MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wuncval 10685
Description: Value of the weak universe closure operator. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
wuncval (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (wUniClβ€˜π΄) = ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
Distinct variable groups:   𝑒,𝐴   𝑒,𝑉

Proof of Theorem wuncval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-wunc 10646 . 2 wUniCl = (π‘₯ ∈ V ↦ ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ π‘₯ βŠ† 𝑒})
2 sseq1 3974 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑒 ↔ 𝐴 βŠ† 𝑒))
32rabbidv 3418 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ {𝑒 ∈ WUni ∣ π‘₯ βŠ† 𝑒} = {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
43inteqd 4917 . 2 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ π‘₯ βŠ† 𝑒} = ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
5 elex 3466 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ V)
6 wunex 10682 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ WUni 𝐴 βŠ† 𝑒)
7 rabn0 4350 . . . 4 ({𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘’ ∈ WUni 𝐴 βŠ† 𝑒)
86, 7sylibr 233 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} β‰  βˆ…)
9 intex 5299 . . 3 ({𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} β‰  βˆ… ↔ ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} ∈ V)
108, 9sylib 217 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} ∈ V)
111, 4, 5, 10fvmptd3 6976 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (wUniClβ€˜π΄) = ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  βˆ© cint 4912  β€˜cfv 6501  WUnicwun 10643  wUniClcwunm 10644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-wun 10645  df-wunc 10646
This theorem is referenced by:  wuncid  10686  wunccl  10687  wuncss  10688
  Copyright terms: Public domain W3C validator