MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspprat 20045
Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if 𝑧 is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lspprat (𝜑 → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝑋(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem lspprat
StepHypRef Expression
1 ssdif0 4253 . . 3 (𝑈 ⊆ {(0g𝑊)} ↔ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) = ∅)
2 lspprat.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 19998 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lspprat.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 eqid 2738 . . . . . . . 8 (0g𝑊) = (0g𝑊)
75, 6lmod0vcl 19783 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
98adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
10 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → 𝑈 ⊆ {(0g𝑊)})
11 lspprat.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑆)
12 lspprat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
136, 12lss0ss 19840 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {(0g𝑊)} ⊆ 𝑈)
144, 11, 13syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → {(0g𝑊)} ⊆ 𝑈)
1514adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → {(0g𝑊)} ⊆ 𝑈)
1610, 15eqssd 3895 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → 𝑈 = {(0g𝑊)})
17 lspprat.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
186, 17lspsn0 19900 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
194, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
2019adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → (𝑁‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
2116, 20eqtr4d 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → 𝑈 = (𝑁‘{(0g𝑊)}))
22 sneq 4527 . . . . . . 7 (𝑧 = (0g𝑊) → {𝑧} = {(0g𝑊)})
2322fveq2d 6679 . . . . . 6 (𝑧 = (0g𝑊) → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{(0g𝑊)}))
2423rspceeqv 3542 . . . . 5 (((0g𝑊) ∈ 𝑉𝑈 = (𝑁‘{(0g𝑊)})) → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
259, 21, 24syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
2625ex 416 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ⊆ {(0g𝑊)} → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
271, 26syl5bir 246 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) = ∅ → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
285, 12lssss 19828 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
2911, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
3029ssdifssd 4034 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) ⊆ 𝑉)
3130sseld 3877 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) → 𝑧𝑉))
32 lspprat.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
33 lspprat.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
34 lspprat.p . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
355, 12, 17, 2, 11, 32, 33, 34, 6lsppratlem6 20044 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
3631, 35jcad 516 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) → (𝑧𝑉𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))))
3736eximdv 1923 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) → ∃𝑧(𝑧𝑉𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))))
38 n0 4236 . . 3 ((𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}))
39 df-rex 3059 . . 3 (∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}) ↔ ∃𝑧(𝑧𝑉𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
4037, 38, 393imtr4g 299 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) ≠ ∅ → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
4127, 40pm2.61dne 3020 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2113  wne 2934  wrex 3054  cdif 3841  wss 3844  wpss 3845  c0 4212  {csn 4517  {cpr 4519  cfv 6340  Basecbs 16587  0gc0g 16817  LModclmod 19754  LSubSpclss 19823  LSpanclspn 19863  LVecclvec 19994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-tpos 7922  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-er 8321  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-0g 16819  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-grp 18223  df-minusg 18224  df-sbg 18225  df-cmn 19027  df-abl 19028  df-mgp 19360  df-ur 19372  df-ring 19419  df-oppr 19496  df-dvdsr 19514  df-unit 19515  df-invr 19545  df-drng 19624  df-lmod 19756  df-lss 19824  df-lsp 19864  df-lvec 19995
This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  39083
  Copyright terms: Public domain W3C validator