Theorem dochexmid 39482

Description: Excluded middle law for closed subspaces, which is equivalent to (and derived from) the orthomodular law dihoml4 39391. Lemma 3.3(2) in [Holland95] p. 215. In our proof, we use the variables 𝑋, 𝑀, 𝑝, 𝑞, 𝑟 in place of Hollands' l, m, P, Q, L respectively. (pexmidALTN 37992 analog.) (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochexmid.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochexmid.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmid.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochexmid.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochexmid.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dochexmid.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochexmid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dochexmid.c	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dochexmid	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)

Proof of Theorem dochexmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑋 = {(0g‘𝑈)} → 𝑋 = {(0g‘𝑈)})
2		fveq2 6774	. . . 4 ⊢ (𝑋 = {(0g‘𝑈)} → ( ⊥ ‘𝑋) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
3	1, 2	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (𝑋 = {(0g‘𝑈)} → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = ({(0g‘𝑈)} ⊕ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})))
4		dochexmid.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dochexmid.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dochexmid.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	dvhlmod 39124	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
8		dochexmid.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
10	8, 9	lmod0vcl 20152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
12	11	snssd 4742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑉)
13		dochexmid.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
14		dochexmid.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
15	4, 5, 8, 13, 14	dochlss 39368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ 𝑆)
16	6, 12, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ 𝑆)
17	13	lsssubg 20219	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ 𝑆) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
18	7, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
19		dochexmid.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
20	9, 19	lsm02 19278	. . . . 5 ⊢ (( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({(0g‘𝑈)} ⊕ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
21	18, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({(0g‘𝑈)} ⊕ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
22	4, 5, 14, 8, 9	doch0 39372	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
23	6, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
24	21, 23	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({(0g‘𝑈)} ⊕ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = 𝑉)
25	3, 24	sylan9eqr 2800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = {(0g‘𝑈)}) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
26		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
27		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
28	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
29		dochexmid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
30	29	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → 𝑋 ∈ 𝑆)
31		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)})
32		dochexmid.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
33	32	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
34	4, 14, 5, 8, 13, 26, 19, 27, 28, 30, 9, 31, 33	dochexmidlem8 39481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
35	25, 34	pm2.61dane 3032	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  SubGrpcsubg 18749  LSSumclsm 19239  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  LSAtomsclsa 36988  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DVecHcdvh 39092  ocHcoch 39361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-lcv 37033  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tgrp 38757  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-dveca 39017  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243  df-doch 39362  df-djh 39409

This theorem is referenced by:  lclkrlem2v  39542  hdmapglem7a  39941  hlhilhillem  39978