Theorem mapdh6bN 39406

Description: Lemmma for mapdh6N 39416. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
mapdh6b.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 = 0 )
mapdh6b.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
mapdh6b.ne	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh6bN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   ℎ,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   + (𝑥,ℎ)   ✚ (𝑥,ℎ)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐼(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥,ℎ)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdh6bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 39261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		lmodgrp 19772	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → 𝐶 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Grp)
7		mapdh.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
8		mapdh.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
9		mapdh.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdh.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11		mapdh.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
12		mapdh.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
13		mapdhc.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
14		mapdh.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15		mapdh.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
16		mapdh.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
17		mapdh.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
18		mapdhc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
19		mapdh.mn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
20		mapdhcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21		mapdh6b.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
22	1, 10, 3	dvhlvec 38778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
23	20	eldifad 3865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		mapdh6b.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 0 )
25	1, 10, 3	dvhlmod 38779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
26	11, 13	lmod0vcl 19794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
28	24, 27	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
29		mapdh6b.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
30	11, 14, 22, 23, 28, 21, 29	lspindpi 20035	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
31	30	simprd 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
32	7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 15, 16, 17, 3, 18, 19, 20, 21, 31	mapdhcl 39396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
33		mapdh.a	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
34	15, 33, 7	grplid 18263	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Grp ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷) → (𝑄 ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
35	6, 32, 34	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
36	24	oteq3d 4785	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
37	36	fveq2d 6690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
38	7, 8, 13, 20, 18	mapdhval0 39394	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
39	37, 38	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝑄)
40	39	oveq1d 7197	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = (𝑄 ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
41	24	oveq1d 7197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = ( 0 + 𝑍))
42		lmodgrp 19772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
43	25, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
44		mapdh.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑈)
45	11, 44, 13	grplid 18263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑍) = 𝑍)
46	43, 21, 45	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 + 𝑍) = 𝑍)
47	41, 46	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = 𝑍)
48	47	oteq3d 4785	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)
49	48	fveq2d 6690	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
50	35, 40, 49	3eqtr4rd 2785	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935  Vcvv 3400   ∖ cdif 3850  ifcif 4424  {csn 4526  {cpr 4528  ⟨cotp 4534   ↦ cmpt 5120  ‘cfv 6349  ℩crio 7138  (class class class)co 7182  1^st c1st 7724  2^nd c2nd 7725  Basecbs 16598  +_gcplusg 16680  0_gc0g 16828  Grpcgrp 18231  -_gcsg 18233  LModclmod 19765  LSpanclspn 19874  HLchlt 37019  LHypclh 37653  DVecHcdvh 38747  LCDualclcd 39255  mapdcmpd 39293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-riotaBAD 36622

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-ot 4535  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-of 7437  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-tpos 7933  df-undef 7980  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-map 8451  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-fz 12994  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-sca 16696  df-vsca 16697  df-0g 16830  df-mre 16972  df-mrc 16973  df-acs 16975  df-proset 17666  df-poset 17684  df-plt 17696  df-lub 17712  df-glb 17713  df-join 17714  df-meet 17715  df-p0 17777  df-p1 17778  df-lat 17784  df-clat 17846  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-submnd 18085  df-grp 18234  df-minusg 18235  df-sbg 18236  df-subg 18406  df-cntz 18577  df-oppg 18604  df-lsm 18891  df-cmn 19038  df-abl 19039  df-mgp 19371  df-ur 19383  df-ring 19430  df-oppr 19507  df-dvdsr 19525  df-unit 19526  df-invr 19556  df-dvr 19567  df-drng 19635  df-lmod 19767  df-lss 19835  df-lsp 19875  df-lvec 20006  df-lsatoms 36645  df-lshyp 36646  df-lcv 36688  df-lfl 36727  df-lkr 36755  df-ldual 36793  df-oposet 36845  df-ol 36847  df-oml 36848  df-covers 36935  df-ats 36936  df-atl 36967  df-cvlat 36991  df-hlat 37020  df-llines 37167  df-lplanes 37168  df-lvols 37169  df-lines 37170  df-psubsp 37172  df-pmap 37173  df-padd 37465  df-lhyp 37657  df-laut 37658  df-ldil 37773  df-ltrn 37774  df-trl 37828  df-tgrp 38412  df-tendo 38424  df-edring 38426  df-dveca 38672  df-disoa 38698  df-dvech 38748  df-dib 38808  df-dic 38842  df-dih 38898  df-doch 39017  df-djh 39064  df-lcdual 39256  df-mapd 39294

This theorem is referenced by:  mapdh6kN  39415