Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat2pmatmul 21255
 Description: The transformation of matrices into polynomial matrices preserves the multiplication. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatmul ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦

Proof of Theorem mat2pmatmul
Dummy variables 𝑚 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
31, 2matmulr 20963 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
43eqcomd 2832 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (.r𝐴) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
54oveqdr 7176 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦))
6 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
8 crngring 19228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
98ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
10 simpll 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
11 mat2pmatbas.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝐴)
1211eleq2i 2909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1312biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1413adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1514adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
161, 6matbas2 20946 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
1815, 17eleqtrrd 2921 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
1911eleq2i 2909 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2019biimpi 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2120ad2antll 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2216eleq2d 2903 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
2421, 23mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
252, 6, 7, 9, 10, 10, 10, 18, 24mamuval 20913 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
265, 25eqtrd 2861 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
27263ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
28 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖𝑥𝑚) = (𝑘𝑥𝑚))
29 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → (𝑚𝑦𝑗) = (𝑚𝑦𝑙))
3028, 29oveqan12d 7167 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙) → ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗)) = ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))
3130mpteq2dv 5159 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙) → (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))) = (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))
3231oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
3332adantl 482 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙)) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
34 simp2 1131 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑘𝑁)
35 simp3 1132 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑙𝑁)
36 ovexd 7183 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))) ∈ V)
3727, 33, 34, 35, 36ovmpod 7292 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
3837fveq2d 6671 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))))
39 eqid 2826 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
40 ringcmn 19251 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
418, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CMnd)
4241ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑅 ∈ CMnd)
43423ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
44 mat2pmatbas.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (Poly1𝑅)
4544ply1ring 20333 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
468, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
47 ringmnd 19226 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Mnd)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Mnd)
4948ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Mnd)
50493ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑃 ∈ Mnd)
51103ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
52 eqid 2826 . . . . . . . . . . . 12 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
53 eqid 2826 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
5446adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Ring)
5544ply1lmod 20337 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
568, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
5756adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ LMod)
5852, 53, 54, 57asclghm 20031 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
5944ply1sca 20338 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6059adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6160oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 GrpHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
6258, 61eleqtrrd 2921 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃))
63 ghmmhm 18298 . . . . . . . . . 10 ((algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6564adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
66653ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6793ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
6867adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
6934adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑘𝑁)
70 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑚𝑁)
71153ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
7271adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
7372, 12sylibr 235 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑥𝐵)
741, 6, 11, 69, 70, 73matecld 20951 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅))
7535adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑙𝑁)
761fveq2i 6670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
7711, 76eqtri 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
7877eleq2i 2909 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
7978biimpi 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8079ad2antll 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
81803ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8281adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8382, 78sylibr 235 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦𝐵)
841, 6, 11, 70, 75, 83matecld 20951 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
856, 7ringcl 19231 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
8668, 74, 84, 85syl3anc 1365 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
87 eqid 2826 . . . . . . . 8 (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))
88 ovexd 7183 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ V)
89 fvexd 6682 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
9087, 51, 88, 89fsuppmptdm 8833 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) finSupp (0g𝑅))
916, 39, 43, 50, 51, 66, 86, 90gsummptmhm 18980 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))))
9244ply1assa 20284 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
9392adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
9452, 53asclrhm 20038 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ AssAlg → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
9660oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 RingHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
9795, 96eleqtrrd 2921 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
9897adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
99983ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
10099adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
101213ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
102101adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
103102, 19sylibr 235 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦𝐵)
1041, 6, 11, 70, 75, 103matecld 20951 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
105 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (.r𝑃) = (.r𝑃)
1066, 7, 105rhmmul 19399 . . . . . . . . 9 (((algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) ∧ (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))
107100, 74, 104, 106syl3anc 1365 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))
108107mpteq2dva 5158 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑚𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))) = (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))
109108oveq2d 7164 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))) = (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))))
11038, 91, 1093eqtr2d 2867 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙)) = (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))))
111110mpoeq3dva 7223 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))))
112 mat2pmatbas.c . . . . 5 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
113 eqid 2826 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
114 eqid 2826 . . . . 5 (.r𝐶) = (.r𝐶)
11546ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
116 eqid 2826 . . . . 5 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
117 eqid 2826 . . . . 5 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
11893ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
119 simp2 1131 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
120 simp3 1132 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
121 simp1rl 1232 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑥𝐵)
1221, 6, 11, 119, 120, 121matecld 20951 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
12344, 52, 6, 113ply1sclcl 20371 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
124118, 122, 123syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
125 simp1rr 1233 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑦𝐵)
1261, 6, 11, 119, 120, 125matecld 20951 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
12744, 52, 6, 113ply1sclcl 20371 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
128118, 126, 127syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
129 oveq12 7157 . . . . . . 7 ((𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗) → (𝑘𝑥𝑚) = (𝑖𝑥𝑗))
130129fveq2d 6671 . . . . . 6 ((𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
131130adantl 482 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
132 oveq12 7157 . . . . . . 7 ((𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗) → (𝑚𝑦𝑙) = (𝑖𝑦𝑗))
133132fveq2d 6671 . . . . . 6 ((𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
134133adantl 482 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
135 fvexd 6682 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑚𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) ∈ V)
136 fvexd 6682 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑚𝑁𝑙𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) ∈ V)
137112, 113, 114, 105, 115, 10, 116, 117, 124, 128, 131, 134, 135, 136mpomatmul 20971 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))))
138111, 137eqtr4d 2864 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
1391matring 20968 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
1408, 139sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
141140anim1i 614 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
142 3anass 1089 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
143141, 142sylibr 235 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵))
144 eqid 2826 . . . . . 6 (.r𝐴) = (.r𝐴)
14511, 144ringcl 19231 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
146143, 145syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
147 mat2pmatbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
148147, 1, 11, 44, 52mat2pmatval 21248 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))))
14910, 9, 146, 148syl3anc 1365 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))))
150 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
151150anim2i 616 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥𝐵))
152 df-3an 1083 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥𝐵))
153151, 152sylibr 235 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵))
154147, 1, 11, 44, 52mat2pmatval 21248 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
155153, 154syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
156 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
157156anim2i 616 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦𝐵))
158 df-3an 1083 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦𝐵))
159157, 158sylibr 235 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦𝐵))
160147, 1, 11, 44, 52mat2pmatval 21248 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦𝐵) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
161159, 160syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
162155, 161oveq12d 7166 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
163138, 149, 1623eqtr4d 2871 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)))
164163ralrimivva 3196 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3143  Vcvv 3500  ⟨cotp 4572   ↦ cmpt 5143   × cxp 5552  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148   ∈ cmpo 7150   ↑m cmap 8396  Fincfn 8498  Basecbs 16473  .rcmulr 16556  Scalarcsca 16558  0gc0g 16703   Σg cgsu 16704  Mndcmnd 17900   MndHom cmhm 17942   GrpHom cghm 18285  CMndccmn 18826  Ringcrg 19217  CRingccrg 19218   RingHom crh 19384  LModclmod 19554  AssAlgcasa 20001  algSccascl 20003  Poly1cpl1 20262   maMul cmmul 20910   Mat cmat 20932   matToPolyMat cmat2pmat 21228 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-ot 4573  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-ofr 7400  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-sup 8895  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-hash 13681  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-hom 16579  df-cco 16580  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-prds 16711  df-pws 16713  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-sbg 18038  df-mulg 18155  df-subg 18206  df-ghm 18286  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-abl 18829  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-cring 19220  df-rnghom 19387  df-subrg 19453  df-lmod 19556  df-lss 19624  df-sra 19864  df-rgmod 19865  df-assa 20004  df-ascl 20006  df-psr 20055  df-mpl 20057  df-opsr 20059  df-psr1 20265  df-ply1 20267  df-dsmm 20792  df-frlm 20807  df-mamu 20911  df-mat 20933  df-mat2pmat 21231 This theorem is referenced by:  mat2pmatmhm  21257
 Copyright terms: Public domain W3C validator