Theorem smfadd 46404

Description: The sum of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfadd.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfadd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfadd.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfadd.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfadd.n	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
smfadd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfadd

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfadd.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1910	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		smfadd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		elinel1 4196	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
6	1, 5	ssdf 44694	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴)
7		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8		smfadd.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	1, 7, 8	dmmptdf 44849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
10	9	eqcomd 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
11		smfadd.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
13	3, 11, 12	smfdmss 46372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑆)
14	10, 13	eqsstrd 4018	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
15	6, 14	sstrd 3990	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ ∪ 𝑆)
16	5, 8	syldan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17		elinel2 4197	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
18	17	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
19		smfadd.d	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
20	18, 19	syldan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
21	16, 20	readdcld 11295	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
22		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷))
23	1, 21, 22	fmptdf 7133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)):(𝐴 ∩ 𝐶)⟶ℝ)
24	23	fvmptelcdm 7129	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
25		nfv 1910	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
26	1, 25	nfan 1895	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
27	3	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
28		smfadd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
29	28	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
30	8	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	19	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
32	11	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
33		smfadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
34	33	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
35		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
36		oveq2 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑞 → (𝑝 + 𝑟) = (𝑝 + 𝑞))
37	36	breq1d 5165	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑞 → ((𝑝 + 𝑟) < 𝑎 ↔ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎))
38	37	cbvrabv 3430	. . . 4 ⊢ {𝑟 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑟) < 𝑎} = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎}
39	38	mpteq2i 5260	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑟 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑟) < 𝑎}) = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎})
40	26, 27, 29, 30, 31, 32, 34, 35, 39	smfaddlem2 46403	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
41	1, 2, 3, 15, 24, 40	issmfdmpt 46387	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099  {crab 3419   ∩ cin 3946  ∪ cuni 4915   class class class wbr 5155   ↦ cmpt 5238  dom cdm 5684  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426  ℝcr 11159   + caddc 11163   < clt 11300  ℚcq 12986  SAlgcsalg 45947  SMblFncsmblfn 46334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-inf2 9686  ax-cc 10480  ax-ac2 10508  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-pre-sup 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-2o 8499  df-oadd 8502  df-omul 8503  df-er 8736  df-map 8859  df-pm 8860  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9487  df-inf 9488  df-oi 9555  df-card 9984  df-acn 9987  df-ac 10161  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12613  df-uz 12877  df-q 12987  df-ioo 13384  df-ico 13386  df-rest 17439  df-salg 45948  df-smblfn 46335

This theorem is referenced by: (None)