Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2m Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lclkrlem2m 40378
Description: Lemma for lclkr 40392. Construct a vector 𝐡 that makes the sum of functionals zero. Combine with 𝐡 ∈ 𝑉 to shorten overall proof. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.q Γ— = (.rβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.p + = (+gβ€˜π·)
lclkrlem2m.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.w (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
lclkrlem2m.b 𝐡 = (𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))
lclkrlem2m.n (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2m (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π΅) = 0 ))
Proof of Theorem lclkrlem2m
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.b . . 3 𝐡 = (𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))
2 lclkrlem2m.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
3 lveclmod 20709 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
5 lmodgrp 20470 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
7 lclkrlem2m.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
8 lclkrlem2m.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
98lmodring 20471 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Ring)
104, 9syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
11 lclkrlem2m.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
12 lclkrlem2m.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
13 lclkrlem2m.p . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜π·)
14 lclkrlem2m.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
15 lclkrlem2m.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
1611, 12, 13, 4, 14, 15ldualvaddcl 37988 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
17 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
18 lclkrlem2m.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
198, 17, 18, 11lflcl 37922 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
202, 16, 7, 19syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
218lvecdrng 20708 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
222, 21syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
23 lclkrlem2m.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
248, 17, 18, 11lflcl 37922 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
252, 16, 23, 24syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
26 lclkrlem2m.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  0 )
27 lclkrlem2m.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘†)
28 lclkrlem2m.i . . . . . . . 8 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
2917, 27, 28drnginvrcl 20329 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3022, 25, 26, 29syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
31 lclkrlem2m.q . . . . . . 7 Γ— = (.rβ€˜π‘†)
3217, 31ringcl 20066 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3310, 20, 30, 32syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
34 lclkrlem2m.t . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
3518, 8, 34, 17lmodvscl 20481 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
364, 33, 23, 35syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
37 lclkrlem2m.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
3818, 37grpsubcl 18899 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)) ∈ 𝑉)
396, 7, 36, 38syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)) ∈ 𝑉)
401, 39eqeltrid 2837 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
411fveq2i 6891 . . 3 ((𝐸 + 𝐺)β€˜π΅) = ((𝐸 + 𝐺)β€˜(𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)))
42 eqid 2732 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘†) = (-gβ€˜π‘†)
438, 42, 18, 37, 11lflsub 37925 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜(𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))))
444, 16, 7, 36, 43syl112anc 1374 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜(𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))))
458, 17, 31, 18, 34, 11lflmul 37926 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)) = ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)))
464, 16, 33, 23, 45syl112anc 1374 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)) = ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)))
4717, 31ringass 20069 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— ((πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))))
4810, 20, 30, 25, 47syl13anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— ((πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))))
49 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
5017, 27, 31, 49, 28drnginvrl 20332 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  0 ) β†’ ((πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) = (1rβ€˜π‘†))
5122, 25, 26, 50syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) = (1rβ€˜π‘†))
5251oveq2d 7421 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— ((πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (1rβ€˜π‘†)))
5348, 52eqtrd 2772 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (1rβ€˜π‘†)))
5417, 31, 49ringridm 20080 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (1rβ€˜π‘†)) = ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹))
5510, 20, 54syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (1rβ€˜π‘†)) = ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹))
5646, 53, 553eqtrd 2776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)) = ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹))
5756oveq2d 7421 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)))
58 ringgrp 20054 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Ring β†’ 𝑆 ∈ Grp)
5910, 58syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Grp)
6017, 27, 42grpsubid 18903 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Grp ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)) = 0 )
6159, 20, 60syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)) = 0 )
6244, 57, 613eqtrd 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜(𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))) = 0 )
6341, 62eqtrid 2784 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π΅) = 0 )
6440, 63jca 512 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π΅) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  -gcsg 18817  1rcur 19998  Ringcrg 20049  invrcinvr 20193  DivRingcdr 20307  LModclmod 20463  LVecclvec 20705  LFnlclfn 37915  LDualcld 37981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lvec 20706  df-lfl 37916  df-ldual 37982
This theorem is referenced by:  lclkrlem2o  40380  lclkrlem2q  40382
  Copyright terms: Public domain W3C validator