Theorem dochexmid 41457

Description: Excluded middle law for closed subspaces, which is equivalent to (and derived from) the orthomodular law dihoml4 41366. Lemma 3.3(2) in [Holland95] p. 215. In our proof, we use the variables 𝑋, 𝑀, 𝑝, 𝑞, 𝑟 in place of Hollands' l, m, P, Q, L respectively. (pexmidALTN 39967 analog.) (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochexmid.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochexmid.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmid.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochexmid.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochexmid.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dochexmid.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochexmid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dochexmid.c	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dochexmid	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)

Proof of Theorem dochexmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑋 = {(0g‘𝑈)} → 𝑋 = {(0g‘𝑈)})
2		fveq2 6860	. . . 4 ⊢ (𝑋 = {(0g‘𝑈)} → ( ⊥ ‘𝑋) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
3	1, 2	oveq12d 7407	. . 3 ⊢ (𝑋 = {(0g‘𝑈)} → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = ({(0g‘𝑈)} ⊕ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})))
4		dochexmid.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dochexmid.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dochexmid.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	dvhlmod 41099	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
8		dochexmid.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
10	8, 9	lmod0vcl 20803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ 𝑉)
12	11	snssd 4775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑉)
13		dochexmid.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
14		dochexmid.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
15	4, 5, 8, 13, 14	dochlss 41343	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ 𝑆)
16	6, 12, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ 𝑆)
17	13	lsssubg 20869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ 𝑆) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
18	7, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
19		dochexmid.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
20	9, 19	lsm02 19608	. . . . 5 ⊢ (( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({(0g‘𝑈)} ⊕ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
21	18, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({(0g‘𝑈)} ⊕ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
22	4, 5, 14, 8, 9	doch0 41347	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
23	6, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
24	21, 23	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({(0g‘𝑈)} ⊕ ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = 𝑉)
25	3, 24	sylan9eqr 2787	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = {(0g‘𝑈)}) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
26		eqid 2730	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
27		eqid 2730	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
28	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
29		dochexmid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
30	29	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → 𝑋 ∈ 𝑆)
31		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)})
32		dochexmid.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
33	32	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
34	4, 14, 5, 8, 13, 26, 19, 27, 28, 30, 9, 31, 33	dochexmidlem8 41456	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ {(0g‘𝑈)}) → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
35	25, 34	pm2.61dane 3013	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3916  {csn 4591  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  0_gc0g 17408  SubGrpcsubg 19058  LSSumclsm 19570  LModclmod 20772  LSubSpclss 20843  LSpanclspn 20883  LSAtomsclsa 38962  HLchlt 39338  LHypclh 39973  DVecHcdvh 41067  ocHcoch 41336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-riotaBAD 38941

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17410  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-proset 18261  df-poset 18280  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-subg 19061  df-cntz 19255  df-oppg 19284  df-lsm 19572  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-dvr 20316  df-drng 20646  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884  df-lvec 21016  df-lsatoms 38964  df-lcv 39007  df-oposet 39164  df-ol 39166  df-oml 39167  df-covers 39254  df-ats 39255  df-atl 39286  df-cvlat 39310  df-hlat 39339  df-llines 39487  df-lplanes 39488  df-lvols 39489  df-lines 39490  df-psubsp 39492  df-pmap 39493  df-padd 39785  df-lhyp 39977  df-laut 39978  df-ldil 40093  df-ltrn 40094  df-trl 40148  df-tgrp 40732  df-tendo 40744  df-edring 40746  df-dveca 40992  df-disoa 41018  df-dvech 41068  df-dib 41128  df-dic 41162  df-dih 41218  df-doch 41337  df-djh 41384

This theorem is referenced by:  lclkrlem2v  41517  hdmapglem7a  41916  hlhilhillem  41949