Theorem issmfdf 43005

Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfdf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
issmfdf.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfdf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfdf.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfdf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfdf.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
issmfdf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝐹,𝑎   𝑆,𝑎   𝑥,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem issmfdf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issmfdf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
2	1	fdmd 6516	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
3		issmfdf.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
4	2, 3	eqsstrd 4003	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
5	1	ffdmd 6530	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
6		issmfdf.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
7		issmfdf.p	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
8		issmfdf.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
9	8	nfdm 5816	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
10		nfcv 2975	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
11	9, 10	rabeqf 3480	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐷 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
13	2	oveq2d 7164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t dom 𝐹) = (𝑆 ↾t 𝐷))
14	12, 13	eleq12d 2905	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹) ↔ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
15	14	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹) ↔ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
16	7, 15	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
17	16	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹)))
18	6, 17	ralrimi 3214	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
19	4, 5, 18	3jca 1123	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹)))
20		issmfdf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
21		eqid 2819	. . 3 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
22	8, 20, 21	issmff 43002	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))))
23	19, 22	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2959  ∀wral 3136  {crab 3140   ⊆ wss 3934  ∪ cuni 4830   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℝcr 10528   < clt 10667   ↾_t crest 16686  SAlgcsalg 42584  SMblFncsmblfn 42968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-smblfn 42969

This theorem is referenced by:  issmfdmpt  43016  smfconst  43017