Theorem smfmul 45026

Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmul.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfmul.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmul.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfmul.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmul.n	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
smfmul	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 · 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfmul

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfmul.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfv 1917	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		smfmul.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		elinel1 4155	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
6	1, 5	ssdf 43275	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8		smfmul.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	1, 7, 8	dmmptdf 43435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
10	9	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
11		smfmul.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
13	3, 11, 12	smfdmss 44964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑆)
14	10, 13	eqsstrd 3982	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
15	6, 14	sstrd 3954	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ ∪ 𝑆)
16	5, 8	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17		elinel2 4156	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
18	17	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
19		smfmul.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
20	18, 19	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
21	16, 20	remulcld 11185	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
22		nfv 1917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
23	1, 22	nfan 1902	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
24	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
25		smfmul.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
27	8	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	19	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
29	11	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
30		smfmul.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
31	30	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
32		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
33		fveq1 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘2) = (𝑞‘2))
34		fveq1 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘3) = (𝑞‘3))
35	33, 34	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3)) = ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))
36	35	raleqdv 3313	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
37	36	ralbidv 3174	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
38		fveq1 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘0) = (𝑞‘0))
39		fveq1 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘1) = (𝑞‘1))
40	38, 39	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1)) = ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)))
41	40	raleqdv 3313	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
42	37, 41	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
43	42	cbvrabv 3417	. . 3 ⊢ {𝑝 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎} = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎}
44		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑝 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎} ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}) = (𝑞 ∈ {𝑝 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎} ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
45	23, 24, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 43, 44	smfmullem4 45025	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
46	1, 2, 3, 15, 21, 45	issmfdmpt 44979	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ (𝐵 · 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3407   ∩ cin 3909  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8765  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189  2c2 12208  3c3 12209  ℚcq 12873  (,)cioo 13264  ...cfz 13424  SAlgcsalg 44539  SMblFncsmblfn 44926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-ac2 10399  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-ac 10052  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-s2 14737  df-s3 14738  df-s4 14739  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-rest 17304  df-salg 44540  df-smblfn 44927

This theorem is referenced by:  smfmulc1  45027  smfdiv  45028