Theorem issmfdf 47747

Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfdf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
issmfdf.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfdf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfdf.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfdf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfdf.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
issmfdf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝐹,𝑎   𝑆,𝑎   𝑥,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem issmfdf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issmfdf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
2	1	fdmd 6720	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
3		issmfdf.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
4	2, 3	eqsstrd 3942	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
5	1	ffdmd 6740	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
6		issmfdf.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
7		issmfdf.p	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
8		issmfdf.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
9	8	nfdm 5932	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
10		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
11	9, 10	rabeqf 3445	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐷 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
12	2, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
13	2	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t dom 𝐹) = (𝑆 ↾t 𝐷))
14	12, 13	eleq12d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹) ↔ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹) ↔ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
16	7, 15	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
17	16	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹)))
18	6, 17	ralrimi 3260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
19	4, 5, 18	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹)))
20		issmfdf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
21		eqid 2760	. . 3 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
22	8, 20, 21	issmff 47744	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))))
23	19, 22	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3895  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199   < clt 11343   ↾_t crest 17591  SAlgcsalg 47318  SMblFncsmblfn 47705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-smblfn 47706

This theorem is used by:  issmfdmpt  47758  smfconst  47759