Theorem lspprat 21203

Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if 𝑧 is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspprat	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝑋(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem lspprat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdif0 4318	. . 3 ⊢ (𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)} ↔ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) = ∅)
2		lspprat.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 21153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lspprat.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
7	5, 6	lmod0vcl 20938	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
9	8	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
10		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)})
11		lspprat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
12		lspprat.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
13	6, 12	lss0ss 20996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → {(0g‘𝑊)} ⊆ 𝑈)
14	4, 11, 13	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑊)} ⊆ 𝑈)
15	14	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → {(0g‘𝑊)} ⊆ 𝑈)
16	10, 15	eqssd 3953	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → 𝑈 = {(0g‘𝑊)})
17		lspprat.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
18	6, 17	lspsn0 21055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
19	4, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
20	19	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → (𝑁‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
21	16, 20	eqtr4d 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → 𝑈 = (𝑁‘{(0g‘𝑊)}))
22		sneq 4591	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (0g‘𝑊) → {𝑧} = {(0g‘𝑊)})
23	22	fveq2d 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (0g‘𝑊) → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{(0g‘𝑊)}))
24	23	rspceeqv 3604	. . . . 5 ⊢ (((0g‘𝑊) ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{(0g‘𝑊)})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
25	9, 21, 24	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
26	25	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)} → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
27	1, 26	biimtrrid 245	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) = ∅ → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
28	5, 12	lssss 20983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
29	11, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
30	29	ssdifssd 4100	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝑉)
31	30	sseld 3935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑧 ∈ 𝑉))
32		lspprat.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
33		lspprat.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
34		lspprat.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
35	5, 12, 17, 2, 11, 32, 33, 34, 6	lsppratlem6 21202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
36	31, 35	jcad 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))))
37	36	eximdv 1936	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))))
38		n0 4305	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}))
39		df-rex 3086	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
40	37, 38, 39	3imtr4g 298	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) ≠ ∅ → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
41	27, 40	pm2.61dne 3042	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904   ⊊ wpss 3905  ∅c0 4285  {csn 4581  {cpr 4583  ‘cfv 6517  Basecbs 17228  0_gc0g 17451  LModclmod 20907  LSubSpclss 20978  LSpanclspn 21018  LVecclvec 21149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-drng 20760  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-lvec 21150

This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  42037