Theorem lspun0 20979

Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspun0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspun0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspun0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspun0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspun0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspun0	⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem lspun0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspun0.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspun0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
3		lspun0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lspun0.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	3, 4	lmod0vcl 20859	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
7	6	snssd 4767	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑉)
8		lspun0.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9	3, 8	lspun 20955	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ { 0 } ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))))
10	1, 2, 7, 9	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))))
11	4, 8	lspsn0 20976	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
12	1, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
13	12	uneq2d 4122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 })) = ((𝑁‘𝑋) ∪ { 0 }))
14		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	3, 14, 8	lspcl 20944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	1, 2, 15	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	4, 14	lss0ss 20917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑁‘𝑋))
18	1, 16, 17	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘𝑋))
19		ssequn2 4143	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ⊆ (𝑁‘𝑋) ↔ ((𝑁‘𝑋) ∪ { 0 }) = (𝑁‘𝑋))
20	18, 19	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) ∪ { 0 }) = (𝑁‘𝑋))
21	13, 20	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 })) = (𝑁‘𝑋))
22	21	fveq2d 6848	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))) = (𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
23	3, 8	lspidm 20954	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
24	1, 2, 23	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
25	22, 24	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))) = (𝑁‘𝑋))
26	10, 25	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {csn 4582  ‘cfv 6502  Basecbs 17150  0_gc0g 17373  LModclmod 20828  LSubSpclss 20899  LSpanclspn 20939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-plusg 17204  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-lmod 20830  df-lss 20900  df-lsp 20940

This theorem is referenced by:  dvh4dimN  41852