Theorem lclkrlem2m 39460

Description: Lemma for lclkr 39474. Construct a vector 𝐵 that makes the sum of functionals zero. Combine with 𝐵 ∈ 𝑉 to shorten overall proof. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.w	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lclkrlem2m.b	⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2m.n	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2m	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))

Proof of Theorem lclkrlem2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2m.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
2		lclkrlem2m.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
3		lveclmod 20283	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		lmodgrp 20045	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
7		lclkrlem2m.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lclkrlem2m.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
9	8	lmodring 20046	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
10	4, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
11		lclkrlem2m.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
12		lclkrlem2m.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13		lclkrlem2m.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐷)
14		lclkrlem2m.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
15		lclkrlem2m.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
16	11, 12, 13, 4, 14, 15	ldualvaddcl 37071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
17		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
18		lclkrlem2m.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
19	8, 17, 18, 11	lflcl 37005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
20	2, 16, 7, 19	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
21	8	lvecdrng 20282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
22	2, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
23		lclkrlem2m.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24	8, 17, 18, 11	lflcl 37005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
25	2, 16, 23, 24	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
26		lclkrlem2m.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
27		lclkrlem2m.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
28		lclkrlem2m.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
29	17, 27, 28	drnginvrcl 19923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 ) → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
30	22, 25, 26, 29	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
31		lclkrlem2m.q	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑆)
32	17, 31	ringcl 19715	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
33	10, 20, 30, 32	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
34		lclkrlem2m.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
35	18, 8, 34, 17	lmodvscl 20055	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)
36	4, 33, 23, 35	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)
37		lclkrlem2m.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
38	18, 37	grpsubcl 18570	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ∈ 𝑉)
39	6, 7, 36, 38	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ∈ 𝑉)
40	1, 39	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
41	1	fveq2i 6759	. . 3 ⊢ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)))
42		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑆) = (-g‘𝑆)
43	8, 42, 18, 37, 11	lflsub 37008	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))))
44	4, 16, 7, 36, 43	syl112anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))))
45	8, 17, 31, 18, 34, 11	lflmul 37009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)))
46	4, 16, 33, 23, 45	syl112anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)))
47	17, 31	ringass 19718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))) → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))))
48	10, 20, 30, 25, 47	syl13anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))))
49		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
50	17, 27, 31, 49, 28	drnginvrl 19925	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 ) → ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (1r‘𝑆))
51	22, 25, 26, 50	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (1r‘𝑆))
52	51	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)))
53	48, 52	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)))
54	17, 31, 49	ringridm 19726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
55	10, 20, 54	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
56	46, 53, 55	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
57	56	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)))
58		ringgrp 19703	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
59	10, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
60	17, 27, 42	grpsubid 18574	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)) = 0 )
61	59, 20, 60	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)) = 0 )
62	44, 57, 61	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = 0 )
63	41, 62	syl5eq 2791	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 )
64	40, 63	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  -_gcsg 18494  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  inv_rcinvr 19828  DivRingcdr 19906  LModclmod 20038  LVecclvec 20279  LFnlclfn 36998  LDualcld 37064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lvec 20280  df-lfl 36999  df-ldual 37065

This theorem is referenced by:  lclkrlem2o  39462  lclkrlem2q  39464