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Theorem rencldnfilem 40642
Description: Lemma for rencldnfi 40643. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rencldnfilem (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem rencldnfilem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵)) ↔ 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵))))
21rexbidv 3226 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑐 → (∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵)) ↔ ∃𝑏𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵))))
32elrab 3624 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵))))
4 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐴)
64, 5sseldd 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
76recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ ℂ)
8 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
98recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
107, 9subcld 11332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏𝐵) ∈ ℂ)
11 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → ¬ 𝐵𝐴)
1211ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → ¬ 𝐵𝐴)
13 nelneq 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
145, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
15 subeq0 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑏𝐵) = 0 ↔ 𝑏 = 𝐵))
1615necon3abid 2980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑏𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑏 = 𝐵))
177, 9, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑏𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑏 = 𝐵))
1814, 17mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏𝐵) ≠ 0)
1910, 18absrpcld 15160 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ+)
20 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵)) → (𝑐 ∈ ℝ+ ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ+))
2119, 20syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵)) → 𝑐 ∈ ℝ+))
2221rexlimdva 3213 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (∃𝑏𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵)) → 𝑐 ∈ ℝ+))
2322expimpd 454 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → ((𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵))) → 𝑐 ∈ ℝ+))
243, 23syl5bi 241 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} → 𝑐 ∈ ℝ+))
2524ssrdv 3927 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ+)
2625adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ+)
27 abrexfi 9119 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin)
28 rabssab 4018 . . . . . . . . . . 11 {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}
29 ssfi 8956 . . . . . . . . . . 11 (({𝑎 ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin)
3027, 28, 29sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin)
3130adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin)
32 simplrl 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
33 n0 4280 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
3432, 33sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑦 𝑦𝐴)
35 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
36 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
3735, 36sseldd 3922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
3837recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
39 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4039recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4138, 40subcld 11332 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝐵) ∈ ℂ)
4241abscld 15148 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → (abs‘(𝑦𝐵)) ∈ ℝ)
43 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑦𝐵))
44 fvoveq1 7298 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑦 → (abs‘(𝑏𝐵)) = (abs‘(𝑦𝐵)))
4544rspceeqv 3575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑦𝐵))) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵)))
4643, 45mpan2 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵)))
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵)))
48 eqeq1 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (abs‘(𝑦𝐵)) → (𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵)) ↔ (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵))))
4948rexbidv 3226 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (abs‘(𝑦𝐵)) → (∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵)) ↔ ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵))))
5049elrab 3624 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘(𝑦𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ↔ ((abs‘(𝑦𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵))))
5142, 47, 50sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → (abs‘(𝑦𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
5251ne0d 4269 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅)
5334, 52exlimddv 1938 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅)
54 ssrab2 4013 . . . . . . . . . 10 {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ
5554a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ)
56 gtso 11056 . . . . . . . . . 10 < Or ℝ
57 fisupcl 9228 . . . . . . . . . 10 (( < Or ℝ ∧ ({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅ ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ)) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
5856, 57mpan 687 . . . . . . . . 9 (({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅ ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
5931, 53, 55, 58syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
6026, 59sseldd 3922 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
6154a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ)
62 soss 5523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}))
6354, 56, 62mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
65 fisupg 9062 . . . . . . . . . . . . . 14 (( < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)))
6664, 31, 53, 65syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)))
67 elrabi 3618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} → 𝑐 ∈ ℝ)
68 elrabi 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} → 𝑑 ∈ ℝ)
69 vex 3436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑐 ∈ V
70 vex 3436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑑 ∈ V
7169, 70brcnv 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 < 𝑑𝑑 < 𝑐)
7271notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑐 < 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 < 𝑐)
73 lenlt 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑐𝑑 ↔ ¬ 𝑑 < 𝑐))
7473biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬ 𝑑 < 𝑐𝑐𝑑))
7572, 74syl5bi 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬ 𝑐 < 𝑑𝑐𝑑))
7675adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬ 𝑐 < 𝑑𝑐𝑑))
7768, 76sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}) → (¬ 𝑐 < 𝑑𝑐𝑑))
7877ralimdva 3108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 → ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑))
7978adantrd 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)) → ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑))
8067, 79sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}) → ((∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)) → ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑))
8180reximdva 3203 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑))
8266, 81mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑)
8382adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑)
84 lbinfle 11930 . . . . . . . . . . 11 (({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑 ∧ (abs‘(𝑦𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}) → inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)))
8561, 83, 51, 84syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)))
86 df-inf 9202 . . . . . . . . . . . 12 inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )
8786eqcomi 2747 . . . . . . . . . . 11 sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) = inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )
8887breq1i 5081 . . . . . . . . . 10 (sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)) ↔ inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)))
8985, 88sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)))
9054, 59sselid 3919 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9190adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9291, 42lenltd 11121 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → (sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)) ↔ ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )))
9389, 92mpbid 231 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ))
9493ralrimiva 3103 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ))
95 breq2 5078 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) → ((abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )))
9695notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) → (¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )))
9796ralbidv 3112 . . . . . . . 8 (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) → (∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )))
9897rspcev 3561 . . . . . . 7 ((sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
9960, 94, 98syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
100 ralnex 3167 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
101100rexbii 3181 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
102 rexnal 3169 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
103101, 102bitri 274 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
10499, 103sylib 217 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
105104ex 413 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥))
1061053impa 1109 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥))
107106con2d 134 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
108107imp 407 1 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  {cab 2715  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  {crab 3068  wss 3887  c0 4256   class class class wbr 5074   Or wor 5502  ccnv 5588  cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  supcsup 9199  infcinf 9200  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  +crp 12730  abscabs 14945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947
This theorem is referenced by:  rencldnfi  40643
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