Theorem volico 45974

Description: The measure of left-closed, right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
volico	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))

Proof of Theorem volico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		rexr 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	3	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
6		snunioo1 45503	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
8	7	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
9	8	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
10		ioombl 25499	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
12		snmbl 45954	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝐴} ∈ dom vol)
13	12	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → {𝐴} ∈ dom vol)
14		lbioo 13313	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
15		disjsn 4671	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))
16	14, 15	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅)
18		ioovolcl 25504	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
19	18	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
20		volsn 45958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (vol‘{𝐴}) = 0)
21		0red 11153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
22	20, 21	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (vol‘{𝐴}) ∈ ℝ)
23	22	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘{𝐴}) ∈ ℝ)
24		volun 25479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐴} ∈ dom vol ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘{𝐴}) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴})))
25	11, 13, 17, 19, 23, 24	syl32anc 1380	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴})))
26		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	26, 27, 5	ltled 11298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
29		volioo 25503	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
31	20	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘{𝐴}) = 0)
32	30, 31	oveq12d 7387	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴})) = ((𝐵 − 𝐴) + 0))
33	27	recnd 11178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
34		recn 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
35	34	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
36	33, 35	subcld 11509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
37	36	addridd 11350	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) + 0) = (𝐵 − 𝐴))
38	32, 37	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴})) = (𝐵 − 𝐴))
39	9, 25, 38	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
40	39	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
41		iftrue 4490	. . . 4 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
42	41	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
43	40, 42	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
44		simpl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
45		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
46	44	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
47	44	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
48	46, 47	lenltd 11296	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
49	45, 48	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
50		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
51	1	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
52	3	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
53		ico0 13328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
54	51, 52, 53	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
55	50, 54	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴[,)𝐵) = ∅)
56	55	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = (vol‘∅))
57		vol0 45950	. . . . . 6 ⊢ (vol‘∅) = 0
58	57	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (vol‘∅) = 0)
59	56, 58	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = 0)
60	44, 49, 59	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = 0)
61		iffalse 4493	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = 0)
62	61	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = 0)
63	60, 62	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
64	43, 63	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3909   ∩ cin 3910  ∅c0 4292  ifcif 4484  {csn 4585   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044   + caddc 11047  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  (,)cioo 13282  [,)cico 13284  volcvol 25397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-rest 17361  df-topgen 17382  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22866  df-cmp 23307  df-ovol 25398  df-vol 25399

This theorem is referenced by:  sublevolico  45975  voliooico  45983  voliccico  45990  volicorecl  46537  hoiprodcl  46538  hoicvrrex  46547  volicon0  46566  hoiprodcl3  46571  volicore  46572  hoidmvcl  46573  hoidmvval0  46578  hoidmv1lelem2  46583  hoidmv1le  46585  hoidmvlelem2  46587  hoidmvlelem3  46588  hoidmvlelem4  46589  hspmbllem1  46617  volico2  46632  ovolval2lem  46634  vonioolem1  46671  vonioo  46673  vonicclem1  46674