Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem2 40918
Description: Lemma for lcfr 40960. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem1.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem1.q Γ— = (.rβ€˜π‘†)
lcfrlem1.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
lcfrlem1.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
lcfrlem1.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem1.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem1.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
lcfrlem1.m βˆ’ = (-gβ€˜π·)
lcfrlem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
lcfrlem1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lcfrlem1.n (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
lcfrlem1.h 𝐻 = (𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))
lcfrlem2.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lcfrlem2 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† (πΏβ€˜π»))

Proof of Theorem lcfrlem2
StepHypRef Expression
1 lcfrlem1.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
3 lcfrlem1.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
4 lcfrlem2.l . . . . . 6 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
5 lcfrlem1.d . . . . . 6 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
6 lcfrlem1.t . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
7 lcfrlem1.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
8 lcfrlem1.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
9 lveclmod 20950 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
111lmodring 20710 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
131lvecdrng 20949 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
147, 13syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
15 lcfrlem1.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
16 lcfrlem1.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
171, 2, 16, 3lflcl 38438 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
187, 8, 15, 17syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
19 lcfrlem1.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
20 lcfrlem1.z . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘†)
21 lcfrlem1.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
222, 20, 21drnginvrcl 20605 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
2314, 18, 19, 22syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
24 lcfrlem1.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
251, 2, 16, 3lflcl 38438 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LVec ∧ 𝐸 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
267, 24, 15, 25syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
27 lcfrlem1.q . . . . . . . 8 Γ— = (.rβ€˜π‘†)
282, 27ringcl 20151 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
2912, 23, 26, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 29lkrss 38542 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))
313, 1, 2, 5, 6, 10, 29, 8ldualvscl 38513 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺) ∈ 𝐹)
32 ringgrp 20139 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring β†’ 𝑆 ∈ Grp)
3312, 32syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Grp)
34 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
352, 34ringidcl 20161 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3612, 35syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
37 eqid 2724 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π‘†) = (invgβ€˜π‘†)
382, 37grpinvcl 18913 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3933, 36, 38syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 31, 39lkrss 38542 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)) βŠ† (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))))
4130, 40sstrd 3985 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))))
42 sslin 4227 . . . 4 ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))) β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))))
4341, 42syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))))
44 eqid 2724 . . . 4 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
453, 1, 2, 5, 6, 10, 39, 31ldualvscl 38513 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)) ∈ 𝐹)
463, 4, 5, 44, 10, 24, 45lkrin 38538 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))))
4743, 46sstrd 3985 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))))
48 lcfrlem1.h . . . 4 𝐻 = (𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))
4948fveq2i 6885 . . 3 (πΏβ€˜π») = (πΏβ€˜(𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))
50 lcfrlem1.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π·)
511, 37, 34, 3, 5, 44, 6, 50, 10, 24, 31ldualvsub 38529 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)) = (𝐸(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))))
5251fveq2d 6886 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))) = (πΏβ€˜(𝐸(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))))
5349, 52eqtr2id 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))) = (πΏβ€˜π»))
5447, 53sseqtrd 4015 1 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† (πΏβ€˜π»))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390  Grpcgrp 18859  invgcminusg 18860  -gcsg 18861  1rcur 20082  Ringcrg 20134  invrcinvr 20285  DivRingcdr 20583  LModclmod 20702  LVecclvec 20946  LFnlclfn 38431  LKerclk 38459  LDualcld 38497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lvec 20947  df-lfl 38432  df-lkr 38460  df-ldual 38498
This theorem is referenced by:  lcfrlem35  40952
  Copyright terms: Public domain W3C validator