Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat5N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hlrelat5N 38358
Description: An atomistic lattice with 0 is relatively atomic, using the definition in Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
hlrelat5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
hlrelat5.s < = (ltβ€˜πΎ)
hlrelat5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
hlrelat5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
hlrelat5N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝
Allowed substitution hints:   < (𝑝)   ∨ (𝑝)
Proof of Theorem hlrelat5N
StepHypRef Expression
1 hlrelat5.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 hlrelat5.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 hlrelat5.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
4 hlrelat5.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4hlrelat1 38357 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
65imp 407 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ))
7 hllat 38319 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
8 id 22 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
91, 4atbase 38245 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
10 ovexd 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝐡 β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ V)
112, 3pltval 18287 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ V) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑋 β‰  (𝑋 ∨ 𝑝))))
1210, 11syl3an3 1165 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑋 β‰  (𝑋 ∨ 𝑝))))
13 hlrelat5.j . . . . . . . . . . . 12 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
141, 2, 13latlej1 18403 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑝))
1514biantrurd 533 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 β‰  (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ (𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑋 β‰  (𝑋 ∨ 𝑝))))
1612, 15bitr4d 281 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋 β‰  (𝑋 ∨ 𝑝)))
171, 2, 13latleeqj1 18406 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑋) = 𝑋))
18173com23 1126 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑋) = 𝑋))
191, 13latjcom 18402 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑝 ∨ 𝑋))
2019eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 ∨ 𝑋) = 𝑋))
2118, 20bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋))
2221notbid 317 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ↔ Β¬ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋))
23 nesym 2997 . . . . . . . . . 10 (𝑋 β‰  (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ Β¬ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑋)
2422, 23bitr4di 288 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋 β‰  (𝑋 ∨ 𝑝)))
2516, 24bitr4d 281 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋))
267, 8, 9, 25syl3an 1160 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋))
27263expa 1118 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋))
2827anbi1d 630 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
2928rexbidva 3176 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
30293adant3 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
3130adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
326, 31mpbird 256 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  lecple 17206  ltcplt 18263  joincjn 18266  Latclat 18386  Atomscatm 38219  HLchlt 38306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator