Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem29 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem29 41810
 Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem29.1 𝑡𝐹
stoweidlem29.2 𝑡𝜑
stoweidlem29.3 𝑇 = 𝐽
stoweidlem29.4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem29.5 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem29.6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem29.7 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem29 (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑇   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐹(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem29
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem29.4 . . . . . 6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2 stoweidlem29.3 . . . . . 6 𝑇 = 𝐽
3 eqid 2793 . . . . . 6 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4 stoweidlem29.6 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
51, 2, 3, 4fcnre 40773 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
6 df-f 6221 . . . . 5 (𝐹:𝑇⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
75, 6sylib 219 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
87simprd 496 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
97simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn 𝑇)
10 fnfun 6315 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑇 → Fun 𝐹)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑇) → Fun 𝐹)
135fdmd 6383 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑇)
1413eqcomd 2799 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 = dom 𝐹)
1514eleq2d 2866 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠𝑇𝑠 ∈ dom 𝐹))
1615biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑇) → 𝑠 ∈ dom 𝐹)
17 fvelrn 6700 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑠 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑠) ∈ ran 𝐹)
1812, 16, 17syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ∈ ran 𝐹)
19 stoweidlem29.1 . . . . . . . . . 10 𝑡𝐹
20 nfcv 2947 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑠
2119, 20nffv 6540 . . . . . . . . 9 𝑡(𝐹𝑠)
2221nfeq2 2962 . . . . . . . 8 𝑡 𝑥 = (𝐹𝑠)
23 breq1 4959 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑠) → (𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑡)))
2422, 23ralbid 3193 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑠) → (∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑡)))
2524rspcev 3554 . . . . . 6 (((𝐹𝑠) ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
2618, 25sylan 580 . . . . 5 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
27 nfcv 2947 . . . . . 6 𝑠𝐹
28 nfcv 2947 . . . . . 6 𝑠𝑇
29 nfcv 2947 . . . . . 6 𝑡𝑇
30 stoweidlem29.5 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
31 stoweidlem29.7 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
3227, 19, 28, 29, 2, 1, 30, 4, 31evth2f 40763 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑠𝑇𝑡𝑇 (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑡))
3326, 32r19.29a 3249 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
34 nfv 1890 . . . . . . 7 𝑦(𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
35 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
369ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝐹 Fn 𝑇)
37 nfcv 2947 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑦
3829, 37, 19fvelrnbf 40766 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑡𝑇 (𝐹𝑡) = 𝑦))
3936, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑡𝑇 (𝐹𝑡) = 𝑦))
4035, 39mpbid 233 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑡𝑇 (𝐹𝑡) = 𝑦)
41 stoweidlem29.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝜑
42 nfra1 3184 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)
4341, 42nfan 1879 . . . . . . . . . . 11 𝑡(𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
4419nfrn 5698 . . . . . . . . . . . 12 𝑡ran 𝐹
4544nfcri 2941 . . . . . . . . . . 11 𝑡 𝑦 ∈ ran 𝐹
4643, 45nfan 1879 . . . . . . . . . 10 𝑡((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
47 nfv 1890 . . . . . . . . . 10 𝑡 𝑥𝑦
48 rspa 3171 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑡))
49 breq2 4960 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑡) = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ 𝑥𝑦))
5048, 49syl5ibcom 246 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) = 𝑦𝑥𝑦))
5150ex 413 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) → (𝑡𝑇 → ((𝐹𝑡) = 𝑦𝑥𝑦)))
5251ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑡𝑇 → ((𝐹𝑡) = 𝑦𝑥𝑦)))
5346, 47, 52rexlimd 3275 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (∃𝑡𝑇 (𝐹𝑡) = 𝑦𝑥𝑦))
5440, 53mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥𝑦)
5554ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) → (𝑦 ∈ ran 𝐹𝑥𝑦))
5634, 55ralrimi 3181 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦)
5756ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦))
5857reximdv 3233 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑡𝑇 𝑥 ≤ (𝐹𝑡) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦))
5933, 58mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦)
60 lbinfcl 11432 . . 3 ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
618, 59, 60syl2anc 584 . 2 (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
628, 61sseldd 3885 . 2 (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
638adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
6459adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦)
65 dffn3 6385 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑇𝐹:𝑇⟶ran 𝐹)
669, 65sylib 219 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑇⟶ran 𝐹)
6766ffvelrnda 6707 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ran 𝐹)
68 lbinfle 11433 . . . . 5 ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑡) ∈ ran 𝐹) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡))
6963, 64, 67, 68syl3anc 1362 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡))
7069ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡)))
7141, 70ralrimi 3181 . 2 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡))
7261, 62, 713jca 1119 1 (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1078   = wceq 1520  Ⅎwnf 1763   ∈ wcel 2079  Ⅎwnfc 2931   ≠ wne 2982  ∀wral 3103  ∃wrex 3104   ⊆ wss 3854  ∅c0 4206  ∪ cuni 4739   class class class wbr 4956  dom cdm 5435  ran crn 5436  Fun wfun 6211   Fn wfn 6212  ⟶wf 6213  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  infcinf 8741  ℝcr 10371   < clt 10510   ≤ cle 10511  (,)cioo 12577  topGenctg 16528   Cn ccn 21504  Compccmp 21666 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450  ax-mulf 10452 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-ixp 8301  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-fi 8711  df-sup 8742  df-inf 8743  df-oi 8810  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-xneg 12346  df-xadd 12347  df-xmul 12348  df-ioo 12581  df-icc 12584  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-seq 13208  df-exp 13268  df-hash 13529  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-starv 16397  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-ip 16400  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-unif 16405  df-hom 16406  df-cco 16407  df-rest 16513  df-topn 16514  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-topgen 16534  df-pt 16535  df-prds 16538  df-xrs 16592  df-qtop 16597  df-imas 16598  df-xps 16600  df-mre 16674  df-mrc 16675  df-acs 16677  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-submnd 17763  df-mulg 17970  df-cntz 18176  df-cmn 18623  df-psmet 20207  df-xmet 20208  df-met 20209  df-bl 20210  df-mopn 20211  df-cnfld 20216  df-top 21174  df-topon 21191  df-topsp 21213  df-bases 21226  df-cn 21507  df-cnp 21508  df-cmp 21667  df-tx 21842  df-hmeo 22035  df-xms 22601  df-ms 22602  df-tms 22603 This theorem is referenced by:  stoweidlem62  41843
 Copyright terms: Public domain W3C validator