MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspprat 20993
Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if 𝑧 is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lspprat (𝜑 → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝑋(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem lspprat
StepHypRef Expression
1 ssdif0 4355 . . 3 (𝑈 ⊆ {(0g𝑊)} ↔ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) = ∅)
2 lspprat.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 20943 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lspprat.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 eqid 2724 . . . . . . . 8 (0g𝑊) = (0g𝑊)
75, 6lmod0vcl 20726 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
10 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → 𝑈 ⊆ {(0g𝑊)})
11 lspprat.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑆)
12 lspprat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
136, 12lss0ss 20785 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {(0g𝑊)} ⊆ 𝑈)
144, 11, 13syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → {(0g𝑊)} ⊆ 𝑈)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → {(0g𝑊)} ⊆ 𝑈)
1610, 15eqssd 3991 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → 𝑈 = {(0g𝑊)})
17 lspprat.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
186, 17lspsn0 20844 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
194, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → (𝑁‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
2116, 20eqtr4d 2767 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → 𝑈 = (𝑁‘{(0g𝑊)}))
22 sneq 4630 . . . . . . 7 (𝑧 = (0g𝑊) → {𝑧} = {(0g𝑊)})
2322fveq2d 6885 . . . . . 6 (𝑧 = (0g𝑊) → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{(0g𝑊)}))
2423rspceeqv 3625 . . . . 5 (((0g𝑊) ∈ 𝑉𝑈 = (𝑁‘{(0g𝑊)})) → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
259, 21, 24syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
2625ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ⊆ {(0g𝑊)} → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
271, 26biimtrrid 242 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) = ∅ → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
285, 12lssss 20772 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
2911, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
3029ssdifssd 4134 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) ⊆ 𝑉)
3130sseld 3973 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) → 𝑧𝑉))
32 lspprat.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
33 lspprat.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
34 lspprat.p . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
355, 12, 17, 2, 11, 32, 33, 34, 6lsppratlem6 20992 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
3631, 35jcad 512 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) → (𝑧𝑉𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))))
3736eximdv 1912 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) → ∃𝑧(𝑧𝑉𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))))
38 n0 4338 . . 3 ((𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}))
39 df-rex 3063 . . 3 (∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}) ↔ ∃𝑧(𝑧𝑉𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
4037, 38, 393imtr4g 296 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) ≠ ∅ → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
4127, 40pm2.61dne 3020 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2932  wrex 3062  cdif 3937  wss 3940  wpss 3941  c0 4314  {csn 4620  {cpr 4622  cfv 6533  Basecbs 17142  0gc0g 17383  LModclmod 20695  LSubSpclss 20767  LSpanclspn 20807  LVecclvec 20939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-0g 17385  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20578  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-lsp 20808  df-lvec 20940
This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  40776
  Copyright terms: Public domain W3C validator