![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mamuval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of two matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
mamufval.f | โข ๐น = (๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ) |
mamufval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
mamufval.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mamufval.r | โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
mamufval.m | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mamufval.n | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mamufval.p | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mamuval.x | โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) |
mamuval.y | โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) |
Ref | Expression |
---|---|
mamuval | โข (๐ โ (๐๐น๐) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mamufval.f | . . 3 โข ๐น = (๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ) | |
2 | mamufval.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
3 | mamufval.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
4 | mamufval.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐) | |
5 | mamufval.m | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
6 | mamufval.n | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
7 | mamufval.p | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
8 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | mamufval 22237 | . 2 โข (๐ โ ๐น = (๐ฅ โ (๐ต โm (๐ ร ๐)), ๐ฆ โ (๐ต โm (๐ ร ๐)) โฆ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐))))))) |
9 | oveq 7410 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐๐ฅ๐) = (๐๐๐)) | |
10 | oveq 7410 | . . . . . . 7 โข (๐ฆ = ๐ โ (๐๐ฆ๐) = (๐๐๐)) | |
11 | 9, 10 | oveqan12d 7423 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐) โ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐)) = ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))) |
12 | 11 | adantl 481 | . . . . 5 โข ((๐ โง (๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐)) โ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐)) = ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))) |
13 | 12 | mpteq2dv 5243 | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐)) โ (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐))) = (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))) |
14 | 13 | oveq2d 7420 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐)) โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐)))) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))))) |
15 | 14 | mpoeq3dv 7483 | . 2 โข ((๐ โง (๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐)) โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐))))) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))))) |
16 | mamuval.x | . 2 โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) | |
17 | mamuval.y | . 2 โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) | |
18 | mpoexga 8060 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Fin) โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))))) โ V) | |
19 | 5, 7, 18 | syl2anc 583 | . 2 โข (๐ โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))))) โ V) |
20 | 8, 15, 16, 17, 19 | ovmpod 7555 | 1 โข (๐ โ (๐๐น๐) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3468 โจcotp 4631 โฆ cmpt 5224 ร cxp 5667 โcfv 6536 (class class class)co 7404 โ cmpo 7406 โm cmap 8819 Fincfn 8938 Basecbs 17150 .rcmulr 17204 ฮฃg cgsu 17392 maMul cmmul 22235 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-ot 4632 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-mamu 22236 |
This theorem is referenced by: mamufv 22239 mamures 22242 mamucl 22251 mpomatmul 22298 mamutpos 22310 mat1dimmul 22328 dmatmul 22349 madurid 22496 cramerimplem2 22536 mat2pmatmul 22583 decpmatmul 22624 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |