Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamucl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamucl 20945
 Description: Operation closure of matrix multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamucl.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamucl.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamucl.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamucl.p (𝜑𝑃 ∈ Fin)
mamucl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamucl.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)))
Assertion
Ref Expression
mamucl (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑃)))

Proof of Theorem mamucl
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.f . . 3 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
2 mamucl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2826 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mamucl.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 mamucl.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
6 mamucl.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mamucl.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
8 mamucl.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
9 mamucl.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mamuval 20932 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))))
11 ringcmn 19267 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
124, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
1312adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → 𝑅 ∈ CMnd)
146adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → 𝑁 ∈ Fin)
154ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
16 elmapi 8423 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
178, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1817ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
19 simplrl 773 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑀)
20 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
2118, 19, 20fovrnd 7314 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
22 elmapi 8423 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
239, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
2423ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
25 simplrr 774 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑘𝑃)
2624, 20, 25fovrnd 7314 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵)
272, 3ringcl 19247 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
2815, 21, 26, 27syl3anc 1365 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
2928ralrimiva 3187 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → ∀𝑗𝑁 ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
302, 13, 14, 29gsummptcl 19023 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵)
3130ralrimivva 3196 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑀𝑘𝑃 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵)
322fvexi 6683 . . . . 5 𝐵 ∈ V
33 xpfi 8783 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
345, 7, 33syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
35 elmapg 8414 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin) → ((𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑃)) ↔ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵))
3632, 34, 35sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑃)) ↔ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵))
37 eqid 2826 . . . . 5 (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) = (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))))
3837fmpo 7762 . . . 4 (∀𝑖𝑀𝑘𝑃 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵)
3936, 38syl6rbbr 291 . . 3 (𝜑 → (∀𝑖𝑀𝑘𝑃 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑃))))
4031, 39mpbid 233 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑃)))
4110, 40eqeltrd 2918 1 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑃)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3143  Vcvv 3500  ⟨cotp 4572   ↦ cmpt 5143   × cxp 5552  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152   ↑m cmap 8401  Fincfn 8503  Basecbs 16478  .rcmulr 16561   Σg cgsu 16709  CMndccmn 18842  Ringcrg 19233   maMul cmmul 20929 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-ot 4573  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13686  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-abl 18845  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-mamu 20930 This theorem is referenced by:  mamuass  20946  mamudi  20947  mamudir  20948  mamuvs1  20949  mamuvs2  20950  mamulid  20985  mamurid  20986  matring  20987  matassa  20988  mavmulass  21093
 Copyright terms: Public domain W3C validator