Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnnleat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnnleat 36797
Description: A lattice plane cannot majorize an atom. (Contributed by NM, 14-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnnleat.l = (le‘𝐾)
lplnnleat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnnleat.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnnleat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑄𝐴) → ¬ 𝑋 𝑄)

Proof of Theorem lplnnleat
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp2 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑄𝐴) → 𝑋𝑃)
3 simp3 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑄𝐴) → 𝑄𝐴)
4 lplnnleat.l . . . 4 = (le‘𝐾)
5 eqid 2822 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6 lplnnleat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 lplnnleat.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
84, 5, 6, 7lplnnle2at 36796 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑃𝑄𝐴𝑄𝐴)) → ¬ 𝑋 (𝑄(join‘𝐾)𝑄))
91, 2, 3, 3, 8syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑄𝐴) → ¬ 𝑋 (𝑄(join‘𝐾)𝑄))
105, 6hlatjidm 36624 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄(join‘𝐾)𝑄) = 𝑄)
11103adant2 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑄𝐴) → (𝑄(join‘𝐾)𝑄) = 𝑄)
1211breq2d 5054 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑄𝐴) → (𝑋 (𝑄(join‘𝐾)𝑄) ↔ 𝑋 𝑄))
139, 12mtbid 327 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑄𝐴) → ¬ 𝑋 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  lecple 16563  joincjn 17545  Atomscatm 36518  HLchlt 36605  LPlanesclpl 36747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-lat 17647  df-clat 17709  df-oposet 36431  df-ol 36433  df-oml 36434  df-covers 36521  df-ats 36522  df-atl 36553  df-cvlat 36577  df-hlat 36606  df-llines 36753  df-lplanes 36754
This theorem is referenced by:  lplnneat  36800  lplnn0N  36802
  Copyright terms: Public domain W3C validator