Theorem lspun0 21266

Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspun0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspun0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspun0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspun0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspun0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspun0	⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem lspun0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspun0.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspun0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
3		lspun0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lspun0.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	3, 4	lmod0vcl 21146	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
6	1, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
7	6	snssd 4747	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑉)
8		lspun0.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9	3, 8	lspun 21242	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ { 0 } ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))))
10	1, 2, 7, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))))
11	4, 8	lspsn0 21263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
12	1, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
13	12	uneq2d 4115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 })) = ((𝑁‘𝑋) ∪ { 0 }))
14		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	3, 14, 8	lspcl 21231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	1, 2, 15	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	4, 14	lss0ss 21204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑁‘𝑋))
18	1, 16, 17	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘𝑋))
19		ssequn2 4135	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ⊆ (𝑁‘𝑋) ↔ ((𝑁‘𝑋) ∪ { 0 }) = (𝑁‘𝑋))
20	18, 19	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) ∪ { 0 }) = (𝑁‘𝑋))
21	13, 20	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 })) = (𝑁‘𝑋))
22	21	fveq2d 6881	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))) = (𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
23	3, 8	lspidm 21241	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
24	1, 2, 23	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
25	22, 24	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))) = (𝑁‘𝑋))
26	10, 25	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  0_gc0g 17590  LModclmod 21115  LSubSpclss 21186  LSpanclspn 21226

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227

This theorem is used by:  dvh4dimN  42472