Theorem lfladd 39512

Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 32114 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladd.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfladd.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
lfladd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfladd.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lfladd.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfladd	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋) ⨣ (𝐺‘𝑌)))

Proof of Theorem lfladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		lfladd.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
6	3, 4, 5	lmod1cl 20884	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
7	6	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
8		simp3l 1203	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		simp3r 1204	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
10		lfladd.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lfladd.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		lfladd.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
14		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
15		lfladd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
16	10, 11, 3, 12, 4, 13, 14, 15	lfli 39507	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ((1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) ⨣ (𝐺‘𝑌)))
17	1, 2, 7, 8, 9, 16	syl113anc 1385	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) ⨣ (𝐺‘𝑌)))
18	10, 3, 12, 5	lmodvs1 20885	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
19	1, 8, 18	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
20	19	fvoveq1d 7389	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)))
21	3	lmodring 20863	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
22	21	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
23	3, 4, 10, 15	lflcl 39510	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
24	23	3adant3r 1183	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
25	4, 14, 5	ringlidm 20250	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷)) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (𝐺‘𝑋))
26	22, 24, 25	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (𝐺‘𝑋))
27	26	oveq1d 7382	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) ⨣ (𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑋) ⨣ (𝐺‘𝑌)))
28	17, 20, 27	3eqtr3d 2779	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋) ⨣ (𝐺‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  LModclmod 20855  LFnlclfn 39503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lfl 39504

This theorem is referenced by:  lfladdcl  39517  hdmaplna1  42353