Theorem lcfrlem2 42693

Description: Lemma for lcfr 42735. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem1.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lcfrlem1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lcfrlem1.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lcfrlem1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem1.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lcfrlem1.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
lcfrlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lcfrlem1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lcfrlem1.n	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
lcfrlem1.h	⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
lcfrlem2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem2	⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘𝐻))

Proof of Theorem lcfrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem1.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		lcfrlem1.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
4		lcfrlem2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
5		lcfrlem1.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
6		lcfrlem1.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
7		lcfrlem1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
8		lcfrlem1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
9		lveclmod 21386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
10	7, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11	1	lmodring 21148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
13	1	lvecdrng 21385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
14	7, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
15		lcfrlem1.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
16		lcfrlem1.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
17	1, 2, 16, 3	lflcl 40214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
18	7, 8, 15, 17	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
19		lcfrlem1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
20		lcfrlem1.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
21		lcfrlem1.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
22	2, 20, 21	drnginvrcl 21016	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
23	14, 18, 19, 22	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
24		lcfrlem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
25	1, 2, 16, 3	lflcl 40214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐸 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
26	7, 24, 15, 25	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
27		lcfrlem1.q	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑆)
28	2, 27	ringcl 20482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
29	12, 23, 26, 28	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 29	lkrss 40318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))
31	3, 1, 2, 5, 6, 10, 29, 8	ldualvscl 40289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺) ∈ 𝐹)
32		ringgrp 20469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
33	12, 32	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
34		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
35	2, 34	ringidcl 20499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
36	12, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
37		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
38	2, 37	grpinvcl 19203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆)) → ((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) ∈ (Base‘𝑆))
39	33, 36, 38	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) ∈ (Base‘𝑆))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 31, 39	lkrss 40318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) ⊆ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))))
41	30, 40	sstrd 3918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))))
42		sslin 4139	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))) → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
43	41, 42	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
44		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
45	3, 1, 2, 5, 6, 10, 39, 31	ldualvscl 40289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) ∈ 𝐹)
46	3, 4, 5, 44, 10, 24, 45	lkrin 40314	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))) ⊆ (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
47	43, 46	sstrd 3918	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
48		lcfrlem1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
49	48	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ (𝐿‘𝐻) = (𝐿‘(𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))
50		lcfrlem1.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐷)
51	1, 37, 34, 3, 5, 44, 6, 50, 10, 24, 31	ldualvsub 40305	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) = (𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))))
52	51	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))) = (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))))
53	49, 52	eqtr2id 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸(+g‘𝐷)(((invg‘𝑆)‘(1r‘𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)))) = (𝐿‘𝐻))
54	47, 53	sseqtrd 3944	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  ._rcmulr 17434  Scalarcsca 17436   ·_𝑠 cvsca 17437  0_gc0g 17615  Grpcgrp 19149  inv_gcminusg 19150  -_gcsg 19151  1_rcur 20412  Ringcrg 20464  inv_rcinvr 20622  DivRingcdr 20985  LModclmod 21140  LVecclvec 21382  LFnlclfn 40207  LKerclk 40235  LDualcld 40273

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8246  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-oppr 20572  df-dvdsr 20592  df-unit 20593  df-invr 20623  df-nzr 20768  df-rlreg 20951  df-domn 20952  df-drng 20987  df-lmod 21142  df-lss 21212  df-lvec 21383  df-lfl 40208  df-lkr 40236  df-ldual 40274

This theorem is used by:  lcfrlem35  42727