Theorem lclkrlem2m 40929

Description: Lemma for lclkr 40943. Construct a vector 𝐵 that makes the sum of functionals zero. Combine with 𝐵 ∈ 𝑉 to shorten overall proof. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.w	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lclkrlem2m.b	⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2m.n	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2m	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))

Proof of Theorem lclkrlem2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2m.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
2		lclkrlem2m.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
3		lveclmod 20980	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		lmodgrp 20739	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
7		lclkrlem2m.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lclkrlem2m.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
9	8	lmodring 20740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
10	4, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
11		lclkrlem2m.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
12		lclkrlem2m.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13		lclkrlem2m.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐷)
14		lclkrlem2m.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
15		lclkrlem2m.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
16	11, 12, 13, 4, 14, 15	ldualvaddcl 38539	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
17		eqid 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
18		lclkrlem2m.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
19	8, 17, 18, 11	lflcl 38473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
20	2, 16, 7, 19	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
21	8	lvecdrng 20979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
22	2, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
23		lclkrlem2m.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24	8, 17, 18, 11	lflcl 38473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
25	2, 16, 23, 24	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
26		lclkrlem2m.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
27		lclkrlem2m.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
28		lclkrlem2m.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
29	17, 27, 28	drnginvrcl 20635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 ) → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
30	22, 25, 26, 29	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
31		lclkrlem2m.q	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑆)
32	17, 31	ringcl 20181	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
33	10, 20, 30, 32	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
34		lclkrlem2m.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
35	18, 8, 34, 17	lmodvscl 20750	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)
36	4, 33, 23, 35	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)
37		lclkrlem2m.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
38	18, 37	grpsubcl 18967	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ∈ 𝑉)
39	6, 7, 36, 38	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ∈ 𝑉)
40	1, 39	eqeltrid 2832	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
41	1	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)))
42		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑆) = (-g‘𝑆)
43	8, 42, 18, 37, 11	lflsub 38476	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))))
44	4, 16, 7, 36, 43	syl112anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))))
45	8, 17, 31, 18, 34, 11	lflmul 38477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)))
46	4, 16, 33, 23, 45	syl112anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)))
47	17, 31	ringass 20184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))) → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))))
48	10, 20, 30, 25, 47	syl13anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))))
49		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
50	17, 27, 31, 49, 28	drnginvrl 20638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 ) → ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (1r‘𝑆))
51	22, 25, 26, 50	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (1r‘𝑆))
52	51	oveq2d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)))
53	48, 52	eqtrd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)))
54	17, 31, 49	ringridm 20195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
55	10, 20, 54	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
56	46, 53, 55	3eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
57	56	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)))
58		ringgrp 20169	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
59	10, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
60	17, 27, 42	grpsubid 18971	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)) = 0 )
61	59, 20, 60	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)) = 0 )
62	44, 57, 61	3eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = 0 )
63	41, 62	eqtrid 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 )
64	40, 63	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  +_gcplusg 17224  ._rcmulr 17225  Scalarcsca 17227   ·_𝑠 cvsca 17228  0_gc0g 17412  Grpcgrp 18881  -_gcsg 18883  1_rcur 20112  Ringcrg 20164  inv_rcinvr 20315  DivRingcdr 20613  LModclmod 20732  LVecclvec 20976  LFnlclfn 38466  LDualcld 38532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lvec 20977  df-lfl 38467  df-ldual 38533

This theorem is referenced by:  lclkrlem2o  40931  lclkrlem2q  40933