Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2m Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lclkrlem2m 41048
Description: Lemma for lclkr 41062. Construct a vector 𝐡 that makes the sum of functionals zero. Combine with 𝐡 ∈ 𝑉 to shorten overall proof. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.q Γ— = (.rβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.p + = (+gβ€˜π·)
lclkrlem2m.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.w (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
lclkrlem2m.b 𝐡 = (𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))
lclkrlem2m.n (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2m (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π΅) = 0 ))
Proof of Theorem lclkrlem2m
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.b . . 3 𝐡 = (𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))
2 lclkrlem2m.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
3 lveclmod 20995 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
5 lmodgrp 20754 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
7 lclkrlem2m.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
8 lclkrlem2m.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
98lmodring 20755 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Ring)
104, 9syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
11 lclkrlem2m.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
12 lclkrlem2m.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
13 lclkrlem2m.p . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜π·)
14 lclkrlem2m.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
15 lclkrlem2m.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
1611, 12, 13, 4, 14, 15ldualvaddcl 38658 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
17 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
18 lclkrlem2m.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
198, 17, 18, 11lflcl 38592 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
202, 16, 7, 19syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
218lvecdrng 20994 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
222, 21syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
23 lclkrlem2m.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
248, 17, 18, 11lflcl 38592 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
252, 16, 23, 24syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
26 lclkrlem2m.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  0 )
27 lclkrlem2m.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘†)
28 lclkrlem2m.i . . . . . . . 8 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
2917, 27, 28drnginvrcl 20650 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3022, 25, 26, 29syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
31 lclkrlem2m.q . . . . . . 7 Γ— = (.rβ€˜π‘†)
3217, 31ringcl 20194 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3310, 20, 30, 32syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
34 lclkrlem2m.t . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
3518, 8, 34, 17lmodvscl 20765 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
364, 33, 23, 35syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
37 lclkrlem2m.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
3818, 37grpsubcl 18980 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)) ∈ 𝑉)
396, 7, 36, 38syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)) ∈ 𝑉)
401, 39eqeltrid 2829 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
411fveq2i 6895 . . 3 ((𝐸 + 𝐺)β€˜π΅) = ((𝐸 + 𝐺)β€˜(𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)))
42 eqid 2725 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘†) = (-gβ€˜π‘†)
438, 42, 18, 37, 11lflsub 38595 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜(𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))))
444, 16, 7, 36, 43syl112anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜(𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))))
458, 17, 31, 18, 34, 11lflmul 38596 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)) = ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)))
464, 16, 33, 23, 45syl112anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)) = ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)))
4717, 31ringass 20197 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— ((πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))))
4810, 20, 30, 25, 47syl13anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— ((πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))))
49 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
5017, 27, 31, 49, 28drnginvrl 20653 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  0 ) β†’ ((πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) = (1rβ€˜π‘†))
5122, 25, 26, 50syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) = (1rβ€˜π‘†))
5251oveq2d 7432 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— ((πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (1rβ€˜π‘†)))
5348, 52eqtrd 2765 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (1rβ€˜π‘†)))
5417, 31, 49ringridm 20210 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (1rβ€˜π‘†)) = ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹))
5510, 20, 54syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (1rβ€˜π‘†)) = ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹))
5646, 53, 553eqtrd 2769 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)) = ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹))
5756oveq2d 7432 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)))
58 ringgrp 20182 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Ring β†’ 𝑆 ∈ Grp)
5910, 58syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Grp)
6017, 27, 42grpsubid 18984 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Grp ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)) = 0 )
6159, 20, 60syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)) = 0 )
6244, 57, 613eqtrd 2769 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜(𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))) = 0 )
6341, 62eqtrid 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π΅) = 0 )
6440, 63jca 510 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π΅) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420  Grpcgrp 18894  -gcsg 18896  1rcur 20125  Ringcrg 20177  invrcinvr 20330  DivRingcdr 20628  LModclmod 20747  LVecclvec 20991  LFnlclfn 38585  LDualcld 38651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lvec 20992  df-lfl 38586  df-ldual 38652
This theorem is referenced by:  lclkrlem2o  41050  lclkrlem2q  41052
  Copyright terms: Public domain W3C validator