Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2m Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2m 40929
Description: Lemma for lclkr 40943. Construct a vector 𝐵 that makes the sum of functionals zero. Combine with 𝐵𝑉 to shorten overall proof. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t · = ( ·𝑠𝑈)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q × = (.r𝑆)
lclkrlem2m.z 0 = (0g𝑆)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invr𝑆)
lclkrlem2m.m = (-g𝑈)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2m.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2m.y (𝜑𝑌𝑉)
lclkrlem2m.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2m.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2m.w (𝜑𝑈 ∈ LVec)
lclkrlem2m.b 𝐵 = (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2m.n (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2m (𝜑 → (𝐵𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))

Proof of Theorem lclkrlem2m
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.b . . 3 𝐵 = (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
2 lclkrlem2m.w . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
3 lveclmod 20980 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 lmodgrp 20739 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
7 lclkrlem2m.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
8 lclkrlem2m.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
98lmodring 20740 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
104, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
11 lclkrlem2m.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
12 lclkrlem2m.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13 lclkrlem2m.p . . . . . . . 8 + = (+g𝐷)
14 lclkrlem2m.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸𝐹)
15 lclkrlem2m.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐹)
1611, 12, 13, 4, 14, 15ldualvaddcl 38539 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
17 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
18 lclkrlem2m.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑈)
198, 17, 18, 11lflcl 38473 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹𝑋𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
202, 16, 7, 19syl3anc 1369 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
218lvecdrng 20979 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
222, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ DivRing)
23 lclkrlem2m.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
248, 17, 18, 11lflcl 38473 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹𝑌𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
252, 16, 23, 24syl3anc 1369 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
26 lclkrlem2m.n . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
27 lclkrlem2m.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑆)
28 lclkrlem2m.i . . . . . . . 8 𝐼 = (invr𝑆)
2917, 27, 28drnginvrcl 20635 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 ) → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
3022, 25, 26, 29syl3anc 1369 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
31 lclkrlem2m.q . . . . . . 7 × = (.r𝑆)
3217, 31ringcl 20181 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
3310, 20, 30, 32syl3anc 1369 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
34 lclkrlem2m.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑈)
3518, 8, 34, 17lmodvscl 20750 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌𝑉) → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)
364, 33, 23, 35syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)
37 lclkrlem2m.m . . . . 5 = (-g𝑈)
3818, 37grpsubcl 18967 . . . 4 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ∈ 𝑉)
396, 7, 36, 38syl3anc 1369 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ∈ 𝑉)
401, 39eqeltrid 2832 . 2 (𝜑𝐵𝑉)
411fveq2i 6894 . . 3 ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)))
42 eqid 2727 . . . . . 6 (-g𝑆) = (-g𝑆)
438, 42, 18, 37, 11lflsub 38476 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ (𝑋𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))))
444, 16, 7, 36, 43syl112anc 1372 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))))
458, 17, 31, 18, 34, 11lflmul 38477 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌𝑉)) → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)))
464, 16, 33, 23, 45syl112anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)))
4717, 31ringass 20184 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))) → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))))
4810, 20, 30, 25, 47syl13anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))))
49 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (1r𝑆) = (1r𝑆)
5017, 27, 31, 49, 28drnginvrl 20638 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 ) → ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (1r𝑆))
5122, 25, 26, 50syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (1r𝑆))
5251oveq2d 7430 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r𝑆)))
5348, 52eqtrd 2767 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r𝑆)))
5417, 31, 49ringridm 20195 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r𝑆)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
5510, 20, 54syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r𝑆)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
5646, 53, 553eqtrd 2771 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
5756oveq2d 7430 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)))
58 ringgrp 20169 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
5910, 58syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
6017, 27, 42grpsubid 18971 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Grp ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)) = 0 )
6159, 20, 60syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)) = 0 )
6244, 57, 613eqtrd 2771 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = 0 )
6341, 62eqtrid 2779 . 2 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 )
6440, 63jca 511 1 (𝜑 → (𝐵𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  .rcmulr 17225  Scalarcsca 17227   ·𝑠 cvsca 17228  0gc0g 17412  Grpcgrp 18881  -gcsg 18883  1rcur 20112  Ringcrg 20164  invrcinvr 20315  DivRingcdr 20613  LModclmod 20732  LVecclvec 20976  LFnlclfn 38466  LDualcld 38532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lvec 20977  df-lfl 38467  df-ldual 38533
This theorem is referenced by:  lclkrlem2o  40931  lclkrlem2q  40933
  Copyright terms: Public domain W3C validator