Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem2 41005
Description: Lemma for lcfr 41047. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem1.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem1.q × = (.r𝑆)
lcfrlem1.z 0 = (0g𝑆)
lcfrlem1.i 𝐼 = (invr𝑆)
lcfrlem1.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem1.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem1.t · = ( ·𝑠𝐷)
lcfrlem1.m = (-g𝐷)
lcfrlem1.u (𝜑𝑈 ∈ LVec)
lcfrlem1.e (𝜑𝐸𝐹)
lcfrlem1.g (𝜑𝐺𝐹)
lcfrlem1.x (𝜑𝑋𝑉)
lcfrlem1.n (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
lcfrlem1.h 𝐻 = (𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))
lcfrlem2.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
lcfrlem2 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) ⊆ (𝐿𝐻))

Proof of Theorem lcfrlem2
StepHypRef Expression
1 lcfrlem1.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
2 eqid 2727 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3 lcfrlem1.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
4 lcfrlem2.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
5 lcfrlem1.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
6 lcfrlem1.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝐷)
7 lcfrlem1.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
8 lcfrlem1.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
9 lveclmod 20984 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
111lmodring 20744 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
131lvecdrng 20983 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
147, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ DivRing)
15 lcfrlem1.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
16 lcfrlem1.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑈)
171, 2, 16, 3lflcl 38525 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
187, 8, 15, 17syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
19 lcfrlem1.n . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
20 lcfrlem1.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑆)
21 lcfrlem1.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (invr𝑆)
222, 20, 21drnginvrcl 20639 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
2314, 18, 19, 22syl3anc 1369 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
24 lcfrlem1.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸𝐹)
251, 2, 16, 3lflcl 38525 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐸𝐹𝑋𝑉) → (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
267, 24, 15, 25syl3anc 1369 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
27 lcfrlem1.q . . . . . . . 8 × = (.r𝑆)
282, 27ringcl 20183 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
2912, 23, 26, 28syl3anc 1369 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 29lkrss 38629 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))
313, 1, 2, 5, 6, 10, 29, 8ldualvscl 38600 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺) ∈ 𝐹)
32 ringgrp 20171 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
3312, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
34 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (1r𝑆) = (1r𝑆)
352, 34ringidcl 20195 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring → (1r𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
3612, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
37 eqid 2727 . . . . . . . 8 (invg𝑆) = (invg𝑆)
382, 37grpinvcl 18937 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (1r𝑆) ∈ (Base‘𝑆)) → ((invg𝑆)‘(1r𝑆)) ∈ (Base‘𝑆))
3933, 36, 38syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg𝑆)‘(1r𝑆)) ∈ (Base‘𝑆))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 31, 39lkrss 38629 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)) ⊆ (𝐿‘(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))))
4130, 40sstrd 3988 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))))
42 sslin 4230 . . . 4 ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))) → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) ⊆ ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))))
4341, 42syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) ⊆ ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))))
44 eqid 2727 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
453, 1, 2, 5, 6, 10, 39, 31ldualvscl 38600 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)) ∈ 𝐹)
463, 4, 5, 44, 10, 24, 45lkrin 38625 . . 3 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))) ⊆ (𝐿‘(𝐸(+g𝐷)(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))))
4743, 46sstrd 3988 . 2 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸(+g𝐷)(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))))
48 lcfrlem1.h . . . 4 𝐻 = (𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))
4948fveq2i 6894 . . 3 (𝐿𝐻) = (𝐿‘(𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))
50 lcfrlem1.m . . . . 5 = (-g𝐷)
511, 37, 34, 3, 5, 44, 6, 50, 10, 24, 31ldualvsub 38616 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)) = (𝐸(+g𝐷)(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))))
5251fveq2d 6895 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))) = (𝐿‘(𝐸(+g𝐷)(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))))
5349, 52eqtr2id 2780 . 2 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸(+g𝐷)(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))) = (𝐿𝐻))
5447, 53sseqtrd 4018 1 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) ⊆ (𝐿𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  cin 3943  wss 3944  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  .rcmulr 17227  Scalarcsca 17229   ·𝑠 cvsca 17230  0gc0g 17414  Grpcgrp 18883  invgcminusg 18884  -gcsg 18885  1rcur 20114  Ringcrg 20166  invrcinvr 20319  DivRingcdr 20617  LModclmod 20736  LVecclvec 20980  LFnlclfn 38518  LKerclk 38546  LDualcld 38584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-drng 20619  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lvec 20981  df-lfl 38519  df-lkr 38547  df-ldual 38585
This theorem is referenced by:  lcfrlem35  41039
  Copyright terms: Public domain W3C validator