Theorem hlrelat5N 39004

Description: An atomistic lattice with 0 is relatively atomic, using the definition in Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlrelat5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlrelat5.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
hlrelat5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlrelat5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlrelat5N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hints:   < (𝑝)   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat5N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlrelat5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		hlrelat5.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		hlrelat5.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4		hlrelat5.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlrelat1 39003	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
6	5	imp 405	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
7		hllat 38965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
8		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 4	atbase 38891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
10		ovexd 7454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ V)
11	2, 3	pltval 18327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ V) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝))))
12	10, 11	syl3an3 1162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝))))
13		hlrelat5.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14	1, 2, 13	latlej1 18443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑝))
15	14	biantrurd 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝))))
16	12, 15	bitr4d 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝)))
17	1, 2, 13	latleeqj1 18446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑝 ≤ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑋) = 𝑋))
18	17	3com23 1123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝 ≤ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑋) = 𝑋))
19	1, 13	latjcom 18442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑝 ∨ 𝑋))
20	19	eqeq1d 2727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑋) = 𝑋))
21	18, 20	bitr4d 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝 ≤ 𝑋 ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋))
22	21	notbid 317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ↔ ¬ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋))
23		nesym 2986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ ¬ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋)
24	22, 23	bitr4di 288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝)))
25	16, 24	bitr4d 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋))
26	7, 8, 9, 25	syl3an 1157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋))
27	26	3expa 1115	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋))
28	27	anbi1d 629	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
29	28	rexbidva 3166	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
30	29	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
31	30	adantr 479	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
32	6, 31	mpbird 256	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∃wrex 3059  Vcvv 3461   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  lecple 17243  ltcplt 18303  joincjn 18306  Latclat 18426  Atomscatm 38865  HLchlt 38952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-lat 18427  df-clat 18494  df-oposet 38778  df-ol 38780  df-oml 38781  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953

This theorem is referenced by: (None)