MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspun0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspun0 19774
Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspun0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspun0.o 0 = (0g𝑊)
lspun0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspun0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspun0.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspun0 (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem lspun0
StepHypRef Expression
1 lspun0.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lspun0.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3 lspun0.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lspun0.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
53, 4lmod0vcl 19654 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 0𝑉)
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑0𝑉)
76snssd 4715 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑉)
8 lspun0.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
93, 8lspun 19750 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ { 0 } ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))))
101, 2, 7, 9syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))))
114, 8lspsn0 19771 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
121, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
1312uneq2d 4114 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 })) = ((𝑁𝑋) ∪ { 0 }))
14 eqid 2822 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
153, 14, 8lspcl 19739 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊))
161, 2, 15syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊))
174, 14lss0ss 19711 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑁𝑋))
181, 16, 17syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁𝑋))
19 ssequn2 4134 . . . . . 6 ({ 0 } ⊆ (𝑁𝑋) ↔ ((𝑁𝑋) ∪ { 0 }) = (𝑁𝑋))
2018, 19sylib 221 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑋) ∪ { 0 }) = (𝑁𝑋))
2113, 20eqtrd 2857 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 })) = (𝑁𝑋))
2221fveq2d 6656 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))) = (𝑁‘(𝑁𝑋)))
233, 8lspidm 19749 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = (𝑁𝑋))
241, 2, 23syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = (𝑁𝑋))
2522, 24eqtrd 2857 . 2 (𝜑 → (𝑁‘((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))) = (𝑁𝑋))
2610, 25eqtrd 2857 1 (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  cun 3906  wss 3908  {csn 4539  cfv 6334  Basecbs 16474  0gc0g 16704  LModclmod 19625  LSubSpclss 19694  LSpanclspn 19734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735
This theorem is referenced by:  dvh4dimN  38701
  Copyright terms: Public domain W3C validator