Theorem dochexmid 42056

Description: Excluded middle law for closed subspaces, which is equivalent to (and derived from) the orthomodular law dihoml4 41965. Lemma 3.3(2) in [Holland95] p. 215. In our proof, we use the variables 𝑋, 𝑀, 𝑝, 𝑞, 𝑟 in place of Hollands' l, m, P, Q, L respectively. (pexmidALTN 40566 analog.) (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochexmid.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochexmid.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmid.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochexmid.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochexmid.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dochexmid.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochexmid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dochexmid.c	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dochexmid	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)

Proof of Theorem dochexmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑋 = {(0g‘𝑈)} → 𝑋 = {(0g‘𝑈)})
2		fveq2 6863	. . . 4 ⊢ (𝑋 = {(0g‘𝑈)} → ( ⊥ ‘𝑋) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
3	1, 2	oveq12d 7410	. . 3 ⊢ (𝑋 = {(0g‘𝑈)} → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = ({(0g‘𝑈)} ⊕ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})))
4		dochexmid.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dochexmid.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dochexmid.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	dvhlmod 41698	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
8		dochexmid.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
10	8, 9	lmod0vcl 20938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
12	11	snssd 4744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑉)
13		dochexmid.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
14		dochexmid.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
15	4, 5, 8, 13, 14	dochlss 41942	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ 𝑆)
16	6, 12, 15	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ 𝑆)
17	13	lsssubg 21004	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ 𝑆) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
18	7, 16, 17	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
19		dochexmid.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
20	9, 19	lsm02 19695	. . . . 5 ⊢ (( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({(0g‘𝑈)} ⊕ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
21	18, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({(0g‘𝑈)} ⊕ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
22	4, 5, 14, 8, 9	doch0 41946	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
23	6, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
24	21, 23	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({(0g‘𝑈)} ⊕ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = 𝑉)
25	3, 24	sylan9eqr 2818	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = {(0g‘𝑈)}) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
26		eqid 2761	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
27		eqid 2761	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
28	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
29		dochexmid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
30	29	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → 𝑋 ∈ 𝑆)
31		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)})
32		dochexmid.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
33	32	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
34	4, 14, 5, 8, 13, 26, 19, 27, 28, 30, 9, 31, 33	dochexmidlem8 42055	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
35	25, 34	pm2.61dane 3043	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3904  {csn 4581  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  0_gc0g 17451  SubGrpcsubg 19145  LSSumclsm 19657  LModclmod 20907  LSubSpclss 20978  LSpanclspn 21018  LSAtomsclsa 39562  HLchlt 39938  LHypclh 40572  DVecHcdvh 41666  ocHcoch 41935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-riotaBAD 39541

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-undef 8248  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-0g 17453  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-proset 18309  df-poset 18328  df-plt 18343  df-lub 18359  df-glb 18360  df-join 18361  df-meet 18362  df-p0 18438  df-p1 18439  df-lat 18447  df-clat 18514  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-subg 19148  df-cntz 19340  df-oppg 19369  df-lsm 19659  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-drng 20760  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-lvec 21150  df-lsatoms 39564  df-lcv 39607  df-oposet 39764  df-ol 39766  df-oml 39767  df-covers 39854  df-ats 39855  df-atl 39886  df-cvlat 39910  df-hlat 39939  df-llines 40086  df-lplanes 40087  df-lvols 40088  df-lines 40089  df-psubsp 40091  df-pmap 40092  df-padd 40384  df-lhyp 40576  df-laut 40577  df-ldil 40692  df-ltrn 40693  df-trl 40747  df-tgrp 41331  df-tendo 41343  df-edring 41345  df-dveca 41591  df-disoa 41617  df-dvech 41667  df-dib 41727  df-dic 41761  df-dih 41817  df-doch 41936  df-djh 41983

This theorem is referenced by:  lclkrlem2v  42116  hdmapglem7a  42515  hlhilhillem  42548