Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lfladd 38538
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 31866 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladd.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfladd.p ⨣ = (+gβ€˜π·)
lfladd.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lfladd.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lfladd.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lfladd ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋 + π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹) ⨣ (πΊβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem lfladd
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 simp2 1135 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
3 lfladd.d . . . . 5 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
5 eqid 2728 . . . . 5 (1rβ€˜π·) = (1rβ€˜π·)
63, 4, 5lmod1cl 20772 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·))
763ad2ant1 1131 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·))
8 simp3l 1199 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
9 simp3r 1200 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
10 lfladd.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 lfladd.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
12 eqid 2728 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
13 lfladd.p . . . 4 ⨣ = (+gβ€˜π·)
14 eqid 2728 . . . 4 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
15 lfladd.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
1610, 11, 3, 12, 4, 13, 14, 15lfli 38533 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ((1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) + π‘Œ)) = (((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) ⨣ (πΊβ€˜π‘Œ)))
171, 2, 7, 8, 9, 16syl113anc 1380 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) + π‘Œ)) = (((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) ⨣ (πΊβ€˜π‘Œ)))
1810, 3, 12, 5lmodvs1 20773 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 𝑋)
191, 8, 18syl2anc 583 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 𝑋)
2019fvoveq1d 7442 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) + π‘Œ)) = (πΊβ€˜(𝑋 + π‘Œ)))
213lmodring 20751 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
22213ad2ant1 1131 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
233, 4, 10, 15lflcl 38536 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))
24233adant3r 1179 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))
254, 14, 5ringlidm 20205 . . . 4 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = (πΊβ€˜π‘‹))
2622, 24, 25syl2anc 583 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = (πΊβ€˜π‘‹))
2726oveq1d 7435 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) ⨣ (πΊβ€˜π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹) ⨣ (πΊβ€˜π‘Œ)))
2817, 20, 273eqtr3d 2776 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋 + π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹) ⨣ (πΊβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  .rcmulr 17234  Scalarcsca 17236   ·𝑠 cvsca 17237  1rcur 20121  Ringcrg 20173  LModclmod 20743  LFnlclfn 38529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-lmod 20745  df-lfl 38530
This theorem is referenced by:  lfladdcl  38543  hdmaplna1  41380
  Copyright terms: Public domain W3C validator