Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfmul 44576
Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmul.x 𝑥𝜑
smfmul.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfmul.a (𝜑𝐴𝑉)
smfmul.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmul.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfmul.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmul.n (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
smfmul (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 · 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfmul
Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfmul.x . 2 𝑥𝜑
2 nfv 1914 . 2 𝑎𝜑
3 smfmul.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 elinel1 4134 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐴)
54adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐴)
61, 5ssdf 42851 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴)
7 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
8 smfmul.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
91, 7, 8dmmptdf 42997 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
109eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
11 smfmul.m . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12 eqid 2735 . . . . 5 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
133, 11, 12smfdmss 44514 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
1410, 13eqsstrd 3963 . . 3 (𝜑𝐴 𝑆)
156, 14sstrd 3935 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝑆)
165, 8syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17 elinel2 4135 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐶)
1817adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐶)
19 smfmul.d . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
2018, 19syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
2116, 20remulcld 11065 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
22 nfv 1914 . . . 4 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
231, 22nfan 1899 . . 3 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
243adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
25 smfmul.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
2625adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
278adantlr 712 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2819adantlr 712 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
2911adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
30 smfmul.n . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
3130adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
32 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
33 fveq1 6803 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘2) = (𝑞‘2))
34 fveq1 6803 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘3) = (𝑞‘3))
3533, 34oveq12d 7326 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3)) = ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))
3635raleqdv 3308 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
3736ralbidv 3169 . . . . 5 (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
38 fveq1 6803 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘0) = (𝑞‘0))
39 fveq1 6803 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘1) = (𝑞‘1))
4038, 39oveq12d 7326 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1)) = ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)))
4140raleqdv 3308 . . . . 5 (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
4237, 41bitrd 278 . . . 4 (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
4342cbvrabv 3432 . . 3 {𝑝 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎} = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎}
44 eqid 2735 . . 3 (𝑞 ∈ {𝑝 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎} ↦ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}) = (𝑞 ∈ {𝑝 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎} ↦ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
4523, 24, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 43, 44smfmullem4 44575 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑎} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
461, 2, 3, 15, 21, 45issmfdmpt 44529 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 · 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1538  wnf 1782  wcel 2103  wral 3060  {crab 3356  cin 3890   cuni 4843   class class class wbr 5080  cmpt 5163  dom cdm 5600  cfv 6458  (class class class)co 7308  m cmap 8651  cr 10930  0cc0 10931  1c1 10932   · cmul 10936   < clt 11069  2c2 12088  3c3 12089  cq 12748  (,)cioo 13139  ...cfz 13299  SAlgcsalg 44091  SMblFncsmblfn 44476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1968  ax-7 2008  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2134  ax-11 2151  ax-12 2168  ax-ext 2706  ax-rep 5217  ax-sep 5231  ax-nul 5238  ax-pow 5296  ax-pr 5360  ax-un 7621  ax-inf2 9457  ax-cc 10251  ax-ac2 10279  ax-cnex 10987  ax-resscn 10988  ax-1cn 10989  ax-icn 10990  ax-addcl 10991  ax-addrcl 10992  ax-mulcl 10993  ax-mulrcl 10994  ax-mulcom 10995  ax-addass 10996  ax-mulass 10997  ax-distr 10998  ax-i2m1 10999  ax-1ne0 11000  ax-1rid 11001  ax-rnegex 11002  ax-rrecex 11003  ax-cnre 11004  ax-pre-lttri 11005  ax-pre-lttrn 11006  ax-pre-ltadd 11007  ax-pre-mulgt0 11008  ax-pre-sup 11009
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2813  df-nfc 2885  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3339  df-reu 3340  df-rab 3357  df-v 3438  df-sbc 3721  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4844  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5081  df-opab 5143  df-mpt 5164  df-tr 5198  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7265  df-ov 7311  df-oprab 7312  df-mpo 7313  df-om 7749  df-1st 7867  df-2nd 7868  df-frecs 8132  df-wrecs 8163  df-recs 8237  df-rdg 8276  df-1o 8332  df-oadd 8336  df-omul 8337  df-er 8534  df-map 8653  df-pm 8654  df-en 8770  df-dom 8771  df-sdom 8772  df-fin 8773  df-sup 9259  df-inf 9260  df-oi 9327  df-card 9755  df-acn 9758  df-ac 9932  df-pnf 11071  df-mnf 11072  df-xr 11073  df-ltxr 11074  df-le 11075  df-sub 11267  df-neg 11268  df-div 11693  df-nn 12034  df-2 12096  df-3 12097  df-4 12098  df-n0 12294  df-z 12380  df-uz 12643  df-q 12749  df-rp 12791  df-ioo 13143  df-ico 13145  df-icc 13146  df-fz 13300  df-fzo 13443  df-fl 13572  df-seq 13782  df-exp 13843  df-hash 14105  df-word 14277  df-concat 14333  df-s1 14360  df-s2 14620  df-s3 14621  df-s4 14622  df-cj 14869  df-re 14870  df-im 14871  df-sqrt 15005  df-abs 15006  df-rest 17192  df-salg 44092  df-smblfn 44477
This theorem is referenced by:  smfmulc1  44577  smfdiv  44578
  Copyright terms: Public domain W3C validator