Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfdmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfdmpt 46199
Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfdmpt.x β„²π‘₯πœ‘
issmfdmpt.a β„²π‘Žπœ‘
issmfdmpt.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmfdmpt.i (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
issmfdmpt.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
issmfdmpt.p ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
Assertion
Ref Expression
issmfdmpt (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,π‘₯   𝐡,π‘Ž   𝑆,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘Ž)   𝐡(π‘₯)   𝑆(π‘₯)

Proof of Theorem issmfdmpt
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5251 . 2 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
2 issmfdmpt.a . 2 β„²π‘Žπœ‘
3 issmfdmpt.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
4 issmfdmpt.i . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
5 issmfdmpt.x . . 3 β„²π‘₯πœ‘
6 issmfdmpt.b . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7 eqid 2725 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
85, 6, 7fmptdf 7122 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
9 eqidd 2726 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
109, 6fvmpt2d 7013 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
1110breq1d 5153 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < π‘Ž ↔ 𝐡 < π‘Ž))
1211ex 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < π‘Ž ↔ 𝐡 < π‘Ž)))
135, 12ralrimi 3245 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < π‘Ž ↔ 𝐡 < π‘Ž))
14 rabbi 3450 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < π‘Ž ↔ 𝐡 < π‘Ž) ↔ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 < π‘Ž})
1513, 14sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 < π‘Ž})
1615adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 < π‘Ž})
17 issmfdmpt.p . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
1816, 17eqeltrd 2825 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
191, 2, 3, 4, 8, 18issmfdf 46188 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419   βŠ† wss 3939  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„cr 11137   < clt 11278   β†Ύt crest 17401  SAlgcsalg 45759  SMblFncsmblfn 46146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-smblfn 46147
This theorem is referenced by:  smfadd  46216  smfrec  46240  smfmul  46246
  Copyright terms: Public domain W3C validator