Theorem wuncval 10702

Description: Value of the weak universe closure operator. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
wuncval	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (wUniCl‘𝐴) = ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝑉

Proof of Theorem wuncval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-wunc 10663	. 2 ⊢ wUniCl = (𝑥 ∈ V ↦ ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝑥 ⊆ 𝑢})
2		sseq1 3975	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝑢 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑢))
3	2	rabbidv 3416	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝑥 ⊆ 𝑢} = {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})
4	3	inteqd 4918	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝑥 ⊆ 𝑢} = ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})
5		elex 3471	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
6		wunex 10699	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑢 ∈ WUni 𝐴 ⊆ 𝑢)
7		rabn0 4355	. . . 4 ⊢ ({𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 ∈ WUni 𝐴 ⊆ 𝑢)
8	6, 7	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ≠ ∅)
9		intex 5302	. . 3 ⊢ ({𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ∈ V)
10	8, 9	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ∈ V)
11	1, 4, 5, 10	fvmptd3 6994	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (wUniCl‘𝐴) = ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  {crab 3408  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ∩ cint 4913  ‘cfv 6514  WUnicwun 10660  wUniClcwunm 10661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-wun 10662  df-wunc 10663

This theorem is referenced by:  wuncid  10703  wunccl  10704  wuncss  10705