Theorem stoweidlem29 46294

Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem29.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem29.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem29.3	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem29.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem29.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem29.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem29.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem29	⊢ (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑇   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐹(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem29

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem29.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		stoweidlem29.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4		stoweidlem29.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	fcnre 45291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
6		df-f 6496	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑇⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
7	5, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
8	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
9	7	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑇)
10		fnfun 6592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → Fun 𝐹)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → Fun 𝐹)
13	5	fdmd 6672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑇)
14	13	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = dom 𝐹)
15	14	eleq2d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝑇 ↔ 𝑠 ∈ dom 𝐹))
16	15	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝑠 ∈ dom 𝐹)
17		fvelrn 7021	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑠) ∈ ran 𝐹)
18	12, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ran 𝐹)
19		stoweidlem29.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
20		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
21	19, 20	nffv 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
22	21	nfeq2 2916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑥 = (𝐹‘𝑠)
23		breq1 5101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑠) → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)))
24	22, 23	ralbid 3249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑠) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)))
25	24	rspcev 3576	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑠) ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
26	18, 25	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
27		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠𝐹
28		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠𝑇
29		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
30		stoweidlem29.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
31		stoweidlem29.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
32	27, 19, 28, 29, 2, 1, 30, 4, 31	evth2f 45281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝑇 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡))
33	26, 32	r19.29a 3144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
34		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
35		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
36	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝐹 Fn 𝑇)
37		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝑦
38	29, 37, 19	fvelrnbf 45284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦))
39	36, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦))
40	35, 39	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦)
41		stoweidlem29.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
42		nfra1 3260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)
43	41, 42	nfan 1900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
44	19	nfrn 5901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡ran 𝐹
45	44	nfcri 2890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑦 ∈ ran 𝐹
46	43, 45	nfan 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
47		nfv 1915	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑥 ≤ 𝑦
48		rspa 3225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
49		breq2 5102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
50	48, 49	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
51	50	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
52	51	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
53	46, 47, 52	rexlimd 3243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
54	40, 53	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ≤ 𝑦)
55	54	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → 𝑥 ≤ 𝑦))
56	34, 55	ralrimi 3234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦)
57	56	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦))
58	57	reximdv 3151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦))
59	33, 58	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦)
60		lbinfcl 12098	. . 3 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
61	8, 59, 60	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
62	8, 61	sseldd 3934	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
63	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
64	59	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦)
65		dffn3 6674	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 ↔ 𝐹:𝑇⟶ran 𝐹)
66	9, 65	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ran 𝐹)
67	66	ffvelcdmda 7029	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ran 𝐹)
68		lbinfle 12099	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ran 𝐹) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
69	63, 64, 67, 68	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
70	69	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))
71	41, 70	ralrimi 3234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
72	61, 62, 71	3jca 1128	1 ⊢ (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2883   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  ∪ cuni 4863   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ran crn 5625  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  infcinf 9346  ℝcr 11027   < clt 11168   ≤ cle 11169  (,)cioo 13263  topGenctg 17359   Cn ccn 23170  Compccmp 23332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-cmp 23333  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268

This theorem is referenced by:  stoweidlem62  46327