Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linccl 46114
Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linccl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
linccl.r 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
linccl ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem linccl
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑀 ∈ LMod)
2 linccl.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
32oveq1i 7347 . . . . . . 7 (𝑅m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
43eleq2i 2828 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
54biimpi 215 . . . . 5 (𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
653ad2ant3 1134 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
76adantl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
8 linccl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
98sseq2i 3961 . . . . . 6 (𝑉𝐵𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
10 fvex 6838 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑀) ∈ V
1110ssex 5265 . . . . . . . 8 (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ V)
12 elpwg 4550 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
1413ibir 267 . . . . . 6 (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
159, 14sylbi 216 . . . . 5 (𝑉𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16153ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1716adantl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18 lincval 46109 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
191, 7, 17, 18syl3anc 1370 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
20 eqid 2736 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
21 lmodcmn 20277 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
2221adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑀 ∈ CMnd)
23 simpr1 1193 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑉 ∈ Fin)
241adantr 481 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
252fvexi 6839 . . . . . . . . . . 11 𝑅 ∈ V
26 elmapg 8699 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉𝑅))
2725, 26mpan 687 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉𝑅))
28 ffvelcdm 7015 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆:𝑉𝑅𝑣𝑉) → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅)
2928ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑆:𝑉𝑅 → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
3027, 29syl6bi 252 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅)))
3130imp 407 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
32313adant2 1130 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
3332adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
3433imp 407 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅)
35 ssel 3925 . . . . . . . 8 (𝑉𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
36353ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3736adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3837imp 407 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
39 eqid 2736 . . . . . 6 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
40 eqid 2736 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
418, 39, 40, 2lmodvscl 20246 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑣) ∈ 𝑅𝑣𝐵) → ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
4224, 34, 38, 41syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
4342fmpttd 7045 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)):𝑉𝐵)
4416anim2i 617 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
45 simpr3 1195 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))
46 elmapi 8708 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝑆:𝑉𝑅)
47463ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝑆:𝑉𝑅)
4847adantl 482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑆:𝑉𝑅)
49 fvexd 6840 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
5048, 23, 49fdmfifsupp 9236 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
5139, 2scmfsupp 46073 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
5244, 45, 50, 51syl3anc 1370 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
538, 20, 22, 23, 43, 52gsumcl 19611 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
5419, 53eqeltrd 2837 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3441  wss 3898  𝒫 cpw 4547   class class class wbr 5092  cmpt 5175  wf 6475  cfv 6479  (class class class)co 7337  m cmap 8686  Fincfn 8804   finSupp cfsupp 9226  Basecbs 17009  Scalarcsca 17062   ·𝑠 cvsca 17063  0gc0g 17247   Σg cgsu 17248  CMndccmn 19481  LModclmod 20229   linC clinc 46104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-hash 14146  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-plusg 17072  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-lmod 20231  df-linc 46106
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator