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Theorem rencldnfilem 38358
Description: Lemma for rencldnfi 38359. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rencldnfilem (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem rencldnfilem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵)) ↔ 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵))))
21rexbidv 3237 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑐 → (∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵)) ↔ ∃𝑏𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵))))
32elrab 3572 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵))))
4 simp-4l 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐴)
64, 5sseldd 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
76recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ ℂ)
8 simp-4r 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
98recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
107, 9subcld 10736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏𝐵) ∈ ℂ)
11 simprr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → ¬ 𝐵𝐴)
1211ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → ¬ 𝐵𝐴)
13 nelneq 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
145, 12, 13syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
15 subeq0 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑏𝐵) = 0 ↔ 𝑏 = 𝐵))
1615necon3abid 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑏𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑏 = 𝐵))
177, 9, 16syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑏𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑏 = 𝐵))
1814, 17mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏𝐵) ≠ 0)
1910, 18absrpcld 14602 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ+)
20 eleq1 2847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵)) → (𝑐 ∈ ℝ+ ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ+))
2119, 20syl5ibrcom 239 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵)) → 𝑐 ∈ ℝ+))
2221rexlimdva 3213 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (∃𝑏𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵)) → 𝑐 ∈ ℝ+))
2322expimpd 447 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → ((𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏𝐵))) → 𝑐 ∈ ℝ+))
243, 23syl5bi 234 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} → 𝑐 ∈ ℝ+))
2524ssrdv 3827 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ+)
2625adantr 474 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ+)
27 abrexfi 8556 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin)
28 rabssab 3912 . . . . . . . . . . 11 {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}
29 ssfi 8470 . . . . . . . . . . 11 (({𝑎 ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin)
3027, 28, 29sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin)
3130adantl 475 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin)
32 simplrl 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
33 n0 4159 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
3432, 33sylib 210 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑦 𝑦𝐴)
35 simp-4l 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
36 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
3735, 36sseldd 3822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
3837recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
39 simp-4r 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4039recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4138, 40subcld 10736 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝐵) ∈ ℂ)
4241abscld 14590 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → (abs‘(𝑦𝐵)) ∈ ℝ)
43 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑦𝐵))
44 fvoveq1 6947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑦 → (abs‘(𝑏𝐵)) = (abs‘(𝑦𝐵)))
4544rspceeqv 3529 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑦𝐵))) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵)))
4643, 45mpan2 681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵)))
4746adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵)))
48 eqeq1 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (abs‘(𝑦𝐵)) → (𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵)) ↔ (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵))))
4948rexbidv 3237 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (abs‘(𝑦𝐵)) → (∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵)) ↔ ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵))))
5049elrab 3572 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘(𝑦𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ↔ ((abs‘(𝑦𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵))))
5142, 47, 50sylanbrc 578 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → (abs‘(𝑦𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
5251ne0d 4150 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅)
5334, 52exlimddv 1978 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅)
54 ssrab2 3908 . . . . . . . . . 10 {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ
5554a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ)
56 gtso 10460 . . . . . . . . . 10 < Or ℝ
57 fisupcl 8665 . . . . . . . . . 10 (( < Or ℝ ∧ ({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅ ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ)) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
5856, 57mpan 680 . . . . . . . . 9 (({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅ ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
5931, 53, 55, 58syl3anc 1439 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
6026, 59sseldd 3822 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
6154a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ)
62 soss 5295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}))
6354, 56, 62mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))})
65 fisupg 8498 . . . . . . . . . . . . . 14 (( < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ≠ ∅) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)))
6664, 31, 53, 65syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)))
67 elrabi 3567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} → 𝑐 ∈ ℝ)
68 elrabi 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} → 𝑑 ∈ ℝ)
69 vex 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑐 ∈ V
70 vex 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑑 ∈ V
7169, 70brcnv 5552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 < 𝑑𝑑 < 𝑐)
7271notbii 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑐 < 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 < 𝑐)
73 lenlt 10457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑐𝑑 ↔ ¬ 𝑑 < 𝑐))
7473biimprd 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬ 𝑑 < 𝑐𝑐𝑑))
7572, 74syl5bi 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬ 𝑐 < 𝑑𝑐𝑑))
7675adantll 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬ 𝑐 < 𝑑𝑐𝑑))
7768, 76sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}) → (¬ 𝑐 < 𝑑𝑐𝑑))
7877ralimdva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 → ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑))
7978adantrd 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)) → ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑))
8067, 79sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}) → ((∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)) → ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑))
8180reximdva 3198 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ¬ 𝑐 < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} (𝑑 < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑑 < 𝑥)) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑))
8266, 81mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑)
8382adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑)
84 lbinfle 11337 . . . . . . . . . . 11 (({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}𝑐𝑑 ∧ (abs‘(𝑦𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}) → inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)))
8561, 83, 51, 84syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)))
86 df-inf 8639 . . . . . . . . . . . 12 inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )
8786eqcomi 2787 . . . . . . . . . . 11 sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) = inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )
8887breq1i 4895 . . . . . . . . . 10 (sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)) ↔ inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)))
8985, 88sylibr 226 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)))
9054, 59sseldi 3819 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9190adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9291, 42lenltd 10524 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → (sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦𝐵)) ↔ ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )))
9389, 92mpbid 224 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝐴) → ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ))
9493ralrimiva 3148 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ))
95 breq2 4892 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) → ((abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )))
9695notbid 310 . . . . . . . . 9 (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) → (¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )))
9796ralbidv 3168 . . . . . . . 8 (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) → (∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )))
9897rspcev 3511 . . . . . . 7 ((sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏𝐵))}, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
9960, 94, 98syl2anc 579 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
100 ralnex 3174 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
101100rexbii 3224 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
102 rexnal 3176 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
103101, 102bitri 267 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ¬ (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
10499, 103sylib 210 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥)
105104ex 403 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥))
1061053impa 1097 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥))
107106con2d 132 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥 → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
108107imp 397 1 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐴 (abs‘(𝑦𝐵)) < 𝑥) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2107  {cab 2763  wne 2969  wral 3090  wrex 3091  {crab 3094  wss 3792  c0 4141   class class class wbr 4888   Or wor 5275  ccnv 5356  cfv 6137  (class class class)co 6924  Fincfn 8243  supcsup 8636  infcinf 8637  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274   < clt 10413  cle 10414  cmin 10608  +crp 12142  abscabs 14387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-seq 13125  df-exp 13184  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389
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