Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linccl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem linccl 47085
Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linccl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
linccl.r 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
linccl ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑆( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝐡)
Proof of Theorem linccl
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 linccl.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
32oveq1i 7418 . . . . . . 7 (𝑅 ↑m 𝑉) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)
43eleq2i 2825 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
54biimpi 215 . . . . 5 (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
653ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
76adantl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
8 linccl.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
98sseq2i 4011 . . . . . 6 (𝑉 βŠ† 𝐡 ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
10 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘€) ∈ V
1110ssex 5321 . . . . . . . 8 (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ V)
12 elpwg 4605 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
1413ibir 267 . . . . . 6 (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
159, 14sylbi 216 . . . . 5 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
16153ad2ant2 1134 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
1716adantl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
18 lincval 47080 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑆( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
191, 7, 17, 18syl3anc 1371 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑆( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
20 eqid 2732 . . 3 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
21 lmodcmn 20519 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
2221adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
23 simpr1 1194 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
241adantr 481 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
252fvexi 6905 . . . . . . . . . . 11 𝑅 ∈ V
26 elmapg 8832 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…))
2725, 26mpan 688 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin β†’ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…))
28 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆:π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅)
2928ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑆:π‘‰βŸΆπ‘… β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅))
3027, 29syl6bi 252 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin β†’ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅)))
3130imp 407 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅))
32313adant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅))
3332adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅))
3433imp 407 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅)
35 ssel 3975 . . . . . . . 8 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
36353ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
3736adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
3837imp 407 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
39 eqid 2732 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
40 eqid 2732 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
418, 39, 40, 2lmodvscl 20488 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝐡)
4224, 34, 38, 41syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝐡)
4342fmpttd 7114 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)):π‘‰βŸΆπ΅)
4416anim2i 617 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
45 simpr3 1196 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
46 elmapi 8842 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…)
47463ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…)
4847adantl 482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…)
49 fvexd 6906 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V)
5048, 23, 49fdmfifsupp 9372 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑆 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
5139, 2scmfsupp 47044 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑆 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
5244, 45, 50, 51syl3anc 1371 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
538, 20, 22, 23, 43, 52gsumcl 19782 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) ∈ 𝐡)
5419, 53eqeltrd 2833 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑆( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384   Ξ£g cgsu 17385  CMndccmn 19647  LModclmod 20470   linC clinc 47075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-lmod 20472  df-linc 47077
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator