Theorem lspsneq 20299

Description: Equal spans of singletons must have proportional vectors. See lspsnss2 20182 for comparable span version. TODO: can proof be shortened? (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneq.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lspsneq.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lspsneq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lspsneq.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsneq.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsneq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsneq	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   0 ,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem lspsneq

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneq.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspsneq.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5	4	lmodring 20046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
6		lspsneq.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
7		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
8	6, 7	ringidcl 19722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ 𝐾)
9	3, 5, 8	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝐾)
10	4	lvecdrng 20282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
11		lspsneq.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
12	11, 7	drngunz 19921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ DivRing → (1r‘𝑆) ≠ 0 )
13	1, 10, 12	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ 0 )
14		eldifsn 4717	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ ((1r‘𝑆) ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑆) ≠ 0 ))
15	9, 13, 14	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
16	15	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → (1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
17		lspsneq.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
18		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
19	17, 18	lmod0vcl 20067	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
20		lspsneq.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
21	17, 4, 20, 7	lmodvs1 20066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
22	3, 19, 21	syl2anc2 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
23	22	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
24		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑊) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)))
25	24	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)))
26		lspsneq.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
27	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LMod)
28		lspsneq.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
30		lspsneq.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
32		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
33	17, 18, 26, 27, 29, 31, 32	lspsneq0b 20190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g‘𝑊) ↔ 𝑌 = (0g‘𝑊)))
34	33	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = (0g‘𝑊))
35	23, 25, 34	3eqtr4rd 2789	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = ((1r‘𝑆) · 𝑌))
36		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (1r‘𝑆) → (𝑗 · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · 𝑌))
37	36	rspceeqv 3567	. . . . . 6 ⊢ (((1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ∧ 𝑋 = ((1r‘𝑆) · 𝑌)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
38	16, 35, 37	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
39		eqimss 3973	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
40	39	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
41		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
42	17, 41, 26	lspsncl 20154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
43	3, 30, 42	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
45	17, 41, 26, 27, 44, 29	lspsnel5 20172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
46	40, 45	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
47	4, 6, 17, 20, 26	lspsnel 20180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
48	27, 31, 47	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
49	46, 48	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
50	49	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
51		simprl 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ 𝐾)
52		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
54	33	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g‘𝑊) → 𝑌 = (0g‘𝑊)))
55	54	necon3d 2963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑌 ≠ (0g‘𝑊) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊)))
56	55	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
58	53, 57	eqnetrrd 3011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗 · 𝑌) ≠ (0g‘𝑊))
59	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
60	59	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
61	31	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
62	17, 20, 4, 6, 11, 18, 60, 51, 61	lvecvsn0 20286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → ((𝑗 · 𝑌) ≠ (0g‘𝑊) ↔ (𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊))))
63	58, 62	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)))
64	63	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ≠ 0 )
65		eldifsn 4717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ≠ 0 ))
66	51, 64, 65	sylanbrc 582	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
67	50, 66, 53	reximssdv 3204	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
68	38, 67	pm2.61dane 3031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
69	68	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
70	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
71		eldifi 4057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗 ∈ 𝐾)
72	71	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ 𝐾)
73		eldifsni 4720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗 ≠ 0 )
74	73	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗 ≠ 0 )
75	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑌 ∈ 𝑉)
76	17, 4, 20, 6, 11, 26	lspsnvs 20291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ≠ 0 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
77	70, 72, 74, 75, 76	syl121anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
78	77	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
79		sneq 4568	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → {𝑋} = {(𝑗 · 𝑌)})
80	79	fveqeq2d 6764	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
81	80	biimprcd 249	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
82	78, 81	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))))
83	82	rexlimdv 3211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
84	69, 83	impbid 211	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
85		oveq1 7262	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑌) = (𝑘 · 𝑌))
86	85	eqeq2d 2749	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
87	86	cbvrexvw 3373	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌))
88	84, 87	bitrdi 286	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  DivRingcdr 19906  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LVecclvec 20279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280

This theorem is referenced by:  lspsneu  20300  mapdpglem26  39639  mapdpglem27  39640  hdmap14lem2a  39808  hdmap14lem2N  39810  prjsprellsp  40371