Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6cN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6cN 40191
Description: Lemmma for mapdh6N 40200. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p + = (+g𝑈)
mapdh.a = (+g𝐶)
mapdh6c.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdh6c.z (𝜑𝑍 = 0 )
mapdh6c.ne (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
mapdh6cN (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,   ,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   + (𝑥,)   (𝑥,)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh6cN
StepHypRef Expression
1 mapdh.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 40045 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 lmodgrp 20327 . . . 4 (𝐶 ∈ LMod → 𝐶 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Grp)
7 mapdh.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
8 mapdh.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
9 mapdh.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10 mapdh.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11 mapdh.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 mapdh.s . . . 4 = (-g𝑈)
13 mapdhc.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
14 mapdh.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15 mapdh.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
16 mapdh.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
17 mapdh.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
18 mapdhc.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
19 mapdh.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
20 mapdhcl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21 mapdh6c.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
221, 10, 3dvhlvec 39562 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2320eldifad 3922 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
24 mapdh6c.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 = 0 )
251, 10, 3dvhlmod 39563 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
2611, 13lmod0vcl 20349 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → 0𝑉)
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑0𝑉)
2824, 27eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
29 mapdh6c.ne . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
3011, 14, 22, 23, 21, 28, 29lspindpi 20591 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
3130simpld 495 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
327, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 15, 16, 17, 3, 18, 19, 20, 21, 31mapdhcl 40180 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
33 mapdh.a . . . 4 = (+g𝐶)
3415, 33, 7grprid 18780 . . 3 ((𝐶 ∈ Grp ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
356, 32, 34syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
3624oteq3d 4844 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
3736fveq2d 6846 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
387, 8, 13, 20, 18mapdhval0 40178 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
3937, 38eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝑄)
4039oveq2d 7372 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) 𝑄))
4124oveq2d 7372 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = (𝑌 + 0 ))
42 lmodgrp 20327 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
4325, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
44 mapdh.p . . . . . . 7 + = (+g𝑈)
4511, 44, 13grprid 18780 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉) → (𝑌 + 0 ) = 𝑌)
4643, 21, 45syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + 0 ) = 𝑌)
4741, 46eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = 𝑌)
4847oteq3d 4844 . . 3 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩)
4948fveq2d 6846 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
5035, 40, 493eqtr4rd 2787 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  cdif 3907  ifcif 4486  {csn 4586  {cpr 4588  cotp 4594  cmpt 5188  cfv 6496  crio 7311  (class class class)co 7356  1st c1st 7918  2nd c2nd 7919  Basecbs 17082  +gcplusg 17132  0gc0g 17320  Grpcgrp 18747  -gcsg 18749  LModclmod 20320  LSpanclspn 20430  HLchlt 37802  LHypclh 38437  DVecHcdvh 39531  LCDualclcd 40039  mapdcmpd 40077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-riotaBAD 37405
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-0g 17322  df-mre 17465  df-mrc 17466  df-acs 17468  df-proset 18183  df-poset 18201  df-plt 18218  df-lub 18234  df-glb 18235  df-join 18236  df-meet 18237  df-p0 18313  df-p1 18314  df-lat 18320  df-clat 18387  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-submnd 18601  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-sbg 18752  df-subg 18923  df-cntz 19095  df-oppg 19122  df-lsm 19416  df-cmn 19562  df-abl 19563  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-ring 19964  df-oppr 20047  df-dvdsr 20068  df-unit 20069  df-invr 20099  df-dvr 20110  df-drng 20185  df-lmod 20322  df-lss 20391  df-lsp 20431  df-lvec 20562  df-lsatoms 37428  df-lshyp 37429  df-lcv 37471  df-lfl 37510  df-lkr 37538  df-ldual 37576  df-oposet 37628  df-ol 37630  df-oml 37631  df-covers 37718  df-ats 37719  df-atl 37750  df-cvlat 37774  df-hlat 37803  df-llines 37951  df-lplanes 37952  df-lvols 37953  df-lines 37954  df-psubsp 37956  df-pmap 37957  df-padd 38249  df-lhyp 38441  df-laut 38442  df-ldil 38557  df-ltrn 38558  df-trl 38612  df-tgrp 39196  df-tendo 39208  df-edring 39210  df-dveca 39456  df-disoa 39482  df-dvech 39532  df-dib 39592  df-dic 39626  df-dih 39682  df-doch 39801  df-djh 39848  df-lcdual 40040  df-mapd 40078
This theorem is referenced by:  mapdh6kN  40199
  Copyright terms: Public domain W3C validator