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Theorem mat2pmatmul 22737
Description: The transformation of matrices into polynomial matrices preserves the multiplication. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatmul ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦

Proof of Theorem mat2pmatmul
Dummy variables 𝑚 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
31, 2matmulr 22444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
43eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (.r𝐴) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
54oveqdr 7459 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦))
6 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
8 crngring 20242 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
98ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
10 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
11 mat2pmatbas.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝐴)
1211eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1312biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1514adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
161, 6matbas2 22427 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
1815, 17eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
1911eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2019biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2120ad2antll 729 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2216eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
2421, 23mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
252, 6, 7, 9, 10, 10, 10, 18, 24mamuval 22397 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
265, 25eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
27263ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
28 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖𝑥𝑚) = (𝑘𝑥𝑚))
29 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → (𝑚𝑦𝑗) = (𝑚𝑦𝑙))
3028, 29oveqan12d 7450 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙) → ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗)) = ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))
3130mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙) → (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))) = (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))
3231oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
3332adantl 481 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙)) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
34 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑘𝑁)
35 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑙𝑁)
36 ovexd 7466 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))) ∈ V)
3727, 33, 34, 35, 36ovmpod 7585 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
3837fveq2d 6910 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))))
39 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
40 ringcmn 20279 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
418, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CMnd)
4241ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑅 ∈ CMnd)
43423ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
44 mat2pmatbas.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (Poly1𝑅)
4544ply1ring 22249 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
468, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
47 ringmnd 20240 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Mnd)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Mnd)
4948ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Mnd)
50493ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑃 ∈ Mnd)
51103ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
52 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
53 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
5446adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Ring)
5544ply1lmod 22253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
568, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ LMod)
5852, 53, 54, 57asclghm 21903 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
5944ply1sca 22254 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6160oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 GrpHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
6258, 61eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃))
63 ghmmhm 19244 . . . . . . . . . 10 ((algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6564adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
66653ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6793ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
6867adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
6934adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑘𝑁)
70 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑚𝑁)
71153ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
7271adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
7372, 12sylibr 234 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑥𝐵)
741, 6, 11, 69, 70, 73matecld 22432 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅))
7535adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑙𝑁)
761fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
7711, 76eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
7877eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
7978biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8079ad2antll 729 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
81803ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8281adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8382, 78sylibr 234 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦𝐵)
841, 6, 11, 70, 75, 83matecld 22432 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
856, 7ringcl 20247 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
8668, 74, 84, 85syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
87 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))
88 ovexd 7466 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ V)
89 fvexd 6921 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
9087, 51, 88, 89fsuppmptdm 9416 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) finSupp (0g𝑅))
916, 39, 43, 50, 51, 66, 86, 90gsummptmhm 19958 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))))
9244ply1assa 22201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
9392adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
9452, 53asclrhm 21910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ AssAlg → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
9660oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 RingHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
9795, 96eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
9897adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
99983ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
10099adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
101213ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
102101adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
103102, 19sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦𝐵)
1041, 6, 11, 70, 75, 103matecld 22432 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
105 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (.r𝑃) = (.r𝑃)
1066, 7, 105rhmmul 20486 . . . . . . . . 9 (((algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) ∧ (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))
107100, 74, 104, 106syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))
108107mpteq2dva 5242 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑚𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))) = (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))
109108oveq2d 7447 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))) = (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))))
11038, 91, 1093eqtr2d 2783 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙)) = (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))))
111110mpoeq3dva 7510 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))))
112 mat2pmatbas.c . . . . 5 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
113 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
114 eqid 2737 . . . . 5 (.r𝐶) = (.r𝐶)
11546ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
116 eqid 2737 . . . . 5 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
117 eqid 2737 . . . . 5 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
11893ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
119 simp2 1138 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
120 simp3 1139 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
121 simp1rl 1239 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑥𝐵)
1221, 6, 11, 119, 120, 121matecld 22432 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
12344, 52, 6, 113ply1sclcl 22289 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
124118, 122, 123syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
125 simp1rr 1240 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑦𝐵)
1261, 6, 11, 119, 120, 125matecld 22432 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
12744, 52, 6, 113ply1sclcl 22289 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
128118, 126, 127syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
129 oveq12 7440 . . . . . . 7 ((𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗) → (𝑘𝑥𝑚) = (𝑖𝑥𝑗))
130129fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
131130adantl 481 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
132 oveq12 7440 . . . . . . 7 ((𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗) → (𝑚𝑦𝑙) = (𝑖𝑦𝑗))
133132fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
134133adantl 481 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
135 fvexd 6921 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑚𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) ∈ V)
136 fvexd 6921 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑚𝑁𝑙𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) ∈ V)
137112, 113, 114, 105, 115, 10, 116, 117, 124, 128, 131, 134, 135, 136mpomatmul 22452 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))))
138111, 137eqtr4d 2780 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
1391matring 22449 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
1408, 139sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
141140anim1i 615 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
142 3anass 1095 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
143141, 142sylibr 234 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵))
144 eqid 2737 . . . . . 6 (.r𝐴) = (.r𝐴)
14511, 144ringcl 20247 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
146143, 145syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
147 mat2pmatbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
148147, 1, 11, 44, 52mat2pmatval 22730 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))))
14910, 9, 146, 148syl3anc 1373 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))))
150 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
151150anim2i 617 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥𝐵))
152 df-3an 1089 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥𝐵))
153151, 152sylibr 234 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵))
154147, 1, 11, 44, 52mat2pmatval 22730 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
155153, 154syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
156 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
157156anim2i 617 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦𝐵))
158 df-3an 1089 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦𝐵))
159157, 158sylibr 234 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦𝐵))
160147, 1, 11, 44, 52mat2pmatval 22730 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦𝐵) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
161159, 160syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
162155, 161oveq12d 7449 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
163138, 149, 1623eqtr4d 2787 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)))
164163ralrimivva 3202 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cotp 4634  cmpt 5225   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8866  Fincfn 8985  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747   MndHom cmhm 18794   GrpHom cghm 19230  CMndccmn 19798  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   RingHom crh 20469  LModclmod 20858  AssAlgcasa 21870  algSccascl 21872  Poly1cpl1 22178   maMul cmmul 22394   Mat cmat 22411   matToPolyMat cmat2pmat 22710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-assa 21873  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-ply1 22183  df-mamu 22395  df-mat 22412  df-mat2pmat 22713
This theorem is referenced by:  mat2pmatmhm  22739
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