Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linccl 44810
Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linccl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
linccl.r 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
linccl ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem linccl
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑀 ∈ LMod)
2 linccl.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
32oveq1i 7149 . . . . . . 7 (𝑅m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
43eleq2i 2884 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
54biimpi 219 . . . . 5 (𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
653ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
76adantl 485 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
8 linccl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
98sseq2i 3947 . . . . . 6 (𝑉𝐵𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
10 fvex 6662 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑀) ∈ V
1110ssex 5192 . . . . . . . 8 (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ V)
12 elpwg 4503 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
1413ibir 271 . . . . . 6 (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
159, 14sylbi 220 . . . . 5 (𝑉𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16153ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1716adantl 485 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18 lincval 44805 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
191, 7, 17, 18syl3anc 1368 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
20 eqid 2801 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
21 lmodcmn 19678 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
2221adantr 484 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑀 ∈ CMnd)
23 simpr1 1191 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑉 ∈ Fin)
241adantr 484 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
252fvexi 6663 . . . . . . . . . . 11 𝑅 ∈ V
26 elmapg 8406 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉𝑅))
2725, 26mpan 689 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉𝑅))
28 ffvelrn 6830 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆:𝑉𝑅𝑣𝑉) → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅)
2928ex 416 . . . . . . . . . 10 (𝑆:𝑉𝑅 → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
3027, 29syl6bi 256 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅)))
3130imp 410 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
32313adant2 1128 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
3332adantl 485 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑣𝑉 → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅))
3433imp 410 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑆𝑣) ∈ 𝑅)
35 ssel 3911 . . . . . . . 8 (𝑉𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
36353ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3736adantl 485 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3837imp 410 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
39 eqid 2801 . . . . . 6 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
40 eqid 2801 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
418, 39, 40, 2lmodvscl 19647 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑣) ∈ 𝑅𝑣𝐵) → ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
4224, 34, 38, 41syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
4342fmpttd 6860 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)):𝑉𝐵)
4416anim2i 619 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
45 simpr3 1193 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))
46 elmapi 8415 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝑆:𝑉𝑅)
47463ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝑆:𝑉𝑅)
4847adantl 485 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑆:𝑉𝑅)
49 fvexd 6664 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
5048, 23, 49fdmfifsupp 8831 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
5139, 2scmfsupp 44767 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
5244, 45, 50, 51syl3anc 1368 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
538, 20, 22, 23, 43, 52gsumcl 19031 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑆𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
5419, 53eqeltrd 2893 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉𝐵𝑆 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  Vcvv 3444  wss 3884  𝒫 cpw 4500   class class class wbr 5033  cmpt 5113  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  m cmap 8393  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  0gc0g 16708   Σg cgsu 16709  CMndccmn 18901  LModclmod 19630   linC clinc 44800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-lmod 19632  df-linc 44802
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator