![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mamuval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of two matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
mamufval.f | โข ๐น = (๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ) |
mamufval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
mamufval.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mamufval.r | โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
mamufval.m | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mamufval.n | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mamufval.p | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mamuval.x | โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) |
mamuval.y | โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) |
Ref | Expression |
---|---|
mamuval | โข (๐ โ (๐๐น๐) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mamufval.f | . . 3 โข ๐น = (๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ) | |
2 | mamufval.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
3 | mamufval.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
4 | mamufval.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐) | |
5 | mamufval.m | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
6 | mamufval.n | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
7 | mamufval.p | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
8 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | mamufval 22307 | . 2 โข (๐ โ ๐น = (๐ฅ โ (๐ต โm (๐ ร ๐)), ๐ฆ โ (๐ต โm (๐ ร ๐)) โฆ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐))))))) |
9 | oveq 7432 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐๐ฅ๐) = (๐๐๐)) | |
10 | oveq 7432 | . . . . . . 7 โข (๐ฆ = ๐ โ (๐๐ฆ๐) = (๐๐๐)) | |
11 | 9, 10 | oveqan12d 7445 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐) โ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐)) = ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))) |
12 | 11 | adantl 480 | . . . . 5 โข ((๐ โง (๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐)) โ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐)) = ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))) |
13 | 12 | mpteq2dv 5254 | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐)) โ (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐))) = (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))) |
14 | 13 | oveq2d 7442 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐)) โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐)))) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))))) |
15 | 14 | mpoeq3dv 7505 | . 2 โข ((๐ โง (๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐)) โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐))))) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))))) |
16 | mamuval.x | . 2 โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) | |
17 | mamuval.y | . 2 โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) | |
18 | mpoexga 8088 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Fin) โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))))) โ V) | |
19 | 5, 7, 18 | syl2anc 582 | . 2 โข (๐ โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))))) โ V) |
20 | 8, 15, 16, 17, 19 | ovmpod 7579 | 1 โข (๐ โ (๐๐น๐) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3473 โจcotp 4640 โฆ cmpt 5235 ร cxp 5680 โcfv 6553 (class class class)co 7426 โ cmpo 7428 โm cmap 8851 Fincfn 8970 Basecbs 17187 .rcmulr 17241 ฮฃg cgsu 17429 maMul cmmul 22305 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-ot 4641 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-id 5580 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-mamu 22306 |
This theorem is referenced by: mamufv 22309 mamures 22312 mamucl 22321 mpomatmul 22368 mamutpos 22380 mat1dimmul 22398 dmatmul 22419 madurid 22566 cramerimplem2 22606 mat2pmatmul 22653 decpmatmul 22694 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |