Theorem linccl 48878

Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
linccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
linccl.r	⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
linccl	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem linccl

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑀 ∈ LMod)
2		linccl.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
3	2	oveq1i 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
4	3	eleq2i 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
5	4	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
6	5	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
8		linccl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
9	8	sseq2i 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
10		fvex 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
11	10	ssex 5251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ V)
12		elpwg 4534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
14	13	ibir 268	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15	9, 14	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16	15	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18		lincval 48873	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
19	1, 7, 17, 18	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
20		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
21		lmodcmn 20894	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑀 ∈ CMnd)
23		simpr1 1196	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑉 ∈ Fin)
24	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
25	2	fvexi 6843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 ∈ V
26		elmapg 8775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉⟶𝑅))
27	25, 26	mpan 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉⟶𝑅))
28		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅)
29	28	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆:𝑉⟶𝑅 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
30	27, 29	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅)))
31	30	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
32	31	3adant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
34	33	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅)
35		ssel 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
36	35	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
37	36	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
38	37	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝐵)
39		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
40		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
41	8, 39, 40, 2	lmodvscl 20862	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
42	24, 34, 38, 41	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
43	42	fmpttd 7056	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)):𝑉⟶𝐵)
44	16	anim2i 618	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
45		simpr3 1198	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
46		elmapi 8785	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑆:𝑉⟶𝑅)
47	46	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑆:𝑉⟶𝑅)
48	47	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆:𝑉⟶𝑅)
49		fvexd 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
50	48, 23, 49	fdmfifsupp 9277	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
51	39, 2	scmfsupp 48839	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
52	44, 45, 50, 51	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
53	8, 20, 22, 23, 43, 52	gsumcl 19879	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
54	19, 53	eqeltrd 2835	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3427   ⊆ wss 3885  𝒫 cpw 4531   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8762  Fincfn 8882   finSupp cfsupp 9263  Basecbs 17168  Scalarcsca 17212   ·_𝑠 cvsca 17213  0_gc0g 17391   Σ_g cgsu 17392  CMndccmn 19744  LModclmod 20844   linC clinc 48868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-oi 9414  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-hash 14282  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-ur 20152  df-ring 20205  df-lmod 20846  df-linc 48870

This theorem is referenced by: (None)