Theorem issmfdmpt 46870

Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfdmpt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
issmfdmpt.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfdmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfdmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfdmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
issmfdmpt.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
issmfdmpt	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem issmfdmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5192	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		issmfdmpt.a	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		issmfdmpt.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		issmfdmpt.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
5		issmfdmpt.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		issmfdmpt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8	5, 6, 7	fmptdf 7056	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)
9		eqidd 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
10	9, 6	fvmpt2d 6948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
11	10	breq1d 5103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 𝑎))
12	11	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 𝑎)))
13	5, 12	ralrimi 3231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 𝑎))
14		rabbi 3426	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 𝑎) ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎})
15	13, 14	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎})
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎})
17		issmfdmpt.p	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
18	16, 17	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
19	1, 2, 3, 4, 8, 18	issmfdf 46859	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  {crab 3396   ⊆ wss 3898  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℝcr 11012   < clt 11153   ↾_t crest 17326  SAlgcsalg 46430  SMblFncsmblfn 46817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-er 8628  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-ioo 13251  df-ico 13253  df-smblfn 46818

This theorem is referenced by:  smfadd  46887  smfrec  46911  smfmul  46917