Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6bN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6bN 38909
Description: Lemmma for mapdh6N 38919. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p + = (+g𝑈)
mapdh.a = (+g𝐶)
mapdh6b.y (𝜑𝑌 = 0 )
mapdh6b.z (𝜑𝑍𝑉)
mapdh6b.ne (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
mapdh6bN (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,   ,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   + (𝑥,)   (𝑥,)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh6bN
StepHypRef Expression
1 mapdh.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 38764 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 lmodgrp 19617 . . . 4 (𝐶 ∈ LMod → 𝐶 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Grp)
7 mapdh.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
8 mapdh.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
9 mapdh.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10 mapdh.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11 mapdh.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 mapdh.s . . . 4 = (-g𝑈)
13 mapdhc.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
14 mapdh.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15 mapdh.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
16 mapdh.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
17 mapdh.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
18 mapdhc.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
19 mapdh.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
20 mapdhcl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21 mapdh6b.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑉)
221, 10, 3dvhlvec 38281 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2320eldifad 3925 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
24 mapdh6b.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = 0 )
251, 10, 3dvhlmod 38282 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
2611, 13lmod0vcl 19639 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → 0𝑉)
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑0𝑉)
2824, 27eqeltrd 2911 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
29 mapdh6b.ne . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
3011, 14, 22, 23, 28, 21, 29lspindpi 19880 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
3130simprd 498 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
327, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 15, 16, 17, 3, 18, 19, 20, 21, 31mapdhcl 38899 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
33 mapdh.a . . . 4 = (+g𝐶)
3415, 33, 7grplid 18112 . . 3 ((𝐶 ∈ Grp ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷) → (𝑄 (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
356, 32, 34syl2anc 586 . 2 (𝜑 → (𝑄 (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
3624oteq3d 4793 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
3736fveq2d 6650 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
387, 8, 13, 20, 18mapdhval0 38897 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
3937, 38eqtrd 2855 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝑄)
4039oveq1d 7148 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = (𝑄 (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
4124oveq1d 7148 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = ( 0 + 𝑍))
42 lmodgrp 19617 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
4325, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
44 mapdh.p . . . . . . 7 + = (+g𝑈)
4511, 44, 13grplid 18112 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑍𝑉) → ( 0 + 𝑍) = 𝑍)
4643, 21, 45syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → ( 0 + 𝑍) = 𝑍)
4741, 46eqtrd 2855 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = 𝑍)
4847oteq3d 4793 . . 3 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)
4948fveq2d 6650 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
5035, 40, 493eqtr4rd 2866 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  Vcvv 3473  cdif 3910  ifcif 4443  {csn 4543  {cpr 4545  cotp 4551  cmpt 5122  cfv 6331  crio 7090  (class class class)co 7133  1st c1st 7665  2nd c2nd 7666  Basecbs 16462  +gcplusg 16544  0gc0g 16692  Grpcgrp 18082  -gcsg 18084  LModclmod 19610  LSpanclspn 19719  HLchlt 36522  LHypclh 37156  DVecHcdvh 38250  LCDualclcd 38758  mapdcmpd 38796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-riotaBAD 36125
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-ot 4552  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-tpos 7870  df-undef 7917  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-0g 16694  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-cntz 18426  df-oppg 18453  df-lsm 18740  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lvec 19851  df-lsatoms 36148  df-lshyp 36149  df-lcv 36191  df-lfl 36230  df-lkr 36258  df-ldual 36296  df-oposet 36348  df-ol 36350  df-oml 36351  df-covers 36438  df-ats 36439  df-atl 36470  df-cvlat 36494  df-hlat 36523  df-llines 36670  df-lplanes 36671  df-lvols 36672  df-lines 36673  df-psubsp 36675  df-pmap 36676  df-padd 36968  df-lhyp 37160  df-laut 37161  df-ldil 37276  df-ltrn 37277  df-trl 37331  df-tgrp 37915  df-tendo 37927  df-edring 37929  df-dveca 38175  df-disoa 38201  df-dvech 38251  df-dib 38311  df-dic 38345  df-dih 38401  df-doch 38520  df-djh 38567  df-lcdual 38759  df-mapd 38797
This theorem is referenced by:  mapdh6kN  38918
  Copyright terms: Public domain W3C validator