Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linccl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem linccl 47344
Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linccl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
linccl.r 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
linccl ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑆( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝐡)
Proof of Theorem linccl
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 linccl.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
32oveq1i 7412 . . . . . . 7 (𝑅 ↑m 𝑉) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)
43eleq2i 2817 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
54biimpi 215 . . . . 5 (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
653ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
76adantl 481 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
8 linccl.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
98sseq2i 4004 . . . . . 6 (𝑉 βŠ† 𝐡 ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
10 fvex 6895 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘€) ∈ V
1110ssex 5312 . . . . . . . 8 (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ V)
12 elpwg 4598 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
1413ibir 268 . . . . . 6 (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
159, 14sylbi 216 . . . . 5 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
16153ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
1716adantl 481 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
18 lincval 47339 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑆( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
191, 7, 17, 18syl3anc 1368 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑆( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
20 eqid 2724 . . 3 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
21 lmodcmn 20752 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
2221adantr 480 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
23 simpr1 1191 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
241adantr 480 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
252fvexi 6896 . . . . . . . . . . 11 𝑅 ∈ V
26 elmapg 8830 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…))
2725, 26mpan 687 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin β†’ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…))
28 ffvelcdm 7074 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆:π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅)
2928ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝑆:π‘‰βŸΆπ‘… β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅))
3027, 29syl6bi 253 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin β†’ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅)))
3130imp 406 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅))
32313adant2 1128 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅))
3332adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅))
3433imp 406 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅)
35 ssel 3968 . . . . . . . 8 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
36353ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
3736adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
3837imp 406 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
39 eqid 2724 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
40 eqid 2724 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
418, 39, 40, 2lmodvscl 20720 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝐡)
4224, 34, 38, 41syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝐡)
4342fmpttd 7107 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)):π‘‰βŸΆπ΅)
4416anim2i 616 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
45 simpr3 1193 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
46 elmapi 8840 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…)
47463ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…)
4847adantl 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…)
49 fvexd 6897 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V)
5048, 23, 49fdmfifsupp 9370 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑆 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
5139, 2scmfsupp 47304 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑆 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
5244, 45, 50, 51syl3anc 1368 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
538, 20, 22, 23, 43, 52gsumcl 19831 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) ∈ 𝐡)
5419, 53eqeltrd 2825 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑆( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4595   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936   finSupp cfsupp 9358  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390   Ξ£g cgsu 17391  CMndccmn 19696  LModclmod 20702   linC clinc 47334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-linc 47336
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator