Theorem lcfrlem3 42569

Description: Lemma for lcfr 42610. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem1.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lcfrlem1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lcfrlem1.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lcfrlem1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem1.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lcfrlem1.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
lcfrlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lcfrlem1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lcfrlem1.n	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
lcfrlem1.h	⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
lcfrlem2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐿‘𝐻))

Proof of Theorem lcfrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		lcfrlem1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
3		lcfrlem1.q	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
4		lcfrlem1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
5		lcfrlem1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
6		lcfrlem1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lcfrlem1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8		lcfrlem1.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
9		lcfrlem1.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐷)
10		lcfrlem1.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
11		lcfrlem1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
12		lcfrlem1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13		lcfrlem1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		lcfrlem1.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
15		lcfrlem1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lcfrlem1 42567	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) = 0 )
17		lcfrlem2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
18		lveclmod 21361	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
19	10, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
20		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
21	2	lmodring 21123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
22	19, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
23	2	lvecdrng 21360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
24	10, 23	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
25	2, 20, 1, 6	lflcl 40089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
26	10, 12, 13, 25	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
27	20, 4, 5	drnginvrcl 20991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
28	24, 26, 14, 27	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
29	2, 20, 1, 6	lflcl 40089	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐸 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
30	10, 11, 13, 29	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
31	20, 3	ringcl 20457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
32	22, 28, 30, 31	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
33	6, 2, 20, 7, 8, 19, 32, 12	ldualvscl 40164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺) ∈ 𝐹)
34	6, 7, 9, 19, 11, 33	ldualvsubcl 40181	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) ∈ 𝐹)
35	15, 34	eqeltrid 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
36	1, 2, 4, 6, 17, 10, 35, 13	ellkr2 40116	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿‘𝐻) ↔ (𝐻‘𝑋) = 0 ))
37	16, 36	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐿‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409  Scalarcsca 17411   ·_𝑠 cvsca 17412  0_gc0g 17590  -_gcsg 19126  Ringcrg 20439  inv_rcinvr 20597  DivRingcdr 20960  LModclmod 21115  LVecclvec 21357  LFnlclfn 40082  LKerclk 40110  LDualcld 40148

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-drng 20962  df-lmod 21117  df-lvec 21358  df-lfl 40083  df-lkr 40111  df-ldual 40149

This theorem is used by:  lcfrlem35  42602