Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem2 40056
Description: Lemma for lcfr 40098. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem1.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem1.q Γ— = (.rβ€˜π‘†)
lcfrlem1.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
lcfrlem1.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
lcfrlem1.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem1.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem1.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
lcfrlem1.m βˆ’ = (-gβ€˜π·)
lcfrlem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
lcfrlem1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lcfrlem1.n (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
lcfrlem1.h 𝐻 = (𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))
lcfrlem2.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lcfrlem2 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† (πΏβ€˜π»))

Proof of Theorem lcfrlem2
StepHypRef Expression
1 lcfrlem1.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
3 lcfrlem1.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
4 lcfrlem2.l . . . . . 6 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
5 lcfrlem1.d . . . . . 6 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
6 lcfrlem1.t . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
7 lcfrlem1.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
8 lcfrlem1.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
9 lveclmod 20611 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
111lmodring 20373 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
131lvecdrng 20610 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
147, 13syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
15 lcfrlem1.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
16 lcfrlem1.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
171, 2, 16, 3lflcl 37576 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
187, 8, 15, 17syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
19 lcfrlem1.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
20 lcfrlem1.z . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘†)
21 lcfrlem1.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
222, 20, 21drnginvrcl 20240 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
2314, 18, 19, 22syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
24 lcfrlem1.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
251, 2, 16, 3lflcl 37576 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LVec ∧ 𝐸 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
267, 24, 15, 25syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
27 lcfrlem1.q . . . . . . . 8 Γ— = (.rβ€˜π‘†)
282, 27ringcl 19989 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
2912, 23, 26, 28syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 29lkrss 37680 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))
313, 1, 2, 5, 6, 10, 29, 8ldualvscl 37651 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺) ∈ 𝐹)
32 ringgrp 19977 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring β†’ 𝑆 ∈ Grp)
3312, 32syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Grp)
34 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
352, 34ringidcl 19997 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3612, 35syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
37 eqid 2733 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π‘†) = (invgβ€˜π‘†)
382, 37grpinvcl 18806 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3933, 36, 38syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 31, 39lkrss 37680 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)) βŠ† (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))))
4130, 40sstrd 3958 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))))
42 sslin 4198 . . . 4 ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))) β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))))
4341, 42syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))))
44 eqid 2733 . . . 4 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
453, 1, 2, 5, 6, 10, 39, 31ldualvscl 37651 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)) ∈ 𝐹)
463, 4, 5, 44, 10, 24, 45lkrin 37676 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))))
4743, 46sstrd 3958 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))))
48 lcfrlem1.h . . . 4 𝐻 = (𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))
4948fveq2i 6849 . . 3 (πΏβ€˜π») = (πΏβ€˜(𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))
50 lcfrlem1.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π·)
511, 37, 34, 3, 5, 44, 6, 50, 10, 24, 31ldualvsub 37667 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)) = (𝐸(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))))
5251fveq2d 6850 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))) = (πΏβ€˜(𝐸(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))))
5349, 52eqtr2id 2786 . 2 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘†)) Β· (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)))) = (πΏβ€˜π»))
5447, 53sseqtrd 3988 1 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† (πΏβ€˜π»))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  -gcsg 18758  1rcur 19921  Ringcrg 19972  invrcinvr 20108  DivRingcdr 20219  LModclmod 20365  LVecclvec 20607  LFnlclfn 37569  LKerclk 37597  LDualcld 37635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lvec 20608  df-lfl 37570  df-lkr 37598  df-ldual 37636
This theorem is referenced by:  lcfrlem35  40090
  Copyright terms: Public domain W3C validator