Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem29 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem29 44277
Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem29.1 Ⅎ𝑑𝐹
stoweidlem29.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem29.3 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem29.4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem29.5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem29.6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem29.7 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem29 (πœ‘ β†’ (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑇   𝑑,𝐽   𝑑,𝐾
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐹(𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem29
Dummy variables 𝑠 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem29.4 . . . . . 6 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
2 stoweidlem29.3 . . . . . 6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
3 eqid 2737 . . . . . 6 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4 stoweidlem29.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
51, 2, 3, 4fcnre 43237 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
6 df-f 6501 . . . . 5 (𝐹:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 βŠ† ℝ))
75, 6sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 βŠ† ℝ))
87simprd 497 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
97simpld 496 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑇)
10 fnfun 6603 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑇 β†’ Fun 𝐹)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
1211adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ Fun 𝐹)
135fdmd 6680 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑇)
1413eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 = dom 𝐹)
1514eleq2d 2824 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝑇 ↔ 𝑠 ∈ dom 𝐹))
1615biimpa 478 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ 𝑠 ∈ dom 𝐹)
17 fvelrn 7028 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ran 𝐹)
1812, 16, 17syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ran 𝐹)
19 stoweidlem29.1 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑𝐹
20 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑𝑠
2119, 20nffv 6853 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑(πΉβ€˜π‘ )
2221nfeq2 2925 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑 π‘₯ = (πΉβ€˜π‘ )
23 breq1 5109 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘ ) β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
2422, 23ralbid 3257 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘ ) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘ ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
2524rspcev 3582 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ran 𝐹 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘ ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
2618, 25sylan 581 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘ ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
27 nfcv 2908 . . . . . 6 Ⅎ𝑠𝐹
28 nfcv 2908 . . . . . 6 Ⅎ𝑠𝑇
29 nfcv 2908 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝑇
30 stoweidlem29.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
31 stoweidlem29.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
3227, 19, 28, 29, 2, 1, 30, 4, 31evth2f 43227 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑇 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘ ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
3326, 32r19.29a 3160 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
34 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
35 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
369ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ 𝐹 Fn 𝑇)
37 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑑𝑦
3829, 37, 19fvelrnbf 43230 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝑇 β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦))
3936, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦))
4035, 39mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦)
41 stoweidlem29.2 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘‘πœ‘
42 nfra1 3268 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)
4341, 42nfan 1903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
4419nfrn 5908 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑑ran 𝐹
4544nfcri 2895 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑 𝑦 ∈ ran 𝐹
4643, 45nfan 1903 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
47 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑 π‘₯ ≀ 𝑦
48 rspa 3232 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
49 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦 β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ π‘₯ ≀ 𝑦))
5048, 49syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦))
5150ex 414 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)))
5251ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)))
5346, 47, 52rexlimd 3250 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦))
5440, 53mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
5554ex 414 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐹 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦))
5634, 55ralrimi 3241 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦)
5756ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦))
5857reximdv 3168 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦))
5933, 58mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦)
60 lbinfcl 12110 . . 3 ((ran 𝐹 βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
618, 59, 60syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
628, 61sseldd 3946 . 2 (πœ‘ β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
638adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
6459adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦)
65 dffn3 6682 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑇 ↔ 𝐹:π‘‡βŸΆran 𝐹)
669, 65sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆran 𝐹)
6766ffvelcdmda 7036 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ran 𝐹)
68 lbinfle 12111 . . . . 5 ((ran 𝐹 βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ran 𝐹) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
6963, 64, 67, 68syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
7069ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
7141, 70ralrimi 3241 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
7261, 62, 713jca 1129 1 (πœ‘ β†’ (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2888   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  ran crn 5635  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  infcinf 9378  β„cr 11051   < clt 11190   ≀ cle 11191  (,)cioo 13265  topGenctg 17320   Cn ccn 22578  Compccmp 22740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-rest 17305  df-topn 17306  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-topgen 17326  df-pt 17327  df-prds 17330  df-xrs 17385  df-qtop 17390  df-imas 17391  df-xps 17393  df-mre 17467  df-mrc 17468  df-acs 17470  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-mulg 18874  df-cntz 19098  df-cmn 19565  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-cnfld 20800  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-cn 22581  df-cnp 22582  df-cmp 22741  df-tx 22916  df-hmeo 23109  df-xms 23676  df-ms 23677  df-tms 23678
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  44310
  Copyright terms: Public domain W3C validator