Theorem lcfl7lem 42128

Description: Lemma for lcfl7N 42130. If two functionals 𝐺 and 𝐽 are equal, they are determined by the same vector. (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl7lem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl7lem.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl7lem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl7lem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl7lem.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfl7lem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfl7lem.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl7lem.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl7lem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfl7lem.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl7lem.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl7lem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl7lem.g	⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
lcfl7lem.j	⊢ 𝐽 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑌})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑌))))
lcfl7lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfl7lem.x2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfl7lem.gj	⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
lcfl7lem	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   ⊥ ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑤, 0   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘,𝑤   𝑣,𝑉   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑣)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐽(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfl7lem

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl7lem.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcfl7lem.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcfl7lem.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcfl7lem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lcfl7lem.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		lcfl7lem.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑈)
7		lcfl7lem.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
8		lcfl7lem.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
9		lcfl7lem.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
10		lcfl7lem.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
11		lcfl7lem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
12		lcfl7lem.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		lcfl7lem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dochsnkr2cl 42103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
15	14	eldifad 3917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
16		lcfl7lem.gj	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐽)
17	16	fveq2d 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐽))
18		lcfl7lem.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑌})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑌))))
19		lcfl7lem.x2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 18, 12, 19	dochsnkr2 42102	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐽) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
21	17, 20	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
22	21	fveq2d 6871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑌})))
23		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
24	19	eldifad 3917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25	24	snssd 4746	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
26	1, 3, 2, 4, 23, 12, 25	dochocsp 42008	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌})) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
27	26	fveq2d 6871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑌})))
28		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
29	1, 3, 4, 23, 28	dihlsprn 41960	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
30	12, 24, 29	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
31	1, 28, 2	dochoc 41996	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
32	12, 30, 31	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
33	22, 27, 32	3eqtr2d 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
34	15, 33	eleqtrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
35	1, 3, 12	dvhlmod 41739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
36	9, 10, 4, 7, 23	ellspsn 21077	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)))
37	35, 24, 36	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)))
38	34, 37	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌))
39		simp3 1152	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑠 · 𝑌))
40		fveq2 6867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝑠 · 𝑌) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)))
41	40	3ad2ant3 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)))
42		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
43	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 42, 12, 19, 18	dochfl1 42105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑌) = (1r‘𝑆))
44	16	fveq1d 6869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (𝐽‘𝑌))
45	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 42, 12, 13, 11	dochfl1 42105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (1r‘𝑆))
46	43, 44, 45	3eqtr4rd 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
47	46	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
48	35	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑈 ∈ LMod)
49		lcfl7lem.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
50	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 49, 9, 10, 11, 12, 13	dochflcl 42104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
51	50	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
52		simp2 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑠 ∈ 𝑅)
53	24	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
54		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
55	9, 10, 54, 4, 7, 49	lflmul 39697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)) = (𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌)))
56	48, 51, 52, 53, 55	syl112anc 1395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)) = (𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌)))
57	41, 47, 56	3eqtr3d 2806	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑌) = (𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌)))
58	57	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = ((𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌))(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))))
59	9	lmodring 20942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
60	35, 59	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
61	60	3ad2ant1 1147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑆 ∈ Ring)
62	9, 10, 4, 49	lflcl 39693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅)
63	35, 50, 24, 62	syl3anc 1392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅)
64	63	3ad2ant1 1147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅)
65	1, 3, 12	dvhlvec 41738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
66	9	lvecdrng 21179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
68	44, 43	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (1r‘𝑆))
69		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
70	69, 42	drngunz 20806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ DivRing → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
71	67, 70	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
72	68, 71	eqnetrd 3025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ≠ (0g‘𝑆))
73		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
74	10, 69, 73	drnginvrcl 20811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑌) ≠ (0g‘𝑆)) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)
75	67, 63, 72, 74	syl3anc 1392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)
76	75	3ad2ant1 1147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)
77	10, 54	ringass 20313	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑠 ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅 ∧ ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)) → ((𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌))(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (𝑠(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)))))
78	61, 52, 64, 76, 77	syl13anc 1393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌))(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (𝑠(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)))))
79	10, 69, 54, 42, 73	drnginvrr 20815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑌) ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (1r‘𝑆))
80	67, 63, 72, 79	syl3anc 1392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (1r‘𝑆))
81	80	3ad2ant1 1147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (1r‘𝑆))
82	81	oveq2d 7412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)))) = (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
83	58, 78, 82	3eqtrrd 2803	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))))
84	10, 54, 42	ringridm 20330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝑅) → (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = 𝑠)
85	61, 52, 84	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = 𝑠)
86	83, 85, 81	3eqtr3d 2806	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑠 = (1r‘𝑆))
87		oveq1 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (1r‘𝑆) → (𝑠 · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · 𝑌))
88	4, 9, 7, 42	lmodvs1 20964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
89	35, 24, 88	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
90	89	3ad2ant1 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
91	87, 90	sylan9eqr 2820	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) ∧ 𝑠 = (1r‘𝑆)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑌)
92	86, 91	mpdan 697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑌)
93	39, 92	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
94	93	rexlimdv3a 3168	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
95	38, 94	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3902  {csn 4583   ↦ cmpt 5182  ran crn 5649  ‘cfv 6521  ℩crio 7352  (class class class)co 7396  Basecbs 17255  +_gcplusg 17296  ._rcmulr 17297  Scalarcsca 17299   ·_𝑠 cvsca 17300  0_gc0g 17478  1_rcur 20241  Ringcrg 20293  inv_rcinvr 20446  DivRingcdr 20788  LModclmod 20934  LSpanclspn 21045  LVecclvec 21176  LFnlclfn 39686  LKerclk 39714  HLchlt 39979  LHypclh 40613  DVecHcdvh 41707  DIsoHcdih 41857  ocHcoch 41976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-riotaBAD 39582

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-fz 13523  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-0g 17480  df-proset 18336  df-poset 18355  df-plt 18370  df-lub 18386  df-glb 18387  df-join 18388  df-meet 18389  df-p0 18465  df-p1 18466  df-lat 18474  df-clat 18541  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-submnd 18828  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-subg 19175  df-cntz 19367  df-lsm 19686  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-ring 20295  df-oppr 20396  df-dvdsr 20416  df-unit 20417  df-invr 20447  df-dvr 20460  df-drng 20790  df-lmod 20936  df-lss 21006  df-lsp 21046  df-lvec 21177  df-lsatoms 39605  df-lshyp 39606  df-lfl 39687  df-lkr 39715  df-oposet 39805  df-ol 39807  df-oml 39808  df-covers 39895  df-ats 39896  df-atl 39927  df-cvlat 39951  df-hlat 39980  df-llines 40127  df-lplanes 40128  df-lvols 40129  df-lines 40130  df-psubsp 40132  df-pmap 40133  df-padd 40425  df-lhyp 40617  df-laut 40618  df-ldil 40733  df-ltrn 40734  df-trl 40788  df-tgrp 41372  df-tendo 41384  df-edring 41386  df-dveca 41632  df-disoa 41658  df-dvech 41708  df-dib 41768  df-dic 41802  df-dih 41858  df-doch 41977  df-djh 42024

This theorem is referenced by:  lcfl7N  42130  lcfrlem9  42179