Theorem mamucl 22420

Description: Operation closure of matrix multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamucl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamucl.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamucl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamucl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamucl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
mamucl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamucl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
mamucl	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)))

Proof of Theorem mamucl

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamucl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
2		mamucl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2734	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mamucl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		mamucl.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
6		mamucl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7		mamucl.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
8		mamucl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
9		mamucl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mamuval 22412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))))
11		ringcmn 20295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
12	4, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → 𝑅 ∈ CMnd)
14	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → 𝑁 ∈ Fin)
15	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
16		elmapi 8887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
17	8, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
18	17	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
19		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑀)
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
21	18, 19, 20	fovcdmd 7604	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
22		elmapi 8887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
23	9, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
25		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑃)
26	24, 20, 25	fovcdmd 7604	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵)
27	2, 3	ringcl 20267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
28	15, 21, 26, 27	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
29	28	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
30	2, 13, 14, 29	gsummptcl 19999	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵)
31	30	ralrimivva 3199	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑃 (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵)
32		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))))
33	32	fmpo 8091	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑃 (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵)
34	2	fvexi 6920	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
35		xpfi 9355	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
36	5, 7, 35	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
37		elmapg 8877	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin) → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)) ↔ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵))
38	34, 36, 37	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)) ↔ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵))
39	33, 38	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑃 (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃))))
40	31, 39	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)))
41	10, 40	eqeltrd 2838	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  Vcvv 3477  ⟨cotp 4638   ↦ cmpt 5230   × cxp 5686  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ∈ cmpo 7432   ↑_m cmap 8864  Fincfn 8983  Basecbs 17244  ._rcmulr 17298   Σ_g cgsu 17486  CMndccmn 19812  Ringcrg 20250   maMul cmmul 22409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-mamu 22410

This theorem is referenced by:  mamuass  22421  mamudi  22422  mamudir  22423  mamuvs1  22424  mamuvs2  22425  mamulid  22462  mamurid  22463  matring  22464  matassa  22465  mavmulass  22570