Theorem smfadd 46763

Description: The sum of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfadd.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfadd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfadd.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfadd.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfadd.n	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
smfadd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfadd

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfadd.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1914	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		smfadd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		elinel1 4164	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
6	1, 5	ssdf 45069	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴)
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8		smfadd.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	1, 7, 8	dmmptdf 45218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
10	9	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
11		smfadd.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
13	3, 11, 12	smfdmss 46731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑆)
14	10, 13	eqsstrd 3981	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
15	6, 14	sstrd 3957	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ ∪ 𝑆)
16	5, 8	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17		elinel2 4165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
19		smfadd.d	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
20	18, 19	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
21	16, 20	readdcld 11203	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷))
23	1, 21, 22	fmptdf 7089	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)):(𝐴 ∩ 𝐶)⟶ℝ)
24	23	fvmptelcdm 7085	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
25		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
26	1, 25	nfan 1899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
27	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
28		smfadd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
29	28	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
30	8	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	19	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
32	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
33		smfadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
34	33	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
35		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
36		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑞 → (𝑝 + 𝑟) = (𝑝 + 𝑞))
37	36	breq1d 5117	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑞 → ((𝑝 + 𝑟) < 𝑎 ↔ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎))
38	37	cbvrabv 3416	. . . 4 ⊢ {𝑟 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑟) < 𝑎} = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎}
39	38	mpteq2i 5203	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑟 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑟) < 𝑎}) = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎})
40	26, 27, 29, 30, 31, 32, 34, 35, 39	smfaddlem2 46762	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
41	1, 2, 3, 15, 24, 40	issmfdmpt 46746	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  {crab 3405   ∩ cin 3913  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067   + caddc 11071   < clt 11208  ℚcq 12907  SAlgcsalg 46306  SMblFncsmblfn 46693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388  ax-ac2 10416  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-acn 9895  df-ac 10069  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-rest 17385  df-salg 46307  df-smblfn 46694

This theorem is referenced by: (None)