Theorem issmfdmpt 46730

Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfdmpt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
issmfdmpt.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfdmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfdmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfdmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
issmfdmpt.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
issmfdmpt	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem issmfdmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5194	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		issmfdmpt.a	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		issmfdmpt.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		issmfdmpt.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
5		issmfdmpt.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		issmfdmpt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8	5, 6, 7	fmptdf 7055	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)
9		eqidd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
10	9, 6	fvmpt2d 6947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
11	10	breq1d 5105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 𝑎))
12	11	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 𝑎)))
13	5, 12	ralrimi 3227	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 𝑎))
14		rabbi 3427	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 𝑎) ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎})
15	13, 14	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎})
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎})
17		issmfdmpt.p	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
18	16, 17	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
19	1, 2, 3, 4, 8, 18	issmfdf 46719	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3396   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027   < clt 11168   ↾_t crest 17342  SAlgcsalg 46290  SMblFncsmblfn 46677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-smblfn 46678

This theorem is referenced by:  smfadd  46747  smfrec  46771  smfmul  46777