MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamufval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamufval 21686
Description: Functional value of the matrix multiplication operator. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamufval.f ๐น = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)
mamufval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mamufval.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mamufval.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
mamufval.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
mamufval.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mamufval.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Fin)
Assertion
Ref Expression
mamufval (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘€   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘…,๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ยท (๐‘—)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜)

Proof of Theorem mamufval
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘œ ๐‘ ๐‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamufval.f . 2 ๐น = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)
2 df-mamu 21685 . . . 4 maMul = (๐‘Ÿ โˆˆ V, ๐‘œ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) / ๐‘›โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— ๐‘)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
32a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ maMul = (๐‘Ÿ โˆˆ V, ๐‘œ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) / ๐‘›โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— ๐‘)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))))))
4 fvex 6852 . . . . 5 (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆˆ V
5 fvex 6852 . . . . 5 (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆˆ V
6 fvex 6852 . . . . . . 7 (2nd โ€˜๐‘œ) โˆˆ V
7 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)) = ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)))
8 xpeq2 5652 . . . . . . . . 9 (๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ (๐‘› ร— ๐‘) = (๐‘› ร— (2nd โ€˜๐‘œ)))
98oveq2d 7367 . . . . . . . 8 (๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— ๐‘)) = ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— (2nd โ€˜๐‘œ))))
10 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ ๐‘š = ๐‘š)
11 id 22 . . . . . . . . 9 (๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ ๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ))
12 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))) = (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))
1310, 11, 12mpoeq123dv 7426 . . . . . . . 8 (๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))))
147, 9, 13mpoeq123dv 7426 . . . . . . 7 (๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— ๐‘)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
156, 14csbie 3889 . . . . . 6 โฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— ๐‘)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))))
16 xpeq12 5656 . . . . . . . 8 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ (๐‘š ร— ๐‘›) = ((1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))))
1716oveq2d 7367 . . . . . . 7 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)) = ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))))
18 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))
1918xpeq1d 5660 . . . . . . . 8 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ (๐‘› ร— (2nd โ€˜๐‘œ)) = ((2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜๐‘œ)))
2019oveq2d 7367 . . . . . . 7 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) = ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))))
21 id 22 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†’ ๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))
2221adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ ๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))
23 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ (2nd โ€˜๐‘œ) = (2nd โ€˜๐‘œ))
24 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)) = ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))
2518, 24mpteq12dv 5194 . . . . . . . . 9 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))) = (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))
2625oveq2d 7367 . . . . . . . 8 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))) = (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))
2722, 23, 26mpoeq123dv 7426 . . . . . . 7 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))) = (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)), ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))))
2817, 20, 27mpoeq123dv 7426 . . . . . 6 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)), ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
2915, 28eqtrid 2789 . . . . 5 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ โฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— ๐‘)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)), ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
304, 5, 29csbie2 3895 . . . 4 โฆ‹(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) / ๐‘›โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— ๐‘)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)), ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))))
31 simprl 769 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ ๐‘Ÿ = ๐‘…)
3231fveq2d 6843 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = (Baseโ€˜๐‘…))
33 mamufval.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3432, 33eqtr4di 2795 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = ๐ต)
35 fveq2 6839 . . . . . . . . . 10 (๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ โ†’ (1st โ€˜๐‘œ) = (1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ))
3635fveq2d 6843 . . . . . . . . 9 (๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ โ†’ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) = (1st โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)))
3736ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) = (1st โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)))
38 mamufval.m . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
39 mamufval.n . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
40 mamufval.p . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Fin)
41 ot1stg 7927 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Fin) โ†’ (1st โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) = ๐‘€)
4238, 39, 40, 41syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) = ๐‘€)
4342adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (1st โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) = ๐‘€)
4437, 43eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) = ๐‘€)
4535fveq2d 6843 . . . . . . . . 9 (๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ โ†’ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) = (2nd โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)))
4645ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) = (2nd โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)))
47 ot2ndg 7928 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Fin) โ†’ (2nd โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) = ๐‘)
4838, 39, 40, 47syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) = ๐‘)
4948adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) = ๐‘)
5046, 49eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) = ๐‘)
5144, 50xpeq12d 5662 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ ((1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) = (๐‘€ ร— ๐‘))
5234, 51oveq12d 7369 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))) = (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
53 fveq2 6839 . . . . . . . . 9 (๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ โ†’ (2nd โ€˜๐‘œ) = (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ))
5453ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘œ) = (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ))
55 ot3rdg 7929 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ Fin โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ) = ๐‘ƒ)
5640, 55syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ) = ๐‘ƒ)
5756adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ) = ๐‘ƒ)
5854, 57eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘œ) = ๐‘ƒ)
5950, 58xpeq12d 5662 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ ((2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜๐‘œ)) = (๐‘ ร— ๐‘ƒ))
6034, 59oveq12d 7369 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) = (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)))
6131fveq2d 6843 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = (.rโ€˜๐‘…))
62 mamufval.t . . . . . . . . . 10 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
6361, 62eqtr4di 2795 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = ยท )
6463oveqd 7368 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)) = ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))
6550, 64mpteq12dv 5194 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))
6631, 65oveq12d 7369 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))
6744, 58, 66mpoeq123dv 7426 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)), ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))))
6852, 60, 67mpoeq123dv 7426 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)), ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
6930, 68eqtrid 2789 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) / ๐‘›โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— ๐‘)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
70 mamufval.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
7170elexd 3463 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
72 otex 5420 . . . 4 โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ โˆˆ V
7372a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ โˆˆ V)
74 ovex 7384 . . . . 5 (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)) โˆˆ V
75 ovex 7384 . . . . 5 (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โˆˆ V
7674, 75mpoex 8004 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) โˆˆ V
7776a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) โˆˆ V)
783, 69, 71, 73, 77ovmpod 7501 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
791, 78eqtrid 2789 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3443  โฆ‹csb 3853  โŸจcotp 4592   โ†ฆ cmpt 5186   ร— cxp 5629  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   โˆˆ cmpo 7353  1st c1st 7911  2nd c2nd 7912   โ†‘m cmap 8723  Fincfn 8841  Basecbs 17043  .rcmulr 17094   ฮฃg cgsu 17282   maMul cmmul 21684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-mamu 21685
This theorem is referenced by:  mamuval  21687  mamudm  21689
  Copyright terms: Public domain W3C validator