Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat5N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hlrelat5N 38272
Description: An atomistic lattice with 0 is relatively atomic, using the definition in Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
hlrelat5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
hlrelat5.s < = (ltβ€˜πΎ)
hlrelat5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
hlrelat5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
hlrelat5N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝
Allowed substitution hints:   < (𝑝)   ∨ (𝑝)
Proof of Theorem hlrelat5N
StepHypRef Expression
1 hlrelat5.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 hlrelat5.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 hlrelat5.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
4 hlrelat5.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4hlrelat1 38271 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
65imp 408 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ))
7 hllat 38233 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
8 id 22 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
91, 4atbase 38159 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
10 ovexd 7444 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝐡 β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ V)
112, 3pltval 18285 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ V) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑋 β‰  (𝑋 ∨ 𝑝))))
1210, 11syl3an3 1166 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑋 β‰  (𝑋 ∨ 𝑝))))
13 hlrelat5.j . . . . . . . . . . . 12 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
141, 2, 13latlej1 18401 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑝))
1514biantrurd 534 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 β‰  (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑋 β‰  (𝑋 ∨ 𝑝))))
1612, 15bitr4d 282 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋 β‰  (𝑋 ∨ 𝑝)))
171, 2, 13latleeqj1 18404 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑋) = 𝑋))
18173com23 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑋) = 𝑋))
191, 13latjcom 18400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑝 ∨ 𝑋))
2019eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑋) = 𝑋))
2118, 20bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋))
2221notbid 318 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ↔ Β¬ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋))
23 nesym 2998 . . . . . . . . . 10 (𝑋 β‰  (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ Β¬ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋)
2422, 23bitr4di 289 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋 β‰  (𝑋 ∨ 𝑝)))
2516, 24bitr4d 282 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋))
267, 8, 9, 25syl3an 1161 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋))
27263expa 1119 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋))
2827anbi1d 631 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
2928rexbidva 3177 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
30293adant3 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
3130adantr 482 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
326, 31mpbird 257 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  ltcplt 18261  joincjn 18264  Latclat 18384  Atomscatm 38133  HLchlt 38220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator