Theorem lplnnleat 36129

Description: A lattice plane cannot majorize an atom. (Contributed by NM, 14-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnnleat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lplnnleat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnnleat.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnnleat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑄)

Proof of Theorem lplnnleat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1116	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp2 1117	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		simp3 1118	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4		lplnnleat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6		lplnnleat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		lplnnleat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	lplnnle2at 36128	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝑋 ≤ (𝑄(join‘𝐾)𝑄))
9	1, 2, 3, 3, 8	syl13anc 1352	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ (𝑄(join‘𝐾)𝑄))
10	5, 6	hlatjidm 35956	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄(join‘𝐾)𝑄) = 𝑄)
11	10	3adant2 1111	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄(join‘𝐾)𝑄) = 𝑄)
12	11	breq2d 4941	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ (𝑄(join‘𝐾)𝑄) ↔ 𝑋 ≤ 𝑄))
13	9, 12	mtbid 316	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4929  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  lecple 16428  joincjn 17412  Atomscatm 35850  HLchlt 35937  LPlanesclpl 36079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-proset 17396  df-poset 17414  df-plt 17426  df-lub 17442  df-glb 17443  df-join 17444  df-meet 17445  df-p0 17507  df-lat 17514  df-clat 17576  df-oposet 35763  df-ol 35765  df-oml 35766  df-covers 35853  df-ats 35854  df-atl 35885  df-cvlat 35909  df-hlat 35938  df-llines 36085  df-lplanes 36086

This theorem is referenced by:  lplnneat  36132  lplnn0N  36134