Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfadd 46404
Description: The sum of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfadd.x 𝑥𝜑
smfadd.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfadd.a (𝜑𝐴𝑉)
smfadd.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfadd.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfadd.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfadd.n (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
smfadd (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfadd
Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfadd.x . 2 𝑥𝜑
2 nfv 1910 . 2 𝑎𝜑
3 smfadd.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 elinel1 4196 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐴)
54adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐴)
61, 5ssdf 44694 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴)
7 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
8 smfadd.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
91, 7, 8dmmptdf 44849 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
109eqcomd 2732 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
11 smfadd.m . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12 eqid 2726 . . . . 5 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
133, 11, 12smfdmss 46372 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
1410, 13eqsstrd 4018 . . 3 (𝜑𝐴 𝑆)
156, 14sstrd 3990 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝑆)
165, 8syldan 589 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17 elinel2 4197 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐶)
1817adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐶)
19 smfadd.d . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
2018, 19syldan 589 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
2116, 20readdcld 11295 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
22 eqid 2726 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷))
231, 21, 22fmptdf 7133 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)):(𝐴𝐶)⟶ℝ)
2423fvmptelcdm 7129 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
25 nfv 1910 . . . 4 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
261, 25nfan 1895 . . 3 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
273adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
28 smfadd.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
2928adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
308adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3119adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
3211adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
33 smfadd.n . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
3433adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
35 simpr 483 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
36 oveq2 7434 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑞 → (𝑝 + 𝑟) = (𝑝 + 𝑞))
3736breq1d 5165 . . . . 5 (𝑟 = 𝑞 → ((𝑝 + 𝑟) < 𝑎 ↔ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎))
3837cbvrabv 3430 . . . 4 {𝑟 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑟) < 𝑎} = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎}
3938mpteq2i 5260 . . 3 (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑟 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑟) < 𝑎}) = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎})
4026, 27, 29, 30, 31, 32, 34, 35, 39smfaddlem2 46403 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑎} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
411, 2, 3, 15, 24, 40issmfdmpt 46387 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  {crab 3419  cin 3946   cuni 4915   class class class wbr 5155  cmpt 5238  dom cdm 5684  cfv 6556  (class class class)co 7426  cr 11159   + caddc 11163   < clt 11300  cq 12986  SAlgcsalg 45947  SMblFncsmblfn 46334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-inf2 9686  ax-cc 10480  ax-ac2 10508  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-pre-sup 11238
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-2o 8499  df-oadd 8502  df-omul 8503  df-er 8736  df-map 8859  df-pm 8860  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9487  df-inf 9488  df-oi 9555  df-card 9984  df-acn 9987  df-ac 10161  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12613  df-uz 12877  df-q 12987  df-ioo 13384  df-ico 13386  df-rest 17439  df-salg 45948  df-smblfn 46335
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator