Theorem lspprat 21173

Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if 𝑧 is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspprat	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝑋(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem lspprat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdif0 4372	. . 3 ⊢ (𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)} ↔ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) = ∅)
2		lspprat.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 21123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lspprat.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
7	5, 6	lmod0vcl 20906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)})
11		lspprat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
12		lspprat.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
13	6, 12	lss0ss 20965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → {(0g‘𝑊)} ⊆ 𝑈)
14	4, 11, 13	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑊)} ⊆ 𝑈)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → {(0g‘𝑊)} ⊆ 𝑈)
16	10, 15	eqssd 4013	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → 𝑈 = {(0g‘𝑊)})
17		lspprat.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
18	6, 17	lspsn0 21024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
19	4, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → (𝑁‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
21	16, 20	eqtr4d 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → 𝑈 = (𝑁‘{(0g‘𝑊)}))
22		sneq 4641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (0g‘𝑊) → {𝑧} = {(0g‘𝑊)})
23	22	fveq2d 6911	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (0g‘𝑊) → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{(0g‘𝑊)}))
24	23	rspceeqv 3645	. . . . 5 ⊢ (((0g‘𝑊) ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{(0g‘𝑊)})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
25	9, 21, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
26	25	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)} → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
27	1, 26	biimtrrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) = ∅ → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
28	5, 12	lssss 20952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
29	11, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
30	29	ssdifssd 4157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝑉)
31	30	sseld 3994	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑧 ∈ 𝑉))
32		lspprat.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
33		lspprat.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
34		lspprat.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
35	5, 12, 17, 2, 11, 32, 33, 34, 6	lsppratlem6 21172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
36	31, 35	jcad 512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))))
37	36	eximdv 1915	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))))
38		n0 4359	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}))
39		df-rex 3069	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
40	37, 38, 39	3imtr4g 296	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) ≠ ∅ → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
41	27, 40	pm2.61dne 3026	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963   ⊊ wpss 3964  ∅c0 4339  {csn 4631  {cpr 4633  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120

This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  41432