MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wuncval 10733
Description: Value of the weak universe closure operator. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
wuncval (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (wUniClβ€˜π΄) = ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
Distinct variable groups:   𝑒,𝐴   𝑒,𝑉

Proof of Theorem wuncval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-wunc 10694 . 2 wUniCl = (π‘₯ ∈ V ↦ ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ π‘₯ βŠ† 𝑒})
2 sseq1 4006 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑒 ↔ 𝐴 βŠ† 𝑒))
32rabbidv 3440 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ {𝑒 ∈ WUni ∣ π‘₯ βŠ† 𝑒} = {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
43inteqd 4954 . 2 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ π‘₯ βŠ† 𝑒} = ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
5 elex 3492 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ V)
6 wunex 10730 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ WUni 𝐴 βŠ† 𝑒)
7 rabn0 4384 . . . 4 ({𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘’ ∈ WUni 𝐴 βŠ† 𝑒)
86, 7sylibr 233 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} β‰  βˆ…)
9 intex 5336 . . 3 ({𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} β‰  βˆ… ↔ ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} ∈ V)
108, 9sylib 217 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} ∈ V)
111, 4, 5, 10fvmptd3 7018 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (wUniClβ€˜π΄) = ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βˆ© cint 4949  β€˜cfv 6540  WUnicwun 10691  wUniClcwunm 10692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-wun 10693  df-wunc 10694
This theorem is referenced by:  wuncid  10734  wunccl  10735  wuncss  10736
  Copyright terms: Public domain W3C validator