Theorem lsppr0 21243

Description: The span of a vector paired with zero equals the span of the singleton of the vector. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsppr0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppr0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsppr0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppr0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsppr0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsppr0	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lsppr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsppr0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lsppr0.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4		lsppr0.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lsppr0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		lsppr0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7	1, 6	lmod0vcl 21042	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
8	4, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	lsmpr 21240	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{ 0 })))
10	6, 2	lspsn0 21159	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
11	4, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
12	11	oveq2d 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{ 0 })) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊){ 0 }))
13	1, 2	lspsnsubg 21131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
14	4, 5, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
15	6, 3	lsm01 19765	. . 3 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊){ 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊){ 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))
17	9, 12, 16	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  0_gc0g 17510  SubGrpcsubg 19210  LSSumclsm 19728  LModclmod 21011  LSpanclspn 21122

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-0g 17512  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-subg 19213  df-cntz 19411  df-lsm 19730  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-lsp 21123

This theorem is used by:  lspfixed  21282  dihprrn  42233  dvh3dim  42253  mapdindp2  42528  hdmap11lem2  42649