Theorem hlrelat5N 39384

Description: An atomistic lattice with 0 is relatively atomic, using the definition in Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlrelat5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlrelat5.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
hlrelat5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlrelat5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlrelat5N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hints:   < (𝑝)   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat5N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlrelat5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		hlrelat5.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		hlrelat5.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4		hlrelat5.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlrelat1 39383	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
6	5	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))
7		hllat 39345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
8		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 4	atbase 39271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
10		ovexd 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ V)
11	2, 3	pltval 18390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ V) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝))))
12	10, 11	syl3an3 1164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝))))
13		hlrelat5.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14	1, 2, 13	latlej1 18506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑝))
15	14	biantrurd 532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝))))
16	12, 15	bitr4d 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝)))
17	1, 2, 13	latleeqj1 18509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑝 ≤ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑋) = 𝑋))
18	17	3com23 1125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝 ≤ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑋) = 𝑋))
19	1, 13	latjcom 18505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑝 ∨ 𝑋))
20	19	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑋) = 𝑋))
21	18, 20	bitr4d 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝 ≤ 𝑋 ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋))
22	21	notbid 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ↔ ¬ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋))
23		nesym 2995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ ¬ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋)
24	22, 23	bitr4di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 ∨ 𝑝)))
25	16, 24	bitr4d 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋))
26	7, 8, 9, 25	syl3an 1159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋))
27	26	3expa 1117	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑋))
28	27	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
29	28	rexbidva 3175	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
30	29	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
31	30	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≤ 𝑌)))
32	6, 31	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≤ 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  ltcplt 18366  joincjn 18369  Latclat 18489  Atomscatm 39245  HLchlt 39332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333

This theorem is referenced by: (None)