Theorem wuncval 10745

Description: Value of the weak universe closure operator. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
wuncval	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (wUniCl‘𝐴) = ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝑉

Proof of Theorem wuncval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-wunc 10706	. 2 ⊢ wUniCl = (𝑥 ∈ V ↦ ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝑥 ⊆ 𝑢})
2		sseq1 3965	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝑢 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑢))
3	2	rabbidv 3426	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝑥 ⊆ 𝑢} = {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})
4	3	inteqd 4922	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝑥 ⊆ 𝑢} = ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})
5		elex 3479	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
6		wunex 10742	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑢 ∈ WUni 𝐴 ⊆ 𝑢)
7		rabn0 4349	. . . 4 ⊢ ({𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 ∈ WUni 𝐴 ⊆ 𝑢)
8	6, 7	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ≠ ∅)
9		intex 5319	. . 3 ⊢ ({𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ∈ V)
10	8, 9	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ∈ V)
11	1, 4, 5, 10	fvmptd3 7020	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (wUniCl‘𝐴) = ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092  {crab 3419  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  ∩ cint 4917  ‘cfv 6543  WUnicwun 10703  wUniClcwunm 10704

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-wun 10705  df-wunc 10706

This theorem is used by:  wuncid  10746  wunccl  10747  wuncss  10748