Theorem lcfl7lem 39440

Description: Lemma for lcfl7N 39442. If two functionals 𝐺 and 𝐽 are equal, they are determined by the same vector. (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl7lem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl7lem.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl7lem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl7lem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl7lem.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfl7lem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfl7lem.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl7lem.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl7lem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfl7lem.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl7lem.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl7lem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl7lem.g	⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
lcfl7lem.j	⊢ 𝐽 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑌})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑌))))
lcfl7lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfl7lem.x2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfl7lem.gj	⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
lcfl7lem	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   ⊥ ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑤, 0   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘,𝑤   𝑣,𝑉   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑣)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐽(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfl7lem

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl7lem.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcfl7lem.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcfl7lem.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcfl7lem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lcfl7lem.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		lcfl7lem.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑈)
7		lcfl7lem.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
8		lcfl7lem.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
9		lcfl7lem.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
10		lcfl7lem.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
11		lcfl7lem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
12		lcfl7lem.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		lcfl7lem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dochsnkr2cl 39415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
15	14	eldifad 3895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
16		lcfl7lem.gj	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐽)
17	16	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐽))
18		lcfl7lem.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑌})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑌))))
19		lcfl7lem.x2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 18, 12, 19	dochsnkr2 39414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐽) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
21	17, 20	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
22	21	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑌})))
23		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
24	19	eldifad 3895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25	24	snssd 4739	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
26	1, 3, 2, 4, 23, 12, 25	dochocsp 39320	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌})) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
27	26	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑌})))
28		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
29	1, 3, 4, 23, 28	dihlsprn 39272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
30	12, 24, 29	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
31	1, 28, 2	dochoc 39308	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
32	12, 30, 31	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
33	22, 27, 32	3eqtr2d 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
34	15, 33	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
35	1, 3, 12	dvhlmod 39051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
36	9, 10, 4, 7, 23	lspsnel 20180	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)))
37	35, 24, 36	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)))
38	34, 37	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌))
39		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑠 · 𝑌))
40		fveq2 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝑠 · 𝑌) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)))
41	40	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)))
42		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
43	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 42, 12, 19, 18	dochfl1 39417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑌) = (1r‘𝑆))
44	16	fveq1d 6758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (𝐽‘𝑌))
45	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 42, 12, 13, 11	dochfl1 39417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (1r‘𝑆))
46	43, 44, 45	3eqtr4rd 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
47	46	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
48	35	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑈 ∈ LMod)
49		lcfl7lem.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
50	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 49, 9, 10, 11, 12, 13	dochflcl 39416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
51	50	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
52		simp2 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑠 ∈ 𝑅)
53	24	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
54		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
55	9, 10, 54, 4, 7, 49	lflmul 37009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)) = (𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌)))
56	48, 51, 52, 53, 55	syl112anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)) = (𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌)))
57	41, 47, 56	3eqtr3d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑌) = (𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌)))
58	57	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = ((𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌))(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))))
59	9	lmodring 20046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
60	35, 59	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
61	60	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑆 ∈ Ring)
62	9, 10, 4, 49	lflcl 37005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅)
63	35, 50, 24, 62	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅)
64	63	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅)
65	1, 3, 12	dvhlvec 39050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
66	9	lvecdrng 20282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
68	44, 43	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (1r‘𝑆))
69		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
70	69, 42	drngunz 19921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ DivRing → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
71	67, 70	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
72	68, 71	eqnetrd 3010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ≠ (0g‘𝑆))
73		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
74	10, 69, 73	drnginvrcl 19923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑌) ≠ (0g‘𝑆)) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)
75	67, 63, 72, 74	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)
76	75	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)
77	10, 54	ringass 19718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑠 ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅 ∧ ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)) → ((𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌))(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (𝑠(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)))))
78	61, 52, 64, 76, 77	syl13anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌))(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (𝑠(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)))))
79	10, 69, 54, 42, 73	drnginvrr 19926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑌) ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (1r‘𝑆))
80	67, 63, 72, 79	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (1r‘𝑆))
81	80	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (1r‘𝑆))
82	81	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)))) = (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
83	58, 78, 82	3eqtrrd 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))))
84	10, 54, 42	ringridm 19726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝑅) → (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = 𝑠)
85	61, 52, 84	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = 𝑠)
86	83, 85, 81	3eqtr3d 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑠 = (1r‘𝑆))
87		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (1r‘𝑆) → (𝑠 · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · 𝑌))
88	4, 9, 7, 42	lmodvs1 20066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
89	35, 24, 88	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
90	89	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
91	87, 90	sylan9eqr 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) ∧ 𝑠 = (1r‘𝑆)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑌)
92	86, 91	mpdan 683	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑌)
93	39, 92	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
94	93	rexlimdv3a 3214	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
95	38, 94	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3880  {csn 4558   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581  ‘cfv 6418  ℩crio 7211  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  inv_rcinvr 19828  DivRingcdr 19906  LModclmod 20038  LSpanclspn 20148  LVecclvec 20279  LFnlclfn 36998  LKerclk 37026  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  DIsoHcdih 39169  ocHcoch 39288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-lfl 36999  df-lkr 37027  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336

This theorem is referenced by:  lcfl7N  39442  lcfrlem9  39491