Theorem stoweidlem29 46044

Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem29.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem29.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem29.3	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem29.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem29.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem29.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem29.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem29	⊢ (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑇   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐹(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem29

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem29.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		stoweidlem29.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4		stoweidlem29.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	fcnre 45030	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
6		df-f 6565	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑇⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
7	5, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
8	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
9	7	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑇)
10		fnfun 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → Fun 𝐹)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → Fun 𝐹)
13	5	fdmd 6746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑇)
14	13	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = dom 𝐹)
15	14	eleq2d 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝑇 ↔ 𝑠 ∈ dom 𝐹))
16	15	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝑠 ∈ dom 𝐹)
17		fvelrn 7096	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑠) ∈ ran 𝐹)
18	12, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ran 𝐹)
19		stoweidlem29.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
20		nfcv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
21	19, 20	nffv 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
22	21	nfeq2 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑥 = (𝐹‘𝑠)
23		breq1 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑠) → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)))
24	22, 23	ralbid 3273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑠) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)))
25	24	rspcev 3622	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑠) ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
26	18, 25	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
27		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠𝐹
28		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠𝑇
29		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
30		stoweidlem29.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
31		stoweidlem29.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
32	27, 19, 28, 29, 2, 1, 30, 4, 31	evth2f 45020	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝑇 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡))
33	26, 32	r19.29a 3162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
34		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
35		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
36	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝐹 Fn 𝑇)
37		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝑦
38	29, 37, 19	fvelrnbf 45023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦))
39	36, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦))
40	35, 39	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦)
41		stoweidlem29.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
42		nfra1 3284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)
43	41, 42	nfan 1899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
44	19	nfrn 5963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡ran 𝐹
45	44	nfcri 2897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑦 ∈ ran 𝐹
46	43, 45	nfan 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
47		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑥 ≤ 𝑦
48		rspa 3248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
49		breq2 5147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
50	48, 49	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
51	50	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
52	51	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
53	46, 47, 52	rexlimd 3266	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
54	40, 53	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ≤ 𝑦)
55	54	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → 𝑥 ≤ 𝑦))
56	34, 55	ralrimi 3257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦)
57	56	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦))
58	57	reximdv 3170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦))
59	33, 58	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦)
60		lbinfcl 12222	. . 3 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
61	8, 59, 60	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
62	8, 61	sseldd 3984	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
63	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
64	59	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦)
65		dffn3 6748	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 ↔ 𝐹:𝑇⟶ran 𝐹)
66	9, 65	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ran 𝐹)
67	66	ffvelcdmda 7104	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ran 𝐹)
68		lbinfle 12223	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ran 𝐹) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
69	63, 64, 67, 68	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
70	69	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))
71	41, 70	ralrimi 3257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
72	61, 62, 71	3jca 1129	1 ⊢ (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2890   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ran crn 5686  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  ℝcr 11154   < clt 11295   ≤ cle 11296  (,)cioo 13387  topGenctg 17482   Cn ccn 23232  Compccmp 23394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332

This theorem is referenced by:  stoweidlem62  46077