MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  initoeu2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem initoeu2lem2 17970
Description: Lemma 2 for initoeu2 17971. (Contributed by AV, 10-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
initoeu1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
initoeu1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
initoeu2lem.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΆ)
initoeu2lem.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
initoeu2lem.i 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
initoeu2lem.o ⚬ = (compβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
initoeu2lem2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑓   𝐡,𝑔,𝑓   𝐢,𝑓,𝑔   πœ‘,𝑔,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾   𝑓,𝐻   𝑓,𝑋   ⚬ ,𝑓   𝐷,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐻   𝑔,𝐼   𝑔,𝐾   𝑔,𝑋   ⚬ ,𝑔
Proof of Theorem initoeu2lem2
Dummy variable β„Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7445 . . . . . . . . . 10 (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ V
2 eleq1 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) β†’ (𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ↔ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)))
32spcegv 3588 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ V β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷)))
41, 3mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷)))
54com12 32 . . . . . . . 8 ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷)))
653ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷)))
76com12 32 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷)))
87a1d 25 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷))))
983imp 1110 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷))
109adantr 480 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷))
11 simpll1 1211 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ πœ‘)
12 simpll2 1212 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋))
13 3simpb 1148 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)))
14133ad2ant3 1134 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)))
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) β†’ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)))
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)))
17 simplr 766 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
18 simpl32 1254 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
1918adantr 480 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
20 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷))
21 initoeu1.c . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
22 initoeu1.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
23 initoeu2lem.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Baseβ€˜πΆ)
24 initoeu2lem.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
25 initoeu2lem.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
26 initoeu2lem.o . . . . . . . . . 10 ⚬ = (compβ€˜πΆ)
2721, 22, 23, 24, 25, 26initoeu2lem1 17969 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ ((βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝑔 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
2827imp 406 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝑔 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
2911, 12, 16, 17, 19, 20, 28syl33anc 1384 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝑔 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
3029adantrr 714 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ β„Ž ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝑔 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
31 simpll1 1211 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ β„Ž ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ πœ‘)
32 simpll2 1212 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ β„Ž ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋))
3315adantr 480 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ β„Ž ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)))
34 simplr 766 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ β„Ž ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
3518adantr 480 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ β„Ž ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
36 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ β„Ž ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ β„Ž ∈ (𝐡𝐻𝐷))
3721, 22, 23, 24, 25, 26initoeu2lem1 17969 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ ((βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ β„Ž ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ β„Ž = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
3837imp 406 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ β„Ž ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ β„Ž = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
3931, 32, 33, 34, 35, 36, 38syl33anc 1384 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ β„Ž ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ β„Ž = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
4039adantrl 713 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ β„Ž ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ β„Ž = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
4130, 40eqtr4d 2774 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ β„Ž ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝑔 = β„Ž)
4241ex 412 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) β†’ ((𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ β„Ž ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4342alrimivv 1930 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) β†’ βˆ€π‘”βˆ€β„Ž((𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ β„Ž ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝑔 = β„Ž))
44 eleq1 2820 . . . 4 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ↔ β„Ž ∈ (𝐡𝐻𝐷)))
4544eu4 2610 . . 3 (βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ↔ (βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ βˆ€π‘”βˆ€β„Ž((𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ β„Ž ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝑔 = β„Ž)))
4610, 43, 45sylanbrc 582 . 2 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) β†’ βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷))
4746ex 412 1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡𝐻𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  βˆ€wal 1538   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105  βˆƒ!weu 2561  Vcvv 3473  βŸ¨cop 4635  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  Hom chom 17213  compcco 17214  Catccat 17613  Isociso 17698  InitOcinito 17936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-cat 17617  df-cid 17618  df-sect 17699  df-inv 17700  df-iso 17701
This theorem is referenced by:  initoeu2  17971
  Copyright terms: Public domain W3C validator