Theorem lcfrlem2 41544

Description: Lemma for lcfr 41586. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem1.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lcfrlem1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lcfrlem1.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lcfrlem1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem1.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lcfrlem1.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
lcfrlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lcfrlem1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lcfrlem1.n	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
lcfrlem1.h	⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
lcfrlem2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem2	⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘𝐻))

Proof of Theorem lcfrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem1.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
2		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		lcfrlem1.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
4		lcfrlem2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
5		lcfrlem1.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
6		lcfrlem1.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
7		lcfrlem1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
8		lcfrlem1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
9		lveclmod 21020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11	1	lmodring 20781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
13	1	lvecdrng 21019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
14	7, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
15		lcfrlem1.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
16		lcfrlem1.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
17	1, 2, 16, 3	lflcl 39064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
18	7, 8, 15, 17	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
19		lcfrlem1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
20		lcfrlem1.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
21		lcfrlem1.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
22	2, 20, 21	drnginvrcl 20669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
23	14, 18, 19, 22	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
24		lcfrlem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
25	1, 2, 16, 3	lflcl 39064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐸 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
26	7, 24, 15, 25	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
27		lcfrlem1.q	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑆)
28	2, 27	ringcl 20166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
29	12, 23, 26, 28	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 29	lkrss 39168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))
31	3, 1, 2, 5, 6, 10, 29, 8	ldualvscl 39139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺) ∈ 𝐹)
32		ringgrp 20154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
33	12, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
34		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
35	2, 34	ringidcl 20181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
36	12, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
37		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
38	2, 37	grpinvcl 18926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆)) → ((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) ∈ (Base‘𝑆))
39	33, 36, 38	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) ∈ (Base‘𝑆))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 31, 39	lkrss 39168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) ⊆ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))))
41	30, 40	sstrd 3960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))))
42		sslin 4209	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))) → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
43	41, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
44		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
45	3, 1, 2, 5, 6, 10, 39, 31	ldualvscl 39139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) ∈ 𝐹)
46	3, 4, 5, 44, 10, 24, 45	lkrin 39164	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))) ⊆ (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
47	43, 46	sstrd 3960	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
48		lcfrlem1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
49	48	fveq2i 6864	. . 3 ⊢ (𝐿‘𝐻) = (𝐿‘(𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))
50		lcfrlem1.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐷)
51	1, 37, 34, 3, 5, 44, 6, 50, 10, 24, 31	ldualvsub 39155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) = (𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))))
52	51	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))) = (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
53	49, 52	eqtr2id 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))) = (𝐿‘𝐻))
54	47, 53	sseqtrd 3986	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873  -_gcsg 18874  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  inv_rcinvr 20303  DivRingcdr 20645  LModclmod 20773  LVecclvec 21016  LFnlclfn 39057  LKerclk 39085  LDualcld 39123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-nzr 20429  df-rlreg 20610  df-domn 20611  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lvec 21017  df-lfl 39058  df-lkr 39086  df-ldual 39124

This theorem is referenced by:  lcfrlem35  41578