Theorem lspsneq 21125

Description: Equal spans of singletons must have proportional vectors. See lspsnss2 21004 for comparable span version. TODO: can proof be shortened? (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneq.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lspsneq.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lspsneq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lspsneq.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsneq.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsneq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsneq	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   0 ,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem lspsneq

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneq.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspsneq.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5	4	lmodring 20867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
6		lspsneq.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
7		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
8	6, 7	ringidcl 20263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ 𝐾)
9	3, 5, 8	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝐾)
10	4	lvecdrng 21105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
11		lspsneq.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
12	11, 7	drngunz 20748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ DivRing → (1r‘𝑆) ≠ 0 )
13	1, 10, 12	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ 0 )
14		eldifsn 4785	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ ((1r‘𝑆) ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑆) ≠ 0 ))
15	9, 13, 14	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
16	15	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → (1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
17		lspsneq.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
18		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
19	17, 18	lmod0vcl 20890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
20		lspsneq.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
21	17, 4, 20, 7	lmodvs1 20889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
22	3, 19, 21	syl2anc2 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
23	22	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
24		oveq2 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑊) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)))
25	24	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)))
26		lspsneq.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
27	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LMod)
28		lspsneq.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
30		lspsneq.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
32		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
33	17, 18, 26, 27, 29, 31, 32	lspsneq0b 21012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g‘𝑊) ↔ 𝑌 = (0g‘𝑊)))
34	33	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = (0g‘𝑊))
35	23, 25, 34	3eqtr4rd 2787	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = ((1r‘𝑆) · 𝑌))
36		oveq1 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (1r‘𝑆) → (𝑗 · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · 𝑌))
37	36	rspceeqv 3644	. . . . . 6 ⊢ (((1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ∧ 𝑋 = ((1r‘𝑆) · 𝑌)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
38	16, 35, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
39		eqimss 4041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
40	39	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
41		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
42	17, 41, 26	lspsncl 20976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
43	3, 30, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
45	17, 41, 26, 27, 44, 29	ellspsn5b 20994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
46	40, 45	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
47	4, 6, 17, 20, 26	ellspsn 21002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
48	27, 31, 47	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
49	46, 48	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
50	49	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
51		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ 𝐾)
52		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
54	33	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g‘𝑊) → 𝑌 = (0g‘𝑊)))
55	54	necon3d 2960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑌 ≠ (0g‘𝑊) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊)))
56	55	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
58	53, 57	eqnetrrd 3008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗 · 𝑌) ≠ (0g‘𝑊))
59	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
60	59	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
61	31	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
62	17, 20, 4, 6, 11, 18, 60, 51, 61	lvecvsn0 21112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → ((𝑗 · 𝑌) ≠ (0g‘𝑊) ↔ (𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊))))
63	58, 62	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)))
64	63	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ≠ 0 )
65		eldifsn 4785	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ≠ 0 ))
66	51, 64, 65	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
67	50, 66, 53	reximssdv 3172	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
68	38, 67	pm2.61dane 3028	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
69	68	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
70	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
71		eldifi 4130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗 ∈ 𝐾)
72	71	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ 𝐾)
73		eldifsni 4789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗 ≠ 0 )
74	73	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗 ≠ 0 )
75	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑌 ∈ 𝑉)
76	17, 4, 20, 6, 11, 26	lspsnvs 21117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ≠ 0 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
77	70, 72, 74, 75, 76	syl121anc 1376	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
78	77	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
79		sneq 4635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → {𝑋} = {(𝑗 · 𝑌)})
80	79	fveqeq2d 6913	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
81	80	biimprcd 250	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
82	78, 81	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))))
83	82	rexlimdv 3152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
84	69, 83	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
85		oveq1 7439	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑌) = (𝑘 · 𝑌))
86	85	eqeq2d 2747	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
87	86	cbvrexvw 3237	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌))
88	84, 87	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  {csn 4625  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17485  1_rcur 20179  Ringcrg 20231  DivRingcdr 20730  LModclmod 20859  LSubSpclss 20930  LSpanclspn 20970  LVecclvec 21102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-drng 20732  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lvec 21103

This theorem is referenced by:  lspsneu  21126  mapdpglem26  41701  mapdpglem27  41702  hdmap14lem2a  41870  hdmap14lem2N  41872  prjsprellsp  42626