Theorem initoeu2lem2 18048

Description: Lemma 2 for initoeu2 18049. (Contributed by AV, 10-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
initoeu1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
initoeu1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (InitO‘𝐶))
initoeu2lem.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
initoeu2lem.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
initoeu2lem.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
initoeu2lem.o	⊢ ⚬ = (comp‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
initoeu2lem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → ∃!𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑓   𝐵,𝑔,𝑓   𝐶,𝑓,𝑔   𝜑,𝑔,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾   𝑓,𝐻   𝑓,𝑋   ⚬ ,𝑓   𝐷,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐻   𝑔,𝐼   𝑔,𝐾   𝑔,𝑋   ⚬ ,𝑔

Proof of Theorem initoeu2lem2

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ V
2		eleq1 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) → (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ↔ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
3	2	spcegv 3556	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ V → ((𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
4	1, 3	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
5	4	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
6	5	3ad2ant3 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
7	6	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
8	7	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → ((𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))))
9	8	3imp 1123	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))
10	9	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))
11		simpll1 1226	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝜑)
12		simpll2 1227	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋))
13		3simpb 1162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
14	13	3ad2ant3 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
15	14	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
16	15	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
17		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
18		simpl32 1269	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
19	18	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
20		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))
21		initoeu1.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
22		initoeu1.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (InitO‘𝐶))
23		initoeu2lem.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
24		initoeu2lem.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
25		initoeu2lem.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
26		initoeu2lem.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⚬ = (comp‘𝐶)
27	21, 22, 23, 24, 25, 26	initoeu2lem1 18047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ((∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
28	27	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
29	11, 12, 16, 17, 19, 20, 28	syl33anc 1404	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
30	29	adantrr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
31		simpll1 1226	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝜑)
32		simpll2 1227	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋))
33	15	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
34		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
35	18	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
36		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))
37	21, 22, 23, 24, 25, 26	initoeu2lem1 18047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ((∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ℎ = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
38	37	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ℎ = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
39	31, 32, 33, 34, 35, 36, 38	syl33anc 1404	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ℎ = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
40	39	adantrl 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ℎ = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
41	30, 40	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝑔 = ℎ)
42	41	ex 416	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → ((𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = ℎ))
43	42	alrimivv 1948	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → ∀𝑔∀ℎ((𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = ℎ))
44		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ↔ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
45	44	eu4 2642	. . 3 ⊢ (∃!𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ↔ (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ∀𝑔∀ℎ((𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = ℎ)))
46	10, 43, 45	sylanbrc 592	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → ∃!𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))
47	46	ex 416	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → ∃!𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098  ∀wal 1558   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142  ∃!weu 2595  Vcvv 3454  ⟨cop 4588  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  Hom chom 17297  compcco 17298  Catccat 17696  Isociso 17779  InitOcinito 18014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-cat 17700  df-cid 17701  df-sect 17780  df-inv 17781  df-iso 17782

This theorem is referenced by:  initoeu2  18049