MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppr0 20695
Description: The span of a vector paired with zero equals the span of the singleton of the vector. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr0.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsppr0.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsppr0.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsppr0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lsppr0.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsppr0 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, 0 }) = (π‘β€˜{𝑋}))

Proof of Theorem lsppr0
StepHypRef Expression
1 lsppr0.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lsppr0.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 eqid 2732 . . 3 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
4 lsppr0.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lsppr0.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
6 lsppr0.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Š)
71, 6lmod0vcl 20493 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 0 ∈ 𝑉)
84, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝑉)
91, 2, 3, 4, 5, 8lsmpr 20692 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, 0 }) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{ 0 })))
106, 2lspsn0 20611 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
114, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
1211oveq2d 7421 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{ 0 })) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š){ 0 }))
131, 2lspsnsubg 20583 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
144, 5, 13syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
156, 3lsm01 19533 . . 3 ((π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š){ 0 }) = (π‘β€˜{𝑋}))
1614, 15syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š){ 0 }) = (π‘β€˜{𝑋}))
179, 12, 163eqtrd 2776 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, 0 }) = (π‘β€˜{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4627  {cpr 4629  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  0gc0g 17381  SubGrpcsubg 18994  LSSumclsm 19496  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575
This theorem is referenced by:  lspfixed  20733  dihprrn  40285  dvh3dim  40305  mapdindp2  40580  hdmap11lem2  40701
  Copyright terms: Public domain W3C validator