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Theorem rencldnfilem 41129
Description: Lemma for rencldnfi 41130. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rencldnfilem (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem rencldnfilem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵)) ↔ 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵))))
21rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑐 → (∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵)) ↔ ∃𝑏𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵))))
32elrab 3645 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵))))
4 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐴)
64, 5sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
76recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ ℂ)
8 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
98recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
107, 9subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏𝐵) ∈ ℂ)
11 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → ¬ 𝐵𝐴)
1211ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → ¬ 𝐵𝐴)
13 nelneq 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
145, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
15 subeq0 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑏𝐵) = 0 ↔ 𝑏 = 𝐵))
1615necon3abid 2980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑏𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑏 = 𝐵))
177, 9, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑏𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑏 = 𝐵))
1814, 17mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏𝐵) ≠ 0)
1910, 18absrpcld 15333 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ+)
20 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵)) → (𝑐 ∈ ℝ+ ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ+))
2119, 20syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵)) → 𝑐 ∈ ℝ+))
2221rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (∃𝑏𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵)) → 𝑐 ∈ ℝ+))
2322expimpd 454 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → ((𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵))) → 𝑐 ∈ ℝ+))
243, 23biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} → 𝑐 ∈ ℝ+))
2524ssrdv 3950 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ+)
2625adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ+)
27 abrexfi 9296 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin)
28 rabssab 4043 . . . . . . . . . . 11 {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}
29 ssfi 9117 . . . . . . . . . . 11 (({𝑎 ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin)
3027, 28, 29sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin)
3130adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin)
32 simplrl 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
33 n0 4306 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
3432, 33sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑦 𝑦𝐴)
35 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
36 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
3735, 36sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
3837recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
39 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4039recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4138, 40subcld 11512 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝐵) ∈ ℂ)
4241abscld 15321 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → (abs‘(𝑦𝐵)) ∈ ℝ)
43 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑦𝐵))
44 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑦 → (abs‘(𝑏𝐵)) = (abs‘(𝑦𝐵)))
4544rspceeqv 3595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑦𝐵))) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵)))
4643, 45mpan2 689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵)))
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵)))
48 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (abs‘(𝑦𝐵)) → (𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵)) ↔ (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵))))
4948rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (abs‘(𝑦𝐵)) → (∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵)) ↔ ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵))))
5049elrab 3645 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘(𝑦𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ↔ ((abs‘(𝑦𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵))))
5142, 47, 50sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → (abs‘(𝑦𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
5251ne0d 4295 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅)
5334, 52exlimddv 1938 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅)
54 ssrab2 4037 . . . . . . . . . 10 {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ
5554a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ)
56 gtso 11236 . . . . . . . . . 10 < Or ℝ
57 fisupcl 9405 . . . . . . . . . 10 (( < Or ℝ ∧ ({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅ ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ)) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
5856, 57mpan 688 . . . . . . . . 9 (({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅ ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
5931, 53, 55, 58syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
6026, 59sseldd 3945 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
6154a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ)
62 soss 5565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}))
6354, 56, 62mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
65 fisupg 9235 . . . . . . . . . . . . . 14 (( < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)))
6664, 31, 53, 65syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)))
67 elrabi 3639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} → 𝑐 ∈ ℝ)
68 elrabi 3639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} → 𝑑 ∈ ℝ)
69 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑐 ∈ V
70 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑑 ∈ V
7169, 70brcnv 5838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 < 𝑑𝑑 < 𝑐)
7271notbii 319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑐 < 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 < 𝑐)
73 lenlt 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑐𝑑 ↔ ¬ 𝑑 < 𝑐))
7473biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬ 𝑑 < 𝑐𝑐𝑑))
7572, 74biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬ 𝑐 < 𝑑𝑐𝑑))
7675adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬ 𝑐 < 𝑑𝑐𝑑))
7768, 76sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}) → (¬ 𝑐 < 𝑑𝑐𝑑))
7877ralimdva 3164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 → ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑))
7978adantrd 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)) → ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑))
8067, 79sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}) → ((∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)) → ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑))
8180reximdva 3165 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑))
8266, 81mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑)
8382adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑)
84 lbinfle 12110 . . . . . . . . . . 11 (({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑 ∧ (abs‘(𝑦𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}) → inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)))
8561, 83, 51, 84syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)))
86 df-inf 9379 . . . . . . . . . . . 12 inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )
8786eqcomi 2745 . . . . . . . . . . 11 sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) = inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )
8887breq1i 5112 . . . . . . . . . 10 (sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)) ↔ inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)))
8985, 88sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)))
9054, 59sselid 3942 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9190adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9291, 42lenltd 11301 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → (sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)) ↔ ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )))
9389, 92mpbid 231 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ))
9493ralrimiva 3143 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ))
95 breq2 5109 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) → ((abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )))
9695notbid 317 . . . . . . . . 9 (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) → (¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )))
9796ralbidv 3174 . . . . . . . 8 (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) → (∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )))
9897rspcev 3581 . . . . . . 7 ((sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
9960, 94, 98syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
100 ralnex 3075 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
101100rexbii 3097 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
102 rexnal 3103 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
103101, 102bitri 274 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
10499, 103sylib 217 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
105104ex 413 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥))
1061053impa 1110 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥))
107106con2d 134 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
108107imp 407 1 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  {cab 2713  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105   Or wor 5544  ccnv 5632  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  supcsup 9376  infcinf 9377  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  +crp 12915  abscabs 15119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121
This theorem is referenced by:  rencldnfi  41130
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