Theorem lsppr0 21056

Description: The span of a vector paired with zero equals the span of the singleton of the vector. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsppr0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppr0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsppr0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppr0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsppr0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsppr0	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lsppr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsppr0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lsppr0.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4		lsppr0.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lsppr0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		lsppr0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7	1, 6	lmod0vcl 20854	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	lsmpr 21053	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{ 0 })))
10	6, 2	lspsn0 20971	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
11	4, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
12	11	oveq2d 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{ 0 })) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊){ 0 }))
13	1, 2	lspsnsubg 20943	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
14	4, 5, 13	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
15	6, 3	lsm01 19612	. . 3 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊){ 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊){ 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))
17	9, 12, 16	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4582  {cpr 4584  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  SubGrpcsubg 19062  LSSumclsm 19575  LModclmod 20823  LSpanclspn 20934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-lsm 19577  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935

This theorem is referenced by:  lspfixed  21095  dihprrn  41802  dvh3dim  41822  mapdindp2  42097  hdmap11lem2  42218