MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamuval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamuval 22238
Description: Multiplication of two matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamufval.f ๐น = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)
mamufval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mamufval.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mamufval.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
mamufval.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
mamufval.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mamufval.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Fin)
mamuval.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
mamuval.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)))
Assertion
Ref Expression
mamuval (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹๐น๐‘Œ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))))))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘€   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘˜   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ๐‘…,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ๐‘–,๐‘‹,๐‘—,๐‘˜   ๐‘–,๐‘Œ,๐‘—,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ยท ,๐‘–,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ยท (๐‘—)   ๐น(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐‘‰(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)

Proof of Theorem mamuval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamufval.f . . 3 ๐น = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)
2 mamufval.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 mamufval.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
4 mamufval.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
5 mamufval.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
6 mamufval.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
7 mamufval.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Fin)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mamufval 22237 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
9 oveq 7410 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘–๐‘ฅ๐‘—) = (๐‘–๐‘‹๐‘—))
10 oveq 7410 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜) = (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))
119, 10oveqan12d 7423 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)) = ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜)))
1211adantl 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)) = ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜)))
1312mpteq2dv 5243 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))))
1413oveq2d 7420 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜)))))
1514mpoeq3dv 7483 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))))))
16 mamuval.x . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
17 mamuval.y . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)))
18 mpoexga 8060 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))))) โˆˆ V)
195, 7, 18syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))))) โˆˆ V)
208, 15, 16, 17, 19ovmpod 7555 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹๐น๐‘Œ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468  โŸจcotp 4631   โ†ฆ cmpt 5224   ร— cxp 5667  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โˆˆ cmpo 7406   โ†‘m cmap 8819  Fincfn 8938  Basecbs 17150  .rcmulr 17204   ฮฃg cgsu 17392   maMul cmmul 22235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-mamu 22236
This theorem is referenced by:  mamufv  22239  mamures  22242  mamucl  22251  mpomatmul  22298  mamutpos  22310  mat1dimmul  22328  dmatmul  22349  madurid  22496  cramerimplem2  22536  mat2pmatmul  22583  decpmatmul  22624
  Copyright terms: Public domain W3C validator