MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspun0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspun0 20487
Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspun0.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspun0.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspun0.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspun0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lspun0.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspun0 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝑋 βˆͺ { 0 })) = (π‘β€˜π‘‹))

Proof of Theorem lspun0
StepHypRef Expression
1 lspun0.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lspun0.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
3 lspun0.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lspun0.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
53, 4lmod0vcl 20366 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 0 ∈ 𝑉)
61, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝑉)
76snssd 4770 . . 3 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† 𝑉)
8 lspun0.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
93, 8lspun 20463 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ { 0 } βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑋 βˆͺ { 0 })) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 }))))
101, 2, 7, 9syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝑋 βˆͺ { 0 })) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 }))))
114, 8lspsn0 20484 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
121, 11syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
1312uneq2d 4124 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 })) = ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ { 0 }))
14 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
153, 14, 8lspcl 20452 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
161, 2, 15syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
174, 14lss0ss 20424 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ { 0 } βŠ† (π‘β€˜π‘‹))
181, 16, 17syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† (π‘β€˜π‘‹))
19 ssequn2 4144 . . . . . 6 ({ 0 } βŠ† (π‘β€˜π‘‹) ↔ ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ { 0 }) = (π‘β€˜π‘‹))
2018, 19sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ { 0 }) = (π‘β€˜π‘‹))
2113, 20eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 })) = (π‘β€˜π‘‹))
2221fveq2d 6847 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 }))) = (π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)))
233, 8lspidm 20462 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (π‘β€˜π‘‹))
241, 2, 23syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (π‘β€˜π‘‹))
2522, 24eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 }))) = (π‘β€˜π‘‹))
2610, 25eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝑋 βˆͺ { 0 })) = (π‘β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  {csn 4587  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  0gc0g 17326  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  LSpanclspn 20447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448
This theorem is referenced by:  dvh4dimN  39956
  Copyright terms: Public domain W3C validator