Theorem bdayfin 28873

Description: A surreal has a finite birthday iff it is a dyadic fraction. (Contributed by Scott Fenton, 26-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
bdayfin	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ (bday‘𝐴) ∈ ω))

Proof of Theorem bdayfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		z12bday 28871	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] → (bday‘𝐴) ∈ ω)
2		bdayfinlem 28872	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 0s ≤s 𝐴 ∧ (bday‘𝐴) ∈ ω) → 𝐴 ∈ ℤs[1/2])
3	2	3exp 1137	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 0s ≤s 𝐴 → ((bday‘𝐴) ∈ ω → 𝐴 ∈ ℤs[1/2])))
4		negscl 28422	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -s‘𝐴) ∈ No)
5		bdayfinlem 28872	. . . . . . 7 ⊢ ((( -s‘𝐴) ∈ No ∧ 0s ≤s ( -s‘𝐴) ∧ (bday‘( -s‘𝐴)) ∈ ω) → ( -s‘𝐴) ∈ ℤs[1/2])
6	5	3expib 1140	. . . . . 6 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ No → (( 0s ≤s ( -s‘𝐴) ∧ (bday‘( -s‘𝐴)) ∈ ω) → ( -s‘𝐴) ∈ ℤs[1/2]))
7	4, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( 0s ≤s ( -s‘𝐴) ∧ (bday‘( -s‘𝐴)) ∈ ω) → ( -s‘𝐴) ∈ ℤs[1/2]))
8		0no 28195	. . . . . . . 8 ⊢ 0s ∈ No
9		lenegs 28432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 0s ∈ No) → (𝐴 ≤s 0s ↔ ( -s‘ 0s ) ≤s ( -s‘𝐴)))
10	8, 9	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ≤s 0s ↔ ( -s‘ 0s ) ≤s ( -s‘𝐴)))
11		neg0s 28412	. . . . . . . 8 ⊢ ( -s‘ 0s ) = 0s
12	11	breq1i 5109	. . . . . . 7 ⊢ (( -s‘ 0s ) ≤s ( -s‘𝐴) ↔ 0s ≤s ( -s‘𝐴))
13	10, 12	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ≤s 0s ↔ 0s ≤s ( -s‘𝐴)))
14		negbday 28443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (bday‘( -s‘𝐴)) = (bday‘𝐴))
15	14	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (bday‘𝐴) = (bday‘( -s‘𝐴)))
16	15	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((bday‘𝐴) ∈ ω ↔ (bday‘( -s‘𝐴)) ∈ ω))
17	13, 16	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((𝐴 ≤s 0s ∧ (bday‘𝐴) ∈ ω) ↔ ( 0s ≤s ( -s‘𝐴) ∧ (bday‘( -s‘𝐴)) ∈ ω)))
18		z12negsclb 28867	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ ( -s‘𝐴) ∈ ℤs[1/2]))
19	7, 17, 18	3imtr4d 297	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((𝐴 ≤s 0s ∧ (bday‘𝐴) ∈ ω) → 𝐴 ∈ ℤs[1/2]))
20	19	expd 421	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ≤s 0s → ((bday‘𝐴) ∈ ω → 𝐴 ∈ ℤs[1/2])))
21		lestric 28125	. . . 4 ⊢ (( 0s ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No) → ( 0s ≤s 𝐴 ∨ 𝐴 ≤s 0s ))
22	8, 21	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 0s ≤s 𝐴 ∨ 𝐴 ≤s 0s ))
23	3, 20, 22	mpjaod 874	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((bday‘𝐴) ∈ ω → 𝐴 ∈ ℤs[1/2]))
24	1, 23	impbid2 229	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ (bday‘𝐴) ∈ ω))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  ωcom 7877  Nocsur 27997  bdaycbday 27999   ≤s cles 28101   0_s c0s 28191   -_scnegs 28405  ℤ_s[1/2]cz12s 28800

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-dc 10524

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-nadd 8675  df-en 8974  df-dom 8975  df-fin 8977  df-no 28000  df-lts 28001  df-bday 28002  df-les 28102  df-slts 28144  df-cuts 28146  df-0s 28193  df-1s 28194  df-made 28213  df-old 28214  df-left 28216  df-right 28217  df-norec 28324  df-norec2 28335  df-adds 28346  df-negs 28407  df-subs 28408  df-muls 28493  df-divs 28574  df-ons 28638  df-seqs 28670  df-n0s 28700  df-nns 28701  df-zs 28765  df-2s 28797  df-exps 28799  df-z12s 28801

This theorem is used by:  dfz12s2  28874