MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsneq 21022
Description: Equal spans of singletons must have proportional vectors. See lspsnss2 20901 for comparable span version. TODO: can proof be shortened? (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneq.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneq.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lspsneq.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
lspsneq.o 0 = (0g𝑆)
lspsneq.t · = ( ·𝑠𝑊)
lspsneq.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneq.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspsneq.x (𝜑𝑋𝑉)
lspsneq.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspsneq (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   0 ,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem lspsneq
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsneq.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 21003 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lspsneq.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
54lmodring 20763 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
6 lspsneq.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝑆)
7 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (1r𝑆) = (1r𝑆)
86, 7ringidcl 20214 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → (1r𝑆) ∈ 𝐾)
93, 5, 83syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑆) ∈ 𝐾)
104lvecdrng 21002 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
11 lspsneq.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑆)
1211, 7drngunz 20655 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ DivRing → (1r𝑆) ≠ 0 )
131, 10, 123syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑆) ≠ 0 )
14 eldifsn 4792 . . . . . . . 8 ((1r𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ ((1r𝑆) ∈ 𝐾 ∧ (1r𝑆) ≠ 0 ))
159, 13, 14sylanbrc 581 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
1615ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → (1r𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
17 lspsneq.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
18 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (0g𝑊) = (0g𝑊)
1917, 18lmod0vcl 20786 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
20 lspsneq.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
2117, 4, 20, 7lmodvs1 20785 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉) → ((1r𝑆) · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
223, 19, 21syl2anc2 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1r𝑆) · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
2322ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → ((1r𝑆) · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
24 oveq2 7427 . . . . . . . 8 (𝑌 = (0g𝑊) → ((1r𝑆) · 𝑌) = ((1r𝑆) · (0g𝑊)))
2524adantl 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → ((1r𝑆) · 𝑌) = ((1r𝑆) · (0g𝑊)))
26 lspsneq.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
273adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LMod)
28 lspsneq.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑉)
2928adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋𝑉)
30 lspsneq.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑉)
3130adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌𝑉)
32 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3317, 18, 26, 27, 29, 31, 32lspsneq0b 20909 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g𝑊) ↔ 𝑌 = (0g𝑊)))
3433biimpar 476 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → 𝑋 = (0g𝑊))
3523, 25, 343eqtr4rd 2776 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → 𝑋 = ((1r𝑆) · 𝑌))
36 oveq1 7426 . . . . . . 7 (𝑗 = (1r𝑆) → (𝑗 · 𝑌) = ((1r𝑆) · 𝑌))
3736rspceeqv 3628 . . . . . 6 (((1r𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ∧ 𝑋 = ((1r𝑆) · 𝑌)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
3816, 35, 37syl2anc 582 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
39 eqimss 4035 . . . . . . . . . 10 ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
4039adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
41 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4217, 41, 26lspsncl 20873 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
433, 30, 42syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4443adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4517, 41, 26, 27, 44, 29lspsnel5 20891 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
4640, 45mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
474, 6, 17, 20, 26lspsnel 20899 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
4827, 31, 47syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
4946, 48mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
5049adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ∃𝑗𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
51 simprl 769 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗𝐾)
52 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
5352adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
5433biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g𝑊) → 𝑌 = (0g𝑊)))
5554necon3d 2950 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑌 ≠ (0g𝑊) → 𝑋 ≠ (0g𝑊)))
5655imp 405 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑋 ≠ (0g𝑊))
5756adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 ≠ (0g𝑊))
5853, 57eqnetrrd 2998 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗 · 𝑌) ≠ (0g𝑊))
591adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
6059ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
6131ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑌𝑉)
6217, 20, 4, 6, 11, 18, 60, 51, 61lvecvsn0 21009 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → ((𝑗 · 𝑌) ≠ (0g𝑊) ↔ (𝑗0𝑌 ≠ (0g𝑊))))
6358, 62mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗0𝑌 ≠ (0g𝑊)))
6463simpld 493 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗0 )
65 eldifsn 4792 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ (𝑗𝐾𝑗0 ))
6651, 64, 65sylanbrc 581 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
6750, 66, 53reximssdv 3162 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
6838, 67pm2.61dane 3018 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
6968ex 411 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
701adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
71 eldifi 4123 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗𝐾)
7271adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗𝐾)
73 eldifsni 4795 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗0 )
7473adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗0 )
7530adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑌𝑉)
7617, 4, 20, 6, 11, 26lspsnvs 21014 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑗𝐾𝑗0 ) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
7770, 72, 74, 75, 76syl121anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
7877ex 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
79 sneq 4640 . . . . . . 7 (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → {𝑋} = {(𝑗 · 𝑌)})
8079fveqeq2d 6904 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
8180biimprcd 249 . . . . 5 ((𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
8278, 81syl6 35 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))))
8382rexlimdv 3142 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
8469, 83impbid 211 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
85 oveq1 7426 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑌) = (𝑘 · 𝑌))
8685eqeq2d 2736 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
8786cbvrexvw 3225 . 2 (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌))
8884, 87bitrdi 286 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059  cdif 3941  wss 3944  {csn 4630  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  Scalarcsca 17239   ·𝑠 cvsca 17240  0gc0g 17424  1rcur 20133  Ringcrg 20185  DivRingcdr 20636  LModclmod 20755  LSubSpclss 20827  LSpanclspn 20867  LVecclvec 20999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-drng 20638  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lvec 21000
This theorem is referenced by:  lspsneu  21023  mapdpglem26  41301  mapdpglem27  41302  hdmap14lem2a  41470  hdmap14lem2N  41472  prjsprellsp  42170
  Copyright terms: Public domain W3C validator