Theorem lcfrlem3 42296

Description: Lemma for lcfr 42337. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem1.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lcfrlem1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lcfrlem1.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lcfrlem1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem1.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lcfrlem1.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
lcfrlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
lcfrlem1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lcfrlem1.n	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
lcfrlem1.h	⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
lcfrlem2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐿‘𝐻))

Proof of Theorem lcfrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		lcfrlem1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
3		lcfrlem1.q	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
4		lcfrlem1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
5		lcfrlem1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
6		lcfrlem1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lcfrlem1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8		lcfrlem1.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
9		lcfrlem1.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐷)
10		lcfrlem1.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
11		lcfrlem1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
12		lcfrlem1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13		lcfrlem1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		lcfrlem1.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
15		lcfrlem1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lcfrlem1 42294	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) = 0 )
17		lcfrlem2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
18		lveclmod 21208	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
19	10, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
20		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
21	2	lmodring 20970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
22	19, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
23	2	lvecdrng 21207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
24	10, 23	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ DivRing)
25	2, 20, 1, 6	lflcl 39816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
26	10, 12, 13, 25	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
27	20, 4, 5	drnginvrcl 20839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
28	24, 26, 14, 27	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
29	2, 20, 1, 6	lflcl 39816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐸 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
30	10, 11, 13, 29	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
31	20, 3	ringcl 20333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
32	22, 28, 30, 31	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
33	6, 2, 20, 7, 8, 19, 32, 12	ldualvscl 39891	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺) ∈ 𝐹)
34	6, 7, 9, 19, 11, 33	ldualvsubcl 39908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − (((𝐼‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐸‘𝑋)) · 𝐺)) ∈ 𝐹)
35	15, 34	eqeltrid 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
36	1, 2, 4, 6, 17, 10, 35, 13	ellkr2 39843	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿‘𝐻) ↔ (𝐻‘𝑋) = 0 ))
37	16, 36	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐿‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17493  -_gcsg 19003  Ringcrg 20316  inv_rcinvr 20470  DivRingcdr 20814  LModclmod 20962  LVecclvec 21204  LFnlclfn 39809  LKerclk 39837  LDualcld 39875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lvec 21205  df-lfl 39810  df-lkr 39838  df-ldual 39876

This theorem is referenced by:  lcfrlem35  42329