Theorem stoweidlem29 47181

Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem29.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem29.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem29.3	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem29.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem29.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem29.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem29.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem29	⊢ (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑇   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐹(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem29

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem29.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		stoweidlem29.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4		stoweidlem29.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	fcnre 46184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
6		df-f 6551	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑇⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
7	5, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
8	7	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
9	7	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑇)
10		fnfun 6650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → Fun 𝐹)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
12	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → Fun 𝐹)
13	5	fdmd 6731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑇)
14	13	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = dom 𝐹)
15	14	eleq2d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝑇 ↔ 𝑠 ∈ dom 𝐹))
16	15	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝑠 ∈ dom 𝐹)
17		fvelrn 7087	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑠) ∈ ran 𝐹)
18	12, 16, 17	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ran 𝐹)
19		stoweidlem29.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
20		nfcv 2926	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
21	19, 20	nffv 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
22	21	nfeq2 2943	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑥 = (𝐹‘𝑠)
23		breq1 5109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑠) → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)))
24	22, 23	ralbid 3279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑠) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)))
25	24	rspcev 3580	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑠) ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
26	18, 25	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
27		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠𝐹
28		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠𝑇
29		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
30		stoweidlem29.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
31		stoweidlem29.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
32	27, 19, 28, 29, 2, 1, 30, 4, 31	evth2f 46174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝑇 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡))
33	26, 32	r19.29a 3174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
34		nfv 1948	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
35		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
36	9	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝐹 Fn 𝑇)
37		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝑦
38	29, 37, 19	fvelrnbf 46177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦))
39	36, 38	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦))
40	35, 39	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦)
41		stoweidlem29.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
42		nfra1 3290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)
43	41, 42	nfan 1933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
44	19	nfrn 5939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡ran 𝐹
45	44	nfcri 2918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑦 ∈ ran 𝐹
46	43, 45	nfan 1933	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
47		nfv 1948	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑥 ≤ 𝑦
48		rspa 3255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
49		breq2 5110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
50	48, 49	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
51	50	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
52	51	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
53	46, 47, 52	rexlimd 3273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
54	40, 53	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ≤ 𝑦)
55	54	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → 𝑥 ≤ 𝑦))
56	34, 55	ralrimi 3264	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦)
57	56	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦))
58	57	reximdv 3181	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦))
59	33, 58	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦)
60		lbinfcl 12284	. . 3 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
61	8, 59, 60	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
62	8, 61	sseldd 3914	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
63	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
64	59	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦)
65		dffn3 6733	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 ↔ 𝐹:𝑇⟶ran 𝐹)
66	9, 65	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ran 𝐹)
67	66	ffvelcdmda 7095	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ran 𝐹)
68		lbinfle 12285	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ran 𝐹) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
69	63, 64, 67, 68	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
70	69	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))
71	41, 70	ralrimi 3264	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
72	61, 62, 71	3jca 1146	1 ⊢ (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2911   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ran crn 5656  Fun wfun 6541   Fn wfn 6542  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  infcinf 9446  ℝcr 11212   < clt 11356   ≤ cle 11357  (,)cioo 13489  topGenctg 17623   Cn ccn 23557  Compccmp 23719

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-fi 9416  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-ioo 13493  df-icc 13496  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-hom 17467  df-cco 17468  df-rest 17608  df-topn 17609  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-topgen 17629  df-pt 17630  df-prds 17633  df-xrs 17689  df-qtop 17694  df-imas 17695  df-xps 17697  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-submnd 18994  df-mulg 19293  df-cntz 19546  df-cmn 20011  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-cnfld 21694  df-top 23227  df-topon 23244  df-topsp 23266  df-bases 23279  df-cn 23560  df-cnp 23561  df-cmp 23720  df-tx 23896  df-hmeo 24089  df-xms 24654  df-ms 24655  df-tms 24656

This theorem is used by:  stoweidlem62  47214