Theorem linccl 49448

Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
linccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
linccl.r	⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
linccl	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem linccl

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑀 ∈ LMod)
2		linccl.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
3	2	oveq1i 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
4	3	eleq2i 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
5	4	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
6	5	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
8		linccl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
9	8	sseq2i 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
10		fvex 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
11	10	ssex 5281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ V)
12		elpwg 4559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
13	11, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
14	13	ibir 271	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15	9, 14	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16	15	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17	16	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18		lincval 49443	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
19	1, 7, 17, 18	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
20		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
21		lmodcmn 21147	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
22	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑀 ∈ CMnd)
23		simpr1 1213	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑉 ∈ Fin)
24	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
25	2	fvexi 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 ∈ V
26		elmapg 8837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉⟶𝑅))
27	25, 26	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉⟶𝑅))
28		ffvelcdm 7069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅)
29	28	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆:𝑉⟶𝑅 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
30	27, 29	biimtrdi 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅)))
31	30	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
32	31	3adant2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
33	32	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
34	33	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅)
35		ssel 3924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
36	35	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
37	36	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
38	37	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝐵)
39		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
40		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
41	8, 39, 40, 2	lmodvscl 21115	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
42	24, 34, 38, 41	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
43	42	fmpttd 7103	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)):𝑉⟶𝐵)
44	16	anim2i 629	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
45		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
46		elmapi 8847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑆:𝑉⟶𝑅)
47	46	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑆:𝑉⟶𝑅)
48	47	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆:𝑉⟶𝑅)
49		fvexd 6888	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
50	48, 23, 49	fdmfifsupp 9345	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
51	39, 2	scmfsupp 49409	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
52	44, 45, 50, 51	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
53	8, 20, 22, 23, 43, 52	gsumcl 20091	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
54	19, 53	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8951   finSupp cfsupp 9331  Basecbs 17349  Scalarcsca 17393   ·_𝑠 cvsca 17394  0_gc0g 17572   Σ_g cgsu 17573  CMndccmn 19956  LModclmod 21097   linC clinc 49438

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-hash 14443  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-plusg 17403  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-cntz 19493  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-ur 20370  df-ring 20423  df-lmod 21099  df-linc 49440

This theorem is used by: (None)