Theorem smfmul 44216

Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmul.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfmul.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmul.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfmul.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmul.n	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
smfmul	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 · 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfmul

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfmul.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1918	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		smfmul.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		elinel1 4125	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
6	1, 5	ssdf 42514	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴)
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8		smfmul.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	1, 7, 8	dmmptdf 42652	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
10	9	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
11		smfmul.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
13	3, 11, 12	smfdmss 44156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑆)
14	10, 13	eqsstrd 3955	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
15	6, 14	sstrd 3927	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ ∪ 𝑆)
16	5, 8	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17		elinel2 4126	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
19		smfmul.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
20	18, 19	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
21	16, 20	remulcld 10936	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
22		nfv 1918	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
23	1, 22	nfan 1903	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
24	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
25		smfmul.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
27	8	adantlr 711	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	19	adantlr 711	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
29	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
30		smfmul.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
31	30	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
32		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
33		fveq1 6755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘2) = (𝑞‘2))
34		fveq1 6755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘3) = (𝑞‘3))
35	33, 34	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3)) = ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))
36	35	raleqdv 3339	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
37	36	ralbidv 3120	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
38		fveq1 6755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘0) = (𝑞‘0))
39		fveq1 6755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘1) = (𝑞‘1))
40	38, 39	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1)) = ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)))
41	40	raleqdv 3339	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
42	37, 41	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
43	42	cbvrabv 3416	. . 3 ⊢ {𝑝 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎} = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎}
44		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑝 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎} ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}) = (𝑞 ∈ {𝑝 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎} ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
45	23, 24, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 43, 44	smfmullem4 44215	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
46	1, 2, 3, 15, 21, 45	issmfdmpt 44171	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 · 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  {crab 3067   ∩ cin 3882  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   < clt 10940  2c2 11958  3c3 11959  ℚcq 12617  (,)cioo 13008  ...cfz 13168  SAlgcsalg 43739  SMblFncsmblfn 44123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-s4 14491  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-rest 17050  df-salg 43740  df-smblfn 44124

This theorem is referenced by:  smfmulc1  44217  smfdiv  44218