Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p5 42081
Description: Show that 𝑁 and 𝑅 are coprime for AKS existence theorem. Precondition will be eliminated in further theorem. (Contributed by metakunt, 30-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p5.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks4d1p5.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p5.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p5.4 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < )
aks4d1p5.5 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p5 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑁,𝑟   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p5
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))) → 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
2 aks4d1p5.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
3 aks4d1p5.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
4 aks4d1p5.3 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
5 aks4d1p5.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < )
62, 3, 4, 5aks4d1p4 42080 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅𝐴))
76simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ (1...𝐵))
8 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
109nnred 12281 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
11 eluzelz 12888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
122, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
13 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
14 3re 12346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
1612zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
17 3pos 12371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 3)
19 eluzle 12891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
202, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
2113, 15, 16, 18, 20ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑁)
2212, 21jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
23 elnnz 12623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
2422, 23sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
25 gcdnncl 16544 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℕ)
2624, 9, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℕ)
2726nnred 12281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ)
2826nnne0d 12316 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) ≠ 0)
2910, 27, 28redivcld 12095 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℝ)
3110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
3230, 31ltnled 11408 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ((𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))))
3332biimprd 248 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅))
3433imp 406 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅)
355a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ))
36 ssrab2 4080 . . . . . . . . . . . 12 {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ (1...𝐵)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ (1...𝐵))
38 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℕ)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℕ)
4039nnred 12281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℝ)
4140ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℝ))
4241ssrdv 3989 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
4337, 42sstrd 3994 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
4443adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
45 fzfid 14014 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
4645, 37ssfid 9301 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin)
4746adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin)
482, 3, 4aks4d1p3 42079 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴)
49 rabn0 4389 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴)
5048, 49sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅)
5150adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅)
52 fiminre 12215 . . . . . . . . . 10 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
5344, 47, 51, 52syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦)
54 breq1 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑟𝐴 ↔ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴))
5554notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) → (¬ 𝑟𝐴 ↔ ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴))
56 1zzd 12648 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 ∈ ℤ)
574a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
58 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
60 2pos 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 2)
62 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
63 1lt2 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 < 2)
6562, 64ltned 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ≠ 2)
6665necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ≠ 1)
6759, 61, 16, 21, 66relogbcld 41974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
68 5nn0 12546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℕ0
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
7067, 69reexpcld 14203 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
71 ceilcl 13882 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
7357, 72eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝐵 ∈ ℤ)
7524nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
76 divgcdnnr 16553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℕ)
779, 75, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℕ)
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℕ)
7978nnzd 12640 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℤ)
8078nnge1d 12314 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
8174zred 12722 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝐵 ∈ ℝ)
829nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
8382adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
8426nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ+)
8584adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ+)
8631recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
8783rpne0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
8886, 87dividd 12041 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / 𝑅) = 1)
89 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 1 < (𝑁 gcd 𝑅))
9088, 89eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / 𝑅) < (𝑁 gcd 𝑅))
9131, 83, 85, 90ltdiv23d 13144 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅)
9230, 31, 91ltled 11409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ≤ 𝑅)
93 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅𝐵)
947, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅𝐵)
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅𝐵)
9630, 31, 81, 92, 95letrd 11418 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ≤ 𝐵)
9756, 74, 79, 80, 96elfzd 13555 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ (1...𝐵))
98 aks4d1p5.5 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
99 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
100 exmidd 896 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ((𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴 ∨ ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴))
10198, 99, 100mpjaodan 961 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∥ 𝐴)
10255, 97, 101elrabd 3694 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴})
103 lbinfle 12223 . . . . . . . . 9 (({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}∀𝑦 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}𝑥𝑦 ∧ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
10444, 53, 102, 103syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
10535, 104eqbrtrd 5165 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
10631, 30lenltd 11407 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ↔ ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅))
107105, 106mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅)
108107adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))) → ¬ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅)
10934, 108pm2.21dd 195 . . . 4 (((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))) → 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
1101, 109pm2.61dan 813 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
11182rpred 13077 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
112111adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
11391, 107pm2.21dd 195 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℕ)
114113nnrpd 13075 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ+)
115112recnd 11289 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
116115, 87dividd 12041 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / 𝑅) = 1)
117116, 89eqbrtrd 5165 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / 𝑅) < (𝑁 gcd 𝑅))
118112, 83, 114, 117ltdiv23d 13144 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅)
11977nnred 12281 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) ∈ ℝ)
120119, 111ltnled 11408 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))))
121120adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ((𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅))))
122118, 121mpbid 232 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑅 / (𝑁 gcd 𝑅)))
123110, 122pm2.21dd 195 . 2 ((𝜑 ∧ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
124 simpr 484 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
12526adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℕ)
126125nnred 12281 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ)
127126adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℝ)
12858a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → 2 ∈ ℝ)
129 1red 11262 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℝ)
13027, 62lenltd 11407 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 gcd 𝑅) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)))
131130biimprd 248 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅) → (𝑁 gcd 𝑅) ≤ 1))
132131imp 406 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) ≤ 1)
133132adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 gcd 𝑅) ≤ 1)
13463a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 2)
135127, 129, 128, 133, 134lelttrd 11419 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 gcd 𝑅) < 2)
136 eluzle 12891 . . . . . 6 ((𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ (𝑁 gcd 𝑅))
137136adantl 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → 2 ≤ (𝑁 gcd 𝑅))
138127, 128, 127, 135, 137ltletrd 11421 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 gcd 𝑅) < (𝑁 gcd 𝑅))
139127ltnrd 11395 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑁 gcd 𝑅) < (𝑁 gcd 𝑅))
140138, 139pm2.21dd 195 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) ∧ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
141 elnn1uz2 12967 . . . 4 ((𝑁 gcd 𝑅) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 gcd 𝑅) = 1 ∨ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)))
142125, 141sylib 218 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → ((𝑁 gcd 𝑅) = 1 ∨ (𝑁 gcd 𝑅) ∈ (ℤ‘2)))
143124, 140, 142mpjaodan 961 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < (𝑁 gcd 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
144123, 143pm2.61dan 813 1 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  infcinf 9481  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  5c5 12324  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  ...cfz 13547  cfl 13830  cceil 13831  cexp 14102  cprod 15939  cdvds 16290   gcd cgcd 16531   logb clogb 26807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-prod 15940  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-lcm 16627  df-lcmf 16628  df-prm 16709  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-logb 26808
This theorem is referenced by:  aks4d1p8  42088
  Copyright terms: Public domain W3C validator