Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsneq 19891
 Description: Equal spans of singletons must have proportional vectors. See lspsnss2 19774 for comparable span version. TODO: can proof be shortened? (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneq.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneq.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lspsneq.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
lspsneq.o 0 = (0g𝑆)
lspsneq.t · = ( ·𝑠𝑊)
lspsneq.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneq.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspsneq.x (𝜑𝑋𝑉)
lspsneq.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspsneq (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   0 ,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem lspsneq
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsneq.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19875 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lspsneq.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
54lmodring 19639 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
6 lspsneq.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝑆)
7 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (1r𝑆) = (1r𝑆)
86, 7ringidcl 19318 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → (1r𝑆) ∈ 𝐾)
93, 5, 83syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑆) ∈ 𝐾)
104lvecdrng 19874 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
11 lspsneq.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑆)
1211, 7drngunz 19514 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ DivRing → (1r𝑆) ≠ 0 )
131, 10, 123syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑆) ≠ 0 )
14 eldifsn 4683 . . . . . . . 8 ((1r𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ ((1r𝑆) ∈ 𝐾 ∧ (1r𝑆) ≠ 0 ))
159, 13, 14sylanbrc 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
1615ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → (1r𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
17 lspsneq.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
18 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (0g𝑊) = (0g𝑊)
1917, 18lmod0vcl 19660 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
20 lspsneq.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
2117, 4, 20, 7lmodvs1 19659 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉) → ((1r𝑆) · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
223, 19, 21syl2anc2 588 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1r𝑆) · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
2322ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → ((1r𝑆) · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
24 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑌 = (0g𝑊) → ((1r𝑆) · 𝑌) = ((1r𝑆) · (0g𝑊)))
2524adantl 485 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → ((1r𝑆) · 𝑌) = ((1r𝑆) · (0g𝑊)))
26 lspsneq.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
273adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LMod)
28 lspsneq.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑉)
2928adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋𝑉)
30 lspsneq.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑉)
3130adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌𝑉)
32 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3317, 18, 26, 27, 29, 31, 32lspsneq0b 19782 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g𝑊) ↔ 𝑌 = (0g𝑊)))
3433biimpar 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → 𝑋 = (0g𝑊))
3523, 25, 343eqtr4rd 2847 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → 𝑋 = ((1r𝑆) · 𝑌))
36 oveq1 7146 . . . . . . 7 (𝑗 = (1r𝑆) → (𝑗 · 𝑌) = ((1r𝑆) · 𝑌))
3736rspceeqv 3589 . . . . . 6 (((1r𝑆) ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ∧ 𝑋 = ((1r𝑆) · 𝑌)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
3816, 35, 37syl2anc 587 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 = (0g𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
39 eqimss 3974 . . . . . . . . . 10 ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
4039adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
41 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4217, 41, 26lspsncl 19746 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
433, 30, 42syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4443adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4517, 41, 26, 27, 44, 29lspsnel5 19764 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
4640, 45mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
474, 6, 17, 20, 26lspsnel 19772 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
4827, 31, 47syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
4946, 48mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
5049adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ∃𝑗𝐾 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
51 simprl 770 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗𝐾)
52 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
5352adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
5433biimpd 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑋 = (0g𝑊) → 𝑌 = (0g𝑊)))
5554necon3d 3011 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → (𝑌 ≠ (0g𝑊) → 𝑋 ≠ (0g𝑊)))
5655imp 410 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑋 ≠ (0g𝑊))
5756adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑋 ≠ (0g𝑊))
5853, 57eqnetrrd 3058 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗 · 𝑌) ≠ (0g𝑊))
591adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
6059ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
6131ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑌𝑉)
6217, 20, 4, 6, 11, 18, 60, 51, 61lvecvsn0 19878 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → ((𝑗 · 𝑌) ≠ (0g𝑊) ↔ (𝑗0𝑌 ≠ (0g𝑊))))
6358, 62mpbid 235 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → (𝑗0𝑌 ≠ (0g𝑊)))
6463simpld 498 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗0 )
65 eldifsn 4683 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) ↔ (𝑗𝐾𝑗0 ))
6651, 64, 65sylanbrc 586 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑗𝐾𝑋 = (𝑗 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
6750, 66, 53reximssdv 3238 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
6838, 67pm2.61dane 3077 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
6968ex 416 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
701adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
71 eldifi 4057 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗𝐾)
7271adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗𝐾)
73 eldifsni 4686 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑗0 )
7473adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑗0 )
7530adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑌𝑉)
7617, 4, 20, 6, 11, 26lspsnvs 19883 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑗𝐾𝑗0 ) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
7770, 72, 74, 75, 76syl121anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
7877ex 416 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
79 sneq 4538 . . . . . . 7 (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → {𝑋} = {(𝑗 · 𝑌)})
8079fveqeq2d 6657 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌})))
8180biimprcd 253 . . . . 5 ((𝑁‘{(𝑗 · 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
8278, 81syl6 35 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))))
8382rexlimdv 3245 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
8469, 83impbid 215 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
85 oveq1 7146 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑌) = (𝑘 · 𝑌))
8685eqeq2d 2812 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
8786cbvrexvw 3400 . 2 (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌))
8884, 87syl6bb 290 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∃wrex 3110   ∖ cdif 3881   ⊆ wss 3884  {csn 4528  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  Scalarcsca 16564   ·𝑠 cvsca 16565  0gc0g 16709  1rcur 19248  Ringcrg 19294  DivRingcdr 19499  LModclmod 19631  LSubSpclss 19700  LSpanclspn 19740  LVecclvec 19871 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-drng 19501  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-lvec 19872 This theorem is referenced by:  lspsneu  19892  mapdpglem26  38993  mapdpglem27  38994  hdmap14lem2a  39162  hdmap14lem2N  39164  prjsprellsp  39602
 Copyright terms: Public domain W3C validator