Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volico 44472
Description: The measure of left-closed, right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
volico ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))

Proof of Theorem volico
StepHypRef Expression
1 rexr 11242 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
213ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 rexr 11242 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
433ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
6 snunioo1 43998 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
72, 4, 5, 6syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
87eqcomd 2737 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
98fveq2d 6882 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
10 ioombl 25011 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
12 snmbl 44452 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → {𝐴} ∈ dom vol)
13123ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → {𝐴} ∈ dom vol)
14 lbioo 13337 . . . . . . . 8 ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
15 disjsn 4708 . . . . . . . 8 (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1614, 15mpbir 230 . . . . . . 7 ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅
1716a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅)
18 ioovolcl 25016 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
19183adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
20 volsn 44456 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (vol‘{𝐴}) = 0)
21 0red 11199 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2220, 21eqeltrd 2832 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (vol‘{𝐴}) ∈ ℝ)
23223ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘{𝐴}) ∈ ℝ)
24 volun 24991 . . . . . 6 ((((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐴} ∈ dom vol ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘{𝐴}) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴})))
2511, 13, 17, 19, 23, 24syl32anc 1378 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴})))
26 simp1 1136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
27 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2826, 27, 5ltled 11344 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
29 volioo 25015 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
3026, 27, 28, 29syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
31203ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘{𝐴}) = 0)
3230, 31oveq12d 7411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴})) = ((𝐵𝐴) + 0))
3327recnd 11224 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
34 recn 11182 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
35343ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
3633, 35subcld 11553 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
3736addridd 11396 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵𝐴) + 0) = (𝐵𝐴))
3832, 37eqtrd 2771 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴})) = (𝐵𝐴))
399, 25, 383eqtrd 2775 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
40393expa 1118 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
41 iftrue 4528 . . . 4 (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
4241adantl 482 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
4340, 42eqtr4d 2774 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
44 simpl 483 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
45 simpr 485 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
4644simprd 496 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
4744simpld 495 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
4846, 47lenltd 11342 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4945, 48mpbird 256 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
50 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
511ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
523ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
53 ico0 13352 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
5451, 52, 53syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
5550, 54mpbird 256 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴[,)𝐵) = ∅)
5655fveq2d 6882 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = (vol‘∅))
57 vol0 44448 . . . . . 6 (vol‘∅) = 0
5857a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → (vol‘∅) = 0)
5956, 58eqtrd 2771 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = 0)
6044, 49, 59syl2anc 584 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = 0)
61 iffalse 4531 . . . 4 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = 0)
6261adantl 482 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = 0)
6360, 62eqtr4d 2774 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
6443, 63pm2.61dan 811 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cun 3942  cin 3943  c0 4318  ifcif 4522  {csn 4622   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  cfv 6532  (class class class)co 7393  cc 11090  cr 11091  0cc0 11092   + caddc 11095  *cxr 11229   < clt 11230  cle 11231  cmin 11426  (,)cioo 13306  [,)cico 13308  volcvol 24909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-dju 9878  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-rest 17350  df-topgen 17371  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-top 22325  df-topon 22342  df-bases 22378  df-cmp 22820  df-ovol 24910  df-vol 24911
This theorem is referenced by:  sublevolico  44473  voliooico  44481  voliccico  44488  volicorecl  45035  hoiprodcl  45036  hoicvrrex  45045  volicon0  45064  hoiprodcl3  45069  volicore  45070  hoidmvcl  45071  hoidmvval0  45076  hoidmv1lelem2  45081  hoidmv1le  45083  hoidmvlelem2  45085  hoidmvlelem3  45086  hoidmvlelem4  45087  hspmbllem1  45115  volico2  45130  ovolval2lem  45132  vonioolem1  45169  vonioo  45171  vonicclem1  45172
  Copyright terms: Public domain W3C validator