Theorem hdmap1l6b 41193

Description: Lemmma for hdmap1l6 41203. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap1l6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmap1l6.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmap1l6c.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap1l6.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
hdmap1l6.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
hdmap1l6.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmap1l6.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap1l6.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
hdmap1l6cl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6b.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 = 0 )
hdmap1l6b.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
hdmap1l6b.ne	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))

Assertion

Ref	Expression
hdmap1l6b	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Proof of Theorem hdmap1l6b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap1l6.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap1l6.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap1l6.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 40974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		lmodgrp 20711	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → 𝐶 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Grp)
7		hdmap1l6.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap1l6.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9		hdmap1l6c.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
10		hdmap1l6.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11		hdmap1l6.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
12		hdmap1l6.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
13		hdmap1l6.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
14		hdmap1l6.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
15		hdmap1l6.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		hdmap1l6.mn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
17	1, 7, 3	dvhlvec 40491	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
18		hdmap1l6cl.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19	18	eldifad 3955	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
20		hdmap1l6b.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 0 )
21	1, 7, 3	dvhlmod 40492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22	8, 9	lmod0vcl 20735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
24	20, 23	eqeltrd 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25		hdmap1l6b.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
26		hdmap1l6b.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
27	8, 10, 17, 19, 24, 25, 26	lspindpi 20981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
28	27	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
29	1, 7, 8, 9, 10, 2, 11, 12, 13, 14, 3, 15, 16, 28, 18, 25	hdmap1cl 41186	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
30		hdmap1l6.a	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
31		hdmap1l6.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
32	11, 30, 31	grplid 18895	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Grp ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷) → (𝑄 ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
33	6, 29, 32	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
34	20	oteq3d 4882	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
35	34	fveq2d 6888	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
36	1, 7, 8, 9, 2, 11, 31, 14, 3, 15, 19	hdmap1val0 41181	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
37	35, 36	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝑄)
38	37	oveq1d 7419	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = (𝑄 ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
39	20	oveq1d 7419	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = ( 0 + 𝑍))
40		lmodgrp 20711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
41	21, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
42		hdmap1l6.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑈)
43	8, 42, 9	grplid 18895	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑍) = 𝑍)
44	41, 25, 43	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 + 𝑍) = 𝑍)
45	39, 44	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = 𝑍)
46	45	oteq3d 4882	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)
47	46	fveq2d 6888	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
48	33, 38, 47	3eqtr4rd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3940  {csn 4623  {cpr 4625  ⟨cotp 4631  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  0_gc0g 17392  Grpcgrp 18861  -_gcsg 18863  LModclmod 20704  LSpanclspn 20816  HLchlt 38731  LHypclh 39366  DVecHcdvh 40460  LCDualclcd 40968  mapdcmpd 41006  HDMap1chdma1 41173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38334

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lvec 20949  df-lsatoms 38357  df-lshyp 38358  df-lcv 38400  df-lfl 38439  df-lkr 38467  df-ldual 38505  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881  df-lvols 38882  df-lines 38883  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-padd 39178  df-lhyp 39370  df-laut 39371  df-ldil 39486  df-ltrn 39487  df-trl 39541  df-tgrp 40125  df-tendo 40137  df-edring 40139  df-dveca 40385  df-disoa 40411  df-dvech 40461  df-dib 40521  df-dic 40555  df-dih 40611  df-doch 40730  df-djh 40777  df-lcdual 40969  df-mapd 41007  df-hdmap1 41175

This theorem is referenced by:  hdmap1l6k  41202