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Theorem mat2pmatmul 22753
Description: The transformation of matrices into polynomial matrices preserves the multiplication. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatmul ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦

Proof of Theorem mat2pmatmul
Dummy variables 𝑚 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
31, 2matmulr 22460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
43eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (.r𝐴) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
54oveqdr 7459 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦))
6 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
8 crngring 20263 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
98ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
10 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
11 mat2pmatbas.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝐴)
1211eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1312biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1514adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
161, 6matbas2 22443 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
1815, 17eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
1911eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2019biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2120ad2antll 729 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2216eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
2421, 23mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
252, 6, 7, 9, 10, 10, 10, 18, 24mamuval 22413 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
265, 25eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
27263ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
28 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖𝑥𝑚) = (𝑘𝑥𝑚))
29 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → (𝑚𝑦𝑗) = (𝑚𝑦𝑙))
3028, 29oveqan12d 7450 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙) → ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗)) = ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))
3130mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙) → (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))) = (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))
3231oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
3332adantl 481 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙)) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
34 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑘𝑁)
35 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑙𝑁)
36 ovexd 7466 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))) ∈ V)
3727, 33, 34, 35, 36ovmpod 7585 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
3837fveq2d 6911 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))))
39 eqid 2735 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
40 ringcmn 20296 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
418, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CMnd)
4241ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑅 ∈ CMnd)
43423ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
44 mat2pmatbas.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (Poly1𝑅)
4544ply1ring 22265 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
468, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
47 ringmnd 20261 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Mnd)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Mnd)
4948ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Mnd)
50493ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑃 ∈ Mnd)
51103ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
52 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
53 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
5446adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Ring)
5544ply1lmod 22269 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
568, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ LMod)
5852, 53, 54, 57asclghm 21921 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
5944ply1sca 22270 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6160oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 GrpHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
6258, 61eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃))
63 ghmmhm 19257 . . . . . . . . . 10 ((algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6564adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
66653ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6793ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
6867adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
6934adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑘𝑁)
70 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑚𝑁)
71153ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
7271adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
7372, 12sylibr 234 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑥𝐵)
741, 6, 11, 69, 70, 73matecld 22448 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅))
7535adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑙𝑁)
761fveq2i 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
7711, 76eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
7877eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
7978biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8079ad2antll 729 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
81803ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8281adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8382, 78sylibr 234 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦𝐵)
841, 6, 11, 70, 75, 83matecld 22448 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
856, 7ringcl 20268 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
8668, 74, 84, 85syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
87 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))
88 ovexd 7466 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ V)
89 fvexd 6922 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
9087, 51, 88, 89fsuppmptdm 9414 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) finSupp (0g𝑅))
916, 39, 43, 50, 51, 66, 86, 90gsummptmhm 19973 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))))
9244ply1assa 22217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
9392adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
9452, 53asclrhm 21928 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ AssAlg → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
9660oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 RingHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
9795, 96eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
9897adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
99983ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
10099adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
101213ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
102101adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
103102, 19sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦𝐵)
1041, 6, 11, 70, 75, 103matecld 22448 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
105 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (.r𝑃) = (.r𝑃)
1066, 7, 105rhmmul 20503 . . . . . . . . 9 (((algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) ∧ (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))
107100, 74, 104, 106syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))
108107mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑚𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))) = (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))
109108oveq2d 7447 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))) = (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))))
11038, 91, 1093eqtr2d 2781 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙)) = (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))))
111110mpoeq3dva 7510 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))))
112 mat2pmatbas.c . . . . 5 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
113 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
114 eqid 2735 . . . . 5 (.r𝐶) = (.r𝐶)
11546ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
116 eqid 2735 . . . . 5 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
117 eqid 2735 . . . . 5 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
11893ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
119 simp2 1136 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
120 simp3 1137 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
121 simp1rl 1237 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑥𝐵)
1221, 6, 11, 119, 120, 121matecld 22448 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
12344, 52, 6, 113ply1sclcl 22305 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
124118, 122, 123syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
125 simp1rr 1238 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑦𝐵)
1261, 6, 11, 119, 120, 125matecld 22448 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
12744, 52, 6, 113ply1sclcl 22305 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
128118, 126, 127syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
129 oveq12 7440 . . . . . . 7 ((𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗) → (𝑘𝑥𝑚) = (𝑖𝑥𝑗))
130129fveq2d 6911 . . . . . 6 ((𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
131130adantl 481 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
132 oveq12 7440 . . . . . . 7 ((𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗) → (𝑚𝑦𝑙) = (𝑖𝑦𝑗))
133132fveq2d 6911 . . . . . 6 ((𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
134133adantl 481 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
135 fvexd 6922 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑚𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) ∈ V)
136 fvexd 6922 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑚𝑁𝑙𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) ∈ V)
137112, 113, 114, 105, 115, 10, 116, 117, 124, 128, 131, 134, 135, 136mpomatmul 22468 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))))
138111, 137eqtr4d 2778 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
1391matring 22465 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
1408, 139sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
141140anim1i 615 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
142 3anass 1094 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
143141, 142sylibr 234 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵))
144 eqid 2735 . . . . . 6 (.r𝐴) = (.r𝐴)
14511, 144ringcl 20268 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
146143, 145syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
147 mat2pmatbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
148147, 1, 11, 44, 52mat2pmatval 22746 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))))
14910, 9, 146, 148syl3anc 1370 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))))
150 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
151150anim2i 617 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥𝐵))
152 df-3an 1088 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥𝐵))
153151, 152sylibr 234 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵))
154147, 1, 11, 44, 52mat2pmatval 22746 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
155153, 154syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
156 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
157156anim2i 617 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦𝐵))
158 df-3an 1088 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦𝐵))
159157, 158sylibr 234 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦𝐵))
160147, 1, 11, 44, 52mat2pmatval 22746 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦𝐵) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
161159, 160syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
162155, 161oveq12d 7449 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
163138, 149, 1623eqtr4d 2785 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)))
164163ralrimivva 3200 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  cotp 4639  cmpt 5231   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8865  Fincfn 8984  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807   GrpHom cghm 19243  CMndccmn 19813  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486  LModclmod 20875  AssAlgcasa 21888  algSccascl 21890  Poly1cpl1 22194   maMul cmmul 22410   Mat cmat 22427   matToPolyMat cmat2pmat 22726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-assa 21891  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-ply1 22199  df-mamu 22411  df-mat 22428  df-mat2pmat 22729
This theorem is referenced by:  mat2pmatmhm  22755
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