![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mamuval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of two matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
mamufval.f | โข ๐น = (๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ) |
mamufval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
mamufval.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mamufval.r | โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
mamufval.m | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mamufval.n | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mamufval.p | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mamuval.x | โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) |
mamuval.y | โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) |
Ref | Expression |
---|---|
mamuval | โข (๐ โ (๐๐น๐) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mamufval.f | . . 3 โข ๐น = (๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ) | |
2 | mamufval.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
3 | mamufval.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
4 | mamufval.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐) | |
5 | mamufval.m | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
6 | mamufval.n | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
7 | mamufval.p | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
8 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | mamufval 21750 | . 2 โข (๐ โ ๐น = (๐ฅ โ (๐ต โm (๐ ร ๐)), ๐ฆ โ (๐ต โm (๐ ร ๐)) โฆ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐))))))) |
9 | oveq 7368 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐๐ฅ๐) = (๐๐๐)) | |
10 | oveq 7368 | . . . . . . 7 โข (๐ฆ = ๐ โ (๐๐ฆ๐) = (๐๐๐)) | |
11 | 9, 10 | oveqan12d 7381 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐) โ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐)) = ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))) |
12 | 11 | adantl 483 | . . . . 5 โข ((๐ โง (๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐)) โ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐)) = ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))) |
13 | 12 | mpteq2dv 5212 | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐)) โ (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐))) = (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))) |
14 | 13 | oveq2d 7378 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐)) โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐)))) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))))) |
15 | 14 | mpoeq3dv 7441 | . 2 โข ((๐ โง (๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐)) โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐ฅ๐) ยท (๐๐ฆ๐))))) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))))) |
16 | mamuval.x | . 2 โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) | |
17 | mamuval.y | . 2 โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) | |
18 | mpoexga 8015 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Fin) โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))))) โ V) | |
19 | 5, 7, 18 | syl2anc 585 | . 2 โข (๐ โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))))) โ V) |
20 | 8, 15, 16, 17, 19 | ovmpod 7512 | 1 โข (๐ โ (๐๐น๐) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 Vcvv 3448 โจcotp 4599 โฆ cmpt 5193 ร cxp 5636 โcfv 6501 (class class class)co 7362 โ cmpo 7364 โm cmap 8772 Fincfn 8890 Basecbs 17090 .rcmulr 17141 ฮฃg cgsu 17329 maMul cmmul 21748 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-rep 5247 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-ral 3066 df-rex 3075 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-ot 4600 df-uni 4871 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-id 5536 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-1st 7926 df-2nd 7927 df-mamu 21749 |
This theorem is referenced by: mamufv 21752 mamures 21755 mamucl 21764 mpomatmul 21811 mamutpos 21823 mat1dimmul 21841 dmatmul 21862 madurid 22009 cramerimplem2 22049 mat2pmatmul 22096 decpmatmul 22137 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |