Theorem stoweidlem29 46860

Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem29.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem29.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem29.3	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem29.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem29.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem29.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem29.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem29	⊢ (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑇   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐹(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem29

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem29.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		stoweidlem29.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4		stoweidlem29.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	fcnre 45862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
6		df-f 6537	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑇⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
7	5, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
8	7	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
9	7	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑇)
10		fnfun 6633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → Fun 𝐹)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
12	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → Fun 𝐹)
13	5	fdmd 6714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑇)
14	13	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = dom 𝐹)
15	14	eleq2d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝑇 ↔ 𝑠 ∈ dom 𝐹))
16	15	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝑠 ∈ dom 𝐹)
17		fvelrn 7070	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑠) ∈ ran 𝐹)
18	12, 16, 17	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ran 𝐹)
19		stoweidlem29.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
20		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
21	19, 20	nffv 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
22	21	nfeq2 2939	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑥 = (𝐹‘𝑠)
23		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑠) → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)))
24	22, 23	ralbid 3275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑠) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)))
25	24	rspcev 3576	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑠) ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
26	18, 25	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
27		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠𝐹
28		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠𝑇
29		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
30		stoweidlem29.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
31		stoweidlem29.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
32	27, 19, 28, 29, 2, 1, 30, 4, 31	evth2f 45852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝑇 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡))
33	26, 32	r19.29a 3170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
34		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
35		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
36	9	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝐹 Fn 𝑇)
37		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝑦
38	29, 37, 19	fvelrnbf 45855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦))
39	36, 38	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦))
40	35, 39	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦)
41		stoweidlem29.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
42		nfra1 3286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)
43	41, 42	nfan 1932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
44	19	nfrn 5936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡ran 𝐹
45	44	nfcri 2914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑦 ∈ ran 𝐹
46	43, 45	nfan 1932	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
47		nfv 1947	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑥 ≤ 𝑦
48		rspa 3251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
49		breq2 5107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
50	48, 49	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
51	50	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
52	51	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
53	46, 47, 52	rexlimd 3269	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
54	40, 53	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ≤ 𝑦)
55	54	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → 𝑥 ≤ 𝑦))
56	34, 55	ralrimi 3260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦)
57	56	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦))
58	57	reximdv 3177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦))
59	33, 58	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦)
60		lbinfcl 12196	. . 3 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
61	8, 59, 60	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
62	8, 61	sseldd 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
63	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
64	59	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦)
65		dffn3 6716	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 ↔ 𝐹:𝑇⟶ran 𝐹)
66	9, 65	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ran 𝐹)
67	66	ffvelcdmda 7078	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ran 𝐹)
68		lbinfle 12197	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ran 𝐹) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
69	63, 64, 67, 68	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
70	69	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))
71	41, 70	ralrimi 3260	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
72	61, 62, 71	3jca 1146	1 ⊢ (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2907   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  ran crn 5656  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  infcinf 9414  ℝcr 11126   < clt 11270   ≤ cle 11271  (,)cioo 13401  topGenctg 17525   Cn ccn 23452  Compccmp 23614

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ioo 13405  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-rest 17510  df-topn 17511  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-topgen 17531  df-pt 17532  df-prds 17535  df-xrs 17591  df-qtop 17596  df-imas 17597  df-xps 17599  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-mulg 19194  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-cnfld 21589  df-top 23122  df-topon 23139  df-topsp 23161  df-bases 23174  df-cn 23455  df-cnp 23456  df-cmp 23615  df-tx 23791  df-hmeo 23984  df-xms 24549  df-ms 24550  df-tms 24551

This theorem is used by:  stoweidlem62  46893