MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsneq 19610
Description: Equal spans of singletons must have proportional vectors. See lspsnss2 19493 for comparable span version. TODO: can proof be shortened? (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneq.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneq.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lspsneq.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
lspsneq.o 0 = (0g𝑆)
lspsneq.t · = ( ·𝑠𝑊)
lspsneq.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneq.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspsneq.x (𝜑𝑋𝑉)
lspsneq.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspsneq (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   0 ,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem lspsneq
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsneq.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19594 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lspsneq.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
54lmodring 19358 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
6 lspsneq.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝑆)
7 eqid 2775 . . . . . . . . . 10 (1r𝑆) = (1r𝑆)
86, 7ringidcl 19035 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → (1r𝑆) ∈ 𝐾)
93, 5, 83syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑆) ∈ 𝐾)
104lvecdrng 19593 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
11 lspsneq.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑆)
1211, 7drngunz 19234 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ DivRing → (1r𝑆) ≠ 0 )
131, 10, 123syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑆) ≠ 0 )
14 eldifsn 4591 . . . . . . . 8 ((1r𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ ((1r𝑆) ∈ 𝐾 ∧ (1r𝑆) ≠ 0 ))
159, 13, 14sylanbrc 575 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
1615ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → (1r𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
17 lspsneq.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Base‘𝑊)
18 eqid 2775 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑊) = (0g𝑊)
1917, 18lmod0vcl 19379 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
201, 2, 193syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
21 lspsneq.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
2217, 4, 21, 7lmodvs1 19378 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉) → ((1r𝑆) · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
233, 20, 22syl2anc 576 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1r𝑆) · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
2423ad2antrr 713 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → ((1r𝑆) · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
25 oveq2 6982 . . . . . . . 8 (𝑌 = (0g𝑊) → ((1r𝑆) · 𝑌) = ((1r𝑆) · (0g𝑊)))
2625adantl 474 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → ((1r𝑆) · 𝑌) = ((1r𝑆) · (0g𝑊)))
27 lspsneq.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
283adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LMod)
29 lspsneq.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑉)
3029adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋𝑉)
31 lspsneq.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑉)
3231adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌𝑉)
33 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3417, 18, 27, 28, 30, 32, 33lspsneq0b 19501 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g𝑊) ↔ 𝑌 = (0g𝑊)))
3534biimpar 470 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → 𝑋 = (0g𝑊))
3624, 26, 353eqtr4rd 2822 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → 𝑋 = ((1r𝑆) · 𝑌))
37 oveq1 6981 . . . . . . 7 (𝑗 = (1r𝑆) → (𝑗 · 𝑌) = ((1r𝑆) · 𝑌))
3837rspceeqv 3550 . . . . . 6 (((1r𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ∧ 𝑋 = ((1r𝑆) · 𝑌)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
3916, 36, 38syl2anc 576 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
40 eqimss 3912 . . . . . . . . . 10 ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
4140adantl 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
42 eqid 2775 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4317, 42, 27lspsncl 19465 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
443, 31, 43syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4544adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4617, 42, 27, 28, 45, 30lspsnel5 19483 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
4741, 46mpbird 249 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
484, 6, 17, 21, 27lspsnel 19491 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
4928, 32, 48syl2anc 576 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
5047, 49mpbid 224 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
5150adantr 473 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ∃𝑗𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
52 simprl 758 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗𝐾)
53 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
5453adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
5534biimpd 221 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g𝑊) → 𝑌 = (0g𝑊)))
5655necon3d 2985 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑌 ≠ (0g𝑊) → 𝑋 ≠ (0g𝑊)))
5756imp 398 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑋 ≠ (0g𝑊))
5857adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 ≠ (0g𝑊))
5954, 58eqnetrrd 3032 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗 · 𝑌) ≠ (0g𝑊))
601adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
6160ad2antrr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
6232ad2antrr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑌𝑉)
6317, 21, 4, 6, 11, 18, 61, 52, 62lvecvsn0 19597 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → ((𝑗 · 𝑌) ≠ (0g𝑊) ↔ (𝑗0𝑌 ≠ (0g𝑊))))
6459, 63mpbid 224 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗0𝑌 ≠ (0g𝑊)))
6564simpld 487 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗0 )
66 eldifsn 4591 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ (𝑗𝐾𝑗0 ))
6752, 65, 66sylanbrc 575 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
6851, 67, 54reximssdv 3218 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
6939, 68pm2.61dane 3052 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
7069ex 405 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
711adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
72 eldifi 3992 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗𝐾)
7372adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗𝐾)
74 eldifsni 4594 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗0 )
7574adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗0 )
7631adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑌𝑉)
7717, 4, 21, 6, 11, 27lspsnvs 19602 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑗𝐾𝑗0 ) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
7871, 73, 75, 76, 77syl121anc 1355 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
7978ex 405 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
80 sneq 4449 . . . . . . 7 (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → {𝑋} = {(𝑗 · 𝑌)})
8180fveqeq2d 6505 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
8281biimprcd 242 . . . . 5 ((𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
8379, 82syl6 35 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))))
8483rexlimdv 3225 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
8570, 84impbid 204 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
86 oveq1 6981 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑌) = (𝑘 · 𝑌))
8786eqeq2d 2785 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
8887cbvrexv 3381 . 2 (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌))
8985, 88syl6bb 279 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2964  wrex 3086  cdif 3825  wss 3828  {csn 4439  cfv 6186  (class class class)co 6974  Basecbs 16333  Scalarcsca 16418   ·𝑠 cvsca 16419  0gc0g 16563  1rcur 18968  Ringcrg 19014  DivRingcdr 19219  LModclmod 19350  LSubSpclss 19419  LSpanclspn 19459  LVecclvec 19590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-int 4748  df-iun 4792  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-tpos 7692  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-er 8085  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-nn 11436  df-2 11500  df-3 11501  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-0g 16565  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-grp 17888  df-minusg 17889  df-sbg 17890  df-mgp 18957  df-ur 18969  df-ring 19016  df-oppr 19090  df-dvdsr 19108  df-unit 19109  df-invr 19139  df-drng 19221  df-lmod 19352  df-lss 19420  df-lsp 19460  df-lvec 19591
This theorem is referenced by:  lspsneu  19611  mapdpglem26  38257  mapdpglem27  38258  hdmap14lem2a  38426  hdmap14lem2N  38428  prjsprellsp  38646
  Copyright terms: Public domain W3C validator