MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wuncval 10678
Description: Value of the weak universe closure operator. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
wuncval (𝐴𝑉 → (wUniCl‘𝐴) = {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢})
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝑉

Proof of Theorem wuncval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-wunc 10639 . 2 wUniCl = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝑥𝑢})
2 sseq1 3969 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑢𝐴𝑢))
32rabbidv 3415 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝑥𝑢} = {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢})
43inteqd 4912 . 2 (𝑥 = 𝐴 {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝑥𝑢} = {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢})
5 elex 3463 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
6 wunex 10675 . . . 4 (𝐴𝑉 → ∃𝑢 ∈ WUni 𝐴𝑢)
7 rabn0 4345 . . . 4 ({𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 ∈ WUni 𝐴𝑢)
86, 7sylibr 233 . . 3 (𝐴𝑉 → {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ≠ ∅)
9 intex 5294 . . 3 ({𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ≠ ∅ ↔ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ∈ V)
108, 9sylib 217 . 2 (𝐴𝑉 {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ∈ V)
111, 4, 5, 10fvmptd3 6971 1 (𝐴𝑉 → (wUniCl‘𝐴) = {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282   cint 4907  cfv 6496  WUnicwun 10636  wUniClcwunm 10637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-wun 10638  df-wunc 10639
This theorem is referenced by:  wuncid  10679  wunccl  10680  wuncss  10681
  Copyright terms: Public domain W3C validator