Theorem lspprat 21246

Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if 𝑧 is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspprat	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝑋(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem lspprat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdif0 4322	. . 3 ⊢ (𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)} ↔ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) = ∅)
2		lspprat.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 21196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lspprat.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
7	5, 6	lmod0vcl 20981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
8	4, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
9	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
10		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)})
11		lspprat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
12		lspprat.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
13	6, 12	lss0ss 21039	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → {(0g‘𝑊)} ⊆ 𝑈)
14	4, 11, 13	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑊)} ⊆ 𝑈)
15	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → {(0g‘𝑊)} ⊆ 𝑈)
16	10, 15	eqssd 3956	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → 𝑈 = {(0g‘𝑊)})
17		lspprat.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
18	6, 17	lspsn0 21098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
19	4, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
20	19	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → (𝑁‘{(0g‘𝑊)}) = {(0g‘𝑊)})
21	16, 20	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → 𝑈 = (𝑁‘{(0g‘𝑊)}))
22		sneq 4595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (0g‘𝑊) → {𝑧} = {(0g‘𝑊)})
23	22	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (0g‘𝑊) → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{(0g‘𝑊)}))
24	23	rspceeqv 3607	. . . . 5 ⊢ (((0g‘𝑊) ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{(0g‘𝑊)})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
25	9, 21, 24	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
26	25	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊆ {(0g‘𝑊)} → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
27	1, 26	biimtrrid 246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) = ∅ → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
28	5, 12	lssss 21026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
29	11, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
30	29	ssdifssd 4103	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ 𝑉)
31	30	sseld 3938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑧 ∈ 𝑉))
32		lspprat.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
33		lspprat.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
34		lspprat.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
35	5, 12, 17, 2, 11, 32, 33, 34, 6	lsppratlem6 21245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
36	31, 35	jcad 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))))
37	36	eximdv 1940	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))))
38		n0 4308	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}))
39		df-rex 3090	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
40	37, 38, 39	3imtr4g 299	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∖ {(0g‘𝑊)}) ≠ ∅ → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
41	27, 40	pm2.61dne 3046	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907   ⊊ wpss 3908  ∅c0 4288  {csn 4585  {cpr 4587  ‘cfv 6525  Basecbs 17259  0_gc0g 17482  LModclmod 20950  LSubSpclss 21021  LSpanclspn 21061  LVecclvec 21192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-drng 20806  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-lvec 21193

This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  42085