Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlrelat5N 36642
Description: An atomistic lattice with 0 is relatively atomic, using the definition in Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat5.l = (le‘𝐾)
hlrelat5.s < = (lt‘𝐾)
hlrelat5.j = (join‘𝐾)
hlrelat5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlrelat5N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   < (𝑝)   (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat5N
StepHypRef Expression
1 hlrelat5.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 hlrelat5.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 hlrelat5.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
4 hlrelat5.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlrelat1 36641 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
65imp 410 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
7 hllat 36604 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
8 id 22 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
91, 4atbase 36530 . . . . . . . 8 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
10 ovexd 7184 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐵 → (𝑋 𝑝) ∈ V)
112, 3pltval 17570 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑝) ∈ V) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝))))
1210, 11syl3an3 1162 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝))))
13 hlrelat5.j . . . . . . . . . . . 12 = (join‘𝐾)
141, 2, 13latlej1 17670 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑝))
1514biantrurd 536 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 ≠ (𝑋 𝑝) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝))))
1612, 15bitr4d 285 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝)))
171, 2, 13latleeqj1 17673 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝𝐵𝑋𝐵) → (𝑝 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋) = 𝑋))
18173com23 1123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑝 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋) = 𝑋))
191, 13latjcom 17669 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 𝑝) = (𝑝 𝑋))
2019eqeq1d 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → ((𝑋 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋) = 𝑋))
2118, 20bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑝 𝑋 ↔ (𝑋 𝑝) = 𝑋))
2221notbid 321 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (¬ 𝑝 𝑋 ↔ ¬ (𝑋 𝑝) = 𝑋))
23 nesym 3070 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ≠ (𝑋 𝑝) ↔ ¬ (𝑋 𝑝) = 𝑋)
2422, 23syl6bbr 292 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋 ≠ (𝑋 𝑝)))
2516, 24bitr4d 285 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 𝑋))
267, 8, 9, 25syl3an 1157 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐴) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 𝑋))
27263expa 1115 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 𝑋))
2827anbi1d 632 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
2928rexbidva 3288 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
30293adant3 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
3130adantr 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
326, 31mpbird 260 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wrex 3134  Vcvv 3480   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  lecple 16572  ltcplt 17551  joincjn 17554  Latclat 17655  Atomscatm 36504  HLchlt 36591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36417  df-ol 36419  df-oml 36420  df-covers 36507  df-ats 36508  df-atl 36539  df-cvlat 36563  df-hlat 36592
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator