Theorem eliood 45483

Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliood.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
eliood.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliood	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliood.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliood.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
3		eliood.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		eliood.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliood.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elioo2 13307	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168  (,)cioo 13266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-ioo 13270

This theorem is referenced by:  ioomidp  45499  iocopn  45505  iooshift  45507  icoopn  45510  qinioo  45520  qelioo  45531  icomnfinre  45537  ressioosup  45540  ressiooinf  45542  uzubioo  45550  limciccioolb  45606  limcicciooub  45622  lptre2pt  45625  limcresiooub  45627  limcresioolb  45628  limcleqr  45629  xlimxrre  45816  cncfiooiccre  45880  dvbdfbdioolem2  45914  dvbdfbdioo  45915  ioodvbdlimc1lem1  45916  ioodvbdlimc1lem2  45917  ioodvbdlimc2lem  45919  itgioocnicc  45962  dirkercncflem1  46088  dirkercncflem4  46091  fourierdlem10  46102  fourierdlem20  46112  fourierdlem25  46117  fourierdlem27  46119  fourierdlem28  46120  fourierdlem31  46123  fourierdlem32  46124  fourierdlem33  46125  fourierdlem40  46132  fourierdlem41  46133  fourierdlem43  46135  fourierdlem44  46136  fourierdlem46  46137  fourierdlem48  46139  fourierdlem49  46140  fourierdlem57  46148  fourierdlem59  46150  fourierdlem60  46151  fourierdlem61  46152  fourierdlem62  46153  fourierdlem64  46155  fourierdlem68  46159  fourierdlem73  46164  fourierdlem74  46165  fourierdlem75  46166  fourierdlem76  46167  fourierdlem78  46169  fourierdlem81  46172  fourierdlem82  46173  fourierdlem84  46175  fourierdlem89  46180  fourierdlem90  46181  fourierdlem91  46182  fourierdlem92  46183  fourierdlem93  46184  fourierdlem97  46188  fourierdlem103  46194  fourierdlem104  46195  fourierdlem107  46198  fourierdlem109  46200  fourierdlem111  46202  fourierdlem112  46203  sqwvfourb  46214  fourierswlem  46215  fouriersw  46216  qndenserrnbllem  46279  ioorrnopnlem  46289  ioorrnopnxrlem  46291  hspdifhsp  46601  hspmbllem2  46612  pimiooltgt  46695  pimrecltneg  46709  smfresal  46773  smfmullem2  46777