Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl7lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfl7lem 38794
Description: Lemma for lcfl7N 38796. If two functionals 𝐺 and 𝐽 are equal, they are determined by the same vector. (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl7lem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl7lem.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl7lem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl7lem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl7lem.a + = (+g𝑈)
lcfl7lem.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfl7lem.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl7lem.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl7lem.z 0 = (0g𝑈)
lcfl7lem.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl7lem.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl7lem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfl7lem.g 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
lcfl7lem.j 𝐽 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑌})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑌))))
lcfl7lem.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfl7lem.x2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfl7lem.gj (𝜑𝐺 = 𝐽)
Assertion
Ref Expression
lcfl7lem (𝜑𝑋 = 𝑌)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑤, 0   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘,𝑤   𝑣,𝑉   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑣)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐽(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfl7lem
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfl7lem.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfl7lem.o . . . . . 6 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfl7lem.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfl7lem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcfl7lem.z . . . . . 6 0 = (0g𝑈)
6 lcfl7lem.a . . . . . 6 + = (+g𝑈)
7 lcfl7lem.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑈)
8 lcfl7lem.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
9 lcfl7lem.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
10 lcfl7lem.r . . . . . 6 𝑅 = (Base‘𝑆)
11 lcfl7lem.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
12 lcfl7lem.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 lcfl7lem.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dochsnkr2cl 38769 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
1514eldifad 3896 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))
16 lcfl7lem.gj . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 = 𝐽)
1716fveq2d 6653 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝐺) = (𝐿𝐽))
18 lcfl7lem.j . . . . . . . 8 𝐽 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑌})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑌))))
19 lcfl7lem.x2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 18, 12, 19dochsnkr2 38768 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝐽) = ( ‘{𝑌}))
2117, 20eqtrd 2836 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
2221fveq2d 6653 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) = ( ‘( ‘{𝑌})))
23 eqid 2801 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
2419eldifad 3896 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
2524snssd 4705 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
261, 3, 2, 4, 23, 12, 25dochocsp 38674 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌})) = ( ‘{𝑌}))
2726fveq2d 6653 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ( ‘( ‘{𝑌})))
28 eqid 2801 . . . . . . . 8 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
291, 3, 4, 23, 28dihlsprn 38626 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
3012, 24, 29syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
311, 28, 2dochoc 38662 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
3212, 30, 31syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
3322, 27, 323eqtr2d 2842 . . . 4 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
3415, 33eleqtrd 2895 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}))
351, 3, 12dvhlmod 38405 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
369, 10, 4, 7, 23lspsnel 19772 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ↔ ∃𝑠𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)))
3735, 24, 36syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ↔ ∃𝑠𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌)))
3834, 37mpbid 235 . 2 (𝜑 → ∃𝑠𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌))
39 simp3 1135 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑠 · 𝑌))
40 fveq2 6649 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (𝑠 · 𝑌) → (𝐺𝑋) = (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)))
41403ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺𝑋) = (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)))
42 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑆) = (1r𝑆)
431, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 42, 12, 19, 18dochfl1 38771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽𝑌) = (1r𝑆))
4416fveq1d 6651 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝑌) = (𝐽𝑌))
451, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 9, 10, 42, 12, 13, 11dochfl1 38771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝑋) = (1r𝑆))
4643, 44, 453eqtr4rd 2847 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑋) = (𝐺𝑌))
47463ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺𝑋) = (𝐺𝑌))
48353ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑈 ∈ LMod)
49 lcfl7lem.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
501, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 49, 9, 10, 11, 12, 13dochflcl 38770 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺𝐹)
51503ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝐺𝐹)
52 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑠𝑅)
53243ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑌𝑉)
54 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑆) = (.r𝑆)
559, 10, 54, 4, 7, 49lflmul 36363 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑠𝑅𝑌𝑉)) → (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)) = (𝑠(.r𝑆)(𝐺𝑌)))
5648, 51, 52, 53, 55syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺‘(𝑠 · 𝑌)) = (𝑠(.r𝑆)(𝐺𝑌)))
5741, 47, 563eqtr3d 2844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺𝑌) = (𝑠(.r𝑆)(𝐺𝑌)))
5857oveq1d 7154 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝐺𝑌)(.r𝑆)((invr𝑆)‘(𝐺𝑌))) = ((𝑠(.r𝑆)(𝐺𝑌))(.r𝑆)((invr𝑆)‘(𝐺𝑌))))
599lmodring 19639 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
6035, 59syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
61603ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑆 ∈ Ring)
629, 10, 4, 49lflcl 36359 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑌𝑉) → (𝐺𝑌) ∈ 𝑅)
6335, 50, 24, 62syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺𝑌) ∈ 𝑅)
64633ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝐺𝑌) ∈ 𝑅)
651, 3, 12dvhlvec 38404 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
669lvecdrng 19874 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ DivRing)
6844, 43eqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝑌) = (1r𝑆))
69 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑆) = (0g𝑆)
7069, 42drngunz 19514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ DivRing → (1r𝑆) ≠ (0g𝑆))
7167, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1r𝑆) ≠ (0g𝑆))
7268, 71eqnetrd 3057 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑌) ≠ (0g𝑆))
73 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (invr𝑆) = (invr𝑆)
7410, 69, 73drnginvrcl 19516 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑌) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺𝑌) ≠ (0g𝑆)) → ((invr𝑆)‘(𝐺𝑌)) ∈ 𝑅)
7567, 63, 72, 74syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((invr𝑆)‘(𝐺𝑌)) ∈ 𝑅)
76753ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((invr𝑆)‘(𝐺𝑌)) ∈ 𝑅)
7710, 54ringass 19314 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑠𝑅 ∧ (𝐺𝑌) ∈ 𝑅 ∧ ((invr𝑆)‘(𝐺𝑌)) ∈ 𝑅)) → ((𝑠(.r𝑆)(𝐺𝑌))(.r𝑆)((invr𝑆)‘(𝐺𝑌))) = (𝑠(.r𝑆)((𝐺𝑌)(.r𝑆)((invr𝑆)‘(𝐺𝑌)))))
7861, 52, 64, 76, 77syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝑠(.r𝑆)(𝐺𝑌))(.r𝑆)((invr𝑆)‘(𝐺𝑌))) = (𝑠(.r𝑆)((𝐺𝑌)(.r𝑆)((invr𝑆)‘(𝐺𝑌)))))
7910, 69, 54, 42, 73drnginvrr 19519 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑌) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺𝑌) ≠ (0g𝑆)) → ((𝐺𝑌)(.r𝑆)((invr𝑆)‘(𝐺𝑌))) = (1r𝑆))
8067, 63, 72, 79syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺𝑌)(.r𝑆)((invr𝑆)‘(𝐺𝑌))) = (1r𝑆))
81803ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((𝐺𝑌)(.r𝑆)((invr𝑆)‘(𝐺𝑌))) = (1r𝑆))
8281oveq2d 7155 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r𝑆)((𝐺𝑌)(.r𝑆)((invr𝑆)‘(𝐺𝑌)))) = (𝑠(.r𝑆)(1r𝑆)))
8358, 78, 823eqtrrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r𝑆)(1r𝑆)) = ((𝐺𝑌)(.r𝑆)((invr𝑆)‘(𝐺𝑌))))
8410, 54, 42ringridm 19322 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑠𝑅) → (𝑠(.r𝑆)(1r𝑆)) = 𝑠)
8561, 52, 84syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠(.r𝑆)(1r𝑆)) = 𝑠)
8683, 85, 813eqtr3d 2844 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑠 = (1r𝑆))
87 oveq1 7146 . . . . . 6 (𝑠 = (1r𝑆) → (𝑠 · 𝑌) = ((1r𝑆) · 𝑌))
884, 9, 7, 42lmodvs1 19659 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → ((1r𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
8935, 24, 88syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1r𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
90893ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → ((1r𝑆) · 𝑌) = 𝑌)
9187, 90sylan9eqr 2858 . . . . 5 (((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) ∧ 𝑠 = (1r𝑆)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑌)
9286, 91mpdan 686 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑌)
9339, 92eqtrd 2836 . . 3 ((𝜑𝑠𝑅𝑋 = (𝑠 · 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
9493rexlimdv3a 3248 . 2 (𝜑 → (∃𝑠𝑅 𝑋 = (𝑠 · 𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
9538, 94mpd 15 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wrex 3110  cdif 3881  {csn 4528  cmpt 5113  ran crn 5524  cfv 6328  crio 7096  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  +gcplusg 16561  .rcmulr 16562  Scalarcsca 16564   ·𝑠 cvsca 16565  0gc0g 16709  1rcur 19248  Ringcrg 19294  invrcinvr 19421  DivRingcdr 19499  LModclmod 19631  LSpanclspn 19740  LVecclvec 19871  LFnlclfn 36352  LKerclk 36380  HLchlt 36645  LHypclh 37279  DVecHcdvh 38373  DIsoHcdih 38523  ocHcoch 38642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-riotaBAD 36248
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-0g 16711  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-lsm 18757  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-drng 19501  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-lvec 19872  df-lsatoms 36271  df-lshyp 36272  df-lfl 36353  df-lkr 36381  df-oposet 36471  df-ol 36473  df-oml 36474  df-covers 36561  df-ats 36562  df-atl 36593  df-cvlat 36617  df-hlat 36646  df-llines 36793  df-lplanes 36794  df-lvols 36795  df-lines 36796  df-psubsp 36798  df-pmap 36799  df-padd 37091  df-lhyp 37283  df-laut 37284  df-ldil 37399  df-ltrn 37400  df-trl 37454  df-tgrp 38038  df-tendo 38050  df-edring 38052  df-dveca 38298  df-disoa 38324  df-dvech 38374  df-dib 38434  df-dic 38468  df-dih 38524  df-doch 38643  df-djh 38690
This theorem is referenced by:  lcfl7N  38796  lcfrlem9  38845
  Copyright terms: Public domain W3C validator