Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p5 40583
Description: Show that ๐‘ and ๐‘… are coprime for AKS existence theorem. Precondition will be eliminated in further theorem. (Contributed by metakunt, 30-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p5.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
aks4d1p5.2 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
aks4d1p5.3 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
aks4d1p5.4 ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )
aks4d1p5.5 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = 1)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ÿ   ๐ต,๐‘Ÿ   ๐‘˜,๐‘   ๐‘,๐‘Ÿ   ๐‘…,๐‘Ÿ   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘Ÿ)   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐‘…(๐‘˜)

Proof of Theorem aks4d1p5
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘œ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…))) โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)))
2 aks4d1p5.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
3 aks4d1p5.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
4 aks4d1p5.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
5 aks4d1p5.4 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )
62, 3, 4, 5aks4d1p4 40582 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โˆง ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
76simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (1...๐ต))
8 elfznn 13476 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
109nnred 12173 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
11 eluzelz 12778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
122, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
13 0red 11163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
14 3re 12238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 โˆˆ โ„
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
1612zred 12612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
17 3pos 12263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 < 3)
19 eluzle 12781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
202, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
2113, 15, 16, 18, 20ltletrd 11320 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
2212, 21jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘))
23 elnnz 12514 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘))
2422, 23sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
25 gcdnncl 16392 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„•)
2624, 9, 25syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„•)
2726nnred 12173 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„)
2826nnne0d 12208 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โ‰  0)
2910, 27, 28redivcld 11988 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ โ„)
3029adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ โ„)
3110adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
3230, 31ltnled 11307 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ((๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘… โ†” ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…))))
3332biimprd 248 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘…))
3433imp 408 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…))) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘…)
355a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ))
36 ssrab2 4038 . . . . . . . . . . . 12 {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† (1...๐ต)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† (1...๐ต))
38 elfznn 13476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘œ โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„•)
3938adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘œ โˆˆ (1...๐ต)) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„•)
4039nnred 12173 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘œ โˆˆ (1...๐ต)) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„)
4140ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘œ โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„))
4241ssrdv 3951 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1...๐ต) โŠ† โ„)
4337, 42sstrd 3955 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† โ„)
4443adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† โ„)
45 fzfid 13884 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1...๐ต) โˆˆ Fin)
4645, 37ssfid 9214 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin)
4746adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin)
482, 3, 4aks4d1p3 40581 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด)
49 rabn0 4346 . . . . . . . . . . . 12 ({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด)
5048, 49sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ…)
5150adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ…)
52 fiminre 12107 . . . . . . . . . 10 (({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† โ„ โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ…) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}โˆ€๐‘ฆ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
5344, 47, 51, 52syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}โˆ€๐‘ฆ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
54 breq1 5109 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด))
5554notbid 318 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด โ†” ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด))
56 1zzd 12539 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
574a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
58 2re 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
60 2pos 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 < 2)
62 1red 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
63 1lt2 12329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 1 < 2)
6562, 64ltned 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  2)
6665necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  1)
6759, 61, 16, 21, 66relogbcld 40476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐‘) โˆˆ โ„)
68 5nn0 12438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 โˆˆ โ„•0
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 5 โˆˆ โ„•0)
7067, 69reexpcld 14074 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„)
71 ceilcl 13753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„ค)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„ค)
7357, 72eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
7473adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
7524nnzd 12531 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
76 divgcdnnr 16401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ โ„•)
779, 75, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ โ„•)
7877adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ โ„•)
7978nnzd 12531 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ โ„ค)
8078nnge1d 12206 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)))
8174zred 12612 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
829nnrpd 12960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
8382adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
8426nnrpd 12960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„+)
8584adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„+)
8631recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
8783rpne0d 12967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โ‰  0)
8886, 87dividd 11934 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / ๐‘…) = 1)
89 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…))
9088, 89eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / ๐‘…) < (๐‘ gcd ๐‘…))
9131, 83, 85, 90ltdiv23d 13029 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘…)
9230, 31, 91ltled 11308 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โ‰ค ๐‘…)
93 elfzle2 13451 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘… โ‰ค ๐ต)
947, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โ‰ค ๐ต)
9594adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โ‰ค ๐ต)
9630, 31, 81, 92, 95letrd 11317 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โ‰ค ๐ต)
9756, 74, 79, 80, 96elfzd 13438 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ (1...๐ต))
98 aks4d1p5.5 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด)
99 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด)
100 exmidd 895 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ((๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด โˆจ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด))
10198, 99, 100mpjaodan 958 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด)
10255, 97, 101elrabd 3648 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด})
103 lbinfle 12115 . . . . . . . . 9 (({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† โ„ โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}โˆ€๐‘ฆ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}) โ†’ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)))
10444, 53, 102, 103syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)))
10535, 104eqbrtrd 5128 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)))
10631, 30lenltd 11306 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†” ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘…))
107105, 106mpbid 231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘…)
108107adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…))) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘…)
10934, 108pm2.21dd 194 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…))) โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)))
1101, 109pm2.61dan 812 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)))
11182rpred 12962 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
112111adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
11391, 107pm2.21dd 194 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„•)
114113nnrpd 12960 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„+)
115112recnd 11188 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
116115, 87dividd 11934 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / ๐‘…) = 1)
117116, 89eqbrtrd 5128 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / ๐‘…) < (๐‘ gcd ๐‘…))
118112, 83, 114, 117ltdiv23d 13029 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘…)
11977nnred 12173 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ โ„)
120119, 111ltnled 11307 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘… โ†” ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…))))
121120adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ((๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘… โ†” ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…))))
122118, 121mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)))
123110, 122pm2.21dd 194 . 2 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = 1)
124 simpr 486 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) = 1) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = 1)
12526adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„•)
126125nnred 12173 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„)
127126adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„)
12858a1i 11 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
129 1red 11161 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
13027, 62lenltd 11306 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ gcd ๐‘…) โ‰ค 1 โ†” ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)))
131130biimprd 248 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โ‰ค 1))
132131imp 408 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โ‰ค 1)
133132adantr 482 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โ‰ค 1)
13463a1i 11 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 < 2)
135127, 129, 128, 133, 134lelttrd 11318 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) < 2)
136 eluzle 12781 . . . . . 6 ((๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โ‰ค (๐‘ gcd ๐‘…))
137136adantl 483 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 2 โ‰ค (๐‘ gcd ๐‘…))
138127, 128, 127, 135, 137ltletrd 11320 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) < (๐‘ gcd ๐‘…))
139127ltnrd 11294 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐‘ gcd ๐‘…) < (๐‘ gcd ๐‘…))
140138, 139pm2.21dd 194 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = 1)
141 elnn1uz2 12855 . . . 4 ((๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘ gcd ๐‘…) = 1 โˆจ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
142125, 141sylib 217 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ((๐‘ gcd ๐‘…) = 1 โˆจ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
143124, 140, 142mpjaodan 958 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = 1)
144123, 143pm2.61dan 812 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3406   โŠ† wss 3911  โˆ…c0 4283   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  infcinf 9382  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  3c3 12214  5c5 12216  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  โ„+crp 12920  ...cfz 13430  โŒŠcfl 13701  โŒˆcceil 13702  โ†‘cexp 13973  โˆcprod 15793   โˆฅ cdvds 16141   gcd cgcd 16379   logb clogb 26130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-symdif 4203  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-ceil 13704  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-prod 15794  df-ef 15955  df-e 15956  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-lcm 16471  df-lcmf 16472  df-prm 16553  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-logb 26131
This theorem is referenced by:  aks4d1p8  40590
  Copyright terms: Public domain W3C validator