MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamucl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamucl 22221
Description: Operation closure of matrix multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamucl.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamucl.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamucl.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamucl.p (𝜑𝑃 ∈ Fin)
mamucl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamucl.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)))
Assertion
Ref Expression
mamucl (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑃)))

Proof of Theorem mamucl
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.f . . 3 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
2 mamucl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2731 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mamucl.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 mamucl.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
6 mamucl.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mamucl.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
8 mamucl.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
9 mamucl.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mamuval 22208 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))))
11 ringcmn 20177 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
124, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → 𝑅 ∈ CMnd)
146adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → 𝑁 ∈ Fin)
154ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
16 elmapi 8849 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
178, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1817ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
19 simplrl 774 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑀)
20 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
2118, 19, 20fovcdmd 7583 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
22 elmapi 8849 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
239, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
2423ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
25 simplrr 775 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑘𝑃)
2624, 20, 25fovcdmd 7583 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵)
272, 3ringcl 20151 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑌𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
2815, 21, 26, 27syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
2928ralrimiva 3145 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → ∀𝑗𝑁 ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)) ∈ 𝐵)
302, 13, 14, 29gsummptcl 19883 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑃)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵)
3130ralrimivva 3199 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑀𝑘𝑃 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵)
32 eqid 2731 . . . . 5 (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) = (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))))
3332fmpo 8058 . . . 4 (∀𝑖𝑀𝑘𝑃 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵)
342fvexi 6905 . . . . 5 𝐵 ∈ V
35 xpfi 9323 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
365, 7, 35syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
37 elmapg 8839 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin) → ((𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑃)) ↔ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵))
3834, 36, 37sylancr 586 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑃)) ↔ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))):(𝑀 × 𝑃)⟶𝐵))
3933, 38bitr4id 290 . . 3 (𝜑 → (∀𝑖𝑀𝑘𝑃 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑃))))
4031, 39mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝑘))))) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑃)))
4110, 40eqeltrd 2832 1 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  Vcvv 3473  cotp 4636  cmpt 5231   × cxp 5674  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  cmpo 7414  m cmap 8826  Fincfn 8945  Basecbs 17151  .rcmulr 17205   Σg cgsu 17393  CMndccmn 19696  Ringcrg 20134   maMul cmmul 22205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-mamu 22206
This theorem is referenced by:  mamuass  22222  mamudi  22223  mamudir  22224  mamuvs1  22225  mamuvs2  22226  mamulid  22263  mamurid  22264  matring  22265  matassa  22266  mavmulass  22371
  Copyright terms: Public domain W3C validator