Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linccl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem linccl 47482
Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linccl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
linccl.r 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
linccl ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑆( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝐡)
Proof of Theorem linccl
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 linccl.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
32oveq1i 7430 . . . . . . 7 (𝑅 ↑m 𝑉) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)
43eleq2i 2821 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
54biimpi 215 . . . . 5 (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
653ad2ant3 1133 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
76adantl 481 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
8 linccl.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
98sseq2i 4009 . . . . . 6 (𝑉 βŠ† 𝐡 ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
10 fvex 6910 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘€) ∈ V
1110ssex 5321 . . . . . . . 8 (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ V)
12 elpwg 4606 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
1413ibir 268 . . . . . 6 (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
159, 14sylbi 216 . . . . 5 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
16153ad2ant2 1132 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
1716adantl 481 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
18 lincval 47477 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑆( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
191, 7, 17, 18syl3anc 1369 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑆( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
20 eqid 2728 . . 3 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
21 lmodcmn 20793 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
2221adantr 480 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
23 simpr1 1192 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
241adantr 480 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
252fvexi 6911 . . . . . . . . . . 11 𝑅 ∈ V
26 elmapg 8858 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…))
2725, 26mpan 689 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin β†’ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…))
28 ffvelcdm 7091 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆:π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅)
2928ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝑆:π‘‰βŸΆπ‘… β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅))
3027, 29syl6bi 253 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin β†’ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅)))
3130imp 406 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅))
32313adant2 1129 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅))
3332adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅))
3433imp 406 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅)
35 ssel 3973 . . . . . . . 8 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
36353ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
3736adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
3837imp 406 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
39 eqid 2728 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
40 eqid 2728 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
418, 39, 40, 2lmodvscl 20761 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝐡)
4224, 34, 38, 41syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝐡)
4342fmpttd 7125 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)):π‘‰βŸΆπ΅)
4416anim2i 616 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
45 simpr3 1194 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
46 elmapi 8868 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…)
47463ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…)
4847adantl 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…)
49 fvexd 6912 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V)
5048, 23, 49fdmfifsupp 9399 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑆 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
5139, 2scmfsupp 47442 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑆 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
5244, 45, 50, 51syl3anc 1369 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
538, 20, 22, 23, 43, 52gsumcl 19870 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) ∈ 𝐡)
5419, 53eqeltrd 2829 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑆( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4603   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑m cmap 8845  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9386  Basecbs 17180  Scalarcsca 17236   ·𝑠 cvsca 17237  0gc0g 17421   Ξ£g cgsu 17422  CMndccmn 19735  LModclmod 20743   linC clinc 47472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-lmod 20745  df-linc 47474
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator