MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz9.1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tz9.1c 9773
Description: Alternate expression for the existence of transitive closures tz9.1 9772: the intersection of all transitive sets containing 𝐴 is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tz9.1.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
tz9.1c {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ∈ V
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem tz9.1c
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tz9.1.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
2 eqid 2726 . . . . 5 (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)
3 eqid 2726 . . . . 5 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) = 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤)
41, 2, 3trcl 9771 . . . 4 (𝐴 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∧ Tr 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∧ ∀𝑥((𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) → 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ⊆ 𝑥))
5 3simpa 1145 . . . 4 ((𝐴 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∧ Tr 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∧ ∀𝑥((𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) → 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝐴 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∧ Tr 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤)))
6 omex 9686 . . . . . 6 ω ∈ V
7 fvex 6914 . . . . . 6 ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∈ V
86, 7iunex 7982 . . . . 5 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∈ V
9 sseq2 4006 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) → (𝐴𝑥𝐴 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤)))
10 treq 5278 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) → (Tr 𝑥 ↔ Tr 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤)))
119, 10anbi12d 630 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) → ((𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) ↔ (𝐴 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∧ Tr 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤))))
128, 11spcev 3592 . . . 4 ((𝐴 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∧ Tr 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤)) → ∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥))
134, 5, 12mp2b 10 . . 3 𝑥(𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)
14 abn0 4385 . . 3 ({𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥))
1513, 14mpbir 230 . 2 {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ≠ ∅
16 intex 5344 . 2 ({𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ≠ ∅ ↔ {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ∈ V)
1715, 16mpbi 229 1 {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084  wal 1532   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  {cab 2703  wne 2930  Vcvv 3462  cun 3945  wss 3947  c0 4325   cuni 4913   cint 4954   ciun 5001  cmpt 5236  Tr wtr 5270  cres 5684  cfv 6554  ωcom 7876  reccrdg 8439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440
This theorem is referenced by:  tcvalg  9781
  Copyright terms: Public domain W3C validator