Theorem hdmaprnlem17N 42737

Description: Lemma for hdmaprnN 42738. Include zero. (Contributed by NM, 30-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaprnlem15.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem15.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem15.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem15.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem15.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem15.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem15.q	⊢ 0 = (0g‘𝐶)
hdmaprnlem15.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem15.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem15.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem15.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaprnlem17.se	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
hdmaprnlem17N	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ran 𝑆)

Proof of Theorem hdmaprnlem17N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2848	. 2 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 ∈ ran 𝑆 ↔ 0 ∈ ran 𝑆))
2		hdmaprnlem15.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hdmaprnlem15.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hdmaprnlem15.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		hdmaprnlem15.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		hdmaprnlem15.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		hdmaprnlem15.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
8		hdmaprnlem15.q	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐶)
9		hdmaprnlem15.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
10		hdmaprnlem15.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
11		hdmaprnlem15.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
12		hdmaprnlem15.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14		hdmaprnlem17.se	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝐷)
15	14	anim1i 627	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) → (𝑠 ∈ 𝐷 ∧ 𝑠 ≠ 0 ))
16		eldifsn 4748	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐷 ∖ { 0 }) ↔ (𝑠 ∈ 𝐷 ∧ 𝑠 ≠ 0 ))
17	15, 16	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ { 0 }))
18	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 17	hdmaprnlem16N 42736	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) → 𝑠 ∈ ran 𝑆)
19		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
20	2, 3, 19, 6, 8, 11, 12	hdmapval0 42707	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(0g‘𝑈)) = 0 )
21	2, 3, 4, 11, 12	hdmapfnN 42703	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Fn 𝑉)
22	2, 3, 12	dvhlmod 41984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
23	4, 19	lmod0vcl 21076	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
24	22, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
25		fnfvelrn 7074	. . . 4 ⊢ ((𝑆 Fn 𝑉 ∧ (0g‘𝑈) ∈ 𝑉) → (𝑆‘(0g‘𝑈)) ∈ ran 𝑆)
26	21, 24, 25	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(0g‘𝑈)) ∈ ran 𝑆)
27	20, 26	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ran 𝑆)
28	1, 18, 27	pm2.61ne 3040	1 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ran 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3896  {csn 4584  ran crn 5656   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  Basecbs 17302  0_gc0g 17525  LModclmod 21045  LSpanclspn 21156  HLchlt 40224  LHypclh 40858  DVecHcdvh 41952  LCDualclcd 42460  mapdcmpd 42498  HDMapchdma 42666

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-riotaBAD 39827

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-0g 17527  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-proset 18383  df-poset 18402  df-plt 18417  df-lub 18433  df-glb 18434  df-join 18435  df-meet 18436  df-p0 18512  df-p1 18513  df-lat 18521  df-clat 18588  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-oppg 19474  df-lsm 19764  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-nzr 20674  df-rlreg 20857  df-domn 20858  df-drng 20893  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-lvec 21288  df-lsatoms 39850  df-lshyp 39851  df-lcv 39893  df-lfl 39932  df-lkr 39960  df-ldual 39998  df-oposet 40050  df-ol 40052  df-oml 40053  df-covers 40140  df-ats 40141  df-atl 40172  df-cvlat 40196  df-hlat 40225  df-llines 40372  df-lplanes 40373  df-lvols 40374  df-lines 40375  df-psubsp 40377  df-pmap 40378  df-padd 40670  df-lhyp 40862  df-laut 40863  df-ldil 40978  df-ltrn 40979  df-trl 41033  df-tgrp 41617  df-tendo 41629  df-edring 41631  df-dveca 41877  df-disoa 41903  df-dvech 41953  df-dib 42013  df-dic 42047  df-dih 42103  df-doch 42222  df-djh 42269  df-lcdual 42461  df-mapd 42499  df-hvmap 42631  df-hdmap1 42667  df-hdmap 42668

This theorem is used by:  hdmaprnN  42738