Theorem linccl 48143

Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
linccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
linccl.r	⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
linccl	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem linccl

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑀 ∈ LMod)
2		linccl.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
3	2	oveq1i 7458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
4	3	eleq2i 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
5	4	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
6	5	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
8		linccl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
9	8	sseq2i 4038	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
10		fvex 6933	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
11	10	ssex 5339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ V)
12		elpwg 4625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
14	13	ibir 268	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15	9, 14	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16	15	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18		lincval 48138	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
19	1, 7, 17, 18	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
20		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
21		lmodcmn 20930	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑀 ∈ CMnd)
23		simpr1 1194	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑉 ∈ Fin)
24	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
25	2	fvexi 6934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 ∈ V
26		elmapg 8897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉⟶𝑅))
27	25, 26	mpan 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:𝑉⟶𝑅))
28		ffvelcdm 7115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅)
29	28	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆:𝑉⟶𝑅 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
30	27, 29	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅)))
31	30	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
32	31	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅))
34	33	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅)
35		ssel 4002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
36	35	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
37	36	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
38	37	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝐵)
39		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
40		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
41	8, 39, 40, 2	lmodvscl 20898	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑣) ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
42	24, 34, 38, 41	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
43	42	fmpttd 7149	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)):𝑉⟶𝐵)
44	16	anim2i 616	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
45		simpr3 1196	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
46		elmapi 8907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑆:𝑉⟶𝑅)
47	46	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑆:𝑉⟶𝑅)
48	47	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆:𝑉⟶𝑅)
49		fvexd 6935	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
50	48, 23, 49	fdmfifsupp 9444	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))
51	39, 2	scmfsupp 48103	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑆 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
52	44, 45, 50, 51	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
53	8, 20, 22, 23, 43, 52	gsumcl 19957	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑆‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
54	19, 53	eqeltrd 2844	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑆( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003   finSupp cfsupp 9431  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499   Σ_g cgsu 17500  CMndccmn 19822  LModclmod 20880   linC clinc 48133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20882  df-linc 48135

This theorem is referenced by: (None)