Theorem lfladd 40123

Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 32645 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladd.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfladd.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
lfladd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfladd.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lfladd.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfladd	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋) ⨣ (𝐺‘𝑌)))

Proof of Theorem lfladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		lfladd.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
6	3, 4, 5	lmod1cl 21164	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
7	6	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
8		simp3l 1220	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		simp3r 1221	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
10		lfladd.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lfladd.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
12		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		lfladd.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
14		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
15		lfladd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
16	10, 11, 3, 12, 4, 13, 14, 15	lfli 40118	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ((1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) ⨣ (𝐺‘𝑌)))
17	1, 2, 7, 8, 9, 16	syl113anc 1409	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) ⨣ (𝐺‘𝑌)))
18	10, 3, 12, 5	lmodvs1 21165	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
19	1, 8, 18	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
20	19	fvoveq1d 7442	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)))
21	3	lmodring 21143	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
22	21	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
23	3, 4, 10, 15	lflcl 40121	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
24	23	3adant3r 1200	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
25	4, 14, 5	ringlidm 20498	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷)) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (𝐺‘𝑋))
26	22, 24, 25	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (𝐺‘𝑋))
27	26	oveq1d 7435	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) ⨣ (𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑋) ⨣ (𝐺‘𝑌)))
28	17, 20, 27	3eqtr3d 2804	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋) ⨣ (𝐺‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  LModclmod 21135  LFnlclfn 40114

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-lmod 21137  df-lfl 40115

This theorem is used by:  lfladdcl  40128  hdmaplna1  42964