Theorem mamucl 22366

Description: Operation closure of matrix multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamucl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamucl.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamucl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamucl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamucl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
mamucl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamucl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
mamucl	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)))

Proof of Theorem mamucl

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamucl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
2		mamucl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mamucl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		mamucl.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
6		mamucl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7		mamucl.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
8		mamucl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
9		mamucl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mamuval 22358	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))))
11		ringcmn 20263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
12	4, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → 𝑅 ∈ CMnd)
14	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → 𝑁 ∈ Fin)
15	4	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
16		elmapi 8796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
17	8, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
18	17	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
19		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑀)
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
21	18, 19, 20	fovcdmd 7539	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
22		elmapi 8796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
23	9, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
24	23	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
25		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑃)
26	24, 20, 25	fovcdmd 7539	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵)
27	2, 3	ringcl 20231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
28	15, 21, 26, 27	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
29	28	ralrimiva 3129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
30	2, 13, 14, 29	gsummptcl 19942	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵)
31	30	ralrimivva 3180	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑃 (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵)
32		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))))
33	32	fmpo 8021	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑃 (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵)
34	2	fvexi 6854	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
35		xpfi 9230	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
36	5, 7, 35	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
37		elmapg 8786	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin) → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)) ↔ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵))
38	34, 36, 37	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)) ↔ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵))
39	33, 38	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑃 (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃))))
40	31, 39	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)))
41	10, 40	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  Vcvv 3429  ⟨cotp 4575   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221   Σ_g cgsu 17403  CMndccmn 19755  Ringcrg 20214   maMul cmmul 22355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-mamu 22356

This theorem is referenced by:  mamuass  22367  mamudi  22368  mamudir  22369  mamuvs1  22370  mamuvs2  22371  mamulid  22406  mamurid  22407  matring  22408  matassa  22409  mavmulass  22514