Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lptioo1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lptioo1 40502
Description: The lower bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptioo1.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
lptioo1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lptioo1.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
lptioo1.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
lptioo1 (𝜑𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 3900 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3 lbioo 12408 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
54biimpcd 240 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = 𝐴𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
63, 5mtoi 190 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
76adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
8 velsn 4350 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
97, 8sylnibr 320 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐴})
102, 9eldifd 3743 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}))
111, 10eqelssd 3782 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵))
1211ineq2d 3976 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
1312ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
14 simplrl 795 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
15 simplrr 796 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
16 lptioo1.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1716rexrd 10343 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
18 lptioo1.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1917, 18jca 507 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
2019ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
21 iooin 12411 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
2214, 15, 20, 21syl21anc 866 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
23 elioo3g 12406 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐴𝐴 < 𝑏)))
2423biimpi 207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐴𝐴 < 𝑏)))
2524simpld 488 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*))
2625simp1d 1172 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ*)
2725simp3d 1174 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2824simprd 489 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 < 𝐴𝐴 < 𝑏))
2928simpld 488 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 < 𝐴)
3026, 27, 29xrltled 12183 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎𝐴)
3130iftrued 4251 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
3231adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
3328simprd 489 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 < 𝑏)
3433ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐴 < 𝑏)
35 iftrue 4249 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝐵 → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝑏)
3635eqcomd 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝑏𝐵𝑏 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
3736adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
3834, 37breqtrd 4835 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐴 < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
39 lptioo1.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
4039ad3antrrr 721 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
41 iffalse 4252 . . . . . . . . . . . 12 𝑏𝐵 → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝐵)
4241eqcomd 2771 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝐵𝐵 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4342adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝐵 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4440, 43breqtrd 4835 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝐴 < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4538, 44pm2.61dan 847 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐴 < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4632, 45eqbrtrd 4831 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4717ad3antrrr 721 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4814adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ*)
4947, 48ifclda 4277 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ*)
5015adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ*)
5118ad3antrrr 721 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5250, 51ifclda 4277 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*)
53 ioon0 12403 . . . . . . . 8 ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*) → ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
5449, 52, 53syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
5546, 54mpbird 248 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅)
5622, 55eqnetrd 3004 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
5713, 56eqnetrd 3004 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅)
5857ex 401 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) → (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅))
5958ralrimivva 3118 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅))
60 lptioo1.1 . . 3 𝐽 = (topGen‘ran (,))
61 ioossre 12437 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
6261a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
6360, 62, 16islptre 40489 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅)))
6459, 63mpbird 248 1 (𝜑𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  cdif 3729  cin 3731  wss 3732  c0 4079  ifcif 4243  {csn 4334   class class class wbr 4809  ran crn 5278  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  (,)cioo 12377  topGenctg 16364  limPtclp 21218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-ioo 12381  df-topgen 16370  df-top 20978  df-topon 20995  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220
This theorem is referenced by:  lptioo1cn  40516  fouriersw  41085
  Copyright terms: Public domain W3C validator