Theorem initoeu2lem2 18199

Description: Lemma 2 for initoeu2 18200. (Contributed by AV, 10-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
initoeu1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
initoeu1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (InitO‘𝐶))
initoeu2lem.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
initoeu2lem.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
initoeu2lem.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
initoeu2lem.o	⊢ ⚬ = (comp‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
initoeu2lem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → ∃!𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑓   𝐵,𝑔,𝑓   𝐶,𝑓,𝑔   𝜑,𝑔,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾   𝑓,𝐻   𝑓,𝑋   ⚬ ,𝑓   𝐷,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐻   𝑔,𝐼   𝑔,𝐾   𝑔,𝑋   ⚬ ,𝑔

Proof of Theorem initoeu2lem2

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ V
2		eleq1 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) → (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ↔ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
3	2	spcegv 3551	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ V → ((𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
4	1, 3	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
5	4	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
6	5	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
7	6	com12 33	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
8	7	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → ((𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))))
9	8	3imp 1128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))
11		simpll1 1231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝜑)
12		simpll2 1232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋))
13		3simpb 1167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
14	13	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
15	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
16	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
17		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
18		simpl32 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
19	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
20		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))
21		initoeu1.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
22		initoeu1.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (InitO‘𝐶))
23		initoeu2lem.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
24		initoeu2lem.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
25		initoeu2lem.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
26		initoeu2lem.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⚬ = (comp‘𝐶)
27	21, 22, 23, 24, 25, 26	initoeu2lem1 18198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ((∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
28	27	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
29	11, 12, 16, 17, 19, 20, 28	syl33anc 1412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
30	29	adantrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
31		simpll1 1231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝜑)
32		simpll2 1232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋))
33	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
34		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
35	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
36		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))
37	21, 22, 23, 24, 25, 26	initoeu2lem1 18198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ((∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ℎ = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
38	37	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ℎ = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
39	31, 32, 33, 34, 35, 36, 38	syl33anc 1412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ℎ = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
40	39	adantrl 729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ℎ = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
41	30, 40	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝑔 = ℎ)
42	41	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → ((𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = ℎ))
43	42	alrimivv 1960	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → ∀𝑔∀ℎ((𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = ℎ))
44		eleq1 2848	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ↔ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
45	44	eu4 2640	. . 3 ⊢ (∃!𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ↔ (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ∀𝑔∀ℎ((𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = ℎ)))
46	10, 43, 45	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → ∃!𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))
47	46	ex 418	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → ∃!𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∃!weu 2593  Vcvv 3450  ⟨cop 4834  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  Hom chom 17448  compcco 17449  Catccat 17847  Isociso 17930  InitOcinito 18165

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-cat 17851  df-cid 17852  df-sect 17931  df-inv 17932  df-iso 17933

This theorem is used by:  initoeu2  18200