Theorem lcfrlem3 42804

Description: Lemma for lcfr 42845. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem1.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lcfrlem1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lcfrlem1.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lcfrlem1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem1.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lcfrlem1.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
lcfrlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lcfrlem1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lcfrlem1.n	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
lcfrlem1.h	⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
lcfrlem2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐿‘𝐻))

Proof of Theorem lcfrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		lcfrlem1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
3		lcfrlem1.q	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
4		lcfrlem1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
5		lcfrlem1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
6		lcfrlem1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lcfrlem1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8		lcfrlem1.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
9		lcfrlem1.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐷)
10		lcfrlem1.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
11		lcfrlem1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
12		lcfrlem1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13		lcfrlem1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		lcfrlem1.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
15		lcfrlem1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lcfrlem1 42802	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) = 0 )
17		lcfrlem2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
18		lveclmod 21414	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
19	10, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
20		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
21	2	lmodring 21176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
22	19, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
23	2	lvecdrng 21413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
24	10, 23	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
25	2, 20, 1, 6	lflcl 40324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
26	10, 12, 13, 25	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
27	20, 4, 5	drnginvrcl 21044	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
28	24, 26, 14, 27	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
29	2, 20, 1, 6	lflcl 40324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐸 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
30	10, 11, 13, 29	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
31	20, 3	ringcl 20510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
32	22, 28, 30, 31	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
33	6, 2, 20, 7, 8, 19, 32, 12	ldualvscl 40399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺) ∈ 𝐹)
34	6, 7, 9, 19, 11, 33	ldualvsubcl 40416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) ∈ 𝐹)
35	15, 34	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
36	1, 2, 4, 6, 17, 10, 35, 13	ellkr2 40351	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿‘𝐻) ↔ (𝐻‘𝑋) = 0 ))
37	16, 36	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐿‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  ._rcmulr 17461  Scalarcsca 17463   ·_𝑠 cvsca 17464  0_gc0g 17642  -_gcsg 19178  Ringcrg 20492  inv_rcinvr 20650  DivRingcdr 21013  LModclmod 21168  LVecclvec 21410  LFnlclfn 40317  LKerclk 40345  LDualcld 40383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-drng 21015  df-lmod 21170  df-lvec 21411  df-lfl 40318  df-lkr 40346  df-ldual 40384

This theorem is used by:  lcfrlem35  42837