Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfdf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfdf 45453
Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfdf.x β„²π‘₯𝐹
issmfdf.a β„²π‘Žπœ‘
issmfdf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmfdf.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
issmfdf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
issmfdf.p ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfdf (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   𝐹,π‘Ž   𝑆,π‘Ž   π‘₯,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘Ž)   𝐷(π‘Ž)   𝑆(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem issmfdf
StepHypRef Expression
1 issmfdf.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
21fdmd 6729 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐷)
3 issmfdf.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
42, 3eqsstrd 4021 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
51ffdmd 6749 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
6 issmfdf.a . . . 4 β„²π‘Žπœ‘
7 issmfdf.p . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
8 issmfdf.x . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯𝐹
98nfdm 5951 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯dom 𝐹
10 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝐷
119, 10rabeqf 3467 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 = 𝐷 β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž})
122, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž})
132oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) = (𝑆 β†Ύt 𝐷))
1412, 13eleq12d 2828 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) ↔ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
1514adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) ↔ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
167, 15mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
1716ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ ℝ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
186, 17ralrimi 3255 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
194, 5, 183jca 1129 . 2 (πœ‘ β†’ (dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
20 issmfdf.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
21 eqid 2733 . . 3 dom 𝐹 = dom 𝐹
228, 20, 21issmff 45450 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))))
2319, 22mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  βˆ€wral 3062  {crab 3433   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109   < clt 11248   β†Ύt crest 17366  SAlgcsalg 45024  SMblFncsmblfn 45411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-smblfn 45412
This theorem is referenced by:  issmfdmpt  45464  smfconst  45465
  Copyright terms: Public domain W3C validator