rencldnfilem - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem rencldnfilem 43278

Description: Lemma for rencldnfi 43279. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
rencldnfilem	⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴,𝑦 𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem rencldnfilem Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ↔ 𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))))
2	1	rexbidv 3165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))))
3	2	elrab 3630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))))
4		simp-4l 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝐴)
6	4, 5	sseldd 3917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℂ)
8		simp-4r 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	7, 9	subcld 11501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑏 − 𝐵) ∈ ℂ)
11		simprr 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
12	11	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
13		nelneq 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
14	5, 12, 13	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐵)
15		subeq0 11416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑏 − 𝐵) = 0 ↔ 𝑏 = 𝐵))
16	15	necon3abid 2972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑏 − 𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑏 = 𝐵))
17	7, 9, 16	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((𝑏 − 𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑏 = 𝐵))
18	14, 17	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑏 − 𝐵) ≠ 0)
19	10, 18	absrpcld 15408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈ ℝ⁺)
20		eleq1 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) → (𝑐 ∈ ℝ⁺ ↔ (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈ ℝ⁺))
21	19, 20	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) → 𝑐 ∈ ℝ⁺))
22	21	rexlimdva 3142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) → 𝑐 ∈ ℝ⁺))
23	22	expimpd 455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → ((𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))) → 𝑐 ∈ ℝ⁺))
24	3, 23	biimtrid 244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} → 𝑐 ∈ ℝ⁺))
25	24	ssrdv 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ⁺)
26	25	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ⁺)
27		abrexfi 9256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin)
28		rabssab 4018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}
29		ssfi 9101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin)
30	27, 28, 29	sylancl 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin)
31	30	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin)
32		simplrl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
33		n0 4283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
34	32, 33	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
35		simp-4l 789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
36		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
37	35, 36	sseldd 3917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
38	37	recnd 11169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
39		simp-4r 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
40	39	recnd 11169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
41	38, 40	subcld 11501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 − 𝐵) ∈ ℂ)
42	41	abscld 15396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑦 − 𝐵)) ∈ ℝ)
43		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑦 − 𝐵))
44		fvoveq1 7382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) = (abs‘(𝑦 − 𝐵)))
45	44	rspceeqv 3584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑦 − 𝐵))) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))
46	43, 45	mpan2 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))
47	46	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))
48		eqeq1 2745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (abs‘(𝑦 − 𝐵)) → (𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ↔ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵))))
49	48	rexbidv 3165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (abs‘(𝑦 − 𝐵)) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵))))
50	49	elrab 3630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘(𝑦 − 𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵))))
51	42, 47, 50	sylanbrc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑦 − 𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))})
52	51	ne0d 4272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ≠ ∅)
53	34, 52	exlimddv 1943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ≠ ∅)
54		ssrab2 4013	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ)
56		gtso 11223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ^◡ < Or ℝ
57		fisupcl 9377	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((^◡ < Or ℝ ∧ ({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ≠ ∅ ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ)) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))})
58	56, 57	mpan 697	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ≠ ∅ ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))})
59	31, 53, 55, 58	syl3anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))})
60	26, 59	sseldd 3917	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < ) ∈ ℝ⁺)
61	54	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ)
62		soss 5548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ → (^◡ < Or ℝ → ^◡ < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}))
63	54, 56, 62	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ^◡ < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ^◡ < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))})
65		fisupg 9192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((^◡ < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ≠ ∅) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐^◡ < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (𝑑^◡ < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑑^◡ < 𝑥)))
66	64, 31, 53, 65	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐^◡ < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (𝑑^◡ < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑑^◡ < 𝑥)))
67		elrabi 3626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} → 𝑐 ∈ ℝ)
68		elrabi 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} → 𝑑 ∈ ℝ)
69		vex 3437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑐 ∈ V
70		vex 3437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑑 ∈ V
71	69, 70	brcnv 5826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑐^◡ < 𝑑 ↔ 𝑑 < 𝑐)
72	71	notbii 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ 𝑐^◡ < 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 < 𝑐)
73		lenlt 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑐 ≤ 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 < 𝑐))
74	73	biimprd 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬ 𝑑 < 𝑐 → 𝑐 ≤ 𝑑))
75	72, 74	biimtrid 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬ 𝑐^◡ < 𝑑 → 𝑐 ≤ 𝑑))
76	75	adantll 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬ 𝑐^◡ < 𝑑 → 𝑐 ≤ 𝑑))
77	68, 76	sylan2 600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) → (¬ 𝑐^◡ < 𝑑 → 𝑐 ≤ 𝑑))
78	77	ralimdva 3153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐^◡ < 𝑑 → ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑))
79	78	adantrd 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐^◡ < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (𝑑^◡ < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑑^◡ < 𝑥)) → ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑))
80	67, 79	sylan2 600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) → ((∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐^◡ < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (𝑑^◡ < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑑^◡ < 𝑥)) → ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑))
81	80	reximdva 3154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐^◡ < 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (𝑑^◡ < 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑑^◡ < 𝑥)) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑))
82	66, 81	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑)
83	82	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑)
84		lbinfle 12106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) → inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵)))
85	61, 83, 51, 84	syl3anc 1380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵)))
86		df-inf 9350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, < ) = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < )
87	86	eqcomi 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < ) = inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, < )
88	87	breq1i 5081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) ↔ inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵)))
89	85, 88	sylibr 236	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵)))
90	54, 59	sselid 3914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < ) ∈ ℝ)
91	90	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < ) ∈ ℝ)
92	91, 42	lenltd 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) ↔ ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < )))
93	89, 92	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < ))
94	93	ralrimiva 3133	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < ))
95		breq2 5078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < ) → ((abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < )))
96	95	notbid 320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < ) → (¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < )))
97	96	ralbidv 3164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < )))
98	97	rspcev 3561	. . . . . . 7 ⊢ ((sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < ) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ^◡ < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥)
99	60, 94, 98	syl2anc 591	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥)
100		ralnex 3067	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥)
101	100	rexbii 3088	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥)
102		rexnal 3093	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥)
103	101, 102	bitri 277	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥)
104	99, 103	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥)
105	104	ex 414	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥))
106	105	3impa 1116	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥))
107	106	con2d 134	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
108	107	imp 408	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 397 ∧ w3a 1093 = wceq 1548 ∃wex 1787 ∈ wcel 2121 {cab 2719 ≠ wne 2936 ∀wral 3055 ∃wrex 3065 {crab 3393 ⊆ wss 3884 ∅c0 4263 class class class wbr 5074 Or wor 5527 ^◡ccnv 5619 ‘cfv 6488 (class class class)co 7359 Fincfn 8887 supcsup 9347 infcinf 9348 ℂcc 11032 ℝcr 11033 0cc0 11034 < clt 11175 ≤ cle 11176 − cmin 11373 ℝ⁺crp 12937 abscabs 15191

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1975 ax-7 2016 ax-8 2123 ax-9 2131 ax-10 2154 ax-11 2170 ax-12 2191 ax-ext 2713 ax-sep 5220 ax-nul 5230 ax-pow 5296 ax-pr 5364 ax-un 7681 ax-cnex 11090 ax-resscn 11091 ax-1cn 11092 ax-icn 11093 ax-addcl 11094 ax-addrcl 11095 ax-mulcl 11096 ax-mulrcl 11097 ax-mulcom 11098 ax-addass 11099 ax-mulass 11100 ax-distr 11101 ax-i2m1 11102 ax-1ne0 11103 ax-1rid 11104 ax-rnegex 11105 ax-rrecex 11106 ax-cnre 11107 ax-pre-lttri 11108 ax-pre-lttrn 11109 ax-pre-ltadd 11110 ax-pre-mulgt0 11111 ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 398 df-or 855 df-3or 1094 df-3an 1095 df-tru 1551 df-fal 1561 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2075 df-mo 2545 df-eu 2575 df-clab 2720 df-cleq 2733 df-clel 2816 df-nfc 2890 df-ne 2937 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3066 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3394 df-v 3435 df-sbc 3725 df-csb 3833 df-dif 3887 df-un 3889 df-in 3891 df-ss 3901 df-pss 3904 df-nul 4264 df-if 4457 df-pw 4533 df-sn 4558 df-pr 4560 df-op 4564 df-uni 4841 df-iun 4925 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5156 df-tr 5182 df-id 5515 df-eprel 5520 df-po 5528 df-so 5529 df-fr 5573 df-we 5575 df-xp 5626 df-rel 5627 df-cnv 5628 df-co 5629 df-dm 5630 df-rn 5631 df-res 5632 df-ima 5633 df-pred 6255 df-ord 6316 df-on 6317 df-lim 6318 df-suc 6319 df-iota 6444 df-fun 6490 df-fn 6491 df-f 6492 df-f1 6493 df-fo 6494 df-f1o 6495 df-fv 6496 df-riota 7316 df-ov 7362 df-oprab 7363 df-mpo 7364 df-om 7810 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8343 df-1o 8399 df-er 8637 df-en 8888 df-dom 8889 df-sdom 8890 df-fin 8891 df-sup 9349 df-inf 9350 df-pnf 11177 df-mnf 11178 df-xr 11179 df-ltxr 11180 df-le 11181 df-sub 11375 df-neg 11376 df-div 11804 df-nn 12170 df-2 12239 df-3 12240 df-n0 12433 df-z 12520 df-uz 12784 df-rp 12938 df-seq 13959 df-exp 14019 df-cj 15056 df-re 15057 df-im 15058 df-sqrt 15192 df-abs 15193

This theorem is referenced by: rencldnfi 43279

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