Theorem lsppr0 20984

Description: The span of a vector paired with zero equals the span of the singleton of the vector. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsppr0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppr0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsppr0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppr0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsppr0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsppr0	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lsppr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsppr0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lsppr0.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		eqid 2728	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4		lsppr0.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lsppr0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		lsppr0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7	1, 6	lmod0vcl 20781	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	lsmpr 20981	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{ 0 })))
10	6, 2	lspsn0 20899	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
11	4, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
12	11	oveq2d 7442	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{ 0 })) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊){ 0 }))
13	1, 2	lspsnsubg 20871	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
14	4, 5, 13	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
15	6, 3	lsm01 19633	. . 3 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊){ 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊){ 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))
17	9, 12, 16	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4632  {cpr 4634  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  0_gc0g 17428  SubGrpcsubg 19082  LSSumclsm 19596  LModclmod 20750  LSpanclspn 20862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863

This theorem is referenced by:  lspfixed  21023  dihprrn  40931  dvh3dim  40951  mapdindp2  41226  hdmap11lem2  41347