Theorem lcfl7lem 42301

Description: Lemma for lcfl7N 42303. If two functionals 𝐺 and 𝐽 are equal, they are determined by the same vector. (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl7lem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl7lem.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl7lem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl7lem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl7lem.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfl7lem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfl7lem.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl7lem.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl7lem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfl7lem.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl7lem.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl7lem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl7lem.g	⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
lcfl7lem.j	⊢ 𝐽 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑌})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑌))))
lcfl7lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfl7lem.x2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfl7lem.gj	⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
lcfl7lem	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   ⊥ ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑤, 0   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘,𝑤   𝑣,𝑉   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑣)   𝑈(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐹(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐺(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐻(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐽(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐾(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐿(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝑉(𝑤, 𝑘)   𝑊(𝑤, 𝑣, 𝑘)   0 (𝑣, 𝑘)

Proof of Theorem lcfl7lem

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl7lem.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcfl7lem.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcfl7lem.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcfl7lem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lcfl7lem.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		lcfl7lem.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑈)
7		lcfl7lem.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
8		lcfl7lem.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
9		lcfl7lem.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
10		lcfl7lem.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
11		lcfl7lem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
12		lcfl7lem.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		lcfl7lem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dochsnkr2cl 42276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
15	14	eldifad 3916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
16		lcfl7lem.gj	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐽)
17	16	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐽))
18		lcfl7lem.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑌})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑌))))
19		lcfl7lem.x2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 18, 12, 19	dochsnkr2 42275	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐽) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
21	17, 20	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
22	21	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑌})))
23		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
24	19	eldifad 3916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25	24	snssd 4751	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
26	1, 3, 2, 4, 23, 12, 25	dochocsp 42181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌})) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
27	26	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑌})))
28		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
29	1, 3, 4, 23, 28	dihlsprn 42133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
30	12, 24, 29	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
31	1, 28, 2	dochoc 42169	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
32	12, 30, 31	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
33	22, 27, 32	3eqtr2d 2803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
34	15, 33	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
35	1, 3, 12	dvhlmod 41912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
36	9, 10, 4, 7, 23	ellspsn 21135	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)))
37	35, 24, 36	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)))
38	34, 37	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌))
39		simp3 1155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑠 · 𝑌))
40		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝑠 · 𝑌) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)))
41	40	3ad2ant3 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)))
42		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
43	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 42, 12, 19, 18	dochfl1 42278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑌) = (1r‘𝑆))
44	16	fveq1d 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (𝐽‘𝑌))
45	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 42, 12, 13, 11	dochfl1 42278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (1r‘𝑆))
46	43, 44, 45	3eqtr4rd 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
47	46	3ad2ant1 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
48	35	3ad2ant1 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑈 ∈ LMod)
49		lcfl7lem.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
50	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 49, 9, 10, 11, 12, 13	dochflcl 42277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
51	50	3ad2ant1 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
52		simp2 1154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑠 ∈ 𝑅)
53	24	3ad2ant1 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
54		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
55	9, 10, 54, 4, 7, 49	lflmul 39870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)) = (𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌)))
56	48, 51, 52, 53, 55	syl112anc 1400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)) = (𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌)))
57	41, 47, 56	3eqtr3d 2805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑌) = (𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌)))
58	57	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = ((𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌))(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))))
59	9	lmodring 21000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
60	35, 59	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
61	60	3ad2ant1 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑆 ∈ Ring)
62	9, 10, 4, 49	lflcl 39866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅)
63	35, 50, 24, 62	syl3anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅)
64	63	3ad2ant1 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅)
65	1, 3, 12	dvhlvec 41911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
66	9	lvecdrng 21237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
67	65, 66	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
68	44, 43	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (1r‘𝑆))
69		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
70	69, 42	drngunz 20858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ DivRing → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
71	67, 70	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
72	68, 71	eqnetrd 3024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ≠ (0g‘𝑆))
73		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
74	10, 69, 73	drnginvrcl 20868	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑌) ≠ (0g‘𝑆)) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)
75	67, 63, 72, 74	syl3anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)
76	75	3ad2ant1 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)
77	10, 54	ringass 20341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑠 ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅 ∧ ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)) → ((𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌))(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (𝑠(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)))))
78	61, 52, 64, 76, 77	syl13anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌))(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (𝑠(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)))))
79	10, 69, 54, 42, 73	drnginvrr 20872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑌) ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (1r‘𝑆))
80	67, 63, 72, 79	syl3anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (1r‘𝑆))
81	80	3ad2ant1 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (1r‘𝑆))
82	81	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)))) = (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
83	58, 78, 82	3eqtrrd 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))))
84	10, 54, 42	ringridm 20360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝑅) → (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = 𝑠)
85	61, 52, 84	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = 𝑠)
86	83, 85, 81	3eqtr3d 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑠 = (1r‘𝑆))
87		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (1r‘𝑆) → (𝑠 · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · 𝑌))
88	4, 9, 7, 42	lmodvs1 21022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
89	35, 24, 88	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
90	89	3ad2ant1 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
91	87, 90	sylan9eqr 2819	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) ∧ 𝑠 = (1r‘𝑆)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑌)
92	86, 91	mpdan 699	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑌)
93	39, 92	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
94	93	rexlimdv3a 3169	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
95	38, 94	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3901  {csn 4588   ↦ cmpt 5191  ran crn 5661  ‘cfv 6536  ℩crio 7368  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  ._rcmulr 17317  Scalarcsca 17319   ·_𝑠 cvsca 17320  0_gc0g 17498  1_rcur 20269  Ringcrg 20321  inv_rcinvr 20476  DivRingcdr 20838  LModclmod 20992  LSpanclspn 21103  LVecclvec 21234  LFnlclfn 39859  LKerclk 39887  HLchlt 40152  LHypclh 40786  DVecHcdvh 41880  DIsoHcdih 42030  ocHcoch 42149

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 39755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-undef 8267  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-0g 17500  df-proset 18356  df-poset 18375  df-plt 18390  df-lub 18406  df-glb 18407  df-join 18408  df-meet 18409  df-p0 18485  df-p1 18486  df-lat 18494  df-clat 18561  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-cntz 19393  df-lsm 19712  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-dvr 20490  df-drng 20840  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-lvec 21235  df-lsatoms 39778  df-lshyp 39779  df-lfl 39860  df-lkr 39888  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153  df-llines 40300  df-lplanes 40301  df-lvols 40302  df-lines 40303  df-psubsp 40305  df-pmap 40306  df-padd 40598  df-lhyp 40790  df-laut 40791  df-ldil 40906  df-ltrn 40907  df-trl 40961  df-tgrp 41545  df-tendo 41557  df-edring 41559  df-dveca 41805  df-disoa 41831  df-dvech 41881  df-dib 41941  df-dic 41975  df-dih 42031  df-doch 42150  df-djh 42197

This theorem is used by:  lcfl7N  42303  lcfrlem9  42352