Theorem lcfl7lem 42374

Description: Lemma for lcfl7N 42376. If two functionals 𝐺 and 𝐽 are equal, they are determined by the same vector. (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl7lem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl7lem.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl7lem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl7lem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl7lem.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfl7lem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfl7lem.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl7lem.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl7lem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfl7lem.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl7lem.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl7lem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl7lem.g	⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
lcfl7lem.j	⊢ 𝐽 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑌})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑌))))
lcfl7lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfl7lem.x2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfl7lem.gj	⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
lcfl7lem	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   ⊥ ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑤, 0   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘,𝑤   𝑣,𝑉   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑣)   𝑈(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐹(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐺(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐻(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐽(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐾(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐿(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝑉(𝑤, 𝑘)   𝑊(𝑤, 𝑣, 𝑘)   0 (𝑣, 𝑘)

Proof of Theorem lcfl7lem

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl7lem.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcfl7lem.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcfl7lem.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcfl7lem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lcfl7lem.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		lcfl7lem.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑈)
7		lcfl7lem.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
8		lcfl7lem.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
9		lcfl7lem.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
10		lcfl7lem.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
11		lcfl7lem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
12		lcfl7lem.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		lcfl7lem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dochsnkr2cl 42349	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
15	14	eldifad 3914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
16		lcfl7lem.gj	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐽)
17	16	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐽))
18		lcfl7lem.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑌})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑌))))
19		lcfl7lem.x2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 18, 12, 19	dochsnkr2 42348	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐽) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
21	17, 20	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
22	21	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑌})))
23		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
24	19	eldifad 3914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25	24	snssd 4750	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
26	1, 3, 2, 4, 23, 12, 25	dochocsp 42254	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌})) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
27	26	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑌})))
28		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
29	1, 3, 4, 23, 28	dihlsprn 42206	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
30	12, 24, 29	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
31	1, 28, 2	dochoc 42242	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
32	12, 30, 31	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
33	22, 27, 32	3eqtr2d 2803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
34	15, 33	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
35	1, 3, 12	dvhlmod 41985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
36	9, 10, 4, 7, 23	ellspsn 21191	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)))
37	35, 24, 36	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)))
38	34, 37	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌))
39		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑠 · 𝑌))
40		fveq2 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝑠 · 𝑌) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)))
41	40	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)))
42		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
43	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 42, 12, 19, 18	dochfl1 42351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑌) = (1r‘𝑆))
44	16	fveq1d 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (𝐽‘𝑌))
45	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 42, 12, 13, 11	dochfl1 42351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (1r‘𝑆))
46	43, 44, 45	3eqtr4rd 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
47	46	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑌))
48	35	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑈 ∈ LMod)
49		lcfl7lem.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
50	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 49, 9, 10, 11, 12, 13	dochflcl 42350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
51	50	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
52		simp2 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑠 ∈ 𝑅)
53	24	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
54		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
55	9, 10, 54, 4, 7, 49	lflmul 39943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)) = (𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌)))
56	48, 51, 52, 53, 55	syl112anc 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)) = (𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌)))
57	41, 47, 56	3eqtr3d 2805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑌) = (𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌)))
58	57	oveq1d 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = ((𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌))(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))))
59	9	lmodring 21056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
60	35, 59	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
61	60	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑆 ∈ Ring)
62	9, 10, 4, 49	lflcl 39939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅)
63	35, 50, 24, 62	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅)
64	63	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅)
65	1, 3, 12	dvhlvec 41984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
66	9	lvecdrng 21293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
67	65, 66	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
68	44, 43	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (1r‘𝑆))
69		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
70	69, 42	drngunz 20914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ DivRing → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
71	67, 70	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
72	68, 71	eqnetrd 3024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ≠ (0g‘𝑆))
73		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
74	10, 69, 73	drnginvrcl 20924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑌) ≠ (0g‘𝑆)) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)
75	67, 63, 72, 74	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)
76	75	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)
77	10, 54	ringass 20396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑠 ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅 ∧ ((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ 𝑅)) → ((𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌))(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (𝑠(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)))))
78	61, 52, 64, 76, 77	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝑠(.r‘𝑆)(𝐺‘𝑌))(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (𝑠(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)))))
79	10, 69, 54, 42, 73	drnginvrr 20928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺‘𝑌) ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (1r‘𝑆))
80	67, 63, 72, 79	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (1r‘𝑆))
81	80	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))) = (1r‘𝑆))
82	81	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r‘𝑆)((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌)))) = (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
83	58, 78, 82	3eqtrrd 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝐺‘𝑌)(.r‘𝑆)((invr‘𝑆)‘(𝐺‘𝑌))))
84	10, 54, 42	ringridm 20415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝑅) → (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = 𝑠)
85	61, 52, 84	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r‘𝑆)(1r‘𝑆)) = 𝑠)
86	83, 85, 81	3eqtr3d 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑠 = (1r‘𝑆))
87		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (1r‘𝑆) → (𝑠 · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · 𝑌))
88	4, 9, 7, 42	lmodvs1 21078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
89	35, 24, 88	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
90	89	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
91	87, 90	sylan9eqr 2819	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) ∧ 𝑠 = (1r‘𝑆)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑌)
92	86, 91	mpdan 700	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑌)
93	39, 92	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑅 ∧ 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
94	93	rexlimdv3a 3169	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
95	38, 94	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3899  {csn 4587   ↦ cmpt 5190  ran crn 5660  ‘cfv 6537  ℩crio 7372  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  ._rcmulr 17347  Scalarcsca 17349   ·_𝑠 cvsca 17350  0_gc0g 17528  1_rcur 20324  Ringcrg 20376  inv_rcinvr 20532  DivRingcdr 20894  LModclmod 21048  LSpanclspn 21159  LVecclvec 21290  LFnlclfn 39932  LKerclk 39960  HLchlt 40225  LHypclh 40859  DVecHcdvh 41953  DIsoHcdih 42103  ocHcoch 42222

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-riotaBAD 39828

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-0g 17530  df-proset 18386  df-poset 18405  df-plt 18420  df-lub 18436  df-glb 18437  df-join 18438  df-meet 18439  df-p0 18515  df-p1 18516  df-lat 18524  df-clat 18591  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-sbg 19066  df-subg 19250  df-cntz 19448  df-lsm 19767  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-oppr 20482  df-dvdsr 20502  df-unit 20503  df-invr 20533  df-dvr 20546  df-drng 20896  df-lmod 21050  df-lss 21120  df-lsp 21160  df-lvec 21291  df-lsatoms 39851  df-lshyp 39852  df-lfl 39933  df-lkr 39961  df-oposet 40051  df-ol 40053  df-oml 40054  df-covers 40141  df-ats 40142  df-atl 40173  df-cvlat 40197  df-hlat 40226  df-llines 40373  df-lplanes 40374  df-lvols 40375  df-lines 40376  df-psubsp 40378  df-pmap 40379  df-padd 40671  df-lhyp 40863  df-laut 40864  df-ldil 40979  df-ltrn 40980  df-trl 41034  df-tgrp 41618  df-tendo 41630  df-edring 41632  df-dveca 41878  df-disoa 41904  df-dvech 41954  df-dib 42014  df-dic 42048  df-dih 42104  df-doch 42223  df-djh 42270

This theorem is used by:  lcfl7N  42376  lcfrlem9  42425