Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p5 40537
Description: Show that 𝑁 and 𝑅 are coprime for AKS existence theorem. Precondition will be eliminated in further theorem. (Contributed by metakunt, 30-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p5.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks4d1p5.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p5.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p5.4 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < )
aks4d1p5.5 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p5 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑁,𝑟   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p5
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))) → 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
2 aks4d1p5.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
3 aks4d1p5.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
4 aks4d1p5.3 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
5 aks4d1p5.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < )
62, 3, 4, 5aks4d1p4 40536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅𝐴))
76simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ (1...𝐵))
8 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
109nnred 12168 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
11 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
122, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
13 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
14 3re 12233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
1612zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
17 3pos 12258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 3)
19 eluzle 12776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
202, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
2113, 15, 16, 18, 20ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑁)
2212, 21jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
23 elnnz 12509 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
2422, 23sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
25 gcdnncl 16387 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℕ)
2624, 9, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℕ)
2726nnred 12168 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ)
2826nnne0d 12203 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) ≠ 0)
2910, 27, 28redivcld 11983 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℝ)
3029adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℝ)
3110adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
3230, 31ltnled 11302 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ((𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))))
3332biimprd 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅))
3433imp 407 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅)
355a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ))
36 ssrab2 4037 . . . . . . . . . . . 12 {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ (1...𝐵)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ (1...𝐵))
38 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℕ)
3938adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℕ)
4039nnred 12168 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℝ)
4140ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℝ))
4241ssrdv 3950 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
4337, 42sstrd 3954 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
4443adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
45 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
4645, 37ssfid 9211 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin)
4746adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin)
482, 3, 4aks4d1p3 40535 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴)
49 rabn0 4345 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴)
5048, 49sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅)
5150adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅)
52 fiminre 12102 . . . . . . . . . 10 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
5344, 47, 51, 52syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
54 breq1 5108 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑟𝐴 ↔ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴))
5554notbid 317 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) → (¬ 𝑟𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴))
56 1zzd 12534 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 ∈ ℤ)
574a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
58 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
60 2pos 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 2)
62 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
63 1lt2 12324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 < 2)
6562, 64ltned 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ≠ 2)
6665necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ≠ 1)
6759, 61, 16, 21, 66relogbcld 40430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
68 5nn0 12433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℕ0
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
7067, 69reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
71 ceilcl 13747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
7357, 72eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
7473adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝐵 ∈ ℤ)
7524nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
76 divgcdnnr 16396 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℕ)
779, 75, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℕ)
7877adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℕ)
7978nnzd 12526 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℤ)
8078nnge1d 12201 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
8174zred 12607 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝐵 ∈ ℝ)
829nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
8382adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
8426nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ+)
8584adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ+)
8631recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
8783rpne0d 12962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
8886, 87dividd 11929 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / 𝑅) = 1)
89 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 < (𝑁 gcd 𝑅))
9088, 89eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / 𝑅) < (𝑁 gcd 𝑅))
9131, 83, 85, 90ltdiv23d 13024 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅)
9230, 31, 91ltled 11303 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ≤ 𝑅)
93 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅𝐵)
947, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅𝐵)
9594adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅𝐵)
9630, 31, 81, 92, 95letrd 11312 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ≤ 𝐵)
9756, 74, 79, 80, 96elfzd 13432 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ (1...𝐵))
98 aks4d1p5.5 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
99 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
100 exmidd 894 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ((𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴 ∨ ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴))
10198, 99, 100mpjaodan 957 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
10255, 97, 101elrabd 3647 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴})
103 lbinfle 12110 . . . . . . . . 9 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦 ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
10444, 53, 102, 103syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
10535, 104eqbrtrd 5127 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
10631, 30lenltd 11301 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ↔ ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅))
107105, 106mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅)
108107adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅)
10934, 108pm2.21dd 194 . . . 4 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))) → 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
1101, 109pm2.61dan 811 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
11182rpred 12957 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
112111adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
11391, 107pm2.21dd 194 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℕ)
114113nnrpd 12955 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ+)
115112recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
116115, 87dividd 11929 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / 𝑅) = 1)
117116, 89eqbrtrd 5127 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / 𝑅) < (𝑁 gcd 𝑅))
118112, 83, 114, 117ltdiv23d 13024 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅)
11977nnred 12168 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℝ)
120119, 111ltnled 11302 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))))
121120adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ((𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))))
122118, 121mpbid 231 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
123110, 122pm2.21dd 194 . 2 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
124 simpr 485 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
12526adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℕ)
126125nnred 12168 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ)
127126adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ)
12858a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → 2 ∈ ℝ)
129 1red 11156 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℝ)
13027, 62lenltd 11301 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 gcd 𝑅) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)))
131130biimprd 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅) → (𝑁 gcd 𝑅) ≤ 1))
132131imp 407 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ≤ 1)
133132adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 gcd 𝑅) ≤ 1)
13463a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 2)
135127, 129, 128, 133, 134lelttrd 11313 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 gcd 𝑅) < 2)
136 eluzle 12776 . . . . . 6 ((𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ (𝑁 gcd 𝑅))
137136adantl 482 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → 2 ≤ (𝑁 gcd 𝑅))
138127, 128, 127, 135, 137ltletrd 11315 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 gcd 𝑅) < (𝑁 gcd 𝑅))
139127ltnrd 11289 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑁 gcd 𝑅) < (𝑁 gcd 𝑅))
140138, 139pm2.21dd 194 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
141 elnn1uz2 12850 . . . 4 ((𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 gcd 𝑅) = 1 ∨ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)))
142125, 141sylib 217 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ((𝑁 gcd 𝑅) = 1 ∨ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)))
143124, 140, 142mpjaodan 957 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
144123, 143pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  infcinf 9377  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  5c5 12211  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  cfl 13695  cceil 13696  cexp 13967  cprod 15788  cdvds 16136   gcd cgcd 16374   logb clogb 26114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-ceil 13698  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-prod 15789  df-ef 15950  df-e 15951  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-lcm 16466  df-lcmf 16467  df-prm 16548  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913  df-logb 26115
This theorem is referenced by:  aks4d1p8  40544
  Copyright terms: Public domain W3C validator