Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6bN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6bN 37893
 Description: Lemmma for mapdh6N 37903. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p + = (+g𝑈)
mapdh.a = (+g𝐶)
mapdh6b.y (𝜑𝑌 = 0 )
mapdh6b.z (𝜑𝑍𝑉)
mapdh6b.ne (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
mapdh6bN (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,   ,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   + (𝑥,)   (𝑥,)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh6bN
StepHypRef Expression
1 mapdh.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 37748 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 lmodgrp 19262 . . . 4 (𝐶 ∈ LMod → 𝐶 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Grp)
7 mapdh.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
8 mapdh.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
9 mapdh.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10 mapdh.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11 mapdh.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 mapdh.s . . . 4 = (-g𝑈)
13 mapdhc.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
14 mapdh.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15 mapdh.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
16 mapdh.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
17 mapdh.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
18 mapdhc.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
19 mapdh.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
20 mapdhcl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21 mapdh6b.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑉)
221, 10, 3dvhlvec 37265 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2320eldifad 3804 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
24 mapdh6b.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = 0 )
251, 10, 3dvhlmod 37266 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
2611, 13lmod0vcl 19284 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → 0𝑉)
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑0𝑉)
2824, 27eqeltrd 2859 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
29 mapdh6b.ne . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
3011, 14, 22, 23, 28, 21, 29lspindpi 19528 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
3130simprd 491 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
327, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 15, 16, 17, 3, 18, 19, 20, 21, 31mapdhcl 37883 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
33 mapdh.a . . . 4 = (+g𝐶)
3415, 33, 7grplid 17839 . . 3 ((𝐶 ∈ Grp ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷) → (𝑄 (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
356, 32, 34syl2anc 579 . 2 (𝜑 → (𝑄 (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
3624oteq3d 4650 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
3736fveq2d 6450 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
387, 8, 13, 20, 18mapdhval0 37881 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
3937, 38eqtrd 2814 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝑄)
4039oveq1d 6937 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = (𝑄 (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
4124oveq1d 6937 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = ( 0 + 𝑍))
42 lmodgrp 19262 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
4325, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
44 mapdh.p . . . . . . 7 + = (+g𝑈)
4511, 44, 13grplid 17839 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑍𝑉) → ( 0 + 𝑍) = 𝑍)
4643, 21, 45syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ( 0 + 𝑍) = 𝑍)
4741, 46eqtrd 2814 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = 𝑍)
4847oteq3d 4650 . . 3 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)
4948fveq2d 6450 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
5035, 40, 493eqtr4rd 2825 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  Vcvv 3398   ∖ cdif 3789  ifcif 4307  {csn 4398  {cpr 4400  ⟨cotp 4406   ↦ cmpt 4965  ‘cfv 6135  ℩crio 6882  (class class class)co 6922  1st c1st 7443  2nd c2nd 7444  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  0gc0g 16486  Grpcgrp 17809  -gcsg 17811  LModclmod 19255  LSpanclspn 19366  HLchlt 35506  LHypclh 36140  DVecHcdvh 37234  LCDualclcd 37742  mapdcmpd 37780 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-riotaBAD 35109 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-undef 7681  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-oppg 18159  df-lsm 18435  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498  df-lsatoms 35132  df-lshyp 35133  df-lcv 35175  df-lfl 35214  df-lkr 35242  df-ldual 35280  df-oposet 35332  df-ol 35334  df-oml 35335  df-covers 35422  df-ats 35423  df-atl 35454  df-cvlat 35478  df-hlat 35507  df-llines 35654  df-lplanes 35655  df-lvols 35656  df-lines 35657  df-psubsp 35659  df-pmap 35660  df-padd 35952  df-lhyp 36144  df-laut 36145  df-ldil 36260  df-ltrn 36261  df-trl 36315  df-tgrp 36899  df-tendo 36911  df-edring 36913  df-dveca 37159  df-disoa 37185  df-dvech 37235  df-dib 37295  df-dic 37329  df-dih 37385  df-doch 37504  df-djh 37551  df-lcdual 37743  df-mapd 37781 This theorem is referenced by:  mapdh6kN  37902
 Copyright terms: Public domain W3C validator