Theorem lsppr0 21376

Description: The span of a vector paired with zero equals the span of the singleton of the vector. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsppr0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppr0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsppr0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppr0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsppr0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsppr0	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lsppr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsppr0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lsppr0.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4		lsppr0.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lsppr0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		lsppr0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7	1, 6	lmod0vcl 21175	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
8	4, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	lsmpr 21373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{ 0 })))
10	6, 2	lspsn0 21292	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
11	4, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
12	11	oveq2d 7440	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{ 0 })) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊){ 0 }))
13	1, 2	lspsnsubg 21264	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
14	4, 5, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
15	6, 3	lsm01 19894	. . 3 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊){ 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊){ 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))
17	9, 12, 16	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4584  {cpr 4586  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  0_gc0g 17619  SubGrpcsubg 19339  LSSumclsm 19857  LModclmod 21144  LSpanclspn 21255

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-cntz 19540  df-lsm 19859  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256

This theorem is used by:  lspfixed  21415  dihprrn  42592  dvh3dim  42612  mapdindp2  42887  hdmap11lem2  43008