Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfadd 46721
Description: The sum of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfadd.x 𝑥𝜑
smfadd.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfadd.a (𝜑𝐴𝑉)
smfadd.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfadd.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfadd.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfadd.n (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
smfadd (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfadd
Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfadd.x . 2 𝑥𝜑
2 nfv 1912 . 2 𝑎𝜑
3 smfadd.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 elinel1 4211 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐴)
54adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐴)
61, 5ssdf 45015 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴)
7 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
8 smfadd.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
91, 7, 8dmmptdf 45167 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
109eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
11 smfadd.m . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12 eqid 2735 . . . . 5 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
133, 11, 12smfdmss 46689 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
1410, 13eqsstrd 4034 . . 3 (𝜑𝐴 𝑆)
156, 14sstrd 4006 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝑆)
165, 8syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17 elinel2 4212 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐶)
1817adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐶)
19 smfadd.d . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
2018, 19syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
2116, 20readdcld 11288 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
22 eqid 2735 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷))
231, 21, 22fmptdf 7137 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)):(𝐴𝐶)⟶ℝ)
2423fvmptelcdm 7133 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
25 nfv 1912 . . . 4 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
261, 25nfan 1897 . . 3 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
273adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
28 smfadd.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
2928adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
308adantlr 715 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3119adantlr 715 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
3211adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
33 smfadd.n . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
3433adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
35 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
36 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑞 → (𝑝 + 𝑟) = (𝑝 + 𝑞))
3736breq1d 5158 . . . . 5 (𝑟 = 𝑞 → ((𝑝 + 𝑟) < 𝑎 ↔ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎))
3837cbvrabv 3444 . . . 4 {𝑟 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑟) < 𝑎} = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎}
3938mpteq2i 5253 . . 3 (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑟 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑟) < 𝑎}) = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎})
4026, 27, 29, 30, 31, 32, 34, 35, 39smfaddlem2 46720 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑎} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
411, 2, 3, 15, 24, 40issmfdmpt 46704 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  {crab 3433  cin 3962   cuni 4912   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152   + caddc 11156   < clt 11293  cq 12988  SAlgcsalg 46264  SMblFncsmblfn 46651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-rest 17469  df-salg 46265  df-smblfn 46652
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator