Theorem lcfl7lem 41456

Description: Lemma for lcfl7N 41458. If two functionals 𝐺 and 𝐽 are equal, they are determined by the same vector. (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl7lem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl7lem.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl7lem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl7lem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl7lem.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfl7lem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfl7lem.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl7lem.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl7lem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfl7lem.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl7lem.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl7lem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl7lem.g	⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
lcfl7lem.j	⊢ 𝐽 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑌})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑌))))
lcfl7lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfl7lem.x2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfl7lem.gj	⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
lcfl7lem	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   ⊥ ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑤, 0   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘,𝑤   𝑣,𝑉   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑣)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐽(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfl7lem

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl7lem.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcfl7lem.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcfl7lem.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcfl7lem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lcfl7lem.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		lcfl7lem.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑈)
7		lcfl7lem.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
8		lcfl7lem.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
9		lcfl7lem.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
10		lcfl7lem.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
11		lcfl7lem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
12		lcfl7lem.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		lcfl7lem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dochsnkr2cl 41431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
15	14	eldifad 3988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
16		lcfl7lem.gj	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐽)
17	16	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐽))
18		lcfl7lem.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑌})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑌))))
19		lcfl7lem.x2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 18, 12, 19	dochsnkr2 41430	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐽) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
21	17, 20	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
22	21	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑌})))
23		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
24	19	eldifad 3988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25	24	snssd 4834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
26	1, 3, 2, 4, 23, 12, 25	dochocsp 41336	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌})) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
27	26	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑌})))
28		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
29	1, 3, 4, 23, 28	dihlsprn 41288	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
30	12, 24, 29	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
31	1, 28, 2	dochoc 41324	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
32	12, 30, 31	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
33	22, 27, 32	3eqtr2d 2786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
34	15, 33	eleqtrd 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
35	1, 3, 12	dvhlmod 41067	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
36	9, 10, 4, 7, 23	ellspsn 21024	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)))
37	35, 24, 36	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)))
38	34, 37	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌))
39		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑠 · 𝑌))
40		fveq2 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝑠 · 𝑌) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)))
41	40	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)))
42		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
43	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 42, 12, 19, 18	dochfl1 41433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑌) = (1r‘𝑆))
44	16	fveq1d 6922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (𝐽‘𝑌))
45	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 42, 12, 13, 11	dochfl1 41433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (1r‘𝑆))
46	43, 44, 45	3eqtr4rd 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
47	46	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
48	35	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑈 ∈ LMod)
49		lcfl7lem.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
50	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 49, 9, 10, 11, 12, 13	dochflcl 41432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
51	50	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
52		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑠 ∈ 𝑅)
53	24	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
54		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
55	9, 10, 54, 4, 7, 49	lflmul 39024	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)) = (𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌)))
56	48, 51, 52, 53, 55	syl112anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)) = (𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌)))
57	41, 47, 56	3eqtr3d 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑌) = (𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌)))
58	57	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = ((𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌))(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))))
59	9	lmodring 20888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
60	35, 59	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
61	60	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑆 ∈ Ring)
62	9, 10, 4, 49	lflcl 39020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅)
63	35, 50, 24, 62	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅)
64	63	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅)
65	1, 3, 12	dvhlvec 41066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
66	9	lvecdrng 21127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
68	44, 43	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (1r‘𝑆))
69		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
70	69, 42	drngunz 20769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ DivRing → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
71	67, 70	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
72	68, 71	eqnetrd 3014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ≠ (0g‘𝑆))
73		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
74	10, 69, 73	drnginvrcl 20775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑌) ≠ (0g‘𝑆)) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)
75	67, 63, 72, 74	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)
76	75	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)
77	10, 54	ringass 20280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑠 ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅 ∧ ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)) → ((𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌))(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (𝑠(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)))))
78	61, 52, 64, 76, 77	syl13anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌))(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (𝑠(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)))))
79	10, 69, 54, 42, 73	drnginvrr 20779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑌) ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (1r‘𝑆))
80	67, 63, 72, 79	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (1r‘𝑆))
81	80	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (1r‘𝑆))
82	81	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)))) = (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
83	58, 78, 82	3eqtrrd 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))))
84	10, 54, 42	ringridm 20293	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝑅) → (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = 𝑠)
85	61, 52, 84	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = 𝑠)
86	83, 85, 81	3eqtr3d 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑠 = (1r‘𝑆))
87		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (1r‘𝑆) → (𝑠 · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · 𝑌))
88	4, 9, 7, 42	lmodvs1 20910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
89	35, 24, 88	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
90	89	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
91	87, 90	sylan9eqr 2802	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) ∧ 𝑠 = (1r‘𝑆)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑌)
92	86, 91	mpdan 686	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑌)
93	39, 92	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
94	93	rexlimdv3a 3165	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
95	38, 94	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ∖ cdif 3973  {csn 4648   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  ‘cfv 6573  ℩crio 7403  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  inv_rcinvr 20413  DivRingcdr 20751  LModclmod 20880  LSpanclspn 20992  LVecclvec 21124  LFnlclfn 39013  LKerclk 39041  HLchlt 39306  LHypclh 39941  DVecHcdvh 41035  DIsoHcdih 41185  ocHcoch 41304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-riotaBAD 38909

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-undef 8314  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17501  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lsatoms 38932  df-lshyp 38933  df-lfl 39014  df-lkr 39042  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-tgrp 40700  df-tendo 40712  df-edring 40714  df-dveca 40960  df-disoa 40986  df-dvech 41036  df-dib 41096  df-dic 41130  df-dih 41186  df-doch 41305  df-djh 41352

This theorem is referenced by:  lcfl7N  41458  lcfrlem9  41507