Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochexmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochexmid 38148
Description: Excluded middle law for closed subspaces, which is equivalent to (and derived from) the orthomodular law dihoml4 38057. Lemma 3.3(2) in [Holland95] p. 215. In our proof, we use the variables 𝑋, 𝑀, 𝑝, 𝑞, 𝑟 in place of Hollands' l, m, P, Q, L respectively. (pexmidALTN 36658 analog.) (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochexmid.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochexmid.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmid.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmid.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochexmid.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochexmid.p = (LSSum‘𝑈)
dochexmid.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochexmid.x (𝜑𝑋𝑆)
dochexmid.c (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dochexmid (𝜑 → (𝑋 ( 𝑋)) = 𝑉)

Proof of Theorem dochexmid
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝑋 = {(0g𝑈)} → 𝑋 = {(0g𝑈)})
2 fveq2 6541 . . . 4 (𝑋 = {(0g𝑈)} → ( 𝑋) = ( ‘{(0g𝑈)}))
31, 2oveq12d 7037 . . 3 (𝑋 = {(0g𝑈)} → (𝑋 ( 𝑋)) = ({(0g𝑈)} ( ‘{(0g𝑈)})))
4 dochexmid.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 dochexmid.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 dochexmid.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
74, 5, 6dvhlmod 37790 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
8 dochexmid.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑈)
9 eqid 2794 . . . . . . . . . 10 (0g𝑈) = (0g𝑈)
108, 9lmod0vcl 19353 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LMod → (0g𝑈) ∈ 𝑉)
117, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝑈) ∈ 𝑉)
1211snssd 4651 . . . . . . 7 (𝜑 → {(0g𝑈)} ⊆ 𝑉)
13 dochexmid.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
14 dochexmid.o . . . . . . . 8 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
154, 5, 8, 13, 14dochlss 38034 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {(0g𝑈)} ⊆ 𝑉) → ( ‘{(0g𝑈)}) ∈ 𝑆)
166, 12, 15syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘{(0g𝑈)}) ∈ 𝑆)
1713lsssubg 19419 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘{(0g𝑈)}) ∈ 𝑆) → ( ‘{(0g𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
187, 16, 17syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘{(0g𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
19 dochexmid.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑈)
209, 19lsm02 18525 . . . . 5 (( ‘{(0g𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({(0g𝑈)} ( ‘{(0g𝑈)})) = ( ‘{(0g𝑈)}))
2118, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({(0g𝑈)} ( ‘{(0g𝑈)})) = ( ‘{(0g𝑈)}))
224, 5, 14, 8, 9doch0 38038 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( ‘{(0g𝑈)}) = 𝑉)
236, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → ( ‘{(0g𝑈)}) = 𝑉)
2421, 23eqtrd 2830 . . 3 (𝜑 → ({(0g𝑈)} ( ‘{(0g𝑈)})) = 𝑉)
253, 24sylan9eqr 2852 . 2 ((𝜑𝑋 = {(0g𝑈)}) → (𝑋 ( 𝑋)) = 𝑉)
26 eqid 2794 . . 3 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
27 eqid 2794 . . 3 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
286adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ {(0g𝑈)}) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
29 dochexmid.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
3029adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ {(0g𝑈)}) → 𝑋𝑆)
31 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ {(0g𝑈)}) → 𝑋 ≠ {(0g𝑈)})
32 dochexmid.c . . . 4 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
3332adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ {(0g𝑈)}) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
344, 14, 5, 8, 13, 26, 19, 27, 28, 30, 9, 31, 33dochexmidlem8 38147 . 2 ((𝜑𝑋 ≠ {(0g𝑈)}) → (𝑋 ( 𝑋)) = 𝑉)
3525, 34pm2.61dane 3071 1 (𝜑 → (𝑋 ( 𝑋)) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2080  wne 2983  wss 3861  {csn 4474  cfv 6228  (class class class)co 7019  Basecbs 16312  0gc0g 16542  SubGrpcsubg 18027  LSSumclsm 18489  LModclmod 19324  LSubSpclss 19393  LSpanclspn 19433  LSAtomsclsa 35654  HLchlt 36030  LHypclh 36664  DVecHcdvh 37758  ocHcoch 38027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-riotaBAD 35633
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-iin 4830  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-tpos 7746  df-undef 7793  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-0g 16544  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-p1 17479  df-lat 17485  df-clat 17547  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-subg 18030  df-cntz 18188  df-oppg 18215  df-lsm 18491  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-dvr 19123  df-drng 19194  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lsp 19434  df-lvec 19565  df-lsatoms 35656  df-lcv 35699  df-oposet 35856  df-ol 35858  df-oml 35859  df-covers 35946  df-ats 35947  df-atl 35978  df-cvlat 36002  df-hlat 36031  df-llines 36178  df-lplanes 36179  df-lvols 36180  df-lines 36181  df-psubsp 36183  df-pmap 36184  df-padd 36476  df-lhyp 36668  df-laut 36669  df-ldil 36784  df-ltrn 36785  df-trl 36839  df-tgrp 37423  df-tendo 37435  df-edring 37437  df-dveca 37683  df-disoa 37709  df-dvech 37759  df-dib 37819  df-dic 37853  df-dih 37909  df-doch 38028  df-djh 38075
This theorem is referenced by:  lclkrlem2v  38208  hdmapglem7a  38607  hlhilhillem  38640
  Copyright terms: Public domain W3C validator