MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspprat 21046
Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if 𝑧 is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspprat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspprat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspprat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspprat.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspprat.p (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lspprat (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑉   𝑧,π‘Š   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝑋(𝑧)   π‘Œ(𝑧)
Proof of Theorem lspprat
StepHypRef Expression
1 ssdif0 4365 . . 3 (π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)} ↔ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) = βˆ…)
2 lspprat.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lveclmod 20996 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lspprat.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 eqid 2727 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
75, 6lmod0vcl 20779 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉)
98adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉)
10 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)})
11 lspprat.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
12 lspprat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
136, 12lss0ss 20838 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ {(0gβ€˜π‘Š)} βŠ† π‘ˆ)
144, 11, 13syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜π‘Š)} βŠ† π‘ˆ)
1514adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ {(0gβ€˜π‘Š)} βŠ† π‘ˆ)
1610, 15eqssd 3997 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ π‘ˆ = {(0gβ€˜π‘Š)})
17 lspprat.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
186, 17lspsn0 20897 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
194, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
2019adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}) = {(0gβ€˜π‘Š)})
2116, 20eqtr4d 2770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}))
22 sneq 4640 . . . . . . 7 (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ {𝑧} = {(0gβ€˜π‘Š)})
2322fveq2d 6904 . . . . . 6 (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) = (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)}))
2423rspceeqv 3631 . . . . 5 (((0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘Š)})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))
259, 21, 24syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))
2625ex 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ† {(0gβ€˜π‘Š)} β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
271, 26biimtrrid 242 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) = βˆ… β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
285, 12lssss 20825 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
2911, 28syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
3029ssdifssd 4141 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) βŠ† 𝑉)
3130sseld 3979 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉))
32 lspprat.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
33 lspprat.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
34 lspprat.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
355, 12, 17, 2, 11, 32, 33, 34, 6lsppratlem6 21045 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
3631, 35jcad 511 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))))
3736eximdv 1912 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β†’ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))))
38 n0 4348 . . 3 ((π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}))
39 df-rex 3067 . . 3 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
4037, 38, 393imtr4g 295 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧})))
4127, 40pm2.61dne 3024 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑧}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  βˆƒwrex 3066   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947   ⊊ wpss 3948  βˆ…c0 4324  {csn 4630  {cpr 4632  β€˜cfv 6551  Basecbs 17185  0gc0g 17426  LModclmod 20748  LSubSpclss 20820  LSpanclspn 20860  LVecclvec 20992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-drng 20631  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-lvec 20993
This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  40926
  Copyright terms: Public domain W3C validator