Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lfladd 38447
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 31801 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladd.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfladd.p ⨣ = (+gβ€˜π·)
lfladd.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lfladd.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lfladd.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lfladd ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋 + π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹) ⨣ (πΊβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem lfladd
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 simp2 1134 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
3 lfladd.d . . . . 5 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
5 eqid 2726 . . . . 5 (1rβ€˜π·) = (1rβ€˜π·)
63, 4, 5lmod1cl 20733 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·))
763ad2ant1 1130 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·))
8 simp3l 1198 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
9 simp3r 1199 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
10 lfladd.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 lfladd.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
12 eqid 2726 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
13 lfladd.p . . . 4 ⨣ = (+gβ€˜π·)
14 eqid 2726 . . . 4 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
15 lfladd.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
1610, 11, 3, 12, 4, 13, 14, 15lfli 38442 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ((1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) + π‘Œ)) = (((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) ⨣ (πΊβ€˜π‘Œ)))
171, 2, 7, 8, 9, 16syl113anc 1379 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) + π‘Œ)) = (((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) ⨣ (πΊβ€˜π‘Œ)))
1810, 3, 12, 5lmodvs1 20734 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 𝑋)
191, 8, 18syl2anc 583 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 𝑋)
2019fvoveq1d 7426 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) + π‘Œ)) = (πΊβ€˜(𝑋 + π‘Œ)))
213lmodring 20712 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
22213ad2ant1 1130 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
233, 4, 10, 15lflcl 38445 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))
24233adant3r 1178 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))
254, 14, 5ringlidm 20166 . . . 4 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = (πΊβ€˜π‘‹))
2622, 24, 25syl2anc 583 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = (πΊβ€˜π‘‹))
2726oveq1d 7419 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) ⨣ (πΊβ€˜π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹) ⨣ (πΊβ€˜π‘Œ)))
2817, 20, 273eqtr3d 2774 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋 + π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹) ⨣ (πΊβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  1rcur 20084  Ringcrg 20136  LModclmod 20704  LFnlclfn 38438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20706  df-lfl 38439
This theorem is referenced by:  lfladdcl  38452  hdmaplna1  41289
  Copyright terms: Public domain W3C validator