Theorem infssuzle 12954

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers is less than or equal to all members of the subset. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infssuzle	⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem infssuzle

Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4302	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑆 ≠ ∅)
2		uzwo 12934	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)
3	1, 2	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)
4		uzssz 12882	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
5		zssre 12597	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
6	4, 5	sstri 3954	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
7		sstr 3953	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ) → 𝑆 ⊆ ℝ)
8	6, 7	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑆 ⊆ ℝ)
9		lbinfle 12169	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
10	9	3com23 1142	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
11	8, 10	syl3an1 1179	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
12	3, 11	mpd3an3 1488	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  infcinf 9400  ℝcr 11098   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862

This theorem is referenced by:  zsupss  12960  uzwo3  12966  divalglem5  16454  bitsfzolem  16491  bezoutlem3  16598  lcmledvds  16656  lcmfledvds  16689  odzdvds  16854  4sqlem13  17016  4sqlem17  17020  ramcl2lem  17068  ramtub  17071  odlem2  19608  gexlem2  19651  zringlpirlem3  21582  ovolicc2lem4  25647  iundisj  25675  ig1peu  26300  ig1pdvds  26305  ftalem5  27206  iundisjf  32874  iundisjfi  33081  ig1pmindeg  33836  exsslsb  33931  dgraaub  43766  elaa2lem  46838