Theorem mapdh6cN 42935

Description: Lemmma for mapdh6N 42944. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh.a	⊢ + = (+g‘𝐶)
mapdh6c.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdh6c.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 = 0 )
mapdh6c.ne	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh6cN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) + (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   ℎ,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   + (𝑥, ℎ)   + (𝑥, ℎ)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥, ℎ)   𝐼(𝑥, ℎ)   𝐾(𝑥, ℎ)   𝑉(𝑥, ℎ)   𝑊(𝑥, ℎ)

Proof of Theorem mapdh6cN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 42789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		lmodgrp 21154	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → 𝐶 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Grp)
7		mapdh.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
8		mapdh.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
9		mapdh.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdh.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11		mapdh.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
12		mapdh.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
13		mapdhc.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
14		mapdh.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15		mapdh.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
16		mapdh.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
17		mapdh.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
18		mapdhc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
19		mapdh.mn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
20		mapdhcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21		mapdh6c.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22	1, 10, 3	dvhlvec 42306	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
23	20	eldifad 4053	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		mapdh6c.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 0 )
25	1, 10, 3	dvhlmod 42307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
26	11, 13	lmod0vcl 21178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
27	25, 26	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
28	24, 27	eqeltrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
29		mapdh6c.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
30	11, 14, 22, 23, 21, 28, 29	lspindpi 21422	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
31	30	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
32	7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 15, 16, 17, 3, 18, 19, 20, 21, 31	mapdhcl 42924	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
33		mapdh.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐶)
34	15, 33, 7	grprid 19191	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Grp ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) + 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
35	6, 32, 34	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) + 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
36	24	oteq3d 4867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
37	36	fveq2d 6897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
38	7, 8, 13, 20, 18	mapdhval0 42922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
39	37, 38	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝑄)
40	39	oveq2d 7443	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) + (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) + 𝑄))
41	24	oveq2d 7443	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = (𝑌 + 0 ))
42		lmodgrp 21154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
43	25, 42	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
44		mapdh.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑈)
45	11, 44, 13	grprid 19191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 0 ) = 𝑌)
46	43, 21, 45	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 0 ) = 𝑌)
47	41, 46	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = 𝑌)
48	47	oteq3d 4867	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩)
49	48	fveq2d 6897	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
50	35, 40, 49	3eqtr4rd 2809	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) + (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  Vcvv 3453   ∖ cdif 4047  ifcif 4484  {csn 4587  {cpr 4589  ⟨cotp 4860   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6546  ℩crio 7383  (class class class)co 7427  1^st c1st 8006  2^nd c2nd 8007  Basecbs 17399  +_gcplusg 17440  0_gc0g 17622  Grpcgrp 19156  -_gcsg 19158  LModclmod 21147  LSpanclspn 21258  HLchlt 40547  LHypclh 41181  DVecHcdvh 42275  LCDualclcd 42783  mapdcmpd 42821

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-riotaBAD 40150

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-ot 4861  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-undef 8301  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-0g 17624  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-proset 18480  df-poset 18499  df-plt 18514  df-lub 18530  df-glb 18531  df-join 18532  df-meet 18533  df-p0 18609  df-p1 18610  df-lat 18618  df-clat 18685  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-subg 19345  df-cntz 19543  df-oppg 19572  df-lsm 19862  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-dvr 20643  df-nzr 20775  df-rlreg 20958  df-domn 20959  df-drng 20994  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-lsp 21259  df-lvec 21390  df-lsatoms 40173  df-lshyp 40174  df-lcv 40216  df-lfl 40255  df-lkr 40283  df-ldual 40321  df-oposet 40373  df-ol 40375  df-oml 40376  df-covers 40463  df-ats 40464  df-atl 40495  df-cvlat 40519  df-hlat 40548  df-llines 40695  df-lplanes 40696  df-lvols 40697  df-lines 40698  df-psubsp 40700  df-pmap 40701  df-padd 40993  df-lhyp 41185  df-laut 41186  df-ldil 41301  df-ltrn 41302  df-trl 41356  df-tgrp 41940  df-tendo 41952  df-edring 41954  df-dveca 42200  df-disoa 42226  df-dvech 42276  df-dib 42336  df-dic 42370  df-dih 42426  df-doch 42545  df-djh 42592  df-lcdual 42784  df-mapd 42822

This theorem is used by:  mapdh6kN  42943