Theorem infssuzle 12920

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers is less than or equal to all members of the subset. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infssuzle	⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem infssuzle

Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4334	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑆 ≠ ∅)
2		uzwo 12900	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)
3	1, 2	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)
4		uzssz 12848	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
5		zssre 12570	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
6	4, 5	sstri 3991	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
7		sstr 3990	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ) → 𝑆 ⊆ ℝ)
8	6, 7	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑆 ⊆ ℝ)
9		lbinfle 12174	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
10	9	3com23 1125	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
11	8, 10	syl3an1 1162	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
12	3, 11	mpd3an3 1461	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  infcinf 9440  ℝcr 11113   < clt 11253   ≤ cle 11254  ℤcz 12563  ℤ_≥cuz 12827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828

This theorem is referenced by:  zsupss  12926  uzwo3  12932  divalglem5  16345  bitsfzolem  16380  bezoutlem3  16488  lcmledvds  16541  lcmfledvds  16574  odzdvds  16733  4sqlem13  16895  4sqlem17  16899  ramcl2lem  16947  ramtub  16950  odlem2  19449  gexlem2  19492  zringlpirlem3  21236  ovolicc2lem4  25270  iundisj  25298  ig1peu  25925  ig1pdvds  25930  ftalem5  26818  iundisjf  32088  iundisjfi  32275  ig1pmindeg  32948  dgraaub  42193  elaa2lem  45248