Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem29 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem29 45340
Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem29.1 Ⅎ𝑑𝐹
stoweidlem29.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem29.3 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem29.4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem29.5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem29.6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem29.7 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem29 (πœ‘ β†’ (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑇   𝑑,𝐽   𝑑,𝐾
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐹(𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem29
Dummy variables 𝑠 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem29.4 . . . . . 6 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
2 stoweidlem29.3 . . . . . 6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
3 eqid 2727 . . . . . 6 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4 stoweidlem29.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
51, 2, 3, 4fcnre 44310 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
6 df-f 6546 . . . . 5 (𝐹:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 βŠ† ℝ))
75, 6sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 βŠ† ℝ))
87simprd 495 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
97simpld 494 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑇)
10 fnfun 6648 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑇 β†’ Fun 𝐹)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ Fun 𝐹)
135fdmd 6727 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑇)
1413eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 = dom 𝐹)
1514eleq2d 2814 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝑇 ↔ 𝑠 ∈ dom 𝐹))
1615biimpa 476 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ 𝑠 ∈ dom 𝐹)
17 fvelrn 7080 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ran 𝐹)
1812, 16, 17syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ran 𝐹)
19 stoweidlem29.1 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑𝐹
20 nfcv 2898 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑𝑠
2119, 20nffv 6901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑(πΉβ€˜π‘ )
2221nfeq2 2915 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑 π‘₯ = (πΉβ€˜π‘ )
23 breq1 5145 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘ ) β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
2422, 23ralbid 3265 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘ ) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘ ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
2524rspcev 3607 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ran 𝐹 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘ ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
2618, 25sylan 579 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘ ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
27 nfcv 2898 . . . . . 6 Ⅎ𝑠𝐹
28 nfcv 2898 . . . . . 6 Ⅎ𝑠𝑇
29 nfcv 2898 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝑇
30 stoweidlem29.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
31 stoweidlem29.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
3227, 19, 28, 29, 2, 1, 30, 4, 31evth2f 44300 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑇 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘ ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
3326, 32r19.29a 3157 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
34 nfv 1910 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
35 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
369ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ 𝐹 Fn 𝑇)
37 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑑𝑦
3829, 37, 19fvelrnbf 44303 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝑇 β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦))
3936, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦))
4035, 39mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦)
41 stoweidlem29.2 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘‘πœ‘
42 nfra1 3276 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)
4341, 42nfan 1895 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
4419nfrn 5948 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑑ran 𝐹
4544nfcri 2885 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑 𝑦 ∈ ran 𝐹
4643, 45nfan 1895 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
47 nfv 1910 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑 π‘₯ ≀ 𝑦
48 rspa 3240 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
49 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦 β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ π‘₯ ≀ 𝑦))
5048, 49syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦))
5150ex 412 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)))
5251ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)))
5346, 47, 52rexlimd 3258 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦))
5440, 53mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
5554ex 412 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐹 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦))
5634, 55ralrimi 3249 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦)
5756ex 412 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦))
5857reximdv 3165 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦))
5933, 58mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦)
60 lbinfcl 12190 . . 3 ((ran 𝐹 βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
618, 59, 60syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
628, 61sseldd 3979 . 2 (πœ‘ β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
638adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
6459adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦)
65 dffn3 6729 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑇 ↔ 𝐹:π‘‡βŸΆran 𝐹)
669, 65sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆran 𝐹)
6766ffvelcdmda 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ran 𝐹)
68 lbinfle 12191 . . . . 5 ((ran 𝐹 βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ran 𝐹) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
6963, 64, 67, 68syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
7069ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
7141, 70ralrimi 3249 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘))
7261, 62, 713jca 1126 1 (πœ‘ β†’ (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  β„²wnf 1778   ∈ wcel 2099  β„²wnfc 2878   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  ran crn 5673  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  infcinf 9456  β„cr 11129   < clt 11270   ≀ cle 11271  (,)cioo 13348  topGenctg 17410   Cn ccn 23115  Compccmp 23277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  45373
  Copyright terms: Public domain W3C validator