Theorem lfladd 40263

Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 32657 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladd.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfladd.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
lfladd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfladd.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lfladd.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfladd	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋) ⨣ (𝐺‘𝑌)))

Proof of Theorem lfladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		lfladd.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
6	3, 4, 5	lmod1cl 21176	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
7	6	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
8		simp3l 1220	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		simp3r 1221	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
10		lfladd.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lfladd.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
12		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		lfladd.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
14		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
15		lfladd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
16	10, 11, 3, 12, 4, 13, 14, 15	lfli 40258	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ((1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) ⨣ (𝐺‘𝑌)))
17	1, 2, 7, 8, 9, 16	syl113anc 1409	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) ⨣ (𝐺‘𝑌)))
18	10, 3, 12, 5	lmodvs1 21177	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
19	1, 8, 18	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
20	19	fvoveq1d 7449	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)))
21	3	lmodring 21155	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
22	21	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
23	3, 4, 10, 15	lflcl 40261	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
24	23	3adant3r 1200	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
25	4, 14, 5	ringlidm 20510	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷)) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (𝐺‘𝑋))
26	22, 24, 25	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (𝐺‘𝑋))
27	26	oveq1d 7442	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) ⨣ (𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑋) ⨣ (𝐺‘𝑌)))
28	17, 20, 27	3eqtr3d 2806	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋) ⨣ (𝐺‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399  +_gcplusg 17440  ._rcmulr 17441  Scalarcsca 17443   ·_𝑠 cvsca 17444  1_rcur 20419  Ringcrg 20471  LModclmod 21147  LFnlclfn 40254

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-plusg 17453  df-0g 17624  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mgp 20373  df-ur 20420  df-ring 20473  df-lmod 21149  df-lfl 40255

This theorem is used by:  lfladdcl  40268  hdmaplna1  43104