Theorem lcfrlem2 42042

Description: Lemma for lcfr 42084. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem1.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lcfrlem1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lcfrlem1.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lcfrlem1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem1.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lcfrlem1.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
lcfrlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lcfrlem1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lcfrlem1.n	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
lcfrlem1.h	⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
lcfrlem2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem2	⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘𝐻))

Proof of Theorem lcfrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem1.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
2		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		lcfrlem1.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
4		lcfrlem2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
5		lcfrlem1.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
6		lcfrlem1.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
7		lcfrlem1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
8		lcfrlem1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
9		lveclmod 21103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11	1	lmodring 20865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
13	1	lvecdrng 21102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
14	7, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
15		lcfrlem1.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
16		lcfrlem1.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
17	1, 2, 16, 3	lflcl 39563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
18	7, 8, 15, 17	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
19		lcfrlem1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
20		lcfrlem1.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
21		lcfrlem1.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
22	2, 20, 21	drnginvrcl 20732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
23	14, 18, 19, 22	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
24		lcfrlem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
25	1, 2, 16, 3	lflcl 39563	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐸 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
26	7, 24, 15, 25	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
27		lcfrlem1.q	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑆)
28	2, 27	ringcl 20229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
29	12, 23, 26, 28	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 29	lkrss 39667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))
31	3, 1, 2, 5, 6, 10, 29, 8	ldualvscl 39638	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺) ∈ 𝐹)
32		ringgrp 20217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
33	12, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
34		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
35	2, 34	ringidcl 20244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
36	12, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
37		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
38	2, 37	grpinvcl 18961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆)) → ((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) ∈ (Base‘𝑆))
39	33, 36, 38	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) ∈ (Base‘𝑆))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 31, 39	lkrss 39667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) ⊆ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))))
41	30, 40	sstrd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))))
42		sslin 4178	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))) → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
43	41, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
44		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
45	3, 1, 2, 5, 6, 10, 39, 31	ldualvscl 39638	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) ∈ 𝐹)
46	3, 4, 5, 44, 10, 24, 45	lkrin 39663	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))) ⊆ (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
47	43, 46	sstrd 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
48		lcfrlem1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
49	48	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (𝐿‘𝐻) = (𝐿‘(𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))
50		lcfrlem1.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐷)
51	1, 37, 34, 3, 5, 44, 6, 50, 10, 24, 31	ldualvsub 39654	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) = (𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))))
52	51	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))) = (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
53	49, 52	eqtr2id 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))) = (𝐿‘𝐻))
54	47, 53	sseqtrd 3958	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  ._rcmulr 17219  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  0_gc0g 17400  Grpcgrp 18907  inv_gcminusg 18908  -_gcsg 18909  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  inv_rcinvr 20365  DivRingcdr 20708  LModclmod 20857  LVecclvec 21099  LFnlclfn 39556  LKerclk 39584  LDualcld 39622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-nzr 20492  df-rlreg 20673  df-domn 20674  df-drng 20710  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lvec 21100  df-lfl 39557  df-lkr 39585  df-ldual 39623

This theorem is referenced by:  lcfrlem35  42076