Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfdmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfdmpt 46036
Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfdmpt.x β„²π‘₯πœ‘
issmfdmpt.a β„²π‘Žπœ‘
issmfdmpt.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmfdmpt.i (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
issmfdmpt.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
issmfdmpt.p ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
Assertion
Ref Expression
issmfdmpt (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,π‘₯   𝐡,π‘Ž   𝑆,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘Ž)   𝐡(π‘₯)   𝑆(π‘₯)

Proof of Theorem issmfdmpt
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5249 . 2 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
2 issmfdmpt.a . 2 β„²π‘Žπœ‘
3 issmfdmpt.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
4 issmfdmpt.i . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
5 issmfdmpt.x . . 3 β„²π‘₯πœ‘
6 issmfdmpt.b . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7 eqid 2726 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
85, 6, 7fmptdf 7112 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
9 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
109, 6fvmpt2d 7005 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
1110breq1d 5151 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < π‘Ž ↔ 𝐡 < π‘Ž))
1211ex 412 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < π‘Ž ↔ 𝐡 < π‘Ž)))
135, 12ralrimi 3248 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < π‘Ž ↔ 𝐡 < π‘Ž))
14 rabbi 3456 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < π‘Ž ↔ 𝐡 < π‘Ž) ↔ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 < π‘Ž})
1513, 14sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 < π‘Ž})
1615adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 < π‘Ž})
17 issmfdmpt.p . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
1816, 17eqeltrd 2827 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
191, 2, 3, 4, 8, 18issmfdf 46025 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111   < clt 11252   β†Ύt crest 17375  SAlgcsalg 45596  SMblFncsmblfn 45983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-smblfn 45984
This theorem is referenced by:  smfadd  46053  smfrec  46077  smfmul  46083
  Copyright terms: Public domain W3C validator