Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfdmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfdmpt 42902
Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfdmpt.x 𝑥𝜑
issmfdmpt.a 𝑎𝜑
issmfdmpt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmfdmpt.i (𝜑𝐴 𝑆)
issmfdmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
issmfdmpt.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
Assertion
Ref Expression
issmfdmpt (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem issmfdmpt
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5155 . 2 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
2 issmfdmpt.a . 2 𝑎𝜑
3 issmfdmpt.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 issmfdmpt.i . 2 (𝜑𝐴 𝑆)
5 issmfdmpt.x . . 3 𝑥𝜑
6 issmfdmpt.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 eqid 2818 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
85, 6, 7fmptdf 6873 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
9 eqidd 2819 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
109, 6fvmpt2d 6773 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
1110breq1d 5067 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎𝐵 < 𝑎))
1211ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎𝐵 < 𝑎)))
135, 12ralrimi 3213 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎𝐵 < 𝑎))
14 rabbi 3381 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎𝐵 < 𝑎) ↔ {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎})
1513, 14sylib 219 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎})
1615adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎})
17 issmfdmpt.p . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
1816, 17eqeltrd 2910 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
191, 2, 3, 4, 8, 18issmfdf 42891 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wnf 1775  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  wss 3933   cuni 4830   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524   < clt 10663  t crest 16682  SAlgcsalg 42470  SMblFncsmblfn 42854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-smblfn 42855
This theorem is referenced by:  smfadd  42918  smfrec  42941  smfmul  42947
  Copyright terms: Public domain W3C validator