Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochexmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochexmid 41427
Description: Excluded middle law for closed subspaces, which is equivalent to (and derived from) the orthomodular law dihoml4 41336. Lemma 3.3(2) in [Holland95] p. 215. In our proof, we use the variables 𝑋, 𝑀, 𝑝, 𝑞, 𝑟 in place of Hollands' l, m, P, Q, L respectively. (pexmidALTN 39937 analog.) (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochexmid.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochexmid.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmid.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmid.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochexmid.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochexmid.p = (LSSum‘𝑈)
dochexmid.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochexmid.x (𝜑𝑋𝑆)
dochexmid.c (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dochexmid (𝜑 → (𝑋 ( 𝑋)) = 𝑉)

Proof of Theorem dochexmid
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝑋 = {(0g𝑈)} → 𝑋 = {(0g𝑈)})
2 fveq2 6922 . . . 4 (𝑋 = {(0g𝑈)} → ( 𝑋) = ( ‘{(0g𝑈)}))
31, 2oveq12d 7468 . . 3 (𝑋 = {(0g𝑈)} → (𝑋 ( 𝑋)) = ({(0g𝑈)} ( ‘{(0g𝑈)})))
4 dochexmid.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 dochexmid.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 dochexmid.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
74, 5, 6dvhlmod 41069 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
8 dochexmid.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑈)
9 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (0g𝑈) = (0g𝑈)
108, 9lmod0vcl 20913 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LMod → (0g𝑈) ∈ 𝑉)
117, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝑈) ∈ 𝑉)
1211snssd 4834 . . . . . . 7 (𝜑 → {(0g𝑈)} ⊆ 𝑉)
13 dochexmid.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
14 dochexmid.o . . . . . . . 8 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
154, 5, 8, 13, 14dochlss 41313 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {(0g𝑈)} ⊆ 𝑉) → ( ‘{(0g𝑈)}) ∈ 𝑆)
166, 12, 15syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘{(0g𝑈)}) ∈ 𝑆)
1713lsssubg 20980 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘{(0g𝑈)}) ∈ 𝑆) → ( ‘{(0g𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
187, 16, 17syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘{(0g𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
19 dochexmid.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑈)
209, 19lsm02 19716 . . . . 5 (( ‘{(0g𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({(0g𝑈)} ( ‘{(0g𝑈)})) = ( ‘{(0g𝑈)}))
2118, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({(0g𝑈)} ( ‘{(0g𝑈)})) = ( ‘{(0g𝑈)}))
224, 5, 14, 8, 9doch0 41317 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( ‘{(0g𝑈)}) = 𝑉)
236, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → ( ‘{(0g𝑈)}) = 𝑉)
2421, 23eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → ({(0g𝑈)} ( ‘{(0g𝑈)})) = 𝑉)
253, 24sylan9eqr 2802 . 2 ((𝜑𝑋 = {(0g𝑈)}) → (𝑋 ( 𝑋)) = 𝑉)
26 eqid 2740 . . 3 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
27 eqid 2740 . . 3 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
286adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ {(0g𝑈)}) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
29 dochexmid.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
3029adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ {(0g𝑈)}) → 𝑋𝑆)
31 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ {(0g𝑈)}) → 𝑋 ≠ {(0g𝑈)})
32 dochexmid.c . . . 4 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
3332adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ {(0g𝑈)}) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
344, 14, 5, 8, 13, 26, 19, 27, 28, 30, 9, 31, 33dochexmidlem8 41426 . 2 ((𝜑𝑋 ≠ {(0g𝑈)}) → (𝑋 ( 𝑋)) = 𝑉)
3525, 34pm2.61dane 3035 1 (𝜑 → (𝑋 ( 𝑋)) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  wss 3976  {csn 4648  cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  0gc0g 17501  SubGrpcsubg 19162  LSSumclsm 19678  LModclmod 20882  LSubSpclss 20954  LSpanclspn 20994  LSAtomsclsa 38932  HLchlt 39308  LHypclh 39943  DVecHcdvh 41037  ocHcoch 41306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-riotaBAD 38911
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-tpos 8269  df-undef 8316  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-er 8765  df-map 8888  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-0g 17503  df-mre 17646  df-mrc 17647  df-acs 17649  df-proset 18367  df-poset 18385  df-plt 18402  df-lub 18418  df-glb 18419  df-join 18420  df-meet 18421  df-p0 18497  df-p1 18498  df-lat 18504  df-clat 18571  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-submnd 18821  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-cntz 19359  df-oppg 19388  df-lsm 19680  df-cmn 19826  df-abl 19827  df-mgp 20164  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20362  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-drng 20755  df-lmod 20884  df-lss 20955  df-lsp 20995  df-lvec 21127  df-lsatoms 38934  df-lcv 38977  df-oposet 39134  df-ol 39136  df-oml 39137  df-covers 39224  df-ats 39225  df-atl 39256  df-cvlat 39280  df-hlat 39309  df-llines 39457  df-lplanes 39458  df-lvols 39459  df-lines 39460  df-psubsp 39462  df-pmap 39463  df-padd 39755  df-lhyp 39947  df-laut 39948  df-ldil 40063  df-ltrn 40064  df-trl 40118  df-tgrp 40702  df-tendo 40714  df-edring 40716  df-dveca 40962  df-disoa 40988  df-dvech 41038  df-dib 41098  df-dic 41132  df-dih 41188  df-doch 41307  df-djh 41354
This theorem is referenced by:  lclkrlem2v  41487  hdmapglem7a  41886  hlhilhillem  41923
  Copyright terms: Public domain W3C validator