Theorem smfmul 46810

Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmul.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfmul.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmul.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfmul.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmul.n	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
smfmul	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 · 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfmul

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfmul.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1914	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		smfmul.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		elinel1 4201	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
6	1, 5	ssdf 45080	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴)
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8		smfmul.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	1, 7, 8	dmmptdf 45229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
10	9	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
11		smfmul.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
13	3, 11, 12	smfdmss 46748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑆)
14	10, 13	eqsstrd 4018	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
15	6, 14	sstrd 3994	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ ∪ 𝑆)
16	5, 8	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17		elinel2 4202	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
19		smfmul.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
20	18, 19	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
21	16, 20	remulcld 11291	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
22		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
23	1, 22	nfan 1899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
24	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
25		smfmul.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
27	8	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	19	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
29	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
30		smfmul.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
31	30	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
32		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
33		fveq1 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘2) = (𝑞‘2))
34		fveq1 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘3) = (𝑞‘3))
35	33, 34	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3)) = ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))
36	35	raleqdv 3326	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
37	36	ralbidv 3178	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
38		fveq1 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘0) = (𝑞‘0))
39		fveq1 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘1) = (𝑞‘1))
40	38, 39	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1)) = ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)))
41	40	raleqdv 3326	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
42	37, 41	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
43	42	cbvrabv 3447	. . 3 ⊢ {𝑝 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎} = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎}
44		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑝 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎} ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}) = (𝑞 ∈ {𝑝 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎} ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
45	23, 24, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 43, 44	smfmullem4 46809	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
46	1, 2, 3, 15, 21, 45	issmfdmpt 46763	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 · 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  {crab 3436   ∩ cin 3950  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295  2c2 12321  3c3 12322  ℚcq 12990  (,)cioo 13387  ...cfz 13547  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-s4 14889  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-rest 17467  df-salg 46324  df-smblfn 46711

This theorem is referenced by:  smfmulc1  46811  smfdiv  46812