Theorem initoeu2lem2 18076

Description: Lemma 2 for initoeu2 18077. (Contributed by AV, 10-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
initoeu1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
initoeu1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (InitO‘𝐶))
initoeu2lem.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
initoeu2lem.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
initoeu2lem.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
initoeu2lem.o	⊢ ⚬ = (comp‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
initoeu2lem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → ∃!𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑓   𝐵,𝑔,𝑓   𝐶,𝑓,𝑔   𝜑,𝑔,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾   𝑓,𝐻   𝑓,𝑋   ⚬ ,𝑓   𝐷,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐻   𝑔,𝐼   𝑔,𝐾   𝑔,𝑋   ⚬ ,𝑔

Proof of Theorem initoeu2lem2

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ V
2		eleq1 2851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) → (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ↔ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
3	2	spcegv 3556	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ V → ((𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
4	1, 3	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
5	4	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
6	5	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
7	6	com12 33	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
8	7	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → ((𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))))
9	8	3imp 1128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))
10	9	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))
11		simpll1 1231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝜑)
12		simpll2 1232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋))
13		3simpb 1167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
14	13	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
15	14	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
16	15	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
17		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
18		simpl32 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
19	18	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
20		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))
21		initoeu1.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
22		initoeu1.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (InitO‘𝐶))
23		initoeu2lem.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
24		initoeu2lem.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
25		initoeu2lem.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
26		initoeu2lem.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⚬ = (comp‘𝐶)
27	21, 22, 23, 24, 25, 26	initoeu2lem1 18075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ((∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
28	27	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
29	11, 12, 16, 17, 19, 20, 28	syl33anc 1412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
30	29	adantrr 729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝑔 = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
31		simpll1 1231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝜑)
32		simpll2 1232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋))
33	15	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
34		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
35	18	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
36		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))
37	21, 22, 23, 24, 25, 26	initoeu2lem1 18075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ((∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ℎ = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
38	37	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ℎ = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
39	31, 32, 33, 34, 35, 36, 38	syl33anc 1412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ℎ = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
40	39	adantrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ℎ = (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
41	30, 40	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝑔 = ℎ)
42	41	ex 417	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → ((𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = ℎ))
43	42	alrimivv 1958	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → ∀𝑔∀ℎ((𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = ℎ))
44		eleq1 2851	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ↔ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)))
45	44	eu4 2643	. . 3 ⊢ (∃!𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ↔ (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ∀𝑔∀ℎ((𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝑔 = ℎ)))
46	10, 43, 45	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) → ∃!𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷))
47	46	ex 417	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ (𝐹(⟨𝐵, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → ∃!𝑔 𝑔 ∈ (𝐵𝐻𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∃!weu 2596  Vcvv 3455  ⟨cop 4595  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273  Hom chom 17325  compcco 17326  Catccat 17724  Isociso 17807  InitOcinito 18042

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-cat 17728  df-cid 17729  df-sect 17808  df-inv 17809  df-iso 17810

This theorem is used by:  initoeu2  18077