Theorem lspsneq 21283

Description: Equal spans of singletons must have proportional vectors. See lspsnss2 21163 for comparable span version. TODO: can proof be shortened? (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneq.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lspsneq.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lspsneq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lspsneq.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsneq.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsneq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsneq	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   0 ,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem lspsneq

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneq.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspsneq.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5	4	lmodring 21026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
6		lspsneq.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
7		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
8	6, 7	ringidcl 20380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ 𝐾)
9	3, 5, 8	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝐾)
10	4	lvecdrng 21263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
11		lspsneq.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
12	11, 7	drngunz 20884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ DivRing → (1r‘𝑆) ≠ 0 )
13	1, 10, 12	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ 0 )
14		eldifsn 4758	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ ((1r‘𝑆) ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑆) ≠ 0 ))
15	9, 13, 14	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
16	15	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → (1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
17		lspsneq.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
18		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
19	17, 18	lmod0vcl 21049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
20		lspsneq.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
21	17, 4, 20, 7	lmodvs1 21048	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
22	3, 19, 21	syl2anc2 597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
23	22	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
24		oveq2 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑊) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)))
25	24	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)))
26		lspsneq.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
27	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LMod)
28		lspsneq.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
29	28	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
30		lspsneq.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
31	30	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
32		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
33	17, 18, 26, 27, 29, 31, 32	lspsneq0b 21171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g‘𝑊) ↔ 𝑌 = (0g‘𝑊)))
34	33	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = (0g‘𝑊))
35	23, 25, 34	3eqtr4rd 2812	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = ((1r‘𝑆) · 𝑌))
36		oveq1 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (1r‘𝑆) → (𝑗 · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · 𝑌))
37	36	rspceeqv 3607	. . . . . 6 ⊢ (((1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ∧ 𝑋 = ((1r‘𝑆) · 𝑌)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
38	16, 35, 37	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
39		eqimss 3998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
40	39	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
41		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
42	17, 41, 26	lspsncl 21135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
43	3, 30, 42	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
45	17, 41, 26, 27, 44, 29	ellspsn5b 21153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
46	40, 45	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
47	4, 6, 17, 20, 26	ellspsn 21161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
48	27, 31, 47	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
49	46, 48	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
50	49	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
51		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ 𝐾)
52		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
53	52	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
54	33	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g‘𝑊) → 𝑌 = (0g‘𝑊)))
55	54	necon3d 2982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑌 ≠ (0g‘𝑊) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊)))
56	55	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
57	56	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
58	53, 57	eqnetrrd 3029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗 · 𝑌) ≠ (0g‘𝑊))
59	1	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
60	59	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
61	31	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
62	17, 20, 4, 6, 11, 18, 60, 51, 61	lvecvsn0 21270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → ((𝑗 · 𝑌) ≠ (0g‘𝑊) ↔ (𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊))))
63	58, 62	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)))
64	63	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ≠ 0 )
65		eldifsn 4758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ≠ 0 ))
66	51, 64, 65	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
67	50, 66, 53	reximssdv 3186	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
68	38, 67	pm2.61dane 3048	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
69	68	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
70	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
71		eldifi 4088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗 ∈ 𝐾)
72	71	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ 𝐾)
73		eldifsni 4763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗 ≠ 0 )
74	73	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗 ≠ 0 )
75	30	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑌 ∈ 𝑉)
76	17, 4, 20, 6, 11, 26	lspsnvs 21275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ≠ 0 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
77	70, 72, 74, 75, 76	syl121anc 1402	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
78	77	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
79		sneq 4604	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → {𝑋} = {(𝑗 · 𝑌)})
80	79	fveqeq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
81	80	biimprcd 253	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
82	78, 81	syl6 36	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))))
83	82	rexlimdv 3167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
84	69, 83	impbid 215	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
85		oveq1 7430	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑌) = (𝑘 · 𝑌))
86	85	eqeq2d 2777	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
87	86	cbvrexvw 3247	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌))
88	84, 87	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092   ∖ cdif 3905   ⊆ wss 3908  {csn 4594  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  Scalarcsca 17338   ·_𝑠 cvsca 17339  0_gc0g 17517  1_rcur 20294  Ringcrg 20346  DivRingcdr 20864  LModclmod 21018  LSubSpclss 21089  LSpanclspn 21129  LVecclvec 21260

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-drng 20866  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-lvec 21261

This theorem is used by:  lspsneu  21284  mapdpglem26  42513  mapdpglem27  42514  hdmap14lem2a  42682  hdmap14lem2N  42684  prjsprellsp  43384