MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppr0 20938
Description: The span of a vector paired with zero equals the span of the singleton of the vector. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr0.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsppr0.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsppr0.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsppr0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lsppr0.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsppr0 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, 0 }) = (π‘β€˜{𝑋}))

Proof of Theorem lsppr0
StepHypRef Expression
1 lsppr0.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lsppr0.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 eqid 2726 . . 3 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
4 lsppr0.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lsppr0.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
6 lsppr0.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Š)
71, 6lmod0vcl 20735 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 0 ∈ 𝑉)
84, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝑉)
91, 2, 3, 4, 5, 8lsmpr 20935 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, 0 }) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{ 0 })))
106, 2lspsn0 20853 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
114, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
1211oveq2d 7420 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{ 0 })) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š){ 0 }))
131, 2lspsnsubg 20825 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
144, 5, 13syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
156, 3lsm01 19589 . . 3 ((π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š){ 0 }) = (π‘β€˜{𝑋}))
1614, 15syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š){ 0 }) = (π‘β€˜{𝑋}))
179, 12, 163eqtrd 2770 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, 0 }) = (π‘β€˜{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623  {cpr 4625  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  0gc0g 17392  SubGrpcsubg 19045  LSSumclsm 19552  LModclmod 20704  LSpanclspn 20816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817
This theorem is referenced by:  lspfixed  20977  dihprrn  40808  dvh3dim  40828  mapdindp2  41103  hdmap11lem2  41224
  Copyright terms: Public domain W3C validator