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Theorem initoeu2lem1 17961
Description: Lemma 1 for initoeu2 17963. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
initoeu1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
initoeu1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
initoeu2lem.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΆ)
initoeu2lem.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
initoeu2lem.i 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
initoeu2lem.o ⚬ = (compβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
initoeu2lem1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ ((βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐡,𝑓   𝐢,𝑓   πœ‘,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾   𝑓,𝐻   𝑓,𝑋   ⚬ ,𝑓
Proof of Theorem initoeu2lem1
StepHypRef Expression
1 eusn 4734 . . . 4 (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ βˆƒπ‘“(𝐴𝐻𝐷) = {𝑓})
2 initoeu2lem.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Baseβ€˜πΆ)
3 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Invβ€˜πΆ) = (Invβ€˜πΆ)
4 initoeu1.c . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
54ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
6 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
76adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
8 simpr1 1195 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
98adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
10 initoeu2lem.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
112, 3, 5, 7, 9, 10invf 17712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ (𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴):(𝐡𝐼𝐴)⟢(𝐴𝐼𝐡))
12 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴))
1311, 12ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡))
14 initoeu2lem.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
154adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
162, 14, 10, 15, 8, 6isohom 17720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐼𝐡) βŠ† (𝐴𝐻𝐡))
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ (𝐴𝐼𝐡) βŠ† (𝐴𝐻𝐡))
1817sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡))
19 initoeu2lem.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⚬ = (compβ€˜πΆ)
2015ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
218ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
226ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
23 simpr3 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑋)
2423ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑋)
25 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡))
26 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷))
272, 14, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26catcocl 17626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷))
2815ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
298ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
306ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
3123ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑋)
32 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡))
33 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))
342, 14, 19, 28, 29, 30, 31, 32, 33catcocl 17626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷))
3534exp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷))))
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷))))
3736imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷)))
38 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ {𝑓}))
3938adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ {𝑓}))
40 ovex 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ V
41 elsng 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ V β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ {𝑓} ↔ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓))
4240, 41mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ {𝑓} ↔ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓))
4339, 42bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓))
44 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ {𝑓}))
45 ovex 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ V
46 elsng 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ V β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ {𝑓} ↔ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓))
4745, 46mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ {𝑓} ↔ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓))
4844, 47bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓))
4948adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) ↔ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓))
50 eqeq2 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓 = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 ↔ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))))
5150eqcoms 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 ↔ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))))
5251adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 ↔ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))))
53 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) β†’ (πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)))
54 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) β†’ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴))
55 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))
56 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷))
57 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)))
58 initoeu1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
594, 58, 2, 14, 10, 19initoeu2lem0 17960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) ∧ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
6053, 54, 55, 56, 57, 59syl131anc 1384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ))) ∧ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))
6160exp43 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))
6261adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))
6352, 62sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))
6463ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
6649, 65sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
6766com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) = 𝑓 β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
6843, 67sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
6968com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ (𝐴𝐻𝐷) = {𝑓}) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
7069ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))))
7170com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))))
7271adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) β†’ (((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))))
7337, 72syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))))
7473com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))))
7574imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((𝐺(⟨𝐴, 𝐡⟩ ⚬ 𝐷)((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ)) ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
7627, 75mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))
7776ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐻𝐡)) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
7818, 77mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
7978com15 101 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))))
8079imp 408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))))
8180impcom 409 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))
8281com13 88 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) ∧ ((𝐡(Invβ€˜πΆ)𝐴)β€˜πΎ) ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))
8313, 82mpdan 686 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ ((𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷) β†’ (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))
8483expimpd 455 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))
85843impia 1118 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
8685com12 32 . . . . . 6 (((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} ∧ (𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
8786ex 414 . . . . 5 ((𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))
8887exlimiv 1934 . . . 4 (βˆƒπ‘“(𝐴𝐻𝐷) = {𝑓} β†’ ((𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))
891, 88sylbi 216 . . 3 (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) β†’ ((𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾))))
90893impib 1117 . 2 ((βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
9190com12 32 1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ (𝐡𝐼𝐴) ∧ (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾) ∈ (𝐡𝐻𝐷))) β†’ ((βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐴𝐻𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐡𝐻𝐷)) β†’ 𝐺 = (𝐹(⟨𝐡, 𝐴⟩ ⚬ 𝐷)𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆƒ!weu 2563  Vcvv 3475   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  Hom chom 17205  compcco 17206  Catccat 17605  Invcinv 17689  Isociso 17690  InitOcinito 17928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-cat 17609  df-cid 17610  df-sect 17691  df-inv 17692  df-iso 17693
This theorem is referenced by:  initoeu2lem2  17962
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