Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfdf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfdf 45751
Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfdf.x β„²π‘₯𝐹
issmfdf.a β„²π‘Žπœ‘
issmfdf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmfdf.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
issmfdf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
issmfdf.p ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfdf (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   𝐹,π‘Ž   𝑆,π‘Ž   π‘₯,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘Ž)   𝐷(π‘Ž)   𝑆(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem issmfdf
StepHypRef Expression
1 issmfdf.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
21fdmd 6727 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐷)
3 issmfdf.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
42, 3eqsstrd 4019 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
51ffdmd 6747 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
6 issmfdf.a . . . 4 β„²π‘Žπœ‘
7 issmfdf.p . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
8 issmfdf.x . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯𝐹
98nfdm 5949 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯dom 𝐹
10 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝐷
119, 10rabeqf 3464 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 = 𝐷 β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž})
122, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž})
132oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) = (𝑆 β†Ύt 𝐷))
1412, 13eleq12d 2825 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) ↔ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
1514adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ({π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) ↔ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
167, 15mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
1716ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ ℝ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
186, 17ralrimi 3252 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
194, 5, 183jca 1126 . 2 (πœ‘ β†’ (dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
20 issmfdf.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
21 eqid 2730 . . 3 dom 𝐹 = dom 𝐹
228, 20, 21issmff 45748 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))))
2319, 22mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  β„²wnf 1783   ∈ wcel 2104  β„²wnfc 2881  βˆ€wral 3059  {crab 3430   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111   < clt 11252   β†Ύt crest 17370  SAlgcsalg 45322  SMblFncsmblfn 45709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-smblfn 45710
This theorem is referenced by:  issmfdmpt  45762  smfconst  45763
  Copyright terms: Public domain W3C validator