Theorem lcfrlem3 41582

Description: Lemma for lcfr 41623. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem1.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lcfrlem1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lcfrlem1.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lcfrlem1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem1.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lcfrlem1.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
lcfrlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lcfrlem1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lcfrlem1.n	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
lcfrlem1.h	⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
lcfrlem2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐿‘𝐻))

Proof of Theorem lcfrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		lcfrlem1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
3		lcfrlem1.q	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
4		lcfrlem1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
5		lcfrlem1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
6		lcfrlem1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lcfrlem1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8		lcfrlem1.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
9		lcfrlem1.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐷)
10		lcfrlem1.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
11		lcfrlem1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
12		lcfrlem1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13		lcfrlem1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		lcfrlem1.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
15		lcfrlem1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lcfrlem1 41580	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) = 0 )
17		lcfrlem2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
18		lveclmod 21038	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
19	10, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
20		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
21	2	lmodring 20799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
23	2	lvecdrng 21037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
24	10, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
25	2, 20, 1, 6	lflcl 39102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
26	10, 12, 13, 25	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
27	20, 4, 5	drnginvrcl 20666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
28	24, 26, 14, 27	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
29	2, 20, 1, 6	lflcl 39102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐸 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
30	10, 11, 13, 29	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
31	20, 3	ringcl 20166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
32	22, 28, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
33	6, 2, 20, 7, 8, 19, 32, 12	ldualvscl 39177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺) ∈ 𝐹)
34	6, 7, 9, 19, 11, 33	ldualvsubcl 39194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) ∈ 𝐹)
35	15, 34	eqeltrid 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
36	1, 2, 4, 6, 17, 10, 35, 13	ellkr2 39129	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿‘𝐻) ↔ (𝐻‘𝑋) = 0 ))
37	16, 36	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐿‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  ._rcmulr 17159  Scalarcsca 17161   ·_𝑠 cvsca 17162  0_gc0g 17340  -_gcsg 18845  Ringcrg 20149  inv_rcinvr 20303  DivRingcdr 20642  LModclmod 20791  LVecclvec 21034  LFnlclfn 39095  LKerclk 39123  LDualcld 39161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-drng 20644  df-lmod 20793  df-lvec 21035  df-lfl 39096  df-lkr 39124  df-ldual 39162

This theorem is referenced by:  lcfrlem35  41615