Theorem lspsneq 21063

Description: Equal spans of singletons must have proportional vectors. See lspsnss2 20942 for comparable span version. TODO: can proof be shortened? (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneq.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lspsneq.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lspsneq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lspsneq.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsneq.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsneq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsneq	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   0 ,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem lspsneq

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneq.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspsneq.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5	4	lmodring 20805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
6		lspsneq.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
7		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
8	6, 7	ringidcl 20187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ 𝐾)
9	3, 5, 8	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝐾)
10	4	lvecdrng 21043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
11		lspsneq.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
12	11, 7	drngunz 20666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ DivRing → (1r‘𝑆) ≠ 0 )
13	1, 10, 12	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ 0 )
14		eldifsn 4739	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ ((1r‘𝑆) ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑆) ≠ 0 ))
15	9, 13, 14	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
16	15	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → (1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
17		lspsneq.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
18		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
19	17, 18	lmod0vcl 20828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
20		lspsneq.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
21	17, 4, 20, 7	lmodvs1 20827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉) → ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
22	3, 19, 21	syl2anc2 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
23	22	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
24		oveq2 7362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑊) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)))
25	24	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → ((1r‘𝑆) · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · (0g‘𝑊)))
26		lspsneq.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
27	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LMod)
28		lspsneq.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
30		lspsneq.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
32		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
33	17, 18, 26, 27, 29, 31, 32	lspsneq0b 20950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g‘𝑊) ↔ 𝑌 = (0g‘𝑊)))
34	33	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = (0g‘𝑊))
35	23, 25, 34	3eqtr4rd 2779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = ((1r‘𝑆) · 𝑌))
36		oveq1 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (1r‘𝑆) → (𝑗 · 𝑌) = ((1r‘𝑆) · 𝑌))
37	36	rspceeqv 3596	. . . . . 6 ⊢ (((1r‘𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ∧ 𝑋 = ((1r‘𝑆) · 𝑌)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
38	16, 35, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
39		eqimss 3989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
40	39	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
41		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
42	17, 41, 26	lspsncl 20914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
43	3, 30, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
45	17, 41, 26, 27, 44, 29	ellspsn5b 20932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
46	40, 45	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
47	4, 6, 17, 20, 26	ellspsn 20940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
48	27, 31, 47	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
49	46, 48	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
50	49	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
51		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ 𝐾)
52		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
54	33	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g‘𝑊) → 𝑌 = (0g‘𝑊)))
55	54	necon3d 2950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑌 ≠ (0g‘𝑊) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊)))
56	55	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
58	53, 57	eqnetrrd 2997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗 · 𝑌) ≠ (0g‘𝑊))
59	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
60	59	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
61	31	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
62	17, 20, 4, 6, 11, 18, 60, 51, 61	lvecvsn0 21050	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → ((𝑗 · 𝑌) ≠ (0g‘𝑊) ↔ (𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊))))
63	58, 62	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)))
64	63	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ≠ 0 )
65		eldifsn 4739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ≠ 0 ))
66	51, 64, 65	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
67	50, 66, 53	reximssdv 3151	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
68	38, 67	pm2.61dane 3016	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
69	68	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
70	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
71		eldifi 4080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗 ∈ 𝐾)
72	71	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ 𝐾)
73		eldifsni 4743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗 ≠ 0 )
74	73	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗 ≠ 0 )
75	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑌 ∈ 𝑉)
76	17, 4, 20, 6, 11, 26	lspsnvs 21055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑗 ≠ 0 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
77	70, 72, 74, 75, 76	syl121anc 1377	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
78	77	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
79		sneq 4587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → {𝑋} = {(𝑗 · 𝑌)})
80	79	fveqeq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
81	80	biimprcd 250	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
82	78, 81	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))))
83	82	rexlimdv 3132	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
84	69, 83	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
85		oveq1 7361	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑌) = (𝑘 · 𝑌))
86	85	eqeq2d 2744	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
87	86	cbvrexvw 3212	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌))
88	84, 87	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4577  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Basecbs 17124  Scalarcsca 17168   ·_𝑠 cvsca 17169  0_gc0g 17347  1_rcur 20103  Ringcrg 20155  DivRingcdr 20648  LModclmod 20797  LSubSpclss 20868  LSpanclspn 20908  LVecclvec 21040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-tpos 8164  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-0g 17349  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-oppr 20259  df-dvdsr 20279  df-unit 20280  df-invr 20310  df-drng 20650  df-lmod 20799  df-lss 20869  df-lsp 20909  df-lvec 21041

This theorem is referenced by:  lspsneu  21064  mapdpglem26  41820  mapdpglem27  41821  hdmap14lem2a  41989  hdmap14lem2N  41991  prjsprellsp  42732