Theorem lspun0 20614

Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspun0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspun0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspun0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspun0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspun0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspun0	⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem lspun0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspun0.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspun0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
3		lspun0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lspun0.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	3, 4	lmod0vcl 20493	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
7	6	snssd 4811	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑉)
8		lspun0.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9	3, 8	lspun 20590	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ { 0 } ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))))
10	1, 2, 7, 9	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))))
11	4, 8	lspsn0 20611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
12	1, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
13	12	uneq2d 4162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 })) = ((𝑁‘𝑋) ∪ { 0 }))
14		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	3, 14, 8	lspcl 20579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	1, 2, 15	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	4, 14	lss0ss 20551	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑁‘𝑋))
18	1, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘𝑋))
19		ssequn2 4182	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ⊆ (𝑁‘𝑋) ↔ ((𝑁‘𝑋) ∪ { 0 }) = (𝑁‘𝑋))
20	18, 19	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) ∪ { 0 }) = (𝑁‘𝑋))
21	13, 20	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 })) = (𝑁‘𝑋))
22	21	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))) = (𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
23	3, 8	lspidm 20589	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
24	1, 2, 23	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
25	22, 24	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))) = (𝑁‘𝑋))
26	10, 25	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  {csn 4627  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575

This theorem is referenced by:  dvh4dimN  40306