Theorem initoeu2lem2 18082

Description: Lemma 2 for initoeu2 18083. (Contributed by AV, 10-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
initoeu1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
initoeu1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (InitO‘𝐶))
initoeu2lem.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
initoeu2lem.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
initoeu2lem.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
initoeu2lem.o	⊢ ⚬ = (comp‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
initoeu2lem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → ∃!𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑓   𝐵,𝑔,𝑓   𝐶,𝑓,𝑔   𝜑,𝑔,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾   𝑓,𝐻   𝑓,𝑋   ⚬ ,𝑓   𝐷,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐻   𝑔,𝐼   𝑔,𝐾   𝑔,𝑋   ⚬ ,𝑔

Proof of Theorem initoeu2lem2

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ V
2		eleq1 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) → (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ↔ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
3	2	spcegv 3610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ V → ((𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
4	1, 3	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
5	4	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
6	5	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
7	6	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
8	7	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → ((𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))))
9	8	3imp 1111	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))
11		simpll1 1212	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝜑)
12		simpll2 1213	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋))
13		3simpb 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
14	13	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
17		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
18		simpl32 1255	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))
21		initoeu1.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
22		initoeu1.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (InitO‘𝐶))
23		initoeu2lem.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
24		initoeu2lem.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
25		initoeu2lem.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
26		initoeu2lem.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⚬ = (comp‘𝐶)
27	21, 22, 23, 24, 25, 26	initoeu2lem1 18081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ((∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
28	27	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
29	11, 12, 16, 17, 19, 20, 28	syl33anc 1385	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
30	29	adantrr 716	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
31		simpll1 1212	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝜑)
32		simpll2 1213	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋))
33	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
34		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
35	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
36		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))
37	21, 22, 23, 24, 25, 26	initoeu2lem1 18081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ((∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ℎ = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
38	37	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ℎ = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
39	31, 32, 33, 34, 35, 36, 38	syl33anc 1385	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ℎ = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
40	39	adantrl 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ℎ = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
41	30, 40	eqtr4d 2783	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝑔 = ℎ)
42	41	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → ((𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = ℎ))
43	42	alrimivv 1927	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → ∀𝑔∀ℎ((𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = ℎ))
44		eleq1 2832	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ↔ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
45	44	eu4 2618	. . 3 ⊢ (∃!𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ↔ (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ∀𝑔∀ℎ((𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = ℎ)))
46	10, 43, 45	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → ∃!𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))
47	46	ex 412	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → ∃!𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1535   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∃!weu 2571  Vcvv 3488  ⟨cop 4654  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  Hom chom 17322  compcco 17323  Catccat 17722  Isociso 17807  InitOcinito 18048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-cat 17726  df-cid 17727  df-sect 17808  df-inv 17809  df-iso 17810

This theorem is referenced by:  initoeu2  18083