Theorem smfadd 46756

Description: The sum of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfadd.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfadd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfadd.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfadd.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfadd.n	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
smfadd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfadd

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfadd.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1914	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		smfadd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		elinel1 4166	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
6	1, 5	ssdf 45062	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴)
7		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8		smfadd.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	1, 7, 8	dmmptdf 45211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
10	9	eqcomd 2736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
11		smfadd.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
13	3, 11, 12	smfdmss 46724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑆)
14	10, 13	eqsstrd 3983	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
15	6, 14	sstrd 3959	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ ∪ 𝑆)
16	5, 8	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17		elinel2 4167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
19		smfadd.d	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
20	18, 19	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
21	16, 20	readdcld 11209	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
22		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷))
23	1, 21, 22	fmptdf 7091	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)):(𝐴 ∩ 𝐶)⟶ℝ)
24	23	fvmptelcdm 7087	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
25		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
26	1, 25	nfan 1899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
27	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
28		smfadd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
29	28	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
30	8	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	19	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
32	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
33		smfadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
34	33	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
35		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
36		oveq2 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑞 → (𝑝 + 𝑟) = (𝑝 + 𝑞))
37	36	breq1d 5119	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑞 → ((𝑝 + 𝑟) < 𝑎 ↔ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎))
38	37	cbvrabv 3419	. . . 4 ⊢ {𝑟 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑟) < 𝑎} = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎}
39	38	mpteq2i 5205	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑟 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑟) < 𝑎}) = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎})
40	26, 27, 29, 30, 31, 32, 34, 35, 39	smfaddlem2 46755	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
41	1, 2, 3, 15, 24, 40	issmfdmpt 46739	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  {crab 3408   ∩ cin 3915  ∪ cuni 4873   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5640  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℝcr 11073   + caddc 11077   < clt 11214  ℚcq 12913  SAlgcsalg 46299  SMblFncsmblfn 46686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cc 10394  ax-ac2 10422  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-oadd 8440  df-omul 8441  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-card 9898  df-acn 9901  df-ac 10075  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-q 12914  df-ioo 13316  df-ico 13318  df-rest 17391  df-salg 46300  df-smblfn 46687

This theorem is referenced by: (None)