Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2o 38649
Description: Lemma for lclkr 38661. When 𝐵 is nonzero, the vectors 𝑋 and 𝑌 can't both belong to the hyperplane generated by 𝐵. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t · = ( ·𝑠𝑈)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q × = (.r𝑆)
lclkrlem2m.z 0 = (0g𝑆)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invr𝑆)
lclkrlem2m.m = (-g𝑈)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2m.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2m.y (𝜑𝑌𝑉)
lclkrlem2m.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2m.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrlem2o.b 𝐵 = (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2o.n (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
lclkrlem2o.bn (𝜑𝐵 ≠ (0g𝑈))
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2o (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})))

Proof of Theorem lclkrlem2o
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2o.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lclkrlem2o.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lclkrlem2o.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lclkrlem2m.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 eqid 2819 . . . 4 (0g𝑈) = (0g𝑈)
6 lclkrlem2o.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 lclkrlem2m.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑈)
8 lclkrlem2m.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
9 lclkrlem2m.q . . . . . . 7 × = (.r𝑆)
10 lclkrlem2m.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑆)
11 lclkrlem2m.i . . . . . . 7 𝐼 = (invr𝑆)
12 lclkrlem2m.m . . . . . . 7 = (-g𝑈)
13 lclkrlem2m.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
14 lclkrlem2m.d . . . . . . 7 𝐷 = (LDual‘𝑈)
15 lclkrlem2m.p . . . . . . 7 + = (+g𝐷)
16 lclkrlem2m.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
17 lclkrlem2m.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
18 lclkrlem2m.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸𝐹)
19 lclkrlem2m.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐹)
201, 3, 6dvhlvec 38237 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
21 lclkrlem2o.b . . . . . . 7 𝐵 = (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
22 lclkrlem2o.n . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
234, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22lclkrlem2m 38647 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))
2423simpld 497 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
25 lclkrlem2o.bn . . . . 5 (𝜑𝐵 ≠ (0g𝑈))
26 eldifsn 4711 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}) ↔ (𝐵𝑉𝐵 ≠ (0g𝑈)))
2724, 25, 26sylanbrc 585 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 27dochnel 38521 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ( ‘{𝐵}))
291, 3, 6dvhlmod 38238 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3029adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵}))) → 𝑈 ∈ LMod)
3124snssd 4734 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐵} ⊆ 𝑉)
32 eqid 2819 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
331, 3, 4, 32, 2dochlss 38482 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝐵} ⊆ 𝑉) → ( ‘{𝐵}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
346, 31, 33syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘{𝐵}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3534adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵}))) → ( ‘{𝐵}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
36 simprl 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵}))) → 𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}))
378lmodring 19634 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
3829, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
3913, 14, 15, 29, 18, 19ldualvaddcl 36258 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
40 eqid 2819 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
418, 40, 4, 13lflcl 36192 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹𝑋𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
4229, 39, 16, 41syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
438lvecdrng 19869 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
4420, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ DivRing)
458, 40, 4, 13lflcl 36192 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹𝑌𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
4629, 39, 17, 45syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
4740, 10, 11drnginvrcl 19511 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 ) → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
4844, 46, 22, 47syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
4940, 9ringcl 19303 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
5038, 42, 48, 49syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
5150adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵}))) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
52 simprr 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵}))) → 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵}))
538, 7, 40, 32lssvscl 19719 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘{𝐵}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵}))) → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ ( ‘{𝐵}))
5430, 35, 51, 52, 53syl22anc 836 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵}))) → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ ( ‘{𝐵}))
5512, 32lssvsubcl 19707 . . . . 5 (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘{𝐵}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ ( ‘{𝐵}))) → (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ∈ ( ‘{𝐵}))
5630, 35, 36, 54, 55syl22anc 836 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵}))) → (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ∈ ( ‘{𝐵}))
5721, 56eqeltrid 2915 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵}))) → 𝐵 ∈ ( ‘{𝐵}))
5828, 57mtand 814 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})))
59 ianor 978 . 2 (¬ (𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})) ↔ (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})))
6058, 59sylib 220 1 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  wo 843   = wceq 1531  wcel 2108  wne 3014  cdif 3931  wss 3934  {csn 4559  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  0gc0g 16705  -gcsg 18097  LSSumclsm 18751  Ringcrg 19289  invrcinvr 19413  DivRingcdr 19494  LModclmod 19626  LSubSpclss 19695  LSpanclspn 19735  LVecclvec 19866  LFnlclfn 36185  LKerclk 36213  LDualcld 36251  HLchlt 36478  LHypclh 37112  DVecHcdvh 38206  ocHcoch 38475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36081
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867  df-lsatoms 36104  df-lfl 36186  df-ldual 36252  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-llines 36626  df-lplanes 36627  df-lvols 36628  df-lines 36629  df-psubsp 36631  df-pmap 36632  df-padd 36924  df-lhyp 37116  df-laut 37117  df-ldil 37232  df-ltrn 37233  df-trl 37287  df-tendo 37883  df-edring 37885  df-disoa 38157  df-dvech 38207  df-dib 38267  df-dic 38301  df-dih 38357  df-doch 38476
This theorem is referenced by:  lclkrlem2q  38651
  Copyright terms: Public domain W3C validator