Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lptioo1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lptioo1 43880
Description: The lower bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptioo1.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
lptioo1.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
lptioo1.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
lptioo1.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
Assertion
Ref Expression
lptioo1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴(,)𝐡)))

Proof of Theorem lptioo1
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 4093 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐴}) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
2 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
3 lbioo 13296 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐡)
4 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐡)))
54biimpcd 249 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (π‘₯ = 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐡)))
63, 5mtoi 198 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐴)
76adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐴)
8 velsn 4603 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {𝐴} ↔ π‘₯ = 𝐴)
97, 8sylnibr 329 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ {𝐴})
102, 9eldifd 3922 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐴}))
111, 10eqelssd 3966 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐴}) = (𝐴(,)𝐡))
1211ineq2d 4173 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐴})) = ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐡)))
1312ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐴})) = ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐡)))
14 simplrl 776 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
15 simplrr 777 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
16 lptioo1.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1716rexrd 11206 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
18 lptioo1.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1917, 18jca 513 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
2019ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
21 iooin 13299 . . . . . . 7 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐡)) = (if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)))
2214, 15, 20, 21syl21anc 837 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐡)) = (if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)))
23 elioo3g 13294 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ↔ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (π‘Ž < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑏)))
2423biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (π‘Ž < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑏)))
2524simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*))
2625simp1d 1143 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
2725simp3d 1145 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
2824simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘Ž < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑏))
2928simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ π‘Ž < 𝐴)
3026, 27, 29xrltled 13070 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ π‘Ž ≀ 𝐴)
3130iftrued 4495 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) = 𝐴)
3231adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) = 𝐴)
3328simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝐴 < 𝑏)
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ 𝑏 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 < 𝑏)
35 iftrue 4493 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ≀ 𝐡 β†’ if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡) = 𝑏)
3635eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ≀ 𝐡 β†’ 𝑏 = if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡))
3736adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ 𝑏 ≀ 𝐡) β†’ 𝑏 = if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡))
3834, 37breqtrd 5132 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ 𝑏 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 < if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡))
39 lptioo1.4 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
4039ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ Β¬ 𝑏 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 < 𝐡)
41 iffalse 4496 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝑏 ≀ 𝐡 β†’ if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡) = 𝐡)
4241eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 𝑏 ≀ 𝐡 β†’ 𝐡 = if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡))
4342adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ Β¬ 𝑏 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 = if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡))
4440, 43breqtrd 5132 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ Β¬ 𝑏 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 < if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡))
4538, 44pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ 𝐴 < if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡))
4632, 45eqbrtrd 5128 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) < if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡))
4717ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ π‘Ž ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4814adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ Β¬ π‘Ž ≀ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
4947, 48ifclda 4522 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) ∈ ℝ*)
5015adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ 𝑏 ≀ 𝐡) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
5118ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ∧ Β¬ 𝑏 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5250, 51ifclda 4522 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡) ∈ ℝ*)
53 ioon0 13291 . . . . . . . 8 ((if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡) ∈ ℝ*) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)) β‰  βˆ… ↔ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) < if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)))
5449, 52, 53syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)) β‰  βˆ… ↔ if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž) < if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)))
5546, 54mpbird 257 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝐴, 𝐴, π‘Ž)(,)if(𝑏 ≀ 𝐡, 𝑏, 𝐡)) β‰  βˆ…)
5622, 55eqnetrd 3012 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐡)) β‰  βˆ…)
5713, 56eqnetrd 3012 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐴})) β‰  βˆ…)
5857ex 414 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) β†’ (𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐴})) β‰  βˆ…))
5958ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐴})) β‰  βˆ…))
60 lptioo1.1 . . 3 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
61 ioossre 13326 . . . 4 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
6261a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
6360, 62, 16islptre 43867 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴(,)𝐡)) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐴 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {𝐴})) β‰  βˆ…)))
6459, 63mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴(,)𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065   βˆ– cdif 3908   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  {csn 4587   class class class wbr 5106  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11051  β„*cxr 11189   < clt 11190   ≀ cle 11191  (,)cioo 13265  topGenctg 17320  limPtclp 22488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-ioo 13269  df-topgen 17326  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-cld 22373  df-ntr 22374  df-cls 22375  df-nei 22452  df-lp 22490
This theorem is referenced by:  lptioo1cn  43894  fouriersw  44479
  Copyright terms: Public domain W3C validator