Theorem hlrelat5N 39847

Description: An atomistic lattice with 0 is relatively atomic, using the definition in Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlrelat5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlrelat5.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
hlrelat5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlrelat5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlrelat5N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hints:   < (𝑝)   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat5N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlrelat5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		hlrelat5.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		hlrelat5.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4		hlrelat5.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlrelat1 39846	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
6	5	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
7		hllat 39809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
8		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 4	atbase 39735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
10		ovexd 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ V)
11	2, 3	pltval 18296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ V) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝))))
12	10, 11	syl3an3 1166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝))))
13		hlrelat5.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14	1, 2, 13	latlej1 18414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑝))
15	14	biantrurd 532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝))))
16	12, 15	bitr4d 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝)))
17	1, 2, 13	latleeqj1 18417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑝 ≤ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑋) = 𝑋))
18	17	3com23 1127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝 ≤ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑋) = 𝑋))
19	1, 13	latjcom 18413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑝 ∨ 𝑋))
20	19	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑋) = 𝑋))
21	18, 20	bitr4d 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝 ≤ 𝑋 ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋))
22	21	notbid 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ↔ ¬ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋))
23		nesym 2989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ ¬ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋)
24	22, 23	bitr4di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝)))
25	16, 24	bitr4d 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋))
26	7, 8, 9, 25	syl3an 1161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋))
27	26	3expa 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋))
28	27	anbi1d 632	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
29	28	rexbidva 3160	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
30	29	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
31	30	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
32	6, 31	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  lecple 17227  ltcplt 18274  joincjn 18277  Latclat 18397  Atomscatm 39709  HLchlt 39796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797

This theorem is referenced by: (None)