![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mamuval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of two matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
mamufval.f | โข ๐น = (๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ) |
mamufval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
mamufval.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mamufval.r | โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
mamufval.m | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mamufval.n | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mamufval.p | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mamuval.x | โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) |
mamuval.y | โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) |
Ref | Expression |
---|---|
mamuval | โข (๐ โ (๐๐น๐) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mamufval.f | . . 3 โข ๐น = (๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ) | |
2 | mamufval.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
3 | mamufval.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
4 | mamufval.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐) | |
5 | mamufval.m | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
6 | mamufval.n | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
7 | mamufval.p | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
8 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | mamufval 21886 | . 2 โข (๐ โ ๐น = (๐ฅ โ (๐ต โm (๐ ร ๐)), ๐ฆ โ (๐ต โm (๐ ร ๐)) โฆ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐))))))) |
9 | oveq 7414 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐๐ฅ๐) = (๐๐๐)) | |
10 | oveq 7414 | . . . . . . 7 โข (๐ฆ = ๐ โ (๐๐ฆ๐) = (๐๐๐)) | |
11 | 9, 10 | oveqan12d 7427 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐) โ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐)) = ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))) |
12 | 11 | adantl 482 | . . . . 5 โข ((๐ โง (๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐)) โ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐)) = ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))) |
13 | 12 | mpteq2dv 5250 | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐)) โ (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐))) = (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))) |
14 | 13 | oveq2d 7424 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐)) โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐)))) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))))) |
15 | 14 | mpoeq3dv 7487 | . 2 โข ((๐ โง (๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐)) โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐))))) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))))) |
16 | mamuval.x | . 2 โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) | |
17 | mamuval.y | . 2 โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) | |
18 | mpoexga 8063 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Fin) โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))))) โ V) | |
19 | 5, 7, 18 | syl2anc 584 | . 2 โข (๐ โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))))) โ V) |
20 | 8, 15, 16, 17, 19 | ovmpod 7559 | 1 โข (๐ โ (๐๐น๐) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 Vcvv 3474 โจcotp 4636 โฆ cmpt 5231 ร cxp 5674 โcfv 6543 (class class class)co 7408 โ cmpo 7410 โm cmap 8819 Fincfn 8938 Basecbs 17143 .rcmulr 17197 ฮฃg cgsu 17385 maMul cmmul 21884 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-ot 4637 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5574 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-mamu 21885 |
This theorem is referenced by: mamufv 21888 mamures 21891 mamucl 21900 mpomatmul 21947 mamutpos 21959 mat1dimmul 21977 dmatmul 21998 madurid 22145 cramerimplem2 22185 mat2pmatmul 22232 decpmatmul 22273 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |