Theorem lclkrlem2m 42011

Description: Lemma for lclkr 42025. Construct a vector 𝐵 that makes the sum of functionals zero. Combine with 𝐵 ∈ 𝑉 to shorten overall proof. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.w	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lclkrlem2m.b	⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2m.n	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2m	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))

Proof of Theorem lclkrlem2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2m.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
2		lclkrlem2m.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
3		lveclmod 21096	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		lmodgrp 20857	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
7		lclkrlem2m.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lclkrlem2m.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
9	8	lmodring 20858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
10	4, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
11		lclkrlem2m.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
12		lclkrlem2m.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13		lclkrlem2m.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐷)
14		lclkrlem2m.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
15		lclkrlem2m.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
16	11, 12, 13, 4, 14, 15	ldualvaddcl 39622	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
17		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
18		lclkrlem2m.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
19	8, 17, 18, 11	lflcl 39556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
20	2, 16, 7, 19	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
21	8	lvecdrng 21095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
22	2, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
23		lclkrlem2m.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24	8, 17, 18, 11	lflcl 39556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
25	2, 16, 23, 24	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
26		lclkrlem2m.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
27		lclkrlem2m.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
28		lclkrlem2m.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
29	17, 27, 28	drnginvrcl 20725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 ) → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
30	22, 25, 26, 29	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
31		lclkrlem2m.q	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑆)
32	17, 31	ringcl 20222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
33	10, 20, 30, 32	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
34		lclkrlem2m.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
35	18, 8, 34, 17	lmodvscl 20868	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)
36	4, 33, 23, 35	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)
37		lclkrlem2m.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
38	18, 37	grpsubcl 18987	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ∈ 𝑉)
39	6, 7, 36, 38	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ∈ 𝑉)
40	1, 39	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
41	1	fveq2i 6830	. . 3 ⊢ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)))
42		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑆) = (-g‘𝑆)
43	8, 42, 18, 37, 11	lflsub 39559	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))))
44	4, 16, 7, 36, 43	syl112anc 1382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))))
45	8, 17, 31, 18, 34, 11	lflmul 39560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)))
46	4, 16, 33, 23, 45	syl112anc 1382	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)))
47	17, 31	ringass 20225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))) → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))))
48	10, 20, 30, 25, 47	syl13anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))))
49		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
50	17, 27, 31, 49, 28	drnginvrl 20728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 ) → ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (1r‘𝑆))
51	22, 25, 26, 50	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (1r‘𝑆))
52	51	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × ((𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)))
53	48, 52	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) × ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)))
54	17, 31, 49	ringridm 20242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
55	10, 20, 54	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (1r‘𝑆)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
56	46, 53, 55	3eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋))
57	56	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)))
58		ringgrp 20210	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
59	10, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
60	17, 27, 42	grpsubid 18991	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)) = 0 )
61	59, 20, 60	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)(-g‘𝑆)((𝐸 + 𝐺)‘𝑋)) = 0 )
62	44, 57, 61	3eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘(𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))) = 0 )
63	41, 62	eqtrid 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 )
64	40, 63	jca 516	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900  -_gcsg 18902  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  inv_rcinvr 20358  DivRingcdr 20701  LModclmod 20850  LVecclvec 21092  LFnlclfn 39549  LDualcld 39615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lvec 21093  df-lfl 39550  df-ldual 39616

This theorem is referenced by:  lclkrlem2o  42013  lclkrlem2q  42015