Theorem mamucl 22728

Description: Operation closure of matrix multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamucl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamucl.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamucl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamucl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamucl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
mamucl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamucl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
mamucl	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)))

Proof of Theorem mamucl

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamucl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
2		mamucl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mamucl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		mamucl.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
6		mamucl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7		mamucl.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
8		mamucl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
9		mamucl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mamuval 22720	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))))
11		ringcmn 20523	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
12	4, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → 𝑅 ∈ CMnd)
14	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → 𝑁 ∈ Fin)
15	4	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
16		elmapi 8880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
17	8, 16	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
18	17	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
19		simplrl 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑀)
20		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
21	18, 19, 20	fovcdmd 7600	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
22		elmapi 8880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
23	9, 22	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
24	23	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
25		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑃)
26	24, 20, 25	fovcdmd 7600	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵)
27	2, 3	ringcl 20489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
28	15, 21, 26, 27	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
29	28	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
30	2, 13, 14, 29	gsummptcl 20193	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵)
31	30	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑃 (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵)
32		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))))
33	32	fmpo 8087	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑃 (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵)
34	2	fvexi 6907	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
35		xpfi 9322	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
36	5, 7, 35	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
37		elmapg 8870	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin) → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)) ↔ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵))
38	34, 36, 37	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)) ↔ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵))
39	33, 38	bitr4id 293	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑃 (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃))))
40	31, 39	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)))
41	10, 40	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079  Vcvv 3453  ⟨cotp 4860   ↦ cmpt 5188   × cxp 5652  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ∈ cmpo 7429   ↑_m cmap 8858  Fincfn 8984  Basecbs 17399  ._rcmulr 17441   Σ_g cgsu 17623  CMndccmn 20006  Ringcrg 20471   maMul cmmul 22717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-ot 4861  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-hash 14485  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-plusg 17453  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-ur 20420  df-ring 20473  df-mamu 22718

This theorem is used by:  mamuass  22729  mamudi  22730  mamudir  22731  mamuvs1  22732  mamuvs2  22733  mamulid  22768  mamurid  22769  matring  22770  matassa  22771  mavmulass  22876