Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem3 41049
Description: Lemma for lcfr 41090. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem1.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem1.q × = (.r𝑆)
lcfrlem1.z 0 = (0g𝑆)
lcfrlem1.i 𝐼 = (invr𝑆)
lcfrlem1.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem1.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem1.t · = ( ·𝑠𝐷)
lcfrlem1.m = (-g𝐷)
lcfrlem1.u (𝜑𝑈 ∈ LVec)
lcfrlem1.e (𝜑𝐸𝐹)
lcfrlem1.g (𝜑𝐺𝐹)
lcfrlem1.x (𝜑𝑋𝑉)
lcfrlem1.n (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
lcfrlem1.h 𝐻 = (𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))
lcfrlem2.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
lcfrlem3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐿𝐻))

Proof of Theorem lcfrlem3
StepHypRef Expression
1 lcfrlem1.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
2 lcfrlem1.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
3 lcfrlem1.q . . 3 × = (.r𝑆)
4 lcfrlem1.z . . 3 0 = (0g𝑆)
5 lcfrlem1.i . . 3 𝐼 = (invr𝑆)
6 lcfrlem1.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7 lcfrlem1.d . . 3 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8 lcfrlem1.t . . 3 · = ( ·𝑠𝐷)
9 lcfrlem1.m . . 3 = (-g𝐷)
10 lcfrlem1.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
11 lcfrlem1.e . . 3 (𝜑𝐸𝐹)
12 lcfrlem1.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
13 lcfrlem1.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
14 lcfrlem1.n . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
15 lcfrlem1.h . . 3 𝐻 = (𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15lcfrlem1 41047 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑋) = 0 )
17 lcfrlem2.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
18 lveclmod 20998 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
1910, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
20 eqid 2728 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
212lmodring 20758 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
232lvecdrng 20997 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
2410, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ DivRing)
252, 20, 1, 6lflcl 38568 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
2610, 12, 13, 25syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
2720, 4, 5drnginvrcl 20653 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
2824, 26, 14, 27syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
292, 20, 1, 6lflcl 38568 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐸𝐹𝑋𝑉) → (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
3010, 11, 13, 29syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
3120, 3ringcl 20197 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
3222, 28, 30, 31syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
336, 2, 20, 7, 8, 19, 32, 12ldualvscl 38643 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺) ∈ 𝐹)
346, 7, 9, 19, 11, 33ldualvsubcl 38660 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)) ∈ 𝐹)
3515, 34eqeltrid 2833 . . 3 (𝜑𝐻𝐹)
361, 2, 4, 6, 17, 10, 35, 13ellkr2 38595 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿𝐻) ↔ (𝐻𝑋) = 0 ))
3716, 36mpbird 256 1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐿𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  .rcmulr 17241  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244  0gc0g 17428  -gcsg 18899  Ringcrg 20180  invrcinvr 20333  DivRingcdr 20631  LModclmod 20750  LVecclvec 20994  LFnlclfn 38561  LKerclk 38589  LDualcld 38627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lvec 20995  df-lfl 38562  df-lkr 38590  df-ldual 38628
This theorem is referenced by:  lcfrlem35  41082
  Copyright terms: Public domain W3C validator