Theorem mat2pmatmul 22899

Description: The transformation of matrices into polynomial matrices preserves the multiplication. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mat2pmatbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mat2pmatmul	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦

Proof of Theorem mat2pmatmul

Dummy variables 𝑚 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat2pmatbas.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
3	1, 2	matmulr 22606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
4	3	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (.r‘𝐴) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
5	4	oveqdr 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦))
6		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		crngring 20333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
10		simpll 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
11		mat2pmatbas.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
12	11	eleq2i 2854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
13	12	birani 508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
14	13	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
15	1, 6	matbas2 22589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
16	15	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
17	14, 16	eleqtrrd 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
18	11	eleq2i 2854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
19	18	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
20	19	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
21	15	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
22	21	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
23	20, 22	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
24	2, 6, 7, 9, 10, 10, 10, 17, 23	mamuval 22561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
25	5, 24	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
26	25	3ad2ant1 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
27		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖𝑥𝑚) = (𝑘𝑥𝑚))
28		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑚𝑦𝑗) = (𝑚𝑦𝑙))
29	27, 28	oveqan12d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → ((𝑖𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑗)) = ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))
30	29	mpteq2dv 5204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑗))) = (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))
31	30	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
32	31	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙)) → (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
33		simp2 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
34		simp3 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
35		ovexd 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))) ∈ V)
36	26, 32, 33, 34, 35	ovmpod 7564	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)𝑙) = (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
37	36	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))))
38		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
39		ringcmn 20372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
40	8, 39	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CMnd)
41	40	ad2antlr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CMnd)
42	41	3ad2ant1 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
43		mat2pmatbas.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
44	43	ply1ring 22418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
45	8, 44	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
46		ringmnd 20331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Mnd)
47	45, 46	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Mnd)
48	47	ad2antlr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Mnd)
49	48	3ad2ant1 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Mnd)
50	10	3ad2ant1 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
51		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
52		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
53	45	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Ring)
54	43	ply1lmod 22422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
55	8, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
56	55	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ LMod)
57	51, 52, 53, 56	asclghm 22043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
58	43	ply1sca 22423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
59	58	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
60	59	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 GrpHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
61	57, 60	eleqtrrd 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃))
62		ghmmhm 19302	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
63	61, 62	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
64	63	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
65	64	3ad2ant1 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
66	9	3ad2ant1 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
67	66	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
68	33	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
69		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑚 ∈ 𝑁)
70	14	3ad2ant1 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
71	70	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
72	71, 12	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝐵)
73	1, 6, 11, 68, 69, 72	matecld 22594	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅))
74	34	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
75	1	fveq2i 6884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
76	11, 75	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
77	76	eleq2i 2854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
78	77	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
79	78	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
80	79	3ad2ant1 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
81	80	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
82	81, 77	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝐵)
83	1, 6, 11, 69, 74, 82	matecld 22594	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
84	6, 7	ringcl 20338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
85	67, 73, 83, 84	syl3anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
86		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))
87		ovexd 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ V)
88		fvexd 6896	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
89	86, 50, 87, 88	fsuppmptdm 9334	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) finSupp (0g‘𝑅))
90	6, 38, 42, 49, 50, 65, 85, 89	gsummptmhm 20016	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑃 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))))
91	43	ply1assa 22370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
92	91	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
93	51, 52	asclrhm 22051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ AssAlg → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
94	92, 93	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
95	59	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 RingHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
96	94, 95	eleqtrrd 2865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
97	96	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
98	97	3ad2ant1 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
99	98	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
100	20	3ad2ant1 1150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
101	100	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
102	101, 18	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝐵)
103	1, 6, 11, 69, 74, 102	matecld 22594	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
104		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
105	6, 7, 104	rhmmul 20579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) ∧ (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))
106	99, 73, 103, 105	syl3anc 1397	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))
107	106	mpteq2dva 5203	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))) = (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))
108	107	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑃 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))) = (𝑃 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))))
109	37, 90, 108	3eqtr2d 2803	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)𝑙)) = (𝑃 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))))
110	109	mpoeq3dva 7489	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)𝑙))) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))))
111		mat2pmatbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
112		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
113		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
114	45	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
115		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
116		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
117	9	3ad2ant1 1150	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
118		simp2 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
119		simp3 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
120		simp1rl 1256	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝐵)
121	1, 6, 11, 118, 119, 120	matecld 22594	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
122	43, 51, 6, 112	ply1sclcl 22458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
123	117, 121, 122	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
124		simp1rr 1257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝐵)
125	1, 6, 11, 118, 119, 124	matecld 22594	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
126	43, 51, 6, 112	ply1sclcl 22458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
127	117, 125, 126	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
128		oveq12 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗) → (𝑘𝑥𝑚) = (𝑖𝑥𝑗))
129	128	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
130	129	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
131		oveq12 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗) → (𝑚𝑦𝑙) = (𝑖𝑦𝑗))
132	131	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
133	132	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
134		fvexd 6896	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) ∈ V)
135		fvexd 6896	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) ∈ V)
136	111, 112, 113, 104, 114, 10, 115, 116, 123, 127, 130, 133, 134, 135	mpomatmul 22614	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r‘𝐶)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))))
137	110, 136	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)𝑙))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r‘𝐶)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
138	1	matring 22611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
139	8, 138	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
140	139	anim1i 626	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
141		3anass 1110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
142	140, 141	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
143		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
144	11, 143	ringcl 20338	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
145	142, 144	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
146		mat2pmatbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
147	146, 1, 11, 43, 51	mat2pmatval 22892	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)𝑙))))
148	10, 9, 145, 147	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)𝑙))))
149		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
150	149	anim2i 628	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
151		df-3an 1104	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
152	150, 151	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
153	146, 1, 11, 43, 51	mat2pmatval 22892	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑥) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
154	152, 153	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑥) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
155		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
156	155	anim2i 628	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
157		df-3an 1104	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
158	156, 157	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
159	146, 1, 11, 43, 51	mat2pmatval 22892	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
160	158, 159	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
161	154, 160	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r‘𝐶)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
162	137, 148, 161	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)))
163	162	ralrimivva 3207	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  Vcvv 3454  ⟨cotp 4596   ↦ cmpt 5191   × cxp 5658  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317  Scalarcsca 17319  0_gc0g 17498   Σ_g cgsu 17499  Mndcmnd 18798   MndHom cmhm 18845   GrpHom cghm 19289  CMndccmn 19856  Ringcrg 20321  CRingccrg 20322   RingHom crh 20558  LModclmod 20992  AssAlgcasa 22011  algSccascl 22013  Poly₁cpl1 22348   maMul cmmul 22558   Mat cmat 22575   matToPolyMat cmat2pmat 22872

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-rhm 20561  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-dsmm 21893  df-frlm 21908  df-assa 22014  df-ascl 22016  df-psr 22070  df-mpl 22072  df-opsr 22074  df-psr1 22351  df-ply1 22353  df-mamu 22559  df-mat 22576  df-mat2pmat 22875

This theorem is used by:  mat2pmatmhm  22901