Theorem linccl 48529

Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
linccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
linccl.r	⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
linccl	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem linccl

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑀 ∈ LMod)
2		linccl.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
3	2	oveq1i 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
4	3	eleq2i 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
5	4	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
6	5	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
8		linccl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
9	8	sseq2i 3961	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
10		fvex 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
11	10	ssex 5263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ V)
12		elpwg 4554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
14	13	ibir 268	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15	9, 14	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16	15	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18		lincval 48524	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
19	1, 7, 17, 18	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
20		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
21		lmodcmn 20853	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑀 ∈ CMnd)
23		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑉 ∈ Fin)
24	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
25	2	fvexi 6845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 ∈ V
26		elmapg 8772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉⟶𝑅))
27	25, 26	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉⟶𝑅))
28		ffvelcdm 7023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅)
29	28	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆:𝑉⟶𝑅 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
30	27, 29	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅)))
31	30	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
32	31	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
34	33	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅)
35		ssel 3925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
36	35	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
37	36	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
38	37	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝐵)
39		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
40		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
41	8, 39, 40, 2	lmodvscl 20821	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
42	24, 34, 38, 41	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
43	42	fmpttd 7057	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)):𝑉⟶𝐵)
44	16	anim2i 617	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
45		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
46		elmapi 8782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑆:𝑉⟶𝑅)
47	46	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑆:𝑉⟶𝑅)
48	47	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆:𝑉⟶𝑅)
49		fvexd 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
50	48, 23, 49	fdmfifsupp 9269	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
51	39, 2	scmfsupp 48489	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
52	44, 45, 50, 51	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
53	8, 20, 22, 23, 43, 52	gsumcl 19837	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
54	19, 53	eqeltrd 2833	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4551   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ↑_m cmap 8759  Fincfn 8878   finSupp cfsupp 9255  Basecbs 17130  Scalarcsca 17174   ·_𝑠 cvsca 17175  0_gc0g 17353   Σ_g cgsu 17354  CMndccmn 19702  LModclmod 20803   linC clinc 48519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-oi 9406  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-seq 13919  df-hash 14248  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-plusg 17184  df-0g 17355  df-gsum 17356  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-cntz 19239  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-ur 20110  df-ring 20163  df-lmod 20805  df-linc 48521

This theorem is referenced by: (None)