Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hlrelat5.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | hlrelat5.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | hlrelat5.s |
. . . 4
β’ < =
(ltβπΎ) |
4 | | hlrelat5.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | 1, 2, 3, 4 | hlrelat1 37909 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π < π β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π))) |
6 | 5 | imp 408 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π)) |
7 | | hllat 37871 |
. . . . . . . 8
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
8 | | id 22 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΅ β π β π΅) |
9 | 1, 4 | atbase 37797 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
10 | | ovexd 7393 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π΅ β (π β¨ π) β V) |
11 | 2, 3 | pltval 18226 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ (π β¨ π) β V) β (π < (π β¨ π) β (π β€ (π β¨ π) β§ π β (π β¨ π)))) |
12 | 10, 11 | syl3an3 1166 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π < (π β¨ π) β (π β€ (π β¨ π) β§ π β (π β¨ π)))) |
13 | | hlrelat5.j |
. . . . . . . . . . . 12
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
14 | 1, 2, 13 | latlej1 18342 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β π β€ (π β¨ π)) |
15 | 14 | biantrurd 534 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β (π β¨ π) β (π β€ (π β¨ π) β§ π β (π β¨ π)))) |
16 | 12, 15 | bitr4d 282 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π < (π β¨ π) β π β (π β¨ π))) |
17 | 1, 2, 13 | latleeqj1 18345 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β€ π β (π β¨ π) = π)) |
18 | 17 | 3com23 1127 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β€ π β (π β¨ π) = π)) |
19 | 1, 13 | latjcom 18341 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
20 | 19 | eqeq1d 2735 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β¨ π) = π β (π β¨ π) = π)) |
21 | 18, 20 | bitr4d 282 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β€ π β (π β¨ π) = π)) |
22 | 21 | notbid 318 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (Β¬ π β€ π β Β¬ (π β¨ π) = π)) |
23 | | nesym 2997 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (π β¨ π) β Β¬ (π β¨ π) = π) |
24 | 22, 23 | bitr4di 289 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (Β¬ π β€ π β π β (π β¨ π))) |
25 | 16, 24 | bitr4d 282 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π < (π β¨ π) β Β¬ π β€ π)) |
26 | 7, 8, 9, 25 | syl3an 1161 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β (π < (π β¨ π) β Β¬ π β€ π)) |
27 | 26 | 3expa 1119 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ π β π΄) β (π < (π β¨ π) β Β¬ π β€ π)) |
28 | 27 | anbi1d 631 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ π β π΄) β ((π < (π β¨ π) β§ π β€ π) β (Β¬ π β€ π β§ π β€ π))) |
29 | 28 | rexbidva 3170 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅) β (βπ β π΄ (π < (π β¨ π) β§ π β€ π) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π))) |
30 | 29 | 3adant3 1133 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (βπ β π΄ (π < (π β¨ π) β§ π β€ π) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π))) |
31 | 30 | adantr 482 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β (βπ β π΄ (π < (π β¨ π) β§ π β€ π) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ π β€ π))) |
32 | 6, 31 | mpbird 257 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π < π) β βπ β π΄ (π < (π β¨ π) β§ π β€ π)) |