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Theorem initoeu2lem1 17966
Description: Lemma 1 for initoeu2 17968. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
initoeu1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
initoeu1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
initoeu2lem.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΆ)
initoeu2lem.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
initoeu2lem.i 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
initoeu2lem.o ⚬ = (compβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
initoeu2lem1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ ((βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐡,𝑓   𝐢,𝑓   πœ‘,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾   𝑓,𝐻   𝑓,𝑋   ⚬ ,𝑓
Proof of Theorem initoeu2lem1
StepHypRef Expression
1 eusn 4726 . . . 4 (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ βˆƒπ‘“(𝐴𝐻𝐷) = {𝑓})
2 initoeu2lem.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Baseβ€˜πΆ)
3 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (Invβ€˜πΆ) = (Invβ€˜πΆ)
4 initoeu1.c . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
54ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
6 simpr2 1192 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
76adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
8 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
98adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
10 initoeu2lem.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
112, 3, 5, 7, 9, 10invf 17714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ (𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴):(𝐡𝐼𝐴)⟢(𝐴𝐼𝐡))
12 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴))
1311, 12ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡))
14 initoeu2lem.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
154adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
162, 14, 10, 15, 8, 6isohom 17722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐼𝐡) βŠ† (𝐴𝐻𝐡))
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ (𝐴𝐼𝐡) βŠ† (𝐴𝐻𝐡))
1817sselda 3974 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡))
19 initoeu2lem.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⚬ = (compβ€˜πΆ)
2015ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
218ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
226ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
23 simpr3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑋)
2423ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑋)
25 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡))
26 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷))
272, 14, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26catcocl 17628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷))
2815ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
298ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
306ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
3123ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑋)
32 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡))
33 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))
342, 14, 19, 28, 29, 30, 31, 32, 33catcocl 17628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷))
3534exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷))))
3635ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷))))
3736imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷)))
38 eleq2 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ {𝑓}))
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ {𝑓}))
40 ovex 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ V
41 elsng 4634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ V β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ {𝑓} ↔ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓))
4240, 41mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ {𝑓} ↔ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓))
4339, 42bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓))
44 eleq2 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ {𝑓}))
45 ovex 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ V
46 elsng 4634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ V β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ {𝑓} ↔ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓))
4745, 46mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ {𝑓} ↔ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓))
4844, 47bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓))
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓))
50 eqeq2 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓 = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 ↔ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))))
5150eqcoms 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 ↔ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))))
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 ↔ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))))
53 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) β†’ (πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)))
54 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) β†’ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴))
55 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
56 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷))
57 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)))
58 initoeu1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
594, 58, 2, 14, 10, 19initoeu2lem0 17965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) ∧ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
6053, 54, 55, 56, 57, 59syl131anc 1380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
6160exp43 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))
6352, 62sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))
6463ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
6649, 65sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
6766com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
6843, 67sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
6968com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
7069ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))))
7170com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))))
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))))
7337, 72syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))))
7473com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))))
7574imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
7627, 75mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))
7776ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
7818, 77mpdan 684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
7978com15 101 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
8079imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))
8180impcom 407 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))
8281com13 88 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))
8313, 82mpdan 684 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))
8483expimpd 453 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))
85843impia 1114 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
8685com12 32 . . . . . 6 (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
8786ex 412 . . . . 5 ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))
8887exlimiv 1925 . . . 4 (βˆƒπ‘“(𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))
891, 88sylbi 216 . . 3 (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))
90893impib 1113 . 2 ((βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
9190com12 32 1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ ((βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆƒ!weu 2554  Vcvv 3466   βŠ† wss 3940  {csn 4620  βŸ¨cop 4626  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  Hom chom 17207  compcco 17208  Catccat 17607  Invcinv 17691  Isociso 17692  InitOcinito 17933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-cat 17611  df-cid 17612  df-sect 17693  df-inv 17694  df-iso 17695
This theorem is referenced by:  initoeu2lem2  17967
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