MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wuncval 10736
Description: Value of the weak universe closure operator. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
wuncval (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (wUniClβ€˜π΄) = ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
Distinct variable groups:   𝑒,𝐴   𝑒,𝑉

Proof of Theorem wuncval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-wunc 10697 . 2 wUniCl = (π‘₯ ∈ V ↦ ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ π‘₯ βŠ† 𝑒})
2 sseq1 4002 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑒 ↔ 𝐴 βŠ† 𝑒))
32rabbidv 3434 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ {𝑒 ∈ WUni ∣ π‘₯ βŠ† 𝑒} = {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
43inteqd 4948 . 2 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ π‘₯ βŠ† 𝑒} = ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
5 elex 3487 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ V)
6 wunex 10733 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ WUni 𝐴 βŠ† 𝑒)
7 rabn0 4380 . . . 4 ({𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘’ ∈ WUni 𝐴 βŠ† 𝑒)
86, 7sylibr 233 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} β‰  βˆ…)
9 intex 5330 . . 3 ({𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} β‰  βˆ… ↔ ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} ∈ V)
108, 9sylib 217 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} ∈ V)
111, 4, 5, 10fvmptd3 7014 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (wUniClβ€˜π΄) = ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  βˆ© cint 4943  β€˜cfv 6536  WUnicwun 10694  wUniClcwunm 10695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-wun 10696  df-wunc 10697
This theorem is referenced by:  wuncid  10737  wunccl  10738  wuncss  10739
  Copyright terms: Public domain W3C validator