MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspun0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspun0 19406
Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspun0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspun0.o 0 = (0g𝑊)
lspun0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspun0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspun0.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspun0 (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem lspun0
StepHypRef Expression
1 lspun0.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lspun0.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3 lspun0.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lspun0.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
53, 4lmod0vcl 19284 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 0𝑉)
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑0𝑉)
76snssd 4571 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑉)
8 lspun0.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
93, 8lspun 19382 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ { 0 } ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))))
101, 2, 7, 9syl3anc 1439 . 2 (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))))
114, 8lspsn0 19403 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
121, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
1312uneq2d 3989 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 })) = ((𝑁𝑋) ∪ { 0 }))
14 eqid 2777 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
153, 14, 8lspcl 19371 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊))
161, 2, 15syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊))
174, 14lss0ss 19341 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑁𝑋))
181, 16, 17syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁𝑋))
19 ssequn2 4008 . . . . . 6 ({ 0 } ⊆ (𝑁𝑋) ↔ ((𝑁𝑋) ∪ { 0 }) = (𝑁𝑋))
2018, 19sylib 210 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑋) ∪ { 0 }) = (𝑁𝑋))
2113, 20eqtrd 2813 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 })) = (𝑁𝑋))
2221fveq2d 6450 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))) = (𝑁‘(𝑁𝑋)))
233, 8lspidm 19381 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = (𝑁𝑋))
241, 2, 23syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = (𝑁𝑋))
2522, 24eqtrd 2813 . 2 (𝜑 → (𝑁‘((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))) = (𝑁𝑋))
2610, 25eqtrd 2813 1 (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2106  cun 3789  wss 3791  {csn 4397  cfv 6135  Basecbs 16255  0gc0g 16486  LModclmod 19255  LSubSpclss 19324  LSpanclspn 19366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367
This theorem is referenced by:  dvh4dimN  37595
  Copyright terms: Public domain W3C validator