Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p5 40945
Description: Show that ๐‘ and ๐‘… are coprime for AKS existence theorem. Precondition will be eliminated in further theorem. (Contributed by metakunt, 30-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p5.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
aks4d1p5.2 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
aks4d1p5.3 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
aks4d1p5.4 ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )
aks4d1p5.5 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = 1)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ÿ   ๐ต,๐‘Ÿ   ๐‘˜,๐‘   ๐‘,๐‘Ÿ   ๐‘…,๐‘Ÿ   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘Ÿ)   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐‘…(๐‘˜)

Proof of Theorem aks4d1p5
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘œ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…))) โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)))
2 aks4d1p5.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
3 aks4d1p5.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
4 aks4d1p5.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
5 aks4d1p5.4 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )
62, 3, 4, 5aks4d1p4 40944 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โˆง ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
76simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (1...๐ต))
8 elfznn 13530 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
109nnred 12227 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
11 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
122, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
13 0red 11217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
14 3re 12292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 โˆˆ โ„
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
1612zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
17 3pos 12317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 < 3)
19 eluzle 12835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
202, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
2113, 15, 16, 18, 20ltletrd 11374 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
2212, 21jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘))
23 elnnz 12568 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘))
2422, 23sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
25 gcdnncl 16448 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„•)
2624, 9, 25syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„•)
2726nnred 12227 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„)
2826nnne0d 12262 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โ‰  0)
2910, 27, 28redivcld 12042 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ โ„)
3029adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ โ„)
3110adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
3230, 31ltnled 11361 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ((๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘… โ†” ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…))))
3332biimprd 247 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘…))
3433imp 408 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…))) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘…)
355a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ))
36 ssrab2 4078 . . . . . . . . . . . 12 {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† (1...๐ต)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† (1...๐ต))
38 elfznn 13530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘œ โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„•)
3938adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘œ โˆˆ (1...๐ต)) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„•)
4039nnred 12227 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘œ โˆˆ (1...๐ต)) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„)
4140ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘œ โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„))
4241ssrdv 3989 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1...๐ต) โŠ† โ„)
4337, 42sstrd 3993 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† โ„)
4443adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† โ„)
45 fzfid 13938 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1...๐ต) โˆˆ Fin)
4645, 37ssfid 9267 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin)
4746adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin)
482, 3, 4aks4d1p3 40943 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด)
49 rabn0 4386 . . . . . . . . . . . 12 ({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด)
5048, 49sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ…)
5150adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ…)
52 fiminre 12161 . . . . . . . . . 10 (({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† โ„ โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ…) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}โˆ€๐‘ฆ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
5344, 47, 51, 52syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}โˆ€๐‘ฆ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
54 breq1 5152 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด))
5554notbid 318 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด โ†” ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด))
56 1zzd 12593 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
574a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
58 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
60 2pos 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 < 2)
62 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
63 1lt2 12383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 1 < 2)
6562, 64ltned 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  2)
6665necomd 2997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  1)
6759, 61, 16, 21, 66relogbcld 40838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐‘) โˆˆ โ„)
68 5nn0 12492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 โˆˆ โ„•0
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 5 โˆˆ โ„•0)
7067, 69reexpcld 14128 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„)
71 ceilcl 13807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„ค)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„ค)
7357, 72eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
7473adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
7524nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
76 divgcdnnr 16457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ โ„•)
779, 75, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ โ„•)
7877adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ โ„•)
7978nnzd 12585 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ โ„ค)
8078nnge1d 12260 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)))
8174zred 12666 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
829nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
8382adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
8426nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„+)
8584adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„+)
8631recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
8783rpne0d 13021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โ‰  0)
8886, 87dividd 11988 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / ๐‘…) = 1)
89 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…))
9088, 89eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / ๐‘…) < (๐‘ gcd ๐‘…))
9131, 83, 85, 90ltdiv23d 13083 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘…)
9230, 31, 91ltled 11362 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โ‰ค ๐‘…)
93 elfzle2 13505 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘… โ‰ค ๐ต)
947, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โ‰ค ๐ต)
9594adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โ‰ค ๐ต)
9630, 31, 81, 92, 95letrd 11371 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โ‰ค ๐ต)
9756, 74, 79, 80, 96elfzd 13492 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ (1...๐ต))
98 aks4d1p5.5 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด)
99 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด)
100 exmidd 895 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ((๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด โˆจ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด))
10198, 99, 100mpjaodan 958 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆฅ ๐ด)
10255, 97, 101elrabd 3686 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด})
103 lbinfle 12169 . . . . . . . . 9 (({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† โ„ โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}โˆ€๐‘ฆ โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}) โ†’ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)))
10444, 53, 102, 103syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)))
10535, 104eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)))
10631, 30lenltd 11360 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†” ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘…))
107105, 106mpbid 231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘…)
108107adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…))) โ†’ ยฌ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘…)
10934, 108pm2.21dd 194 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…))) โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)))
1101, 109pm2.61dan 812 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)))
11182rpred 13016 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
112111adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
11391, 107pm2.21dd 194 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„•)
114113nnrpd 13014 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„+)
115112recnd 11242 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
116115, 87dividd 11988 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / ๐‘…) = 1)
117116, 89eqbrtrd 5171 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / ๐‘…) < (๐‘ gcd ๐‘…))
118112, 83, 114, 117ltdiv23d 13083 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘…)
11977nnred 12227 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆˆ โ„)
120119, 111ltnled 11361 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘… โ†” ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…))))
121120adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ((๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)) < ๐‘… โ†” ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…))))
122118, 121mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ยฌ ๐‘… โ‰ค (๐‘… / (๐‘ gcd ๐‘…)))
123110, 122pm2.21dd 194 . 2 ((๐œ‘ โˆง 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = 1)
124 simpr 486 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) = 1) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = 1)
12526adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„•)
126125nnred 12227 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„)
127126adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„)
12858a1i 11 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
129 1red 11215 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
13027, 62lenltd 11360 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ gcd ๐‘…) โ‰ค 1 โ†” ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)))
131130biimprd 247 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โ‰ค 1))
132131imp 408 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โ‰ค 1)
133132adantr 482 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) โ‰ค 1)
13463a1i 11 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 < 2)
135127, 129, 128, 133, 134lelttrd 11372 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) < 2)
136 eluzle 12835 . . . . . 6 ((๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โ‰ค (๐‘ gcd ๐‘…))
137136adantl 483 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 2 โ‰ค (๐‘ gcd ๐‘…))
138127, 128, 127, 135, 137ltletrd 11374 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) < (๐‘ gcd ๐‘…))
139127ltnrd 11348 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐‘ gcd ๐‘…) < (๐‘ gcd ๐‘…))
140138, 139pm2.21dd 194 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โˆง (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = 1)
141 elnn1uz2 12909 . . . 4 ((๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘ gcd ๐‘…) = 1 โˆจ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
142125, 141sylib 217 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ ((๐‘ gcd ๐‘…) = 1 โˆจ (๐‘ gcd ๐‘…) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
143124, 140, 142mpjaodan 958 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 1 < (๐‘ gcd ๐‘…)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = 1)
144123, 143pm2.61dan 812 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘…) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  {crab 3433   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  infcinf 9436  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  5c5 12270  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ„+crp 12974  ...cfz 13484  โŒŠcfl 13755  โŒˆcceil 13756  โ†‘cexp 14027  โˆcprod 15849   โˆฅ cdvds 16197   gcd cgcd 16435   logb clogb 26269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-ceil 13758  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-lcm 16527  df-lcmf 16528  df-prm 16609  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066  df-logb 26270
This theorem is referenced by:  aks4d1p8  40952
  Copyright terms: Public domain W3C validator