Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2m Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lclkrlem2m 40903
Description: Lemma for lclkr 40917. Construct a vector 𝐡 that makes the sum of functionals zero. Combine with 𝐡 ∈ 𝑉 to shorten overall proof. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.q Γ— = (.rβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.p + = (+gβ€˜π·)
lclkrlem2m.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.w (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
lclkrlem2m.b 𝐡 = (𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))
lclkrlem2m.n (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2m (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π΅) = 0 ))
Proof of Theorem lclkrlem2m
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.b . . 3 𝐡 = (𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))
2 lclkrlem2m.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
3 lveclmod 20954 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
5 lmodgrp 20713 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
7 lclkrlem2m.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
8 lclkrlem2m.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
98lmodring 20714 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Ring)
104, 9syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
11 lclkrlem2m.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
12 lclkrlem2m.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
13 lclkrlem2m.p . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜π·)
14 lclkrlem2m.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
15 lclkrlem2m.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
1611, 12, 13, 4, 14, 15ldualvaddcl 38513 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
17 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
18 lclkrlem2m.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
198, 17, 18, 11lflcl 38447 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
202, 16, 7, 19syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
218lvecdrng 20953 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
222, 21syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
23 lclkrlem2m.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
248, 17, 18, 11lflcl 38447 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
252, 16, 23, 24syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
26 lclkrlem2m.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  0 )
27 lclkrlem2m.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘†)
28 lclkrlem2m.i . . . . . . . 8 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
2917, 27, 28drnginvrcl 20609 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3022, 25, 26, 29syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
31 lclkrlem2m.q . . . . . . 7 Γ— = (.rβ€˜π‘†)
3217, 31ringcl 20155 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3310, 20, 30, 32syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
34 lclkrlem2m.t . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
3518, 8, 34, 17lmodvscl 20724 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
364, 33, 23, 35syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
37 lclkrlem2m.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
3818, 37grpsubcl 18948 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)) ∈ 𝑉)
396, 7, 36, 38syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)) ∈ 𝑉)
401, 39eqeltrid 2831 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
411fveq2i 6888 . . 3 ((𝐸 + 𝐺)β€˜π΅) = ((𝐸 + 𝐺)β€˜(𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)))
42 eqid 2726 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘†) = (-gβ€˜π‘†)
438, 42, 18, 37, 11lflsub 38450 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜(𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))))
444, 16, 7, 36, 43syl112anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜(𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))))
458, 17, 31, 18, 34, 11lflmul 38451 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)) = ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)))
464, 16, 33, 23, 45syl112anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)) = ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)))
4717, 31ringass 20158 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— ((πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))))
4810, 20, 30, 25, 47syl13anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— ((πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))))
49 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
5017, 27, 31, 49, 28drnginvrl 20612 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  0 ) β†’ ((πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) = (1rβ€˜π‘†))
5122, 25, 26, 50syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) = (1rβ€˜π‘†))
5251oveq2d 7421 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— ((πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (1rβ€˜π‘†)))
5348, 52eqtrd 2766 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Γ— ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ)) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (1rβ€˜π‘†)))
5417, 31, 49ringridm 20169 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (1rβ€˜π‘†)) = ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹))
5510, 20, 54syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (1rβ€˜π‘†)) = ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹))
5646, 53, 553eqtrd 2770 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ)) = ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹))
5756oveq2d 7421 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))) = (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)))
58 ringgrp 20143 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Ring β†’ 𝑆 ∈ Grp)
5910, 58syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Grp)
6017, 27, 42grpsubid 18952 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Grp ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)) = 0 )
6159, 20, 60syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹)) = 0 )
6244, 57, 613eqtrd 2770 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜(𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))) = 0 )
6341, 62eqtrid 2778 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π΅) = 0 )
6440, 63jca 511 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π΅) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  -gcsg 18865  1rcur 20086  Ringcrg 20138  invrcinvr 20289  DivRingcdr 20587  LModclmod 20706  LVecclvec 20950  LFnlclfn 38440  LDualcld 38506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lvec 20951  df-lfl 38441  df-ldual 38507
This theorem is referenced by:  lclkrlem2o  40905  lclkrlem2q  40907
  Copyright terms: Public domain W3C validator