Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  int-addcomd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem int-addcomd 39425
Description: AdditionCommutativity generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
int-addcomd.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
int-addcomd.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
int-addcomd.3 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
int-addcomd (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐴))

Proof of Theorem int-addcomd
StepHypRef Expression
1 int-addcomd.1 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
21recnd 10405 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 int-addcomd.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
43recnd 10405 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
52, 4addcomd 10578 . 2 (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐵))
6 int-addcomd.3 . . . 4 (𝜑𝐴 = 𝐵)
76eqcomd 2783 . . 3 (𝜑𝐵 = 𝐴)
87oveq2d 6938 . 2 (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐴))
95, 8eqtrd 2813 1 (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2106  (class class class)co 6922  cr 10271   + caddc 10275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator