Proof of Theorem initoeu2lem1
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | eusn 4729 | . . . 4
⊢
(∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ ∃𝑓(𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) | 
| 2 |  | initoeu2lem.x | . . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶) | 
| 3 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(Inv‘𝐶) =
(Inv‘𝐶) | 
| 4 |  | initoeu1.c | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat) | 
| 5 | 4 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ Cat) | 
| 6 |  | simpr2 1195 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋) | 
| 7 | 6 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑋) | 
| 8 |  | simpr1 1194 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋) | 
| 9 | 8 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑋) | 
| 10 |  | initoeu2lem.i | . . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶) | 
| 11 | 2, 3, 5, 7, 9, 10 | invf 17813 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → (𝐵(Inv‘𝐶)𝐴):(𝐵𝐼𝐴)⟶(𝐴𝐼𝐵)) | 
| 12 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) | 
| 13 | 11, 12 | ffvelcdmd 7104 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) | 
| 14 |  | initoeu2lem.h | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶) | 
| 15 | 4 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ Cat) | 
| 16 | 2, 14, 10, 15, 8, 6 | isohom 17821 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐼𝐵) ⊆ (𝐴𝐻𝐵)) | 
| 17 | 16 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → (𝐴𝐼𝐵) ⊆ (𝐴𝐻𝐵)) | 
| 18 | 17 | sselda 3982 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) | 
| 19 |  | initoeu2lem.o | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢  ⚬ =
(comp‘𝐶) | 
| 20 | 15 | ad4antr 732 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐶 ∈ Cat) | 
| 21 | 8 | ad4antr 732 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑋) | 
| 22 | 6 | ad4antr 732 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑋) | 
| 23 |  | simpr3 1196 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ 𝑋) | 
| 24 | 23 | ad4antr 732 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑋) | 
| 25 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) | 
| 26 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) | 
| 27 | 2, 14, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26 | catcocl 17729 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷)) | 
| 28 | 15 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) ∧ (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐶 ∈ Cat) | 
| 29 | 8 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) ∧ (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑋) | 
| 30 | 6 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) ∧ (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑋) | 
| 31 | 23 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) ∧ (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑋) | 
| 32 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) ∧ (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) | 
| 33 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) ∧ (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) | 
| 34 | 2, 14, 19, 28, 29, 30, 31, 32, 33 | catcocl 17729 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) ∧ (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷)) | 
| 35 | 34 | exp31 419 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵) → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷)))) | 
| 36 | 35 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵) → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷)))) | 
| 37 | 36 | imp 406 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷))) | 
| 38 |  | eleq2 2829 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ {𝑓})) | 
| 39 | 38 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ {𝑓})) | 
| 40 |  | ovex 7465 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ V | 
| 41 |  | elsng 4639 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ V → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ {𝑓} ↔ ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓)) | 
| 42 | 40, 41 | mp1i 13 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ {𝑓} ↔ ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓)) | 
| 43 | 39, 42 | bitrd 279 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓)) | 
| 44 |  | eleq2 2829 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} → ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ {𝑓})) | 
| 45 |  | ovex 7465 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ V | 
| 46 |  | elsng 4639 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ V → ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ {𝑓} ↔ (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓)) | 
| 47 | 45, 46 | mp1i 13 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} → ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ {𝑓} ↔ (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓)) | 
| 48 | 44, 47 | bitrd 279 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} → ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓)) | 
| 49 | 48 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) → ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓)) | 
| 50 |  | eqeq2 2748 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑓 = (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓 ↔ ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)))) | 
| 51 | 50 | eqcoms 2744 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓 → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓 ↔ ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)))) | 
| 52 | 51 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓) → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓 ↔ ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)))) | 
| 53 |  | simp-4l 782 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢
((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) → (𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋))) | 
| 54 |  | simp-4r 783 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢
((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) → 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) | 
| 55 |  | simprr 772 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢
((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) → 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷)) | 
| 56 |  | simprl 770 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢
((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) → 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) | 
| 57 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢
((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾))) | 
| 58 |  | initoeu1.a | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (InitO‘𝐶)) | 
| 59 | 4, 58, 2, 14, 10, 19 | initoeu2lem0 18059 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) ∧ ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾))) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)) | 
| 60 | 53, 54, 55, 56, 57, 59 | syl131anc 1384 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢
((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)) | 
| 61 | 60 | exp43 436 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) → (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾))))) | 
| 62 | 61 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓) → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) → (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾))))) | 
| 63 | 52, 62 | sylbid 240 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓) → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓 → (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾))))) | 
| 64 | 63 | ex 412 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓 → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓 → (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)))))) | 
| 65 | 64 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) → ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓 → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓 → (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)))))) | 
| 66 | 49, 65 | sylbid 240 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) → ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓 → (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)))))) | 
| 67 | 66 | com23 86 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) = 𝑓 → ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) → (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)))))) | 
| 68 | 43, 67 | sylbid 240 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) → ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) → (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)))))) | 
| 69 | 68 | com23 86 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) → ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) → (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)))))) | 
| 70 | 69 | ex 412 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} → ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) → (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾))))))) | 
| 71 | 70 | com24 95 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) → ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) → ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} → (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾))))))) | 
| 72 | 71 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) → (((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) → ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) → ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} → (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾))))))) | 
| 73 | 37, 72 | syld 47 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) → ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} → (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾))))))) | 
| 74 | 73 | com25 99 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) → (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) → ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾))))))) | 
| 75 | 74 | imp 406 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ((𝐺(〈𝐴, 𝐵〉 ⚬ 𝐷)((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) → ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)))))) | 
| 76 | 27, 75 | mpd 15 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾))))) | 
| 77 | 76 | ex 412 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐻𝐵)) → (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)))))) | 
| 78 | 18, 77 | mpdan 687 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)))))) | 
| 79 | 78 | com15 101 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → (𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)))))) | 
| 80 | 79 | imp 406 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾))))) | 
| 81 | 80 | impcom 407 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)))) | 
| 82 | 81 | com13 88 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) ∧ ((𝐵(Inv‘𝐶)𝐴)‘𝐾) ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)))) | 
| 83 | 13, 82 | mpdan 687 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴)) → ((𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷) → (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)))) | 
| 84 | 83 | expimpd 453 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)))) | 
| 85 | 84 | 3impia 1117 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾))) | 
| 86 | 85 | com12 32 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾))) | 
| 87 | 86 | ex 412 | . . . . 5
⊢ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} → ((𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)))) | 
| 88 | 87 | exlimiv 1929 | . . . 4
⊢
(∃𝑓(𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} → ((𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)))) | 
| 89 | 1, 88 | sylbi 217 | . . 3
⊢
(∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) → ((𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾)))) | 
| 90 | 89 | 3impib 1116 | . 2
⊢
((∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾))) | 
| 91 | 90 | com12 32 | 1
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∧ (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐵𝐻𝐷))) → ((∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝐻𝐷)) → 𝐺 = (𝐹(〈𝐵, 𝐴〉 ⚬ 𝐷)𝐾))) |