Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem2 41016
Description: Lemma for lcfr 41058. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem1.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem1.q Γ— = (.rβ€˜π‘†)
lcfrlem1.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
lcfrlem1.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
lcfrlem1.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem1.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem1.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
lcfrlem1.m βˆ’ = (-gβ€˜π·)
lcfrlem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
lcfrlem1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lcfrlem1.n (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
lcfrlem1.h 𝐻 = (𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))
lcfrlem2.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lcfrlem2 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† (πΏβ€˜π»))

Proof of Theorem lcfrlem2
StepHypRef Expression
1 lcfrlem1.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
3 lcfrlem1.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
4 lcfrlem2.l . . . . . 6 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
5 lcfrlem1.d . . . . . 6 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
6 lcfrlem1.t . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
7 lcfrlem1.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
8 lcfrlem1.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
9 lveclmod 20991 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
111lmodring 20751 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
131lvecdrng 20990 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
147, 13syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
15 lcfrlem1.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
16 lcfrlem1.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
171, 2, 16, 3lflcl 38536 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
187, 8, 15, 17syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
19 lcfrlem1.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
20 lcfrlem1.z . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘†)
21 lcfrlem1.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
222, 20, 21drnginvrcl 20646 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
2314, 18, 19, 22syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
24 lcfrlem1.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
251, 2, 16, 3lflcl 38536 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LVec ∧ 𝐸 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
267, 24, 15, 25syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
27 lcfrlem1.q . . . . . . . 8 Γ— = (.rβ€˜π‘†)
282, 27ringcl 20190 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
2912, 23, 26, 28syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 29lkrss 38640 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))
313, 1, 2, 5, 6, 10, 29, 8ldualvscl 38611 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺) ∈ 𝐹)
32 ringgrp 20178 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring β†’ 𝑆 ∈ Grp)
3312, 32syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Grp)
34 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
352, 34ringidcl 20202 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3612, 35syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
37 eqid 2728 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π‘†) = (invgβ€˜π‘†)
382, 37grpinvcl 18944 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3933, 36, 38syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 31, 39lkrss 38640 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)) βŠ† (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))))
4130, 40sstrd 3990 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))))
42 sslin 4235 . . . 4 ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))) β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))))
4341, 42syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))))
44 eqid 2728 . . . 4 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
453, 1, 2, 5, 6, 10, 39, 31ldualvscl 38611 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)) ∈ 𝐹)
463, 4, 5, 44, 10, 24, 45lkrin 38636 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))))
4743, 46sstrd 3990 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))))
48 lcfrlem1.h . . . 4 𝐻 = (𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))
4948fveq2i 6900 . . 3 (πΏβ€˜π») = (πΏβ€˜(𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))
50 lcfrlem1.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π·)
511, 37, 34, 3, 5, 44, 6, 50, 10, 24, 31ldualvsub 38627 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)) = (𝐸(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))))
5251fveq2d 6901 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))) = (πΏβ€˜(𝐸(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))))
5349, 52eqtr2id 2781 . 2 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))) = (πΏβ€˜π»))
5447, 53sseqtrd 4020 1 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† (πΏβ€˜π»))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  .rcmulr 17234  Scalarcsca 17236   ·𝑠 cvsca 17237  0gc0g 17421  Grpcgrp 18890  invgcminusg 18891  -gcsg 18892  1rcur 20121  Ringcrg 20173  invrcinvr 20326  DivRingcdr 20624  LModclmod 20743  LVecclvec 20987  LFnlclfn 38529  LKerclk 38557  LDualcld 38595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-drng 20626  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lvec 20988  df-lfl 38530  df-lkr 38558  df-ldual 38596
This theorem is referenced by:  lcfrlem35  41050
  Copyright terms: Public domain W3C validator