MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamuval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamuval 21751
Description: Multiplication of two matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamufval.f ๐น = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)
mamufval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mamufval.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mamufval.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
mamufval.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
mamufval.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mamufval.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Fin)
mamuval.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
mamuval.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)))
Assertion
Ref Expression
mamuval (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹๐น๐‘Œ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))))))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘€   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘˜   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ๐‘…,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ๐‘–,๐‘‹,๐‘—,๐‘˜   ๐‘–,๐‘Œ,๐‘—,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ยท ,๐‘–,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ยท (๐‘—)   ๐น(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐‘‰(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)

Proof of Theorem mamuval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamufval.f . . 3 ๐น = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)
2 mamufval.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 mamufval.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
4 mamufval.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
5 mamufval.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
6 mamufval.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
7 mamufval.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Fin)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mamufval 21750 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
9 oveq 7368 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘–๐‘ฅ๐‘—) = (๐‘–๐‘‹๐‘—))
10 oveq 7368 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜) = (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))
119, 10oveqan12d 7381 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)) = ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜)))
1211adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)) = ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜)))
1312mpteq2dv 5212 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))))
1413oveq2d 7378 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜)))))
1514mpoeq3dv 7441 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))))))
16 mamuval.x . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
17 mamuval.y . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)))
18 mpoexga 8015 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))))) โˆˆ V)
195, 7, 18syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))))) โˆˆ V)
208, 15, 16, 17, 19ovmpod 7512 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹๐น๐‘Œ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3448  โŸจcotp 4599   โ†ฆ cmpt 5193   ร— cxp 5636  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โˆˆ cmpo 7364   โ†‘m cmap 8772  Fincfn 8890  Basecbs 17090  .rcmulr 17141   ฮฃg cgsu 17329   maMul cmmul 21748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-mamu 21749
This theorem is referenced by:  mamufv  21752  mamures  21755  mamucl  21764  mpomatmul  21811  mamutpos  21823  mat1dimmul  21841  dmatmul  21862  madurid  22009  cramerimplem2  22049  mat2pmatmul  22096  decpmatmul  22137
  Copyright terms: Public domain W3C validator