MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspun0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspun0 20856
Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspun0.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspun0.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspun0.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspun0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lspun0.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspun0 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝑋 βˆͺ { 0 })) = (π‘β€˜π‘‹))

Proof of Theorem lspun0
StepHypRef Expression
1 lspun0.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lspun0.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
3 lspun0.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lspun0.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
53, 4lmod0vcl 20735 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 0 ∈ 𝑉)
61, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝑉)
76snssd 4807 . . 3 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† 𝑉)
8 lspun0.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
93, 8lspun 20832 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ { 0 } βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑋 βˆͺ { 0 })) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 }))))
101, 2, 7, 9syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝑋 βˆͺ { 0 })) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 }))))
114, 8lspsn0 20853 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
121, 11syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
1312uneq2d 4158 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 })) = ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ { 0 }))
14 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
153, 14, 8lspcl 20821 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
161, 2, 15syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
174, 14lss0ss 20794 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ { 0 } βŠ† (π‘β€˜π‘‹))
181, 16, 17syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† (π‘β€˜π‘‹))
19 ssequn2 4178 . . . . . 6 ({ 0 } βŠ† (π‘β€˜π‘‹) ↔ ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ { 0 }) = (π‘β€˜π‘‹))
2018, 19sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ { 0 }) = (π‘β€˜π‘‹))
2113, 20eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 })) = (π‘β€˜π‘‹))
2221fveq2d 6888 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 }))) = (π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)))
233, 8lspidm 20831 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (π‘β€˜π‘‹))
241, 2, 23syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (π‘β€˜π‘‹))
2522, 24eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 }))) = (π‘β€˜π‘‹))
2610, 25eqtrd 2766 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝑋 βˆͺ { 0 })) = (π‘β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  {csn 4623  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  0gc0g 17392  LModclmod 20704  LSubSpclss 20776  LSpanclspn 20816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817
This theorem is referenced by:  dvh4dimN  40829
  Copyright terms: Public domain W3C validator