MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspun0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspun0 20895
Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspun0.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspun0.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspun0.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspun0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lspun0.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspun0 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝑋 βˆͺ { 0 })) = (π‘β€˜π‘‹))

Proof of Theorem lspun0
StepHypRef Expression
1 lspun0.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lspun0.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
3 lspun0.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lspun0.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
53, 4lmod0vcl 20774 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 0 ∈ 𝑉)
61, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝑉)
76snssd 4813 . . 3 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† 𝑉)
8 lspun0.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
93, 8lspun 20871 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ { 0 } βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑋 βˆͺ { 0 })) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 }))))
101, 2, 7, 9syl3anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝑋 βˆͺ { 0 })) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 }))))
114, 8lspsn0 20892 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
121, 11syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
1312uneq2d 4162 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 })) = ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ { 0 }))
14 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
153, 14, 8lspcl 20860 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
161, 2, 15syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
174, 14lss0ss 20833 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ { 0 } βŠ† (π‘β€˜π‘‹))
181, 16, 17syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† (π‘β€˜π‘‹))
19 ssequn2 4183 . . . . . 6 ({ 0 } βŠ† (π‘β€˜π‘‹) ↔ ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ { 0 }) = (π‘β€˜π‘‹))
2018, 19sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ { 0 }) = (π‘β€˜π‘‹))
2113, 20eqtrd 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 })) = (π‘β€˜π‘‹))
2221fveq2d 6901 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 }))) = (π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)))
233, 8lspidm 20870 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (π‘β€˜π‘‹))
241, 2, 23syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (π‘β€˜π‘‹))
2522, 24eqtrd 2768 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 }))) = (π‘β€˜π‘‹))
2610, 25eqtrd 2768 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝑋 βˆͺ { 0 })) = (π‘β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  {csn 4629  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  0gc0g 17421  LModclmod 20743  LSubSpclss 20815  LSpanclspn 20855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856
This theorem is referenced by:  dvh4dimN  40920
  Copyright terms: Public domain W3C validator