Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1val0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1val0 38981
 Description: Value of preliminary map from vectors to functionals at zero. (Restated mapdhval0 38907.) (Contributed by NM, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1val0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1val0.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1val0.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1val0.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1val0.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1val0.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1val0.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1val0.s 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1val0.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1val0.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1val0.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmap1val0 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)

Proof of Theorem hdmap1val0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap1val0.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1val0.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1val0.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2821 . . 3 (-g𝑈) = (-g𝑈)
5 hdmap1val0.o . . 3 0 = (0g𝑈)
6 eqid 2821 . . 3 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
7 hdmap1val0.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap1val0.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 eqid 2821 . . 3 (-g𝐶) = (-g𝐶)
10 hdmap1val0.q . . 3 𝑄 = (0g𝐶)
11 eqid 2821 . . 3 (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
12 eqid 2821 . . 3 ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmap1val0.s . . 3 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
14 hdmap1val0.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 hdmap1val0.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
16 hdmap1val0.f . . 3 (𝜑𝐹𝐷)
171, 2, 14dvhlmod 38292 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
183, 5lmod0vcl 19639 . . . 4 (𝑈 ∈ LMod → 0𝑉)
1917, 18syl 17 . . 3 (𝜑0𝑉)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19hdmap1val 38980 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = if( 0 = 0 , 𝑄, (𝐷 ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{ 0 })) = ((LSpan‘𝐶)‘{}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{(𝑋(-g𝑈) 0 )})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐹(-g𝐶))})))))
21 eqid 2821 . . 3 0 = 0
2221iftruei 4447 . 2 if( 0 = 0 , 𝑄, (𝐷 ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{ 0 })) = ((LSpan‘𝐶)‘{}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{(𝑋(-g𝑈) 0 )})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐹(-g𝐶))})))) = 𝑄
2320, 22syl6eq 2872 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ifcif 4440  {csn 4540  ⟨cotp 4548  ‘cfv 6328  ℩crio 7087  (class class class)co 7130  Basecbs 16462  0gc0g 16692  -gcsg 18084  LModclmod 19610  LSpanclspn 19719  HLchlt 36532  LHypclh 37166  DVecHcdvh 38260  LCDualclcd 38768  mapdcmpd 38806  HDMap1chdma1 38973 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-riotaBAD 36135 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-ot 4549  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-undef 7914  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-0g 16694  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lvec 19851  df-oposet 36358  df-ol 36360  df-oml 36361  df-covers 36448  df-ats 36449  df-atl 36480  df-cvlat 36504  df-hlat 36533  df-llines 36680  df-lplanes 36681  df-lvols 36682  df-lines 36683  df-psubsp 36685  df-pmap 36686  df-padd 36978  df-lhyp 37170  df-laut 37171  df-ldil 37286  df-ltrn 37287  df-trl 37341  df-tendo 37937  df-edring 37939  df-dvech 38261  df-hdmap1 38975 This theorem is referenced by:  hdmap1l6b  38993  hdmap1l6c  38994  hdmap1l6d  38995  hdmapval0  39015  hdmapval3N  39020
 Copyright terms: Public domain W3C validator