Theorem lspprat 21346

Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if 𝑧 is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspprat	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝑋(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem lspprat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdif0 4317	. . 3 ⊢ (𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)} ↔ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) = ∅)
2		lspprat.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 21296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lspprat.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
7	5, 6	lmod0vcl 21081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
8	4, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
10		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)})
11		lspprat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
12		lspprat.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
13	6, 12	lss0ss 21139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → {(0g‘𝑊)} ⊆ 𝑈)
14	4, 11, 13	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑊)} ⊆ 𝑈)
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → {(0g‘𝑊)} ⊆ 𝑈)
16	10, 15	eqssd 3951	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → 𝑈 = {(0g‘𝑊)})
17		lspprat.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
18	6, 17	lspsn0 21198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
19	4, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → (𝑁‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
21	16, 20	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → 𝑈 = (𝑁‘{(0g‘𝑊)}))
22		sneq 4597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (0g‘𝑊) → {𝑧} = {(0g‘𝑊)})
23	22	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (0g‘𝑊) → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{(0g‘𝑊)}))
24	23	rspceeqv 3602	. . . . 5 ⊢ (((0g‘𝑊) ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{(0g‘𝑊)})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
25	9, 21, 24	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
26	25	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)} → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
27	1, 26	biimtrrid 246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) = ∅ → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
28	5, 12	lssss 21126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
29	11, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
30	29	ssdifssd 4097	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝑉)
31	30	sseld 3933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑧 ∈ 𝑉))
32		lspprat.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
33		lspprat.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
34		lspprat.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
35	5, 12, 17, 2, 11, 32, 33, 34, 6	lsppratlem6 21345	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
36	31, 35	jcad 522	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))))
37	36	eximdv 1950	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))))
38		n0 4303	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}))
39		df-rex 3089	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
40	37, 38, 39	3imtr4g 299	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) ≠ ∅ → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
41	27, 40	pm2.61dne 3043	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902   ⊊ wpss 3903  ∅c0 4282  {csn 4587  {cpr 4589  ‘cfv 6537  Basecbs 17307  0_gc0g 17530  LModclmod 21050  LSubSpclss 21121  LSpanclspn 21161  LVecclvec 21292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-drng 20898  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-lvec 21293

This theorem is used by:  dvh3dim3N  42330