Theorem bdayfin 28900

Description: A surreal has a finite birthday iff it is a dyadic fraction. (Contributed by Scott Fenton, 26-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
bdayfin	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ (bday‘𝐴) ∈ ω))

Proof of Theorem bdayfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		z12bday 28898	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] → (bday‘𝐴) ∈ ω)
2		bdayfinlem 28899	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 0s ≤s 𝐴 ∧ (bday‘𝐴) ∈ ω) → 𝐴 ∈ ℤs[1/2])
3	2	3exp 1137	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 0s ≤s 𝐴 → ((bday‘𝐴) ∈ ω → 𝐴 ∈ ℤs[1/2])))
4		negscl 28449	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -s‘𝐴) ∈ No)
5		bdayfinlem 28899	. . . . . . 7 ⊢ ((( -s‘𝐴) ∈ No ∧ 0s ≤s ( -s‘𝐴) ∧ (bday‘( -s‘𝐴)) ∈ ω) → ( -s‘𝐴) ∈ ℤs[1/2])
6	5	3expib 1140	. . . . . 6 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ No → (( 0s ≤s ( -s‘𝐴) ∧ (bday‘( -s‘𝐴)) ∈ ω) → ( -s‘𝐴) ∈ ℤs[1/2]))
7	4, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( 0s ≤s ( -s‘𝐴) ∧ (bday‘( -s‘𝐴)) ∈ ω) → ( -s‘𝐴) ∈ ℤs[1/2]))
8		0no 28222	. . . . . . . 8 ⊢ 0s ∈ No
9		lenegs 28459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 0s ∈ No) → (𝐴 ≤s 0s ↔ ( -s‘ 0s ) ≤s ( -s‘𝐴)))
10	8, 9	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ≤s 0s ↔ ( -s‘ 0s ) ≤s ( -s‘𝐴)))
11		neg0s 28439	. . . . . . . 8 ⊢ ( -s‘ 0s ) = 0s
12	11	breq1i 5113	. . . . . . 7 ⊢ (( -s‘ 0s ) ≤s ( -s‘𝐴) ↔ 0s ≤s ( -s‘𝐴))
13	10, 12	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ≤s 0s ↔ 0s ≤s ( -s‘𝐴)))
14		negbday 28470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (bday‘( -s‘𝐴)) = (bday‘𝐴))
15	14	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (bday‘𝐴) = (bday‘( -s‘𝐴)))
16	15	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((bday‘𝐴) ∈ ω ↔ (bday‘( -s‘𝐴)) ∈ ω))
17	13, 16	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((𝐴 ≤s 0s ∧ (bday‘𝐴) ∈ ω) ↔ ( 0s ≤s ( -s‘𝐴) ∧ (bday‘( -s‘𝐴)) ∈ ω)))
18		z12negsclb 28894	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ ( -s‘𝐴) ∈ ℤs[1/2]))
19	7, 17, 18	3imtr4d 297	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((𝐴 ≤s 0s ∧ (bday‘𝐴) ∈ ω) → 𝐴 ∈ ℤs[1/2]))
20	19	expd 421	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ≤s 0s → ((bday‘𝐴) ∈ ω → 𝐴 ∈ ℤs[1/2])))
21		lestric 28152	. . . 4 ⊢ (( 0s ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No) → ( 0s ≤s 𝐴 ∨ 𝐴 ≤s 0s ))
22	8, 21	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 0s ≤s 𝐴 ∨ 𝐴 ≤s 0s ))
23	3, 20, 22	mpjaod 874	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((bday‘𝐴) ∈ ω → 𝐴 ∈ ℤs[1/2]))
24	1, 23	impbid2 229	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ (bday‘𝐴) ∈ ω))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  ωcom 7898  Nocsur 28024  bdaycbday 28026   ≤s cles 28128   0_s c0s 28218   -_scnegs 28432  ℤ_s[1/2]cz12s 28827

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-dc 10548

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-nadd 8700  df-en 8999  df-dom 9000  df-fin 9002  df-no 28027  df-lts 28028  df-bday 28029  df-les 28129  df-slts 28171  df-cuts 28173  df-0s 28220  df-1s 28221  df-made 28240  df-old 28241  df-left 28243  df-right 28244  df-norec 28351  df-norec2 28362  df-adds 28373  df-negs 28434  df-subs 28435  df-muls 28520  df-divs 28601  df-ons 28665  df-seqs 28697  df-n0s 28727  df-nns 28728  df-zs 28792  df-2s 28824  df-exps 28826  df-z12s 28828

This theorem is used by:  dfz12s2  28901