Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfladd 36069
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 29734 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladd.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfladd.p = (+g𝐷)
lfladd.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfladd.a + = (+g𝑊)
lfladd.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lfladd ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋) (𝐺𝑌)))

Proof of Theorem lfladd
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2 simp2 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐺𝐹)
3 lfladd.d . . . . 5 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2825 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5 eqid 2825 . . . . 5 (1r𝐷) = (1r𝐷)
63, 4, 5lmod1cl 19583 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
763ad2ant1 1127 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
8 simp3l 1195 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑋𝑉)
9 simp3r 1196 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑌𝑉)
10 lfladd.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 lfladd.a . . . 4 + = (+g𝑊)
12 eqid 2825 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
13 lfladd.p . . . 4 = (+g𝐷)
14 eqid 2825 . . . 4 (.r𝐷) = (.r𝐷)
15 lfladd.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
1610, 11, 3, 12, 4, 13, 14, 15lfli 36064 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ ((1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑋)) (𝐺𝑌)))
171, 2, 7, 8, 9, 16syl113anc 1376 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑋)) (𝐺𝑌)))
1810, 3, 12, 5lmodvs1 19584 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑋) = 𝑋)
191, 8, 18syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑋) = 𝑋)
2019fvoveq1d 7173 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)))
213lmodring 19564 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
22213ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
233, 4, 10, 15lflcl 36067 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
24233adant3r 1175 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
254, 14, 5ringlidm 19243 . . . 4 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷)) → ((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = (𝐺𝑋))
2622, 24, 25syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = (𝐺𝑋))
2726oveq1d 7166 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑋)) (𝐺𝑌)) = ((𝐺𝑋) (𝐺𝑌)))
2817, 20, 273eqtr3d 2868 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋) (𝐺𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6351  (class class class)co 7151  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  1rcur 19173  Ringcrg 19219  LModclmod 19556  LFnlclfn 36060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-lmod 19558  df-lfl 36061
This theorem is referenced by:  lfladdcl  36074  hdmaplna1  38910
  Copyright terms: Public domain W3C validator