Theorem lplnnleat 40865

Description: A lattice plane cannot majorize an atom. (Contributed by NM, 14-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnnleat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lplnnleat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnnleat.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnnleat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑄)

Proof of Theorem lplnnleat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4		lplnnleat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6		lplnnleat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		lplnnleat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	lplnnle2at 40864	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝑋 ≤ (𝑄(join‘𝐾)𝑄))
9	1, 2, 3, 3, 8	syl13anc 1400	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ (𝑄(join‘𝐾)𝑄))
10	5, 6	hlatjidm 40692	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄(join‘𝐾)𝑄) = 𝑄)
11	10	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄(join‘𝐾)𝑄) = 𝑄)
12	11	breq2d 5120	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ (𝑄(join‘𝐾)𝑄) ↔ 𝑋 ≤ 𝑄))
13	9, 12	mtbid 327	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑄)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  lecple 17479  joincjn 18535  Atomscatm 40586  HLchlt 40673  LPlanesclpl 40815

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-lat 18656  df-clat 18723  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-llines 40821  df-lplanes 40822

This theorem is used by:  lplnneat  40868  lplnn0N  40870