Theorem lptioo1 46206

Description: The lower bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lptioo1.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
lptioo1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lptioo1.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
lptioo1.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lptioo1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3		lbioo 13394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5	4	biimpcd 252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = 𝐴 → 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
6	3, 5	mtoi 202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
7	6	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
8		velsn 4601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
9	7, 8	sylnibr 332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐴})
10	2, 9	eldifd 3918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}))
11	1, 10	eqelssd 3960	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵))
12	11	ineq2d 4175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
13	12	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
14		simplrl 788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
15		simplrr 789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
16		lptioo1.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
18		lptioo1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
19	17, 18	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
20	19	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
21		iooin 13397	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
22	14, 15, 20, 21	syl21anc 850	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
23		elioo3g 13392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑏)))
24	23	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑏)))
25	24	simpld 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*))
26	25	simp1d 1158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ*)
27	25	simp3d 1160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28	24	simprd 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑏))
29	28	simpld 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 < 𝐴)
30	26, 27, 29	xrltled 13166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 ≤ 𝐴)
31	30	iftrued 4491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
32	31	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
33	28	simprd 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 < 𝑏)
34	33	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝑏)
35		iftrue 4489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ≤ 𝐵 → if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝑏)
36	35	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ≤ 𝐵 → 𝑏 = if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
37	36	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝑏 = if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
38	34, 37	breqtrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐴 < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
39		lptioo1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
40	39	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
41		iffalse 4492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑏 ≤ 𝐵 → if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝐵)
42	41	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑏 ≤ 𝐵 → 𝐵 = if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
43	42	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐵 = if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
44	40, 43	breqtrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐴 < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
45	38, 44	pm2.61dan 824	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐴 < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
46	32, 45	eqbrtrd 5127	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵))
47	17	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
48	14	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎 ≤ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ*)
49	47, 48	ifclda 4519	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ*)
50	15	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ*)
51	18	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
52	50, 51	ifclda 4519	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*)
53		ioon0 13389	. . . . . . . 8 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*) → ((if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
54	49, 52, 53	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)))
55	46, 54	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (if(𝑎 ≤ 𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏 ≤ 𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅)
56	22, 55	eqnetrd 3027	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
57	13, 56	eqnetrd 3027	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅)
58	57	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*)) → (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅))
59	58	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅))
60		lptioo1.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
61		ioossre 13425	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
62	61	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
63	60, 62, 16	islptre 46193	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅)))
64	59, 63	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079   ∖ cdif 3904   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  ifcif 4483  {csn 4585   class class class wbr 5105  ran crn 5653  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232  (,)cioo 13363  topGenctg 17480  limPtclp 23252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-ioo 13367  df-topgen 17486  df-top 23012  df-topon 23029  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-lp 23254

This theorem is referenced by:  lptioo1cn  46218  fouriersw  46803