Theorem lptioo1 46328

Description: The lower bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lptioo1.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
lptioo1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lptioo1.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
lptioo1.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lptioo1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3		lbioo 13404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4		eleq1 2851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5	4	biimpcd 252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = 𝐴 → 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
6	3, 5	mtoi 202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
7	6	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
8		velsn 4606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
9	7, 8	sylnibr 332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐴})
10	2, 9	eldifd 3917	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}))
11	1, 10	eqelssd 3959	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵))
12	11	ineq2d 4174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
13	12	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
14		simplrl 788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
15		simplrr 789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
16		lptioo1.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
18		lptioo1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
19	17, 18	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
20	19	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
21		iooin 13407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
22	14, 15, 20, 21	syl21anc 850	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
23		elioo3g 13402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑏)))
24	23	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑏)))
25	24	simpld 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*))
26	25	simp1d 1160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ*)
27	25	simp3d 1162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28	24	simprd 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑏))
29	28	simpld 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 < 𝐴)
30	26, 27, 29	xrltled 13176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 ≤ 𝐴)
31	30	iftrued 4496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
32	31	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
33	28	simprd 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 < 𝑏)
34	33	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝑏)
35		iftrue 4494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ≤ 𝐵 → if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝑏)
36	35	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ≤ 𝐵 → 𝑏 = if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
37	36	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝑏 = if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
38	34, 37	breqtrd 5138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐴 < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
39		lptioo1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
40	39	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
41		iffalse 4497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑏 ≤ 𝐵 → if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝐵)
42	41	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑏 ≤ 𝐵 → 𝐵 = if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
43	42	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐵 = if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
44	40, 43	breqtrd 5138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐴 < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
45	38, 44	pm2.61dan 824	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐴 < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
46	32, 45	eqbrtrd 5134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
47	17	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
48	14	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎 ≤ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ*)
49	47, 48	ifclda 4524	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ*)
50	15	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ*)
51	18	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
52	50, 51	ifclda 4524	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*)
53		ioon0 13399	. . . . . . . 8 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*) → ((if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
54	49, 52, 53	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
55	46, 54	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅)
56	22, 55	eqnetrd 3025	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
57	13, 56	eqnetrd 3025	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅)
58	57	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) → (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅))
59	58	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅))
60		lptioo1.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
61		ioossre 13435	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
62	61	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
63	60, 62, 16	islptre 46315	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅)))
64	59, 63	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  ifcif 4488  {csn 4590   class class class wbr 5110  ran crn 5664  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  (,)cioo 13373  topGenctg 17491  limPtclp 23272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-ioo 13377  df-topgen 17497  df-top 23032  df-topon 23049  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274

This theorem is referenced by:  lptioo1cn  46340  fouriersw  46925