Theorem aspsubrg 20789

Description: The algebraic span of a set of vectors is a subring of the algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aspval.a	⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
aspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
aspsubrg	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑊))

Proof of Theorem aspsubrg

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aspval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
2		aspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4	1, 2, 3	aspval 20786	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
5		ssrab2 3979	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊))
6		inss1 4129	. . . 4 ⊢ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ⊆ (SubRing‘𝑊)
7	5, 6	sstri 3896	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ (SubRing‘𝑊)
8		fvex 6708	. . . . 5 ⊢ (𝐴‘𝑆) ∈ V
9	4, 8	eqeltrrdi 2840	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ∈ V)
10		intex 5215	. . . 4 ⊢ ({𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ∈ V)
11	9, 10	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ≠ ∅)
12		subrgint 19776	. . 3 ⊢ (({𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ (SubRing‘𝑊) ∧ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ≠ ∅) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ∈ (SubRing‘𝑊))
13	7, 11, 12	sylancr 590	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ∈ (SubRing‘𝑊))
14	4, 13	eqeltrd 2831	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  {crab 3055  Vcvv 3398   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853  ∅c0 4223  ∩ cint 4845  ‘cfv 6358  Basecbs 16666  SubRingcsubrg 19750  LSubSpclss 19922  AssAlgcasa 20766  AlgSpancasp 20767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-0g 16900  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-grp 18322  df-minusg 18323  df-subg 18494  df-mgp 19459  df-ur 19471  df-ring 19518  df-subrg 19752  df-lmod 19855  df-lss 19923  df-assa 20769  df-asp 20770

This theorem is referenced by:  mplbas2  20953