Theorem dochexmid 41373

Description: Excluded middle law for closed subspaces, which is equivalent to (and derived from) the orthomodular law dihoml4 41282. Lemma 3.3(2) in [Holland95] p. 215. In our proof, we use the variables 𝑋, 𝑀, 𝑝, 𝑞, 𝑟 in place of Hollands' l, m, P, Q, L respectively. (pexmidALTN 39883 analog.) (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochexmid.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochexmid.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmid.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochexmid.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochexmid.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dochexmid.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochexmid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dochexmid.c	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dochexmid	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)

Proof of Theorem dochexmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑋 = {(0g‘𝑈)} → 𝑋 = {(0g‘𝑈)})
2		fveq2 6919	. . . 4 ⊢ (𝑋 = {(0g‘𝑈)} → ( ⊥ ‘𝑋) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
3	1, 2	oveq12d 7463	. . 3 ⊢ (𝑋 = {(0g‘𝑈)} → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = ({(0g‘𝑈)} ⊕ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})))
4		dochexmid.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dochexmid.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dochexmid.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	dvhlmod 41015	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
8		dochexmid.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
10	8, 9	lmod0vcl 20906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
12	11	snssd 4834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑉)
13		dochexmid.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
14		dochexmid.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
15	4, 5, 8, 13, 14	dochlss 41259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ 𝑆)
16	6, 12, 15	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ 𝑆)
17	13	lsssubg 20973	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ 𝑆) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
18	7, 16, 17	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
19		dochexmid.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
20	9, 19	lsm02 19709	. . . . 5 ⊢ (( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({(0g‘𝑈)} ⊕ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
21	18, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({(0g‘𝑈)} ⊕ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
22	4, 5, 14, 8, 9	doch0 41263	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
23	6, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
24	21, 23	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({(0g‘𝑈)} ⊕ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = 𝑉)
25	3, 24	sylan9eqr 2796	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = {(0g‘𝑈)}) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
26		eqid 2734	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
27		eqid 2734	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
28	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
29		dochexmid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
30	29	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → 𝑋 ∈ 𝑆)
31		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)})
32		dochexmid.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
33	32	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
34	4, 14, 5, 8, 13, 26, 19, 27, 28, 30, 9, 31, 33	dochexmidlem8 41372	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
35	25, 34	pm2.61dane 3031	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2942   ⊆ wss 3970  {csn 4648  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  Basecbs 17253  0_gc0g 17494  SubGrpcsubg 19155  LSSumclsm 19671  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LSAtomsclsa 38878  HLchlt 39254  LHypclh 39889  DVecHcdvh 40983  ocHcoch 41252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-riotaBAD 38857

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-tpos 8263  df-undef 8310  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-0g 17496  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-proset 18360  df-poset 18378  df-plt 18395  df-lub 18411  df-glb 18412  df-join 18413  df-meet 18414  df-p0 18490  df-p1 18491  df-lat 18497  df-clat 18564  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-submnd 18814  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-sbg 18973  df-subg 19158  df-cntz 19352  df-oppg 19381  df-lsm 19673  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-oppr 20355  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-dvr 20422  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38880  df-lcv 38923  df-oposet 39080  df-ol 39082  df-oml 39083  df-covers 39170  df-ats 39171  df-atl 39202  df-cvlat 39226  df-hlat 39255  df-llines 39403  df-lplanes 39404  df-lvols 39405  df-lines 39406  df-psubsp 39408  df-pmap 39409  df-padd 39701  df-lhyp 39893  df-laut 39894  df-ldil 40009  df-ltrn 40010  df-trl 40064  df-tgrp 40648  df-tendo 40660  df-edring 40662  df-dveca 40908  df-disoa 40934  df-dvech 40984  df-dib 41044  df-dic 41078  df-dih 41134  df-doch 41253  df-djh 41300

This theorem is referenced by:  lclkrlem2v  41433  hdmapglem7a  41832  hlhilhillem  41869