Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem29 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem29 45476
Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem29.1 Ⅎ𝑑𝐹
stoweidlem29.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem29.3 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem29.4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem29.5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem29.6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem29.7 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem29 (πœ‘ β†’ (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑇   𝑑,𝐽   𝑑,𝐾
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐹(𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem29
Dummy variables 𝑠 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem29.4 . . . . . 6 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
2 stoweidlem29.3 . . . . . 6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
3 eqid 2725 . . . . . 6 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4 stoweidlem29.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
51, 2, 3, 4fcnre 44448 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
6 df-f 6547 . . . . 5 (𝐹:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 βŠ† ℝ))
75, 6sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 βŠ† ℝ))
87simprd 494 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
97simpld 493 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑇)
10 fnfun 6649 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑇 β†’ Fun 𝐹)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
1211adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ Fun 𝐹)
135fdmd 6727 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑇)
1413eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 = dom 𝐹)
1514eleq2d 2811 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝑇 ↔ 𝑠 ∈ dom 𝐹))
1615biimpa 475 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ 𝑠 ∈ dom 𝐹)
17 fvelrn 7079 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ran 𝐹)
1812, 16, 17syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ran 𝐹)
19 stoweidlem29.1 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑𝐹
20 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑𝑠
2119, 20nffv 6900 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑(πΉβ€˜π‘ )
2221nfeq2 2910 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑 π‘₯ = (πΉβ€˜π‘ )
23 breq1 5147 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘ ) β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
2422, 23ralbid 3261 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘ ) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘ ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
2524rspcev 3603 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ran 𝐹 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘ ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
2618, 25sylan 578 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘ ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
27 nfcv 2892 . . . . . 6 Ⅎ𝑠𝐹
28 nfcv 2892 . . . . . 6 Ⅎ𝑠𝑇
29 nfcv 2892 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝑇
30 stoweidlem29.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
31 stoweidlem29.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
3227, 19, 28, 29, 2, 1, 30, 4, 31evth2f 44438 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑇 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘ ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
3326, 32r19.29a 3152 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
34 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
35 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
369ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ 𝐹 Fn 𝑇)
37 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑑𝑦
3829, 37, 19fvelrnbf 44441 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝑇 β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦))
3936, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦))
4035, 39mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦)
41 stoweidlem29.2 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘‘πœ‘
42 nfra1 3272 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)
4341, 42nfan 1894 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
4419nfrn 5949 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑑ran 𝐹
4544nfcri 2882 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑 𝑦 ∈ ran 𝐹
4643, 45nfan 1894 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
47 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑 π‘₯ ≀ 𝑦
48 rspa 3236 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
49 breq2 5148 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦 β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ π‘₯ ≀ 𝑦))
5048, 49syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦))
5150ex 411 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)))
5251ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)))
5346, 47, 52rexlimd 3254 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦))
5440, 53mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
5554ex 411 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐹 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦))
5634, 55ralrimi 3245 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦)
5756ex 411 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦))
5857reximdv 3160 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦))
5933, 58mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦)
60 lbinfcl 12193 . . 3 ((ran 𝐹 βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
618, 59, 60syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
628, 61sseldd 3974 . 2 (πœ‘ β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
638adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
6459adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦)
65 dffn3 6729 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑇 ↔ 𝐹:π‘‡βŸΆran 𝐹)
669, 65sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆran 𝐹)
6766ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ran 𝐹)
68 lbinfle 12194 . . . . 5 ((ran 𝐹 βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ran 𝐹) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
6963, 64, 67, 68syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
7069ex 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
7141, 70ralrimi 3245 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
7261, 62, 713jca 1125 1 (πœ‘ β†’ (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2875   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4319  βˆͺ cuni 4904   class class class wbr 5144  dom cdm 5673  ran crn 5674  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  infcinf 9459  β„cr 11132   < clt 11273   ≀ cle 11274  (,)cioo 13351  topGenctg 17413   Cn ccn 23141  Compccmp 23303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  45509
  Copyright terms: Public domain W3C validator