Theorem lclkrlem2m 42183

Description: Lemma for lclkr 42197. Construct a vector 𝐵 that makes the sum of functionals zero. Combine with 𝐵 ∈ 𝑉 to shorten overall proof. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.w	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lclkrlem2m.b	⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2m.n	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2m	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))

Proof of Theorem lclkrlem2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2m.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
2		lclkrlem2m.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
3		lveclmod 21205	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		lmodgrp 20966	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
7		lclkrlem2m.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lclkrlem2m.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
9	8	lmodring 20967	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
10	4, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
11		lclkrlem2m.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
12		lclkrlem2m.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13		lclkrlem2m.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐷)
14		lclkrlem2m.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
15		lclkrlem2m.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
16	11, 12, 13, 4, 14, 15	ldualvaddcl 39794	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
17		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
18		lclkrlem2m.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
19	8, 17, 18, 11	lflcl 39728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
20	2, 16, 7, 19	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
21	8	lvecdrng 21204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
22	2, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
23		lclkrlem2m.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24	8, 17, 18, 11	lflcl 39728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
25	2, 16, 23, 24	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
26		lclkrlem2m.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
27		lclkrlem2m.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
28		lclkrlem2m.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
29	17, 27, 28	drnginvrcl 20836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 ) → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
30	22, 25, 26, 29	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
31		lclkrlem2m.q	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑆)
32	17, 31	ringcl 20332	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
33	10, 20, 30, 32	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
34		lclkrlem2m.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
35	18, 8, 34, 17	lmodvscl 20977	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)
36	4, 33, 23, 35	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)
37		lclkrlem2m.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
38	18, 37	grpsubcl 19086	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ∈ 𝑉)
39	6, 7, 36, 38	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ∈ 𝑉)
40	1, 39	eqeltrid 2873	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
41	1	fveq2i 6885	. . 3 ⊢ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)))
42		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑆) = (-g‘𝑆)
43	8, 42, 18, 37, 11	lflsub 39731	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))))
44	4, 16, 7, 36, 43	syl112anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))))
45	8, 17, 31, 18, 34, 11	lflmul 39732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)))
46	4, 16, 33, 23, 45	syl112anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)))
47	17, 31	ringass 20335	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))) → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))))
48	10, 20, 30, 25, 47	syl13anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))))
49		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
50	17, 27, 31, 49, 28	drnginvrl 20839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 ) → ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (1r‘𝑆))
51	22, 25, 26, 50	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (1r‘𝑆))
52	51	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)))
53	48, 52	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)))
54	17, 31, 49	ringridm 20353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
55	10, 20, 54	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
56	46, 53, 55	3eqtrd 2808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
57	56	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)))
58		ringgrp 20320	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
59	10, 58	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
60	17, 27, 42	grpsubid 19090	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)) = 0 )
61	59, 20, 60	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)) = 0 )
62	44, 57, 61	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = 0 )
63	41, 62	eqtrid 2816	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 )
64	40, 63	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  ._rcmulr 17311  Scalarcsca 17313   ·_𝑠 cvsca 17314  0_gc0g 17492  Grpcgrp 19000  -_gcsg 19002  1_rcur 20263  Ringcrg 20315  inv_rcinvr 20469  DivRingcdr 20813  LModclmod 20959  LVecclvec 21201  LFnlclfn 39721  LDualcld 39787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-drng 20815  df-lmod 20961  df-lvec 21202  df-lfl 39722  df-ldual 39788

This theorem is referenced by:  lclkrlem2o  42185  lclkrlem2q  42187