Theorem iocunico 44171

Description: Split an open interval into two pieces at point B, Co-author TA. (Contributed by Jon Pennant, 8-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iocunico	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))

Proof of Theorem iocunico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un23 4120	. . 3 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)𝐶)) ∪ {𝐵})
2		unundir 4123	. . 3 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵(,)𝐶)) ∪ {𝐵}) = (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵}))
3		uncom 4105	. . . 4 ⊢ ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵}) = ({𝐵} ∪ (𝐵(,)𝐶))
4	3	uneq2i 4112	. . 3 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})) = (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ (𝐵(,)𝐶)))
5	1, 2, 4	3eqtrri 2789	. 2 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ (𝐵(,)𝐶))) = (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶))
6		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐵)
9		ioounsn 13589	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
11		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
12		simprr 785	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 < 𝐶)
13		snunioo 13590	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐶) → ({𝐵} ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
14	7, 11, 12, 13	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ({𝐵} ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
15	10, 14	uneq12d 4116	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ ({𝐵} ∪ (𝐵(,)𝐶))) = ((𝐴(,]𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶)))
16		ioojoin 13595	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))
17	5, 15, 16	3eqtr3a 2820	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (𝐵[,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897  {csn 4584   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  (,)cioo 13457  (,]cioc 13458  [,)cico 13459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464

This theorem is used by: (None)