Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfadd 41488
Description: The sum of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfadd.x 𝑥𝜑
smfadd.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfadd.a (𝜑𝐴𝑉)
smfadd.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfadd.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfadd.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfadd.n (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
smfadd (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfadd
Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfadd.x . 2 𝑥𝜑
2 nfv 1995 . 2 𝑎𝜑
3 smfadd.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 elinel1 3950 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐴)
54adantl 467 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐴)
61, 5ssdf 39766 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴)
7 eqid 2771 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
8 smfadd.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
91, 7, 8dmmptdf 39932 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
109eqcomd 2777 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
11 smfadd.m . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12 eqid 2771 . . . . 5 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
133, 11, 12smfdmss 41457 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
1410, 13eqsstrd 3788 . . 3 (𝜑𝐴 𝑆)
156, 14sstrd 3762 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝑆)
165, 8syldan 579 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17 elinel2 3951 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐶)
1817adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐶)
19 smfadd.d . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
2018, 19syldan 579 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
2116, 20readdcld 10275 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
22 eqid 2771 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷))
231, 21, 22fmptdf 6532 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)):(𝐴𝐶)⟶ℝ)
2423mptex2 6528 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
25 nfv 1995 . . . 4 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
261, 25nfan 1980 . . 3 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
273adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
28 smfadd.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
2928adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
308adantlr 694 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3119adantlr 694 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
3211adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
33 smfadd.n . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
3433adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
35 simpr 471 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
36 oveq2 6804 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑞 → (𝑝 + 𝑟) = (𝑝 + 𝑞))
3736breq1d 4797 . . . . 5 (𝑟 = 𝑞 → ((𝑝 + 𝑟) < 𝑎 ↔ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎))
3837cbvrabv 3349 . . . 4 {𝑟 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑟) < 𝑎} = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎}
3938mpteq2i 4876 . . 3 (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑟 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑟) < 𝑎}) = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎})
4026, 27, 29, 30, 31, 32, 34, 35, 39smfaddlem2 41487 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑎} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
411, 2, 3, 15, 24, 40issmfdmpt 41472 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wnf 1856  wcel 2145  {crab 3065  cin 3722   cuni 4575   class class class wbr 4787  cmpt 4864  dom cdm 5250  cfv 6030  (class class class)co 6796  cr 10141   + caddc 10145   < clt 10280  cq 11996  SAlgcsalg 41040  SMblFncsmblfn 41424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cc 9463  ax-ac2 9491  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-ac 9143  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-q 11997  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-rest 16291  df-salg 41041  df-smblfn 41425
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator