MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspprat 20765
Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if 𝑧 is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspprat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspprat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspprat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspprat.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspprat.p (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lspprat (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑉   𝑧,π‘Š   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝑋(𝑧)   π‘Œ(𝑧)
Proof of Theorem lspprat
StepHypRef Expression
1 ssdif0 4363 . . 3 (π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)} ↔ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) = βˆ…)
2 lspprat.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lveclmod 20716 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lspprat.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
75, 6lmod0vcl 20500 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉)
98adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉)
10 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)})
11 lspprat.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
12 lspprat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
136, 12lss0ss 20558 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ {(0gβ€˜π‘Š)} βŠ† π‘ˆ)
144, 11, 13syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜π‘Š)} βŠ† π‘ˆ)
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ {(0gβ€˜π‘Š)} βŠ† π‘ˆ)
1610, 15eqssd 3999 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ π‘ˆ = {(0gβ€˜π‘Š)})
17 lspprat.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
186, 17lspsn0 20618 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
194, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
2019adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
2116, 20eqtr4d 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}))
22 sneq 4638 . . . . . . 7 (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ {𝑧} = {(0gβ€˜π‘Š)})
2322fveq2d 6895 . . . . . 6 (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) = (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}))
2423rspceeqv 3633 . . . . 5 (((0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))
259, 21, 24syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))
2625ex 413 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)} β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
271, 26biimtrrid 242 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) = βˆ… β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
285, 12lssss 20546 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
2911, 28syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
3029ssdifssd 4142 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) βŠ† 𝑉)
3130sseld 3981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉))
32 lspprat.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
33 lspprat.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
34 lspprat.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
355, 12, 17, 2, 11, 32, 33, 34, 6lsppratlem6 20764 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
3631, 35jcad 513 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))))
3736eximdv 1920 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))))
38 n0 4346 . . 3 ((π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}))
39 df-rex 3071 . . 3 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
4037, 38, 393imtr4g 295 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
4127, 40pm2.61dne 3028 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  βˆ…c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630  β€˜cfv 6543  Basecbs 17143  0gc0g 17384  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  LSpanclspn 20581  LVecclvec 20712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713
This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  40315
  Copyright terms: Public domain W3C validator