Theorem int-addcomd 39425

Description: AdditionCommutativity generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-addcomd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-addcomd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-addcomd	⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐴))

Proof of Theorem int-addcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-addcomd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10405	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		int-addcomd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	recnd 10405	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2, 4	addcomd 10578	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐵))
6		int-addcomd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
7	6	eqcomd 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
8	7	oveq2d 6938	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐴))
9	5, 8	eqtrd 2813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  (class class class)co 6922  ℝcr 10271   + caddc 10275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416

This theorem is referenced by: (None)