MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wuncval 10773
Description: Value of the weak universe closure operator. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
wuncval (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (wUniClβ€˜π΄) = ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
Distinct variable groups:   𝑒,𝐴   𝑒,𝑉

Proof of Theorem wuncval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-wunc 10734 . 2 wUniCl = (π‘₯ ∈ V ↦ ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ π‘₯ βŠ† 𝑒})
2 sseq1 4007 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑒 ↔ 𝐴 βŠ† 𝑒))
32rabbidv 3438 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ {𝑒 ∈ WUni ∣ π‘₯ βŠ† 𝑒} = {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
43inteqd 4958 . 2 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ π‘₯ βŠ† 𝑒} = ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
5 elex 3492 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ V)
6 wunex 10770 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ WUni 𝐴 βŠ† 𝑒)
7 rabn0 4389 . . . 4 ({𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘’ ∈ WUni 𝐴 βŠ† 𝑒)
86, 7sylibr 233 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} β‰  βˆ…)
9 intex 5343 . . 3 ({𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} β‰  βˆ… ↔ ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} ∈ V)
108, 9sylib 217 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} ∈ V)
111, 4, 5, 10fvmptd3 7033 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (wUniClβ€˜π΄) = ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067  {crab 3430  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  βˆ© cint 4953  β€˜cfv 6553  WUnicwun 10731  wUniClcwunm 10732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-wun 10733  df-wunc 10734
This theorem is referenced by:  wuncid  10774  wunccl  10775  wuncss  10776
  Copyright terms: Public domain W3C validator