Theorem wuncval 10429

Description: Value of the weak universe closure operator. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
wuncval	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (wUniCl‘𝐴) = ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝑉

Proof of Theorem wuncval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-wunc 10390	. 2 ⊢ wUniCl = (𝑥 ∈ V ↦ ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝑥 ⊆ 𝑢})
2		sseq1 3942	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝑢 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑢))
3	2	rabbidv 3404	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝑥 ⊆ 𝑢} = {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})
4	3	inteqd 4881	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝑥 ⊆ 𝑢} = ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})
5		elex 3440	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
6		wunex 10426	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑢 ∈ WUni 𝐴 ⊆ 𝑢)
7		rabn0 4316	. . . 4 ⊢ ({𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 ∈ WUni 𝐴 ⊆ 𝑢)
8	6, 7	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ≠ ∅)
9		intex 5256	. . 3 ⊢ ({𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ∈ V)
10	8, 9	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ∈ V)
11	1, 4, 5, 10	fvmptd3 6880	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (wUniCl‘𝐴) = ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ∩ cint 4876  ‘cfv 6418  WUnicwun 10387  wUniClcwunm 10388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-wun 10389  df-wunc 10390

This theorem is referenced by:  wuncid  10430  wunccl  10431  wuncss  10432