MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamufval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamufval 21894
Description: Functional value of the matrix multiplication operator. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamufval.f ๐น = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)
mamufval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mamufval.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mamufval.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
mamufval.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
mamufval.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mamufval.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Fin)
Assertion
Ref Expression
mamufval (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘€   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘…,๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ยท (๐‘—)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜)

Proof of Theorem mamufval
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘œ ๐‘ ๐‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamufval.f . 2 ๐น = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)
2 df-mamu 21893 . . . 4 maMul = (๐‘Ÿ โˆˆ V, ๐‘œ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) / ๐‘›โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— ๐‘)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
32a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ maMul = (๐‘Ÿ โˆˆ V, ๐‘œ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) / ๐‘›โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— ๐‘)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))))))
4 fvex 6904 . . . . 5 (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆˆ V
5 fvex 6904 . . . . 5 (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆˆ V
6 fvex 6904 . . . . . . 7 (2nd โ€˜๐‘œ) โˆˆ V
7 eqidd 2733 . . . . . . . 8 (๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)) = ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)))
8 xpeq2 5697 . . . . . . . . 9 (๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ (๐‘› ร— ๐‘) = (๐‘› ร— (2nd โ€˜๐‘œ)))
98oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— ๐‘)) = ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— (2nd โ€˜๐‘œ))))
10 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 (๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ ๐‘š = ๐‘š)
11 id 22 . . . . . . . . 9 (๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ ๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ))
12 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 (๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))) = (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))
1310, 11, 12mpoeq123dv 7486 . . . . . . . 8 (๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))))
147, 9, 13mpoeq123dv 7486 . . . . . . 7 (๐‘ = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— ๐‘)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
156, 14csbie 3929 . . . . . 6 โฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— ๐‘)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))))
16 xpeq12 5701 . . . . . . . 8 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ (๐‘š ร— ๐‘›) = ((1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))))
1716oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)) = ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))))
18 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))
1918xpeq1d 5705 . . . . . . . 8 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ (๐‘› ร— (2nd โ€˜๐‘œ)) = ((2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜๐‘œ)))
2019oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) = ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))))
21 id 22 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†’ ๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))
2221adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ ๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))
23 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ (2nd โ€˜๐‘œ) = (2nd โ€˜๐‘œ))
24 eqidd 2733 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)) = ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))
2518, 24mpteq12dv 5239 . . . . . . . . 9 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))) = (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))
2625oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))) = (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))
2722, 23, 26mpoeq123dv 7486 . . . . . . 7 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))) = (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)), ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))))
2817, 20, 27mpoeq123dv 7486 . . . . . 6 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)), ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
2915, 28eqtrid 2784 . . . . 5 ((๐‘š = (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) โ†’ โฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— ๐‘)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)), ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
304, 5, 29csbie2 3935 . . . 4 โฆ‹(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) / ๐‘›โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— ๐‘)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)), ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))))
31 simprl 769 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ ๐‘Ÿ = ๐‘…)
3231fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = (Baseโ€˜๐‘…))
33 mamufval.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3432, 33eqtr4di 2790 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = ๐ต)
35 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ โ†’ (1st โ€˜๐‘œ) = (1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ))
3635fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ โ†’ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) = (1st โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)))
3736ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) = (1st โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)))
38 mamufval.m . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
39 mamufval.n . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
40 mamufval.p . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Fin)
41 ot1stg 7991 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Fin) โ†’ (1st โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) = ๐‘€)
4238, 39, 40, 41syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) = ๐‘€)
4342adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (1st โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) = ๐‘€)
4437, 43eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) = ๐‘€)
4535fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ โ†’ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) = (2nd โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)))
4645ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) = (2nd โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)))
47 ot2ndg 7992 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Fin) โ†’ (2nd โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) = ๐‘)
4838, 39, 40, 47syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) = ๐‘)
4948adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) = ๐‘)
5046, 49eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) = ๐‘)
5144, 50xpeq12d 5707 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ ((1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ))) = (๐‘€ ร— ๐‘))
5234, 51oveq12d 7429 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))) = (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
53 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ โ†’ (2nd โ€˜๐‘œ) = (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ))
5453ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘œ) = (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ))
55 ot3rdg 7993 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ Fin โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ) = ๐‘ƒ)
5640, 55syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ) = ๐‘ƒ)
5756adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ) = ๐‘ƒ)
5854, 57eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘œ) = ๐‘ƒ)
5950, 58xpeq12d 5707 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ ((2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜๐‘œ)) = (๐‘ ร— ๐‘ƒ))
6034, 59oveq12d 7429 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) = (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)))
6131fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = (.rโ€˜๐‘…))
62 mamufval.t . . . . . . . . . 10 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
6361, 62eqtr4di 2790 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = ยท )
6463oveqd 7428 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)) = ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))
6550, 64mpteq12dv 5239 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))
6631, 65oveq12d 7429 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))
6744, 58, 66mpoeq123dv 7486 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)), ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜))))))
6852, 60, 67mpoeq123dv 7486 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)))), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)), ๐‘˜ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
6930, 68eqtrid 2784 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(2nd โ€˜(1st โ€˜๐‘œ)) / ๐‘›โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘› ร— ๐‘)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
70 mamufval.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
7170elexd 3494 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
72 otex 5465 . . . 4 โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ โˆˆ V
7372a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ โˆˆ V)
74 ovex 7444 . . . . 5 (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)) โˆˆ V
75 ovex 7444 . . . . 5 (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โˆˆ V
7674, 75mpoex 8068 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) โˆˆ V
7776a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))) โˆˆ V)
783, 69, 71, 73, 77ovmpod 7562 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
791, 78eqtrid 2784 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘—๐‘ฆ๐‘˜)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474  โฆ‹csb 3893  โŸจcotp 4636   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โˆˆ cmpo 7413  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976   โ†‘m cmap 8822  Fincfn 8941  Basecbs 17146  .rcmulr 17200   ฮฃg cgsu 17388   maMul cmmul 21892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-mamu 21893
This theorem is referenced by:  mamuval  21895  mamudm  21897
  Copyright terms: Public domain W3C validator