Theorem issmfdf 46722

Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfdf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
issmfdf.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfdf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfdf.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfdf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfdf.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
issmfdf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝐹,𝑎   𝑆,𝑎   𝑥,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem issmfdf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issmfdf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
2	1	fdmd 6662	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
3		issmfdf.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
4	2, 3	eqsstrd 3970	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
5	1	ffdmd 6682	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
6		issmfdf.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
7		issmfdf.p	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
8		issmfdf.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
9	8	nfdm 5893	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
10		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
11	9, 10	rabeqf 3429	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐷 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
13	2	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t dom 𝐹) = (𝑆 ↾t 𝐷))
14	12, 13	eleq12d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹) ↔ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹) ↔ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
16	7, 15	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
17	16	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹)))
18	6, 17	ralrimi 3227	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
19	4, 5, 18	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹)))
20		issmfdf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
21		eqid 2729	. . 3 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
22	8, 20, 21	issmff 46719	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))))
23	19, 22	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876  ∀wral 3044  {crab 3394   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5092  dom cdm 5619  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008   < clt 11149   ↾_t crest 17324  SAlgcsalg 46293  SMblFncsmblfn 46680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-smblfn 46681

This theorem is referenced by:  issmfdmpt  46733  smfconst  46734