Theorem stoweidlem29 46137

Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem29.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem29.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem29.3	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem29.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem29.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem29.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem29.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem29	⊢ (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑇   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐹(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem29

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem29.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		stoweidlem29.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4		stoweidlem29.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	fcnre 45132	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
6		df-f 6485	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑇⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
7	5, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑇 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
8	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
9	7	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑇)
10		fnfun 6581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → Fun 𝐹)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → Fun 𝐹)
13	5	fdmd 6661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑇)
14	13	eqcomd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = dom 𝐹)
15	14	eleq2d 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝑇 ↔ 𝑠 ∈ dom 𝐹))
16	15	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝑠 ∈ dom 𝐹)
17		fvelrn 7009	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑠) ∈ ran 𝐹)
18	12, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ran 𝐹)
19		stoweidlem29.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
20		nfcv 2894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
21	19, 20	nffv 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
22	21	nfeq2 2912	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑥 = (𝐹‘𝑠)
23		breq1 5092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑠) → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)))
24	22, 23	ralbid 3245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑠) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)))
25	24	rspcev 3572	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑠) ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
26	18, 25	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡)) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
27		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠𝐹
28		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠𝑇
29		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
30		stoweidlem29.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
31		stoweidlem29.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
32	27, 19, 28, 29, 2, 1, 30, 4, 31	evth2f 45122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝑇 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑡))
33	26, 32	r19.29a 3140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
34		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
35		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
36	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝐹 Fn 𝑇)
37		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝑦
38	29, 37, 19	fvelrnbf 45125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦))
39	36, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦))
40	35, 39	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦)
41		stoweidlem29.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
42		nfra1 3256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)
43	41, 42	nfan 1900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
44	19	nfrn 5891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡ran 𝐹
45	44	nfcri 2886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑦 ∈ ran 𝐹
46	43, 45	nfan 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
47		nfv 1915	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑥 ≤ 𝑦
48		rspa 3221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡))
49		breq2 5093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
50	48, 49	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
51	50	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
52	51	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
53	46, 47, 52	rexlimd 3239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (∃𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
54	40, 53	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ≤ 𝑦)
55	54	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → 𝑥 ≤ 𝑦))
56	34, 55	ralrimi 3230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦)
57	56	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦))
58	57	reximdv 3147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑡 ∈ 𝑇 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦))
59	33, 58	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦)
60		lbinfcl 12076	. . 3 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
61	8, 59, 60	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
62	8, 61	sseldd 3930	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
63	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
64	59	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦)
65		dffn3 6663	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 ↔ 𝐹:𝑇⟶ran 𝐹)
66	9, 65	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ran 𝐹)
67	66	ffvelcdmda 7017	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ran 𝐹)
68		lbinfle 12077	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ran 𝐹) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
69	63, 64, 67, 68	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
70	69	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))
71	41, 70	ralrimi 3230	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
72	61, 62, 71	3jca 1128	1 ⊢ (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2879   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  ran crn 5615  Fun wfun 6475   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  infcinf 9325  ℝcr 11005   < clt 11146   ≤ cle 11147  (,)cioo 13245  topGenctg 17341   Cn ccn 23139  Compccmp 23301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-cmp 23302  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237

This theorem is referenced by:  stoweidlem62  46170