MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspprat 20659
Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if 𝑧 is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspprat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspprat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspprat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspprat.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspprat.p (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lspprat (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑉   𝑧,π‘Š   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝑋(𝑧)   π‘Œ(𝑧)

Proof of Theorem lspprat
StepHypRef Expression
1 ssdif0 4327 . . 3 (π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)} ↔ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) = βˆ…)
2 lspprat.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lveclmod 20611 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lspprat.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
75, 6lmod0vcl 20395 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉)
98adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉)
10 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)})
11 lspprat.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
12 lspprat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
136, 12lss0ss 20453 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ {(0gβ€˜π‘Š)} βŠ† π‘ˆ)
144, 11, 13syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜π‘Š)} βŠ† π‘ˆ)
1514adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ {(0gβ€˜π‘Š)} βŠ† π‘ˆ)
1610, 15eqssd 3965 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ π‘ˆ = {(0gβ€˜π‘Š)})
17 lspprat.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
186, 17lspsn0 20513 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
194, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
2019adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
2116, 20eqtr4d 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}))
22 sneq 4600 . . . . . . 7 (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ {𝑧} = {(0gβ€˜π‘Š)})
2322fveq2d 6850 . . . . . 6 (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) = (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}))
2423rspceeqv 3599 . . . . 5 (((0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))
259, 21, 24syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))
2625ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)} β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
271, 26biimtrrid 242 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) = βˆ… β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
285, 12lssss 20441 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
2911, 28syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
3029ssdifssd 4106 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) βŠ† 𝑉)
3130sseld 3947 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉))
32 lspprat.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
33 lspprat.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
34 lspprat.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
355, 12, 17, 2, 11, 32, 33, 34, 6lsppratlem6 20658 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
3631, 35jcad 514 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))))
3736eximdv 1921 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))))
38 n0 4310 . . 3 ((π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}))
39 df-rex 3071 . . 3 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
4037, 38, 393imtr4g 296 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
4127, 40pm2.61dne 3028 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914   ⊊ wpss 3915  βˆ…c0 4286  {csn 4590  {cpr 4592  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  0gc0g 17329  LModclmod 20365  LSubSpclss 20436  LSpanclspn 20476  LVecclvec 20607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608
This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  39962
  Copyright terms: Public domain W3C validator