Theorem lesrecd 27806

Description: A comparison law for surreals considered as cuts of sets of surreals. Definition from [Conway] p. 4. Theorem 4 of [Alling] p. 186. Theorem 2.5 of [Gonshor] p. 9. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lesrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
lesrecd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 <<s 𝐷)
lesrecd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
lesrecd.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
lesrecd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤s 𝑌 ↔ (∀𝑑 ∈ 𝐷 𝑋 <s 𝑑 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 <s 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑑   𝐵,𝑎,𝑑   𝐶,𝑎,𝑑   𝐷,𝑎,𝑑   𝑋,𝑎,𝑑   𝑌,𝑎,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑑)

Proof of Theorem lesrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lesrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		lesrecd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <<s 𝐷)
3		lesrecd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
4		lesrecd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))
5		lesrec 27805	. 2 ⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝑋 ≤s 𝑌 ↔ (∀𝑑 ∈ 𝐷 𝑋 <s 𝑑 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 <s 𝑌)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤s 𝑌 ↔ (∀𝑑 ∈ 𝐷 𝑋 <s 𝑑 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 <s 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∀wral 3052   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360   <s clts 27618   ≤s cles 27722   <<s cslts 27763   |s ccuts 27765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1o 8398  df-2o 8399  df-no 27620  df-lts 27621  df-bday 27622  df-les 27723  df-slts 27764  df-cuts 27766

This theorem is referenced by:  ltsrec  27807  eqcuts3  27810  rightge0  27827  onsbnd  28287