Theorem issmfdmpt 46763

Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfdmpt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
issmfdmpt.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfdmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfdmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfdmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
issmfdmpt.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
issmfdmpt	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem issmfdmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5250	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		issmfdmpt.a	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		issmfdmpt.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		issmfdmpt.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
5		issmfdmpt.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		issmfdmpt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8	5, 6, 7	fmptdf 7137	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)
9		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
10	9, 6	fvmpt2d 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
11	10	breq1d 5153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 𝑎))
12	11	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 𝑎)))
13	5, 12	ralrimi 3257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 𝑎))
14		rabbi 3467	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎 ↔ 𝐵 < 𝑎) ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎})
15	13, 14	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎})
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎})
17		issmfdmpt.p	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
18	16, 17	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
19	1, 2, 3, 4, 8, 18	issmfdf 46752	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  {crab 3436   ⊆ wss 3951  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154   < clt 11295   ↾_t crest 17465  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-smblfn 46711

This theorem is referenced by:  smfadd  46780  smfrec  46804  smfmul  46810