Theorem lclkrlem2m 41965

Description: Lemma for lclkr 41979. Construct a vector 𝐵 that makes the sum of functionals zero. Combine with 𝐵 ∈ 𝑉 to shorten overall proof. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.w	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lclkrlem2m.b	⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2m.n	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2m	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))

Proof of Theorem lclkrlem2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2m.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
2		lclkrlem2m.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
3		lveclmod 21101	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		lmodgrp 20862	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
7		lclkrlem2m.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lclkrlem2m.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
9	8	lmodring 20863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
10	4, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
11		lclkrlem2m.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
12		lclkrlem2m.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13		lclkrlem2m.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐷)
14		lclkrlem2m.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
15		lclkrlem2m.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
16	11, 12, 13, 4, 14, 15	ldualvaddcl 39576	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
17		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
18		lclkrlem2m.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
19	8, 17, 18, 11	lflcl 39510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
20	2, 16, 7, 19	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
21	8	lvecdrng 21100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
22	2, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
23		lclkrlem2m.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24	8, 17, 18, 11	lflcl 39510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
25	2, 16, 23, 24	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
26		lclkrlem2m.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
27		lclkrlem2m.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
28		lclkrlem2m.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
29	17, 27, 28	drnginvrcl 20730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 ) → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
30	22, 25, 26, 29	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
31		lclkrlem2m.q	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑆)
32	17, 31	ringcl 20231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
33	10, 20, 30, 32	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
34		lclkrlem2m.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
35	18, 8, 34, 17	lmodvscl 20873	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)
36	4, 33, 23, 35	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)
37		lclkrlem2m.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
38	18, 37	grpsubcl 18996	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ∈ 𝑉)
39	6, 7, 36, 38	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ∈ 𝑉)
40	1, 39	eqeltrid 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
41	1	fveq2i 6843	. . 3 ⊢ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)))
42		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑆) = (-g‘𝑆)
43	8, 42, 18, 37, 11	lflsub 39513	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))))
44	4, 16, 7, 36, 43	syl112anc 1377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))))
45	8, 17, 31, 18, 34, 11	lflmul 39514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)))
46	4, 16, 33, 23, 45	syl112anc 1377	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)))
47	17, 31	ringass 20234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))) → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))))
48	10, 20, 30, 25, 47	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))))
49		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
50	17, 27, 31, 49, 28	drnginvrl 20733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 ) → ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (1r‘𝑆))
51	22, 25, 26, 50	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (1r‘𝑆))
52	51	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)))
53	48, 52	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)))
54	17, 31, 49	ringridm 20251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
55	10, 20, 54	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
56	46, 53, 55	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
57	56	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)))
58		ringgrp 20219	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
59	10, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
60	17, 27, 42	grpsubid 19000	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)) = 0 )
61	59, 20, 60	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)) = 0 )
62	44, 57, 61	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = 0 )
63	41, 62	eqtrid 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 )
64	40, 63	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909  -_gcsg 18911  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  inv_rcinvr 20367  DivRingcdr 20706  LModclmod 20855  LVecclvec 21097  LFnlclfn 39503  LDualcld 39569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lvec 21098  df-lfl 39504  df-ldual 39570

This theorem is referenced by:  lclkrlem2o  41967  lclkrlem2q  41969