Theorem lcfrlem2 41016

Description: Lemma for lcfr 41058. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem1.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lcfrlem1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lcfrlem1.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lcfrlem1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem1.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lcfrlem1.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
lcfrlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lcfrlem1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lcfrlem1.n	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
lcfrlem1.h	⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
lcfrlem2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem2	⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘𝐻))

Proof of Theorem lcfrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem1.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
2		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		lcfrlem1.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
4		lcfrlem2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
5		lcfrlem1.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
6		lcfrlem1.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
7		lcfrlem1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
8		lcfrlem1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
9		lveclmod 20991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11	1	lmodring 20751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
13	1	lvecdrng 20990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
14	7, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
15		lcfrlem1.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
16		lcfrlem1.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
17	1, 2, 16, 3	lflcl 38536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
18	7, 8, 15, 17	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
19		lcfrlem1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
20		lcfrlem1.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
21		lcfrlem1.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
22	2, 20, 21	drnginvrcl 20646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
23	14, 18, 19, 22	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
24		lcfrlem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
25	1, 2, 16, 3	lflcl 38536	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐸 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
26	7, 24, 15, 25	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
27		lcfrlem1.q	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑆)
28	2, 27	ringcl 20190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
29	12, 23, 26, 28	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 29	lkrss 38640	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))
31	3, 1, 2, 5, 6, 10, 29, 8	ldualvscl 38611	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺) ∈ 𝐹)
32		ringgrp 20178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
33	12, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
34		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
35	2, 34	ringidcl 20202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
36	12, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
37		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
38	2, 37	grpinvcl 18944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆)) → ((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) ∈ (Base‘𝑆))
39	33, 36, 38	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) ∈ (Base‘𝑆))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 31, 39	lkrss 38640	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) ⊆ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))))
41	30, 40	sstrd 3990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))))
42		sslin 4235	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))) → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
43	41, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
44		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
45	3, 1, 2, 5, 6, 10, 39, 31	ldualvscl 38611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) ∈ 𝐹)
46	3, 4, 5, 44, 10, 24, 45	lkrin 38636	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))) ⊆ (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
47	43, 46	sstrd 3990	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
48		lcfrlem1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
49	48	fveq2i 6900	. . 3 ⊢ (𝐿‘𝐻) = (𝐿‘(𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))
50		lcfrlem1.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐷)
51	1, 37, 34, 3, 5, 44, 6, 50, 10, 24, 31	ldualvsub 38627	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) = (𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))))
52	51	fveq2d 6901	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))) = (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
53	49, 52	eqtr2id 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))) = (𝐿‘𝐻))
54	47, 53	sseqtrd 4020	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +_gcplusg 17233  ._rcmulr 17234  Scalarcsca 17236   ·_𝑠 cvsca 17237  0_gc0g 17421  Grpcgrp 18890  inv_gcminusg 18891  -_gcsg 18892  1_rcur 20121  Ringcrg 20173  inv_rcinvr 20326  DivRingcdr 20624  LModclmod 20743  LVecclvec 20987  LFnlclfn 38529  LKerclk 38557  LDualcld 38595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-drng 20626  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lvec 20988  df-lfl 38530  df-lkr 38558  df-ldual 38596

This theorem is referenced by:  lcfrlem35  41050