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Theorem rencldnfilem 41558
Description: Lemma for rencldnfi 41559. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rencldnfilem (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem rencldnfilem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵)) ↔ 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵))))
21rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑐 → (∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵)) ↔ ∃𝑏𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵))))
32elrab 3684 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵))))
4 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐴)
64, 5sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
76recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ ℂ)
8 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
98recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
107, 9subcld 11571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏𝐵) ∈ ℂ)
11 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → ¬ 𝐵𝐴)
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → ¬ 𝐵𝐴)
13 nelneq 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
145, 12, 13syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
15 subeq0 11486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑏𝐵) = 0 ↔ 𝑏 = 𝐵))
1615necon3abid 2978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑏𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑏 = 𝐵))
177, 9, 16syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑏𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑏 = 𝐵))
1814, 17mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏𝐵) ≠ 0)
1910, 18absrpcld 15395 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ+)
20 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵)) → (𝑐 ∈ ℝ+ ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ+))
2119, 20syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵)) → 𝑐 ∈ ℝ+))
2221rexlimdva 3156 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (∃𝑏𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵)) → 𝑐 ∈ ℝ+))
2322expimpd 455 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → ((𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵))) → 𝑐 ∈ ℝ+))
243, 23biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} → 𝑐 ∈ ℝ+))
2524ssrdv 3989 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ+)
2625adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ+)
27 abrexfi 9352 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin)
28 rabssab 4084 . . . . . . . . . . 11 {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}
29 ssfi 9173 . . . . . . . . . . 11 (({𝑎 ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin)
3027, 28, 29sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin)
3130adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin)
32 simplrl 776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
33 n0 4347 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
3432, 33sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑦 𝑦𝐴)
35 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
36 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
3735, 36sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
3837recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
39 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4039recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4138, 40subcld 11571 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝐵) ∈ ℂ)
4241abscld 15383 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → (abs‘(𝑦𝐵)) ∈ ℝ)
43 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑦𝐵))
44 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑦 → (abs‘(𝑏𝐵)) = (abs‘(𝑦𝐵)))
4544rspceeqv 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑦𝐵))) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵)))
4643, 45mpan2 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵)))
4746adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵)))
48 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (abs‘(𝑦𝐵)) → (𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵)) ↔ (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵))))
4948rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (abs‘(𝑦𝐵)) → (∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵)) ↔ ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵))))
5049elrab 3684 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘(𝑦𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ↔ ((abs‘(𝑦𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵))))
5142, 47, 50sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → (abs‘(𝑦𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
5251ne0d 4336 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅)
5334, 52exlimddv 1939 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅)
54 ssrab2 4078 . . . . . . . . . 10 {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ
5554a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ)
56 gtso 11295 . . . . . . . . . 10 < Or ℝ
57 fisupcl 9464 . . . . . . . . . 10 (( < Or ℝ ∧ ({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅ ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ)) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
5856, 57mpan 689 . . . . . . . . 9 (({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅ ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
5931, 53, 55, 58syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
6026, 59sseldd 3984 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
6154a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ)
62 soss 5609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}))
6354, 56, 62mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
65 fisupg 9291 . . . . . . . . . . . . . 14 (( < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)))
6664, 31, 53, 65syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)))
67 elrabi 3678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} → 𝑐 ∈ ℝ)
68 elrabi 3678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} → 𝑑 ∈ ℝ)
69 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑐 ∈ V
70 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑑 ∈ V
7169, 70brcnv 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 < 𝑑𝑑 < 𝑐)
7271notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑐 < 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 < 𝑐)
73 lenlt 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑐𝑑 ↔ ¬ 𝑑 < 𝑐))
7473biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬ 𝑑 < 𝑐𝑐𝑑))
7572, 74biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬ 𝑐 < 𝑑𝑐𝑑))
7675adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬ 𝑐 < 𝑑𝑐𝑑))
7768, 76sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}) → (¬ 𝑐 < 𝑑𝑐𝑑))
7877ralimdva 3168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 → ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑))
7978adantrd 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)) → ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑))
8067, 79sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}) → ((∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)) → ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑))
8180reximdva 3169 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑))
8266, 81mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑)
8382adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑)
84 lbinfle 12169 . . . . . . . . . . 11 (({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑 ∧ (abs‘(𝑦𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}) → inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)))
8561, 83, 51, 84syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)))
86 df-inf 9438 . . . . . . . . . . . 12 inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )
8786eqcomi 2742 . . . . . . . . . . 11 sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) = inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )
8887breq1i 5156 . . . . . . . . . 10 (sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)) ↔ inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)))
8985, 88sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)))
9054, 59sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9190adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9291, 42lenltd 11360 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → (sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)) ↔ ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )))
9389, 92mpbid 231 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ))
9493ralrimiva 3147 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ))
95 breq2 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) → ((abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )))
9695notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) → (¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )))
9796ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) → (∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )))
9897rspcev 3613 . . . . . . 7 ((sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
9960, 94, 98syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
100 ralnex 3073 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
101100rexbii 3095 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
102 rexnal 3101 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
103101, 102bitri 275 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
10499, 103sylib 217 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
105104ex 414 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥))
1061053impa 1111 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥))
107106con2d 134 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
108107imp 408 1 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  {cab 2710  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  {crab 3433  wss 3949  c0 4323   class class class wbr 5149   Or wor 5588  ccnv 5676  cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  supcsup 9435  infcinf 9436  cc 11108  cr 11109  0cc0 11110   < clt 11248  cle 11249  cmin 11444  +crp 12974  abscabs 15181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183
This theorem is referenced by:  rencldnfi  41559
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