdlem43  46194  fourierdlem44  46195  fourierdlem46  46196  fourierdlem48  46198  fourierdlem49  46199  fourierdlem57  46207  fourierdlem59  46209  fourierdlem60  46210  fourierdlem61  46211  fourierdlem62  46212  fourierdlem64  46214  fourierdlem68  46218  fourierdlem73  46223  fourierdlem74  46224  fourierdlem75  46225  fourierdlem76  46226  fourierdlem78  46228  fourierdlem81  46231  fourierdlem82  46232  fourierdlem84  46234  fourierdlem89  46239  fourierdlem90  46240  fourierdlem91  46241  fourierdlem92  46242  fourierdlem93  46243  fourierdlem97  46247  fourierdlem103  46253  fourierdlem104  46254  fourierdlem107  46257  fourierdlem109  46259  fourierdlem111  46261  fourierdlem112  46262  sqwvfourb  46273  fourierswlem  46274  fouriersw  46275  qndenserrnbllem  46338  ioorrnopnlem  46348  ioorrnopnxrlem  46350  hspdifhsp  46660  hspmbllem2  46671  pimiooltgt  46754  pimrecltneg  46768  smfresal  46832  smfmullem2  46836