MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspprat 21002
Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if 𝑧 is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspprat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspprat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspprat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspprat.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspprat.p (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lspprat (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑉   𝑧,π‘Š   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝑋(𝑧)   π‘Œ(𝑧)
Proof of Theorem lspprat
StepHypRef Expression
1 ssdif0 4358 . . 3 (π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)} ↔ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) = βˆ…)
2 lspprat.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lveclmod 20952 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lspprat.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 eqid 2726 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
75, 6lmod0vcl 20735 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉)
98adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉)
10 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)})
11 lspprat.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
12 lspprat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
136, 12lss0ss 20794 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ {(0gβ€˜π‘Š)} βŠ† π‘ˆ)
144, 11, 13syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜π‘Š)} βŠ† π‘ˆ)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ {(0gβ€˜π‘Š)} βŠ† π‘ˆ)
1610, 15eqssd 3994 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ π‘ˆ = {(0gβ€˜π‘Š)})
17 lspprat.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
186, 17lspsn0 20853 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
194, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
2019adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
2116, 20eqtr4d 2769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}))
22 sneq 4633 . . . . . . 7 (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ {𝑧} = {(0gβ€˜π‘Š)})
2322fveq2d 6888 . . . . . 6 (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) = (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}))
2423rspceeqv 3628 . . . . 5 (((0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))
259, 21, 24syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))
2625ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)} β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
271, 26biimtrrid 242 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) = βˆ… β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
285, 12lssss 20781 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
2911, 28syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
3029ssdifssd 4137 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) βŠ† 𝑉)
3130sseld 3976 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉))
32 lspprat.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
33 lspprat.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
34 lspprat.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
355, 12, 17, 2, 11, 32, 33, 34, 6lsppratlem6 21001 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
3631, 35jcad 512 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))))
3736eximdv 1912 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))))
38 n0 4341 . . 3 ((π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}))
39 df-rex 3065 . . 3 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
4037, 38, 393imtr4g 296 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
4127, 40pm2.61dne 3022 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943   ⊊ wpss 3944  βˆ…c0 4317  {csn 4623  {cpr 4625  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  0gc0g 17392  LModclmod 20704  LSubSpclss 20776  LSpanclspn 20816  LVecclvec 20948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lvec 20949
This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  40831
  Copyright terms: Public domain W3C validator