Theorem lcfrlem2 41799

Description: Lemma for lcfr 41841. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem1.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lcfrlem1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lcfrlem1.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lcfrlem1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem1.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lcfrlem1.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
lcfrlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lcfrlem1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lcfrlem1.n	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
lcfrlem1.h	⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
lcfrlem2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem2	⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘𝐻))

Proof of Theorem lcfrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem1.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		lcfrlem1.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
4		lcfrlem2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
5		lcfrlem1.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
6		lcfrlem1.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
7		lcfrlem1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
8		lcfrlem1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
9		lveclmod 21058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11	1	lmodring 20819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
13	1	lvecdrng 21057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
14	7, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
15		lcfrlem1.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
16		lcfrlem1.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
17	1, 2, 16, 3	lflcl 39320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
18	7, 8, 15, 17	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
19		lcfrlem1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
20		lcfrlem1.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
21		lcfrlem1.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
22	2, 20, 21	drnginvrcl 20686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
23	14, 18, 19, 22	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
24		lcfrlem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
25	1, 2, 16, 3	lflcl 39320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐸 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
26	7, 24, 15, 25	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
27		lcfrlem1.q	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑆)
28	2, 27	ringcl 20185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
29	12, 23, 26, 28	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 29	lkrss 39424	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))
31	3, 1, 2, 5, 6, 10, 29, 8	ldualvscl 39395	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺) ∈ 𝐹)
32		ringgrp 20173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
33	12, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
34		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
35	2, 34	ringidcl 20200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
36	12, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
37		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
38	2, 37	grpinvcl 18917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆)) → ((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) ∈ (Base‘𝑆))
39	33, 36, 38	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) ∈ (Base‘𝑆))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 31, 39	lkrss 39424	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) ⊆ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))))
41	30, 40	sstrd 3944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))))
42		sslin 4195	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))) → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
43	41, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
44		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
45	3, 1, 2, 5, 6, 10, 39, 31	ldualvscl 39395	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) ∈ 𝐹)
46	3, 4, 5, 44, 10, 24, 45	lkrin 39420	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))) ⊆ (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
47	43, 46	sstrd 3944	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
48		lcfrlem1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
49	48	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (𝐿‘𝐻) = (𝐿‘(𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))
50		lcfrlem1.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐷)
51	1, 37, 34, 3, 5, 44, 6, 50, 10, 24, 31	ldualvsub 39411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) = (𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))))
52	51	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))) = (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
53	49, 52	eqtr2id 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))) = (𝐿‘𝐻))
54	47, 53	sseqtrd 3970	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  ._rcmulr 17178  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864  -_gcsg 18865  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  inv_rcinvr 20323  DivRingcdr 20662  LModclmod 20811  LVecclvec 21054  LFnlclfn 39313  LKerclk 39341  LDualcld 39379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-nzr 20446  df-rlreg 20627  df-domn 20628  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lvec 21055  df-lfl 39314  df-lkr 39342  df-ldual 39380

This theorem is referenced by:  lcfrlem35  41833