Theorem mapdh6cN 39679

Description: Lemmma for mapdh6N 39688. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
mapdh6c.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdh6c.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 = 0 )
mapdh6c.ne	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh6cN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   ℎ,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   + (𝑥,ℎ)   ✚ (𝑥,ℎ)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐼(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥,ℎ)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdh6cN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 39533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		lmodgrp 20045	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → 𝐶 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Grp)
7		mapdh.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
8		mapdh.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
9		mapdh.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdh.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11		mapdh.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
12		mapdh.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
13		mapdhc.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
14		mapdh.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15		mapdh.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
16		mapdh.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
17		mapdh.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
18		mapdhc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
19		mapdh.mn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
20		mapdhcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21		mapdh6c.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22	1, 10, 3	dvhlvec 39050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
23	20	eldifad 3895	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		mapdh6c.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 0 )
25	1, 10, 3	dvhlmod 39051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
26	11, 13	lmod0vcl 20067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
28	24, 27	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
29		mapdh6c.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
30	11, 14, 22, 23, 21, 28, 29	lspindpi 20309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
31	30	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
32	7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 15, 16, 17, 3, 18, 19, 20, 21, 31	mapdhcl 39668	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
33		mapdh.a	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
34	15, 33, 7	grprid 18525	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Grp ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
35	6, 32, 34	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
36	24	oteq3d 4815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
37	36	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
38	7, 8, 13, 20, 18	mapdhval0 39666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
39	37, 38	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝑄)
40	39	oveq2d 7271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ 𝑄))
41	24	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = (𝑌 + 0 ))
42		lmodgrp 20045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
43	25, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
44		mapdh.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑈)
45	11, 44, 13	grprid 18525	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 0 ) = 𝑌)
46	43, 21, 45	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 0 ) = 𝑌)
47	41, 46	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = 𝑌)
48	47	oteq3d 4815	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩)
49	48	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
50	35, 40, 49	3eqtr4rd 2789	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  ifcif 4456  {csn 4558  {cpr 4560  ⟨cotp 4566   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  ℩crio 7211  (class class class)co 7255  1^st c1st 7802  2^nd c2nd 7803  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  -_gcsg 18494  LModclmod 20038  LSpanclspn 20148  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  LCDualclcd 39527  mapdcmpd 39565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-lcv 36960  df-lfl 36999  df-lkr 37027  df-ldual 37065  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336  df-lcdual 39528  df-mapd 39566

This theorem is referenced by:  mapdh6kN  39687