Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linccl 42804
Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linccl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
linccl.r 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
linccl ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem linccl
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑀 ∈ LMod)
2 linccl.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
32oveq1i 6852 . . . . . . 7 (𝑅𝑚 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉)
43eleq2i 2836 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ↔ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
54biimpi 207 . . . . 5 (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
653ad2ant3 1165 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
76adantl 473 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
8 linccl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
98sseq2i 3790 . . . . . 6 (𝑉𝐵𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
10 fvex 6388 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑀) ∈ V
1110ssex 4963 . . . . . . . 8 (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ V)
12 elpwg 4323 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
1413ibir 259 . . . . . 6 (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
159, 14sylbi 208 . . . . 5 (𝑉𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16153ad2ant2 1164 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1716adantl 473 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18 lincval 42799 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
191, 7, 17, 18syl3anc 1490 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
20 eqid 2765 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
21 lmodcmn 19180 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
2221adantr 472 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑀 ∈ CMnd)
23 simpr1 1248 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑉 ∈ Fin)
241adantr 472 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
252fvexi 6389 . . . . . . . . . . 11 𝑅 ∈ V
26 elmapg 8073 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉𝑅))
2725, 26mpan 681 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉𝑅))
28 ffvelrn 6547 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆:𝑉𝑅𝑣𝑉) → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅)
2928ex 401 . . . . . . . . . 10 (𝑆:𝑉𝑅 → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
3027, 29syl6bi 244 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅)))
3130imp 395 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
32313adant2 1161 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
3332adantl 473 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
3433imp 395 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅)
35 ssel 3755 . . . . . . . 8 (𝑉𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
36353ad2ant2 1164 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3736adantl 473 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3837imp 395 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
39 eqid 2765 . . . . . 6 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
40 eqid 2765 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
418, 39, 40, 2lmodvscl 19149 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑣) ∈ 𝑅𝑣𝐵) → ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
4224, 34, 38, 41syl3anc 1490 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
4342fmpttd 6575 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)):𝑉𝐵)
4416anim2i 610 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
45 simpr3 1252 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))
46 elmapi 8082 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → 𝑆:𝑉𝑅)
47463ad2ant3 1165 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑆:𝑉𝑅)
4847adantl 473 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑆:𝑉𝑅)
49 fvexd 6390 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
5048, 23, 49fdmfifsupp 8492 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
5139, 2scmfsupp 42760 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
5244, 45, 50, 51syl3anc 1490 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
538, 20, 22, 23, 43, 52gsumcl 18582 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
5419, 53eqeltrd 2844 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  wss 3732  𝒫 cpw 4315   class class class wbr 4809  cmpt 4888  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑚 cmap 8060  Fincfn 8160   finSupp cfsupp 8482  Basecbs 16132  Scalarcsca 16219   ·𝑠 cvsca 16220  0gc0g 16368   Σg cgsu 16369  CMndccmn 18459  LModclmod 19132   linC clinc 42794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-plusg 16229  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-lmod 19134  df-linc 42796
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator