Theorem lplnnleat 39651

Description: A lattice plane cannot majorize an atom. (Contributed by NM, 14-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnnleat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lplnnleat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnnleat.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnnleat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑄)

Proof of Theorem lplnnleat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4		lplnnleat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6		lplnnleat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		lplnnleat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	lplnnle2at 39650	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝑋 ≤ (𝑄(join‘𝐾)𝑄))
9	1, 2, 3, 3, 8	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ (𝑄(join‘𝐾)𝑄))
10	5, 6	hlatjidm 39478	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄(join‘𝐾)𝑄) = 𝑄)
11	10	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄(join‘𝐾)𝑄) = 𝑄)
12	11	breq2d 5101	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ (𝑄(join‘𝐾)𝑄) ↔ 𝑋 ≤ 𝑄))
13	9, 12	mtbid 324	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  lecple 17168  joincjn 18217  Atomscatm 39372  HLchlt 39459  LPlanesclpl 39601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-lat 18338  df-clat 18405  df-oposet 39285  df-ol 39287  df-oml 39288  df-covers 39375  df-ats 39376  df-atl 39407  df-cvlat 39431  df-hlat 39460  df-llines 39607  df-lplanes 39608

This theorem is referenced by:  lplnneat  39654  lplnn0N  39656