Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p5 42061
Description: Show that 𝑁 and 𝑅 are coprime for AKS existence theorem. Precondition will be eliminated in further theorem. (Contributed by metakunt, 30-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p5.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks4d1p5.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p5.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p5.4 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < )
aks4d1p5.5 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p5 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑁,𝑟   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p5
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))) → 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
2 aks4d1p5.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
3 aks4d1p5.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
4 aks4d1p5.3 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
5 aks4d1p5.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < )
62, 3, 4, 5aks4d1p4 42060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅𝐴))
76simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ (1...𝐵))
8 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
109nnred 12278 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
11 eluzelz 12885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
122, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
13 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
14 3re 12343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
1612zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
17 3pos 12368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 3)
19 eluzle 12888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
202, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
2113, 15, 16, 18, 20ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑁)
2212, 21jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
23 elnnz 12620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
2422, 23sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
25 gcdnncl 16540 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℕ)
2624, 9, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℕ)
2726nnred 12278 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ)
2826nnne0d 12313 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) ≠ 0)
2910, 27, 28redivcld 12092 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℝ)
3110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
3230, 31ltnled 11405 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ((𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))))
3332biimprd 248 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅))
3433imp 406 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅)
355a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ))
36 ssrab2 4089 . . . . . . . . . . . 12 {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ (1...𝐵)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ (1...𝐵))
38 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℕ)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℕ)
4039nnred 12278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℝ)
4140ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℝ))
4241ssrdv 4000 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
4337, 42sstrd 4005 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
4443adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
45 fzfid 14010 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
4645, 37ssfid 9298 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin)
4746adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin)
482, 3, 4aks4d1p3 42059 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴)
49 rabn0 4394 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴)
5048, 49sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅)
5150adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅)
52 fiminre 12212 . . . . . . . . . 10 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
5344, 47, 51, 52syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
54 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑟𝐴 ↔ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴))
5554notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) → (¬ 𝑟𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴))
56 1zzd 12645 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 ∈ ℤ)
574a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
58 2re 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
60 2pos 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 2)
62 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
63 1lt2 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 < 2)
6562, 64ltned 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ≠ 2)
6665necomd 2993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ≠ 1)
6759, 61, 16, 21, 66relogbcld 41954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
68 5nn0 12543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℕ0
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
7067, 69reexpcld 14199 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
71 ceilcl 13878 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
7357, 72eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝐵 ∈ ℤ)
7524nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
76 divgcdnnr 16549 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℕ)
779, 75, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℕ)
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℕ)
7978nnzd 12637 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℤ)
8078nnge1d 12311 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
8174zred 12719 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝐵 ∈ ℝ)
829nnrpd 13072 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
8382adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
8426nnrpd 13072 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ+)
8584adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ+)
8631recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
8783rpne0d 13079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
8886, 87dividd 12038 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / 𝑅) = 1)
89 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 < (𝑁 gcd 𝑅))
9088, 89eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / 𝑅) < (𝑁 gcd 𝑅))
9131, 83, 85, 90ltdiv23d 13141 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅)
9230, 31, 91ltled 11406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ≤ 𝑅)
93 elfzle2 13564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅𝐵)
947, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅𝐵)
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅𝐵)
9630, 31, 81, 92, 95letrd 11415 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ≤ 𝐵)
9756, 74, 79, 80, 96elfzd 13551 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ (1...𝐵))
98 aks4d1p5.5 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
99 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
100 exmidd 895 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ((𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴 ∨ ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴))
10198, 99, 100mpjaodan 960 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
10255, 97, 101elrabd 3696 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴})
103 lbinfle 12220 . . . . . . . . 9 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦 ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
10444, 53, 102, 103syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
10535, 104eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
10631, 30lenltd 11404 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ↔ ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅))
107105, 106mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅)
108107adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅)
10934, 108pm2.21dd 195 . . . 4 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))) → 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
1101, 109pm2.61dan 813 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
11182rpred 13074 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
112111adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
11391, 107pm2.21dd 195 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℕ)
114113nnrpd 13072 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ+)
115112recnd 11286 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
116115, 87dividd 12038 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / 𝑅) = 1)
117116, 89eqbrtrd 5169 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / 𝑅) < (𝑁 gcd 𝑅))
118112, 83, 114, 117ltdiv23d 13141 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅)
11977nnred 12278 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℝ)
120119, 111ltnled 11405 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))))
121120adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ((𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))))
122118, 121mpbid 232 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
123110, 122pm2.21dd 195 . 2 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
124 simpr 484 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
12526adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℕ)
126125nnred 12278 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ)
127126adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ)
12858a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → 2 ∈ ℝ)
129 1red 11259 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℝ)
13027, 62lenltd 11404 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 gcd 𝑅) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)))
131130biimprd 248 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅) → (𝑁 gcd 𝑅) ≤ 1))
132131imp 406 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ≤ 1)
133132adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 gcd 𝑅) ≤ 1)
13463a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 2)
135127, 129, 128, 133, 134lelttrd 11416 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 gcd 𝑅) < 2)
136 eluzle 12888 . . . . . 6 ((𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ (𝑁 gcd 𝑅))
137136adantl 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → 2 ≤ (𝑁 gcd 𝑅))
138127, 128, 127, 135, 137ltletrd 11418 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 gcd 𝑅) < (𝑁 gcd 𝑅))
139127ltnrd 11392 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑁 gcd 𝑅) < (𝑁 gcd 𝑅))
140138, 139pm2.21dd 195 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
141 elnn1uz2 12964 . . . 4 ((𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 gcd 𝑅) = 1 ∨ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)))
142125, 141sylib 218 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ((𝑁 gcd 𝑅) = 1 ∨ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)))
143124, 140, 142mpjaodan 960 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
144123, 143pm2.61dan 813 1 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  infcinf 9478  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  5c5 12321  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  ...cfz 13543  cfl 13826  cceil 13827  cexp 14098  cprod 15935  cdvds 16286   gcd cgcd 16527   logb clogb 26821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-ceil 13829  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-prod 15936  df-ef 16099  df-e 16100  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-lcm 16623  df-lcmf 16624  df-prm 16705  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-cxp 26613  df-logb 26822
This theorem is referenced by:  aks4d1p8  42068
  Copyright terms: Public domain W3C validator