Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlrelat5N 39004
Description: An atomistic lattice with 0 is relatively atomic, using the definition in Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat5.l = (le‘𝐾)
hlrelat5.s < = (lt‘𝐾)
hlrelat5.j = (join‘𝐾)
hlrelat5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlrelat5N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   < (𝑝)   (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat5N
StepHypRef Expression
1 hlrelat5.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 hlrelat5.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 hlrelat5.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
4 hlrelat5.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlrelat1 39003 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
65imp 405 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
7 hllat 38965 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
8 id 22 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
91, 4atbase 38891 . . . . . . . 8 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
10 ovexd 7454 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐵 → (𝑋 𝑝) ∈ V)
112, 3pltval 18327 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑝) ∈ V) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝))))
1210, 11syl3an3 1162 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝))))
13 hlrelat5.j . . . . . . . . . . . 12 = (join‘𝐾)
141, 2, 13latlej1 18443 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑝))
1514biantrurd 531 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 ≠ (𝑋 𝑝) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝))))
1612, 15bitr4d 281 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝)))
171, 2, 13latleeqj1 18446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝𝐵𝑋𝐵) → (𝑝 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋) = 𝑋))
18173com23 1123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑝 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋) = 𝑋))
191, 13latjcom 18442 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 𝑝) = (𝑝 𝑋))
2019eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → ((𝑋 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋) = 𝑋))
2118, 20bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑝 𝑋 ↔ (𝑋 𝑝) = 𝑋))
2221notbid 317 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (¬ 𝑝 𝑋 ↔ ¬ (𝑋 𝑝) = 𝑋))
23 nesym 2986 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ≠ (𝑋 𝑝) ↔ ¬ (𝑋 𝑝) = 𝑋)
2422, 23bitr4di 288 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋 ≠ (𝑋 𝑝)))
2516, 24bitr4d 281 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 𝑋))
267, 8, 9, 25syl3an 1157 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐴) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 𝑋))
27263expa 1115 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 𝑋))
2827anbi1d 629 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
2928rexbidva 3166 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
30293adant3 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
3130adantr 479 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
326, 31mpbird 256 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059  Vcvv 3461   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  lecple 17243  ltcplt 18303  joincjn 18306  Latclat 18426  Atomscatm 38865  HLchlt 38952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-lat 18427  df-clat 18494  df-oposet 38778  df-ol 38780  df-oml 38781  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator