Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linccl 43969
Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linccl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
linccl.r 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
linccl ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem linccl
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑀 ∈ LMod)
2 linccl.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
32oveq1i 7026 . . . . . . 7 (𝑅𝑚 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉)
43eleq2i 2874 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ↔ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
54biimpi 217 . . . . 5 (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
653ad2ant3 1128 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
76adantl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
8 linccl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
98sseq2i 3917 . . . . . 6 (𝑉𝐵𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
10 fvex 6551 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑀) ∈ V
1110ssex 5116 . . . . . . . 8 (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ V)
12 elpwg 4461 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
1413ibir 269 . . . . . 6 (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
159, 14sylbi 218 . . . . 5 (𝑉𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16153ad2ant2 1127 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1716adantl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18 lincval 43964 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
191, 7, 17, 18syl3anc 1364 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
20 eqid 2795 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
21 lmodcmn 19372 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
2221adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑀 ∈ CMnd)
23 simpr1 1187 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑉 ∈ Fin)
241adantr 481 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
252fvexi 6552 . . . . . . . . . . 11 𝑅 ∈ V
26 elmapg 8269 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉𝑅))
2725, 26mpan 686 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉𝑅))
28 ffvelrn 6714 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆:𝑉𝑅𝑣𝑉) → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅)
2928ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑆:𝑉𝑅 → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
3027, 29syl6bi 254 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅)))
3130imp 407 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
32313adant2 1124 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
3332adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
3433imp 407 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅)
35 ssel 3883 . . . . . . . 8 (𝑉𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
36353ad2ant2 1127 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3736adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3837imp 407 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
39 eqid 2795 . . . . . 6 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
40 eqid 2795 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
418, 39, 40, 2lmodvscl 19341 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑣) ∈ 𝑅𝑣𝐵) → ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
4224, 34, 38, 41syl3anc 1364 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
4342fmpttd 6742 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)):𝑉𝐵)
4416anim2i 616 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
45 simpr3 1189 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))
46 elmapi 8278 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → 𝑆:𝑉𝑅)
47463ad2ant3 1128 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑆:𝑉𝑅)
4847adantl 482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑆:𝑉𝑅)
49 fvexd 6553 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
5048, 23, 49fdmfifsupp 8689 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
5139, 2scmfsupp 43926 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
5244, 45, 50, 51syl3anc 1364 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
538, 20, 22, 23, 43, 52gsumcl 18756 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
5419, 53eqeltrd 2883 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  Vcvv 3437  wss 3859  𝒫 cpw 4453   class class class wbr 4962  cmpt 5041  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  𝑚 cmap 8256  Fincfn 8357   finSupp cfsupp 8679  Basecbs 16312  Scalarcsca 16397   ·𝑠 cvsca 16398  0gc0g 16542   Σg cgsu 16543  CMndccmn 18633  LModclmod 19324   linC clinc 43959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-plusg 16407  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-lmod 19326  df-linc 43961
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator