Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linccl 46585
Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linccl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
linccl.r 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
linccl ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑆( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝐡)

Proof of Theorem linccl
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 linccl.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
32oveq1i 7371 . . . . . . 7 (𝑅 ↑m 𝑉) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)
43eleq2i 2826 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
54biimpi 215 . . . . 5 (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
653ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
76adantl 483 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
8 linccl.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
98sseq2i 3977 . . . . . 6 (𝑉 βŠ† 𝐡 ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
10 fvex 6859 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘€) ∈ V
1110ssex 5282 . . . . . . . 8 (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ V)
12 elpwg 4567 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
1413ibir 268 . . . . . 6 (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
159, 14sylbi 216 . . . . 5 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
16153ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
1716adantl 483 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
18 lincval 46580 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑆( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
191, 7, 17, 18syl3anc 1372 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑆( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
20 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
21 lmodcmn 20414 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
2221adantr 482 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
23 simpr1 1195 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
241adantr 482 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
252fvexi 6860 . . . . . . . . . . 11 𝑅 ∈ V
26 elmapg 8784 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…))
2725, 26mpan 689 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin β†’ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…))
28 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆:π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅)
2928ex 414 . . . . . . . . . 10 (𝑆:π‘‰βŸΆπ‘… β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅))
3027, 29syl6bi 253 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin β†’ (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅)))
3130imp 408 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅))
32313adant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅))
3332adantl 483 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅))
3433imp 408 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅)
35 ssel 3941 . . . . . . . 8 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
36353ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
3736adantl 483 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
3837imp 408 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
39 eqid 2733 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
40 eqid 2733 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
418, 39, 40, 2lmodvscl 20383 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (π‘†β€˜π‘£) ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝐡)
4224, 34, 38, 41syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝐡)
4342fmpttd 7067 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)):π‘‰βŸΆπ΅)
4416anim2i 618 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
45 simpr3 1197 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
46 elmapi 8793 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…)
47463ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…)
4847adantl 483 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑆:π‘‰βŸΆπ‘…)
49 fvexd 6861 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V)
5048, 23, 49fdmfifsupp 9323 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ 𝑆 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
5139, 2scmfsupp 46544 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑆 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
5244, 45, 50, 51syl3anc 1372 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
538, 20, 22, 23, 43, 52gsumcl 19700 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘†β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) ∈ 𝐡)
5419, 53eqeltrd 2834 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑆( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889   finSupp cfsupp 9311  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  CMndccmn 19570  LModclmod 20365   linC clinc 46575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-lmod 20367  df-linc 46577
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator