Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl7lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lcfl7lem 41028
Description: Lemma for lcfl7N 41030. If two functionals 𝐺 and 𝐽 are equal, they are determined by the same vector. (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl7lem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcfl7lem.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfl7lem.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfl7lem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfl7lem.a + = (+gβ€˜π‘ˆ)
lcfl7lem.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lcfl7lem.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lcfl7lem.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
lcfl7lem.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
lcfl7lem.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lcfl7lem.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lcfl7lem.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcfl7lem.g 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋))))
lcfl7lem.j 𝐽 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘Œ))))
lcfl7lem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lcfl7lem.x2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lcfl7lem.gj (πœ‘ β†’ 𝐺 = 𝐽)
Assertion
Ref Expression
lcfl7lem (πœ‘ β†’ 𝑋 = π‘Œ)
Distinct variable groups:   𝑣,π‘˜,𝑀, +   βŠ₯ ,π‘˜,𝑣,𝑀   𝑀, 0   𝑅,π‘˜,𝑣   𝑆,π‘˜,𝑀   𝑣,𝑉   Β· ,π‘˜,𝑣,𝑀   π‘˜,𝑋,𝑣,𝑀   π‘˜,π‘Œ,𝑣,𝑀
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝑅(𝑀)   𝑆(𝑣)   π‘ˆ(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐹(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐺(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐻(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐽(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐾(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐿(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝑉(𝑀,π‘˜)   π‘Š(𝑀,𝑣,π‘˜)   0 (𝑣,π‘˜)
Proof of Theorem lcfl7lem
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfl7lem.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 lcfl7lem.o . . . . . 6 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 lcfl7lem.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 lcfl7lem.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 lcfl7lem.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
6 lcfl7lem.a . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
7 lcfl7lem.t . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
8 lcfl7lem.l . . . . . 6 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
9 lcfl7lem.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
10 lcfl7lem.r . . . . . 6 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
11 lcfl7lem.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑋})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑋))))
12 lcfl7lem.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
13 lcfl7lem.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dochsnkr2cl 41003 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) βˆ– { 0 }))
1514eldifad 3951 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)))
16 lcfl7lem.gj . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 = 𝐽)
1716fveq2d 6896 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π½))
18 lcfl7lem.j . . . . . . . 8 𝐽 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘Œ))))
19 lcfl7lem.x2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 18, 12, 19dochsnkr2 41002 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π½) = ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ}))
2117, 20eqtrd 2765 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ}))
2221fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{π‘Œ})))
23 eqid 2725 . . . . . . 7 (LSpanβ€˜π‘ˆ) = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
2419eldifad 3951 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
2524snssd 4808 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† 𝑉)
261, 3, 2, 4, 23, 12, 25dochocsp 40908 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{π‘Œ})) = ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ}))
2726fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{π‘Œ}))) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{π‘Œ})))
28 eqid 2725 . . . . . . . 8 ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
291, 3, 4, 23, 28dihlsprn 40860 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{π‘Œ}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
3012, 24, 29syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{π‘Œ}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
311, 28, 2dochoc 40896 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{π‘Œ}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{π‘Œ}))) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{π‘Œ}))
3212, 30, 31syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{π‘Œ}))) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{π‘Œ}))
3322, 27, 323eqtr2d 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{π‘Œ}))
3415, 33eleqtrd 2827 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{π‘Œ}))
351, 3, 12dvhlmod 40639 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
369, 10, 4, 7, 23lspsnel 20891 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{π‘Œ}) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)))
3735, 24, 36syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{π‘Œ}) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)))
3834, 37mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ))
39 simp3 1135 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ))
40 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (πΊβ€˜(𝑠 Β· π‘Œ)))
41403ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (πΊβ€˜(𝑠 Β· π‘Œ)))
42 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
431, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 42, 12, 19, 18dochfl1 41005 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π½β€˜π‘Œ) = (1rβ€˜π‘†))
4416fveq1d 6894 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = (π½β€˜π‘Œ))
451, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 42, 12, 13, 11dochfl1 41005 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (1rβ€˜π‘†))
4643, 44, 453eqtr4rd 2776 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (πΊβ€˜π‘Œ))
47463ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (πΊβ€˜π‘Œ))
48353ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
49 lcfl7lem.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
501, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 49, 9, 10, 11, 12, 13dochflcl 41004 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
51503ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
52 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑠 ∈ 𝑅)
53243ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
54 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
559, 10, 54, 4, 7, 49lflmul 38596 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑠 ∈ 𝑅 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑠 Β· π‘Œ)) = (𝑠(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘Œ)))
5648, 51, 52, 53, 55syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜(𝑠 Β· π‘Œ)) = (𝑠(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘Œ)))
5741, 47, 563eqtr3d 2773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = (𝑠(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘Œ)))
5857oveq1d 7431 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ)(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))) = ((𝑠(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘Œ))(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
599lmodring 20755 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Ring)
6035, 59syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
61603ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
629, 10, 4, 49lflcl 38592 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑅)
6335, 50, 24, 62syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑅)
64633ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑅)
651, 3, 12dvhlvec 40638 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
669lvecdrng 20994 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
6844, 43eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = (1rβ€˜π‘†))
69 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
7069, 42drngunz 20647 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜π‘†) β‰  (0gβ€˜π‘†))
7167, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) β‰  (0gβ€˜π‘†))
7268, 71eqnetrd 2998 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) β‰  (0gβ€˜π‘†))
73 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (invrβ€˜π‘†) = (invrβ€˜π‘†)
7410, 69, 73drnginvrcl 20650 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑅 ∧ (πΊβ€˜π‘Œ) β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝑅)
7567, 63, 72, 74syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝑅)
76753ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝑅)
7710, 54ringass 20197 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑠 ∈ 𝑅 ∧ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑅 ∧ ((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝑅)) β†’ ((𝑠(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘Œ))(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))) = (𝑠(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘Œ)(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)))))
7861, 52, 64, 76, 77syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑠(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜π‘Œ))(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))) = (𝑠(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘Œ)(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)))))
7910, 69, 54, 42, 73drnginvrr 20654 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑅 ∧ (πΊβ€˜π‘Œ) β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ)(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘†))
8067, 63, 72, 79syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ)(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘†))
81803ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ)(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘†))
8281oveq2d 7432 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π‘†)((πΊβ€˜π‘Œ)(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)))) = (𝑠(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)))
8358, 78, 823eqtrrd 2770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)) = ((πΊβ€˜π‘Œ)(.rβ€˜π‘†)((invrβ€˜π‘†)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
8410, 54, 42ringridm 20210 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝑅) β†’ (𝑠(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)) = 𝑠)
8561, 52, 84syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑠(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘†)) = 𝑠)
8683, 85, 813eqtr3d 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑠 = (1rβ€˜π‘†))
87 oveq1 7423 . . . . . 6 (𝑠 = (1rβ€˜π‘†) β†’ (𝑠 Β· π‘Œ) = ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘Œ))
884, 9, 7, 42lmodvs1 20777 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
8935, 24, 88syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
90893ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
9187, 90sylan9eqr 2787 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) ∧ 𝑠 = (1rβ€˜π‘†)) β†’ (𝑠 Β· π‘Œ) = π‘Œ)
9286, 91mpdan 685 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑠 Β· π‘Œ) = π‘Œ)
9339, 92eqtrd 2765 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
9493rexlimdv3a 3149 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 Β· π‘Œ) β†’ 𝑋 = π‘Œ))
9538, 94mpd 15 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 = π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   βˆ– cdif 3936  {csn 4624   ↦ cmpt 5226  ran crn 5673  β€˜cfv 6543  β„©crio 7371  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420  1rcur 20125  Ringcrg 20177  invrcinvr 20330  DivRingcdr 20628  LModclmod 20747  LSpanclspn 20859  LVecclvec 20991  LFnlclfn 38585  LKerclk 38613  HLchlt 38878  LHypclh 39513  DVecHcdvh 40607  DIsoHcdih 40757  ocHcoch 40876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lsatoms 38504  df-lshyp 38505  df-lfl 38586  df-lkr 38614  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tgrp 40272  df-tendo 40284  df-edring 40286  df-dveca 40532  df-disoa 40558  df-dvech 40608  df-dib 40668  df-dic 40702  df-dih 40758  df-doch 40877  df-djh 40924
This theorem is referenced by:  lcfl7N  41030  lcfrlem9  41079
  Copyright terms: Public domain W3C validator