Theorem issmfdmpt 47442

Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfdmpt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
issmfdmpt.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfdmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfdmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfdmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
issmfdmpt.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
issmfdmpt	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem issmfdmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5211	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		issmfdmpt.a	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		issmfdmpt.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		issmfdmpt.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
5		issmfdmpt.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		issmfdmpt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8	5, 6, 7	fmptdf 7114	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)
9		eqidd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
10	9, 6	fvmpt2d 7005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
11	10	breq1d 5120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 𝑎))
12	11	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 𝑎)))
13	5, 12	ralrimi 3263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 𝑎))
14		rabbi 3446	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 𝑎) ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎})
15	13, 14	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎})
16	15	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎})
17		issmfdmpt.p	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
18	16, 17	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
19	1, 2, 3, 4, 8, 18	issmfdf 47431	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  Ⅎwnf 1813   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  {crab 3416   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4873   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100   < clt 11244   ↾_t crest 17474  SAlgcsalg 47002  SMblFncsmblfn 47389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8695  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-smblfn 47390

This theorem is referenced by:  smfadd  47459  smfrec  47483  smfmul  47489