| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ↔ 𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))) |
| 2 | 1 | rexbidv 3179 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))) |
| 3 | 2 | elrab 3692 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))) |
| 4 | | simp-4l 783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ) |
| 5 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝐴) |
| 6 | 4, 5 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ) |
| 7 | 6 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℂ) |
| 8 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 9 | 8 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 10 | 7, 9 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑏 − 𝐵) ∈ ℂ) |
| 11 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) |
| 12 | 11 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) |
| 13 | | nelneq 2865 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐵) |
| 14 | 5, 12, 13 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐵) |
| 15 | | subeq0 11535 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑏 − 𝐵) = 0 ↔ 𝑏 = 𝐵)) |
| 16 | 15 | necon3abid 2977 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑏 − 𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑏 = 𝐵)) |
| 17 | 7, 9, 16 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((𝑏 − 𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑏 = 𝐵)) |
| 18 | 14, 17 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑏 − 𝐵) ≠ 0) |
| 19 | 10, 18 | absrpcld 15487 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈
ℝ+) |
| 20 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) → (𝑐 ∈ ℝ+ ↔
(abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈
ℝ+)) |
| 21 | 19, 20 | syl5ibrcom 247 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) → 𝑐 ∈
ℝ+)) |
| 22 | 21 | rexlimdva 3155 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) → 𝑐 ∈
ℝ+)) |
| 23 | 22 | expimpd 453 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → ((𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))) → 𝑐 ∈
ℝ+)) |
| 24 | 3, 23 | biimtrid 242 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} → 𝑐 ∈
ℝ+)) |
| 25 | 24 | ssrdv 3989 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆
ℝ+) |
| 26 | 25 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆
ℝ+) |
| 27 | | abrexfi 9392 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin) |
| 28 | | rabssab 4085 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} |
| 29 | | ssfi 9213 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (({𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin) |
| 30 | 27, 28, 29 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin) |
| 31 | 30 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin) |
| 32 | | simplrl 777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅) |
| 33 | | n0 4353 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔
∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴) |
| 34 | 32, 33 | sylib 218 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴) |
| 35 | | simp-4l 783 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ) |
| 36 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) |
| 37 | 35, 36 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 38 | 37 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ) |
| 39 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 40 | 39 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 41 | 38, 40 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 − 𝐵) ∈ ℂ) |
| 42 | 41 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑦 − 𝐵)) ∈ ℝ) |
| 43 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(abs‘(𝑦
− 𝐵)) =
(abs‘(𝑦 − 𝐵)) |
| 44 | | fvoveq1 7454 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) = (abs‘(𝑦 − 𝐵))) |
| 45 | 44 | rspceeqv 3645 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑦 − 𝐵))) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵))) |
| 46 | 43, 45 | mpan2 691 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵))) |
| 47 | 46 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵))) |
| 48 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑎 = (abs‘(𝑦 − 𝐵)) → (𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ↔ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))) |
| 49 | 48 | rexbidv 3179 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑎 = (abs‘(𝑦 − 𝐵)) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))) |
| 50 | 49 | elrab 3692 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((abs‘(𝑦
− 𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))) |
| 51 | 42, 47, 50 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑦 − 𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) |
| 52 | 51 | ne0d 4342 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ≠ ∅) |
| 53 | 34, 52 | exlimddv 1935 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ≠ ∅) |
| 54 | | ssrab2 4080 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ |
| 55 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ) |
| 56 | | gtso 11342 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ◡ < Or ℝ |
| 57 | | fisupcl 9509 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((◡ < Or ℝ ∧ ({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ≠ ∅ ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ)) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) |
| 58 | 56, 57 | mpan 690 |
. . . . . . . . 9
⊢ (({𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ≠ ∅ ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) |
| 59 | 31, 53, 55, 58 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) |
| 60 | 26, 59 | sseldd 3984 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ∈
ℝ+) |
| 61 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ) |
| 62 | | soss 5612 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ({𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ → (◡ < Or ℝ → ◡ < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))})) |
| 63 | 54, 56, 62 | mp2 9 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ◡ < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} |
| 64 | 63 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡ < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) |
| 65 | | fisupg 9324 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((◡ < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ≠ ∅) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐◡
< 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (𝑑◡
< 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑑◡
< 𝑥))) |
| 66 | 64, 31, 53, 65 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐◡
< 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (𝑑◡
< 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑑◡
< 𝑥))) |
| 67 | | elrabi 3687 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} → 𝑐 ∈ ℝ) |
| 68 | | elrabi 3687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} → 𝑑 ∈ ℝ) |
| 69 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 𝑐 ∈ V |
| 70 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 𝑑 ∈ V |
| 71 | 69, 70 | brcnv 5893 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑐◡ < 𝑑 ↔ 𝑑 < 𝑐) |
| 72 | 71 | notbii 320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (¬
𝑐◡ < 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 < 𝑐) |
| 73 | | lenlt 11339 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑐 ≤ 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 < 𝑐)) |
| 74 | 73 | biimprd 248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬
𝑑 < 𝑐 → 𝑐 ≤ 𝑑)) |
| 75 | 72, 74 | biimtrid 242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬
𝑐◡ < 𝑑 → 𝑐 ≤ 𝑑)) |
| 76 | 75 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬
𝑐◡ < 𝑑 → 𝑐 ≤ 𝑑)) |
| 77 | 68, 76 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) → (¬ 𝑐◡
< 𝑑 → 𝑐 ≤ 𝑑)) |
| 78 | 77 | ralimdva 3167 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) →
(∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐◡
< 𝑑 → ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑)) |
| 79 | 78 | adantrd 491 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) →
((∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐◡
< 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (𝑑◡
< 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑑◡
< 𝑥)) →
∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑)) |
| 80 | 67, 79 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) → ((∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐◡
< 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (𝑑◡
< 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑑◡
< 𝑥)) →
∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑)) |
| 81 | 80 | reximdva 3168 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐◡
< 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (𝑑◡
< 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑑◡
< 𝑥)) →
∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑)) |
| 82 | 66, 81 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑) |
| 83 | 82 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑) |
| 84 | | lbinfle 12223 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (({𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) → inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵))) |
| 85 | 61, 83, 51, 84 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵))) |
| 86 | | df-inf 9483 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
inf({𝑎 ∈
ℝ ∣ ∃𝑏
∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, < ) = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) |
| 87 | 86 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
sup({𝑎 ∈
ℝ ∣ ∃𝑏
∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) = inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, < ) |
| 88 | 87 | breq1i 5150 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(sup({𝑎 ∈
ℝ ∣ ∃𝑏
∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) ↔ inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵))) |
| 89 | 85, 88 | sylibr 234 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵))) |
| 90 | 54, 59 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ∈ ℝ) |
| 91 | 90 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ∈ ℝ) |
| 92 | 91, 42 | lenltd 11407 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) ↔ ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ))) |
| 93 | 89, 92 | mpbid 232 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < )) |
| 94 | 93 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < )) |
| 95 | | breq2 5147 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) → ((abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ))) |
| 96 | 95 | notbid 318 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) → (¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ))) |
| 97 | 96 | ralbidv 3178 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ))) |
| 98 | 97 | rspcev 3622 |
. . . . . . 7
⊢
((sup({𝑎 ∈
ℝ ∣ ∃𝑏
∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ∈ ℝ+ ∧
∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) |
| 99 | 60, 94, 98 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ+
∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) |
| 100 | | ralnex 3072 |
. . . . . . . 8
⊢
(∀𝑦 ∈
𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) |
| 101 | 100 | rexbii 3094 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑥 ∈
ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬
∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) |
| 102 | | rexnal 3100 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑥 ∈
ℝ+ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) |
| 103 | 101, 102 | bitri 275 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑥 ∈
ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) |
| 104 | 99, 103 | sylib 218 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+
∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) |
| 105 | 104 | ex 412 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+
∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥)) |
| 106 | 105 | 3impa 1110 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+
∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥)) |
| 107 | 106 | con2d 134 |
. 2
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)) |
| 108 | 107 | imp 406 |
1
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) → ¬ 𝐴 ∈ Fin) |