Theorem lptioo1 46737

Description: The lower bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lptioo1.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
lptioo1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lptioo1.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
lptioo1.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lptioo1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3		lbioo 13510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5	4	biimpcd 252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = 𝐴 → 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
6	3, 5	mtoi 202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
7	6	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
8		velsn 4596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
9	7, 8	sylnibr 332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐴})
10	2, 9	eldifd 4050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}))
11	1, 10	eqelssd 3929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵))
12	11	ineq2d 4117	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
13	12	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
14		simplrl 789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
15		simplrr 790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
16		lptioo1.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
18		lptioo1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
19	17, 18	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
21		iooin 13513	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
22	14, 15, 20, 21	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
23		elioo3g 13508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑏)))
24	23	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑏)))
25	24	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*))
26	25	simp1d 1160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ*)
27	25	simp3d 1162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28	24	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑏))
29	28	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 < 𝐴)
30	26, 27, 29	xrltled 13282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 ≤ 𝐴)
31	30	iftrued 4489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
32	31	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
33	28	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 < 𝑏)
34	33	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝑏)
35		iftrue 4487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ≤ 𝐵 → if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝑏)
36	35	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ≤ 𝐵 → 𝑏 = if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
37	36	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝑏 = if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
38	34, 37	breqtrd 5130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐴 < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
39		lptioo1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
40	39	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
41		iffalse 4490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑏 ≤ 𝐵 → if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝐵)
42	41	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑏 ≤ 𝐵 → 𝐵 = if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
43	42	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐵 = if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
44	40, 43	breqtrd 5130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐴 < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
45	38, 44	pm2.61dan 825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐴 < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
46	32, 45	eqbrtrd 5126	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
47	17	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
48	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎 ≤ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ*)
49	47, 48	ifclda 4517	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ*)
50	15	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ*)
51	18	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
52	50, 51	ifclda 4517	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*)
53		ioon0 13505	. . . . . . . 8 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*) → ((if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
54	49, 52, 53	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
55	46, 54	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅)
56	22, 55	eqnetrd 3022	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
57	13, 56	eqnetrd 3022	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅)
58	57	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) → (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅))
59	58	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅))
60		lptioo1.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
61		ioossre 13541	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
62	61	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
63	60, 62, 16	islptre 46724	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅)))
64	59, 63	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  ifcif 4481  {csn 4584   class class class wbr 5102  ran crn 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346   ≤ cle 11347  (,)cioo 13479  topGenctg 17613  limPtclp 23457

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-ioo 13483  df-topgen 17619  df-top 23217  df-topon 23234  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459

This theorem is used by:  lptioo1cn  46749  fouriersw  47334