Theorem mapdh6cN 42795

Description: Lemmma for mapdh6N 42804. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh.a	⊢ + = (+g‘𝐶)
mapdh6c.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdh6c.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 = 0 )
mapdh6c.ne	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh6cN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) + (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   ℎ,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   + (𝑥, ℎ)   + (𝑥, ℎ)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥, ℎ)   𝐼(𝑥, ℎ)   𝐾(𝑥, ℎ)   𝑉(𝑥, ℎ)   𝑊(𝑥, ℎ)

Proof of Theorem mapdh6cN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 42649	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		lmodgrp 21142	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → 𝐶 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Grp)
7		mapdh.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
8		mapdh.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
9		mapdh.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdh.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11		mapdh.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
12		mapdh.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
13		mapdhc.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
14		mapdh.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15		mapdh.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
16		mapdh.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
17		mapdh.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
18		mapdhc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
19		mapdh.mn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
20		mapdhcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21		mapdh6c.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22	1, 10, 3	dvhlvec 42166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
23	20	eldifad 3911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		mapdh6c.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 0 )
25	1, 10, 3	dvhlmod 42167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
26	11, 13	lmod0vcl 21166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
27	25, 26	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
28	24, 27	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
29		mapdh6c.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
30	11, 14, 22, 23, 21, 28, 29	lspindpi 21410	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
31	30	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
32	7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 15, 16, 17, 3, 18, 19, 20, 21, 31	mapdhcl 42784	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
33		mapdh.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐶)
34	15, 33, 7	grprid 19179	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Grp ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) + 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
35	6, 32, 34	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) + 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
36	24	oteq3d 4847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
37	36	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
38	7, 8, 13, 20, 18	mapdhval0 42782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
39	37, 38	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝑄)
40	39	oveq2d 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) + (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) + 𝑄))
41	24	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = (𝑌 + 0 ))
42		lmodgrp 21142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
43	25, 42	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
44		mapdh.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑈)
45	11, 44, 13	grprid 19179	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 0 ) = 𝑌)
46	43, 21, 45	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 0 ) = 𝑌)
47	41, 46	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = 𝑌)
48	47	oteq3d 4847	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩)
49	48	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
50	35, 40, 49	3eqtr4rd 2807	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) + (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  ifcif 4482  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cotp 4592   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  ℩crio 7376  (class class class)co 7420  1^st c1st 7999  2^nd c2nd 8000  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610  Grpcgrp 19144  -_gcsg 19146  LModclmod 21135  LSpanclspn 21246  HLchlt 40407  LHypclh 41041  DVecHcdvh 42135  LCDualclcd 42643  mapdcmpd 42681

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-riotaBAD 40010

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-undef 8290  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-0g 17612  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-oppg 19560  df-lsm 19850  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-nzr 20763  df-rlreg 20946  df-domn 20947  df-drng 20982  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lvec 21378  df-lsatoms 40033  df-lshyp 40034  df-lcv 40076  df-lfl 40115  df-lkr 40143  df-ldual 40181  df-oposet 40233  df-ol 40235  df-oml 40236  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408  df-llines 40555  df-lplanes 40556  df-lvols 40557  df-lines 40558  df-psubsp 40560  df-pmap 40561  df-padd 40853  df-lhyp 41045  df-laut 41046  df-ldil 41161  df-ltrn 41162  df-trl 41216  df-tgrp 41800  df-tendo 41812  df-edring 41814  df-dveca 42060  df-disoa 42086  df-dvech 42136  df-dib 42196  df-dic 42230  df-dih 42286  df-doch 42405  df-djh 42452  df-lcdual 42644  df-mapd 42682

This theorem is used by:  mapdh6kN  42803