Theorem mat2pmatmul 22454

Description: The transformation of matrices into polynomial matrices preserves the multiplication. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mat2pmatbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mat2pmatmul	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦

Proof of Theorem mat2pmatmul

Dummy variables 𝑚 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat2pmatbas.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
3	1, 2	matmulr 22161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
4	3	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (.r‘𝐴) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
5	4	oveqdr 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦))
6		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		crngring 20140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
10		simpll 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
11		mat2pmatbas.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
12	11	eleq2i 2824	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
13	12	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
16	1, 6	matbas2 22144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
18	15, 17	eleqtrrd 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
19	11	eleq2i 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
20	19	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
21	20	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
22	16	eleq2d 2818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
24	21, 23	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
25	2, 6, 7, 9, 10, 10, 10, 18, 24	mamuval 22109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
26	5, 25	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
27	26	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
28		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖𝑥𝑚) = (𝑘𝑥𝑚))
29		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑚𝑦𝑗) = (𝑚𝑦𝑙))
30	28, 29	oveqan12d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → ((𝑖𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑗)) = ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))
31	30	mpteq2dv 5250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑗))) = (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))
32	31	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
33	32	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙)) → (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
34		simp2 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
35		simp3 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
36		ovexd 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))) ∈ V)
37	27, 33, 34, 35, 36	ovmpod 7563	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)𝑙) = (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
38	37	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))))
39		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
40		ringcmn 20171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
41	8, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CMnd)
42	41	ad2antlr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CMnd)
43	42	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
44		mat2pmatbas.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
45	44	ply1ring 21991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
46	8, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
47		ringmnd 20138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Mnd)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Mnd)
49	48	ad2antlr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Mnd)
50	49	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Mnd)
51	10	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
52		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
53		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
54	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Ring)
55	44	ply1lmod 21995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
56	8, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ LMod)
58	52, 53, 54, 57	asclghm 21657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
59	44	ply1sca 21996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
61	60	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 GrpHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
62	58, 61	eleqtrrd 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃))
63		ghmmhm 19141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
65	64	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
66	65	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
67	9	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
68	67	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
69	34	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
70		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑚 ∈ 𝑁)
71	15	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
72	71	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
73	72, 12	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝐵)
74	1, 6, 11, 69, 70, 73	matecld 22149	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅))
75	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
76	1	fveq2i 6894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
77	11, 76	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
78	77	eleq2i 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
79	78	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
80	79	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
81	80	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
82	81	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
83	82, 78	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝐵)
84	1, 6, 11, 70, 75, 83	matecld 22149	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
85	6, 7	ringcl 20145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
86	68, 74, 84, 85	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
87		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))
88		ovexd 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ V)
89		fvexd 6906	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
90	87, 51, 88, 89	fsuppmptdm 9378	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) finSupp (0g‘𝑅))
91	6, 39, 43, 50, 51, 66, 86, 90	gsummptmhm 19850	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑃 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))))
92	44	ply1assa 21943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
93	92	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
94	52, 53	asclrhm 21664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ AssAlg → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
96	60	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 RingHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
97	95, 96	eleqtrrd 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
98	97	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
99	98	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
100	99	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
101	21	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
103	102, 19	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝐵)
104	1, 6, 11, 70, 75, 103	matecld 22149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
105		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
106	6, 7, 105	rhmmul 20378	. . . . . . . . 9 ⊢ (((algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) ∧ (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))
107	100, 74, 104, 106	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))
108	107	mpteq2dva 5248	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))) = (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))
109	108	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑃 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))) = (𝑃 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))))
110	38, 91, 109	3eqtr2d 2777	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)𝑙)) = (𝑃 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))))
111	110	mpoeq3dva 7489	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)𝑙))) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))))
112		mat2pmatbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
113		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
114		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
115	46	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
116		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
117		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
118	9	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
119		simp2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
120		simp3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
121		simp1rl 1237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝐵)
122	1, 6, 11, 119, 120, 121	matecld 22149	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
123	44, 52, 6, 113	ply1sclcl 22029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
124	118, 122, 123	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
125		simp1rr 1238	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝐵)
126	1, 6, 11, 119, 120, 125	matecld 22149	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
127	44, 52, 6, 113	ply1sclcl 22029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
128	118, 126, 127	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
129		oveq12 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗) → (𝑘𝑥𝑚) = (𝑖𝑥𝑗))
130	129	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
131	130	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
132		oveq12 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗) → (𝑚𝑦𝑙) = (𝑖𝑦𝑗))
133	132	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
134	133	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
135		fvexd 6906	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) ∈ V)
136		fvexd 6906	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) ∈ V)
137	112, 113, 114, 105, 115, 10, 116, 117, 124, 128, 131, 134, 135, 136	mpomatmul 22169	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r‘𝐶)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))))
138	111, 137	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)𝑙))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r‘𝐶)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
139	1	matring 22166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
140	8, 139	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
141	140	anim1i 614	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
142		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
143	141, 142	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
144		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
145	11, 144	ringcl 20145	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
146	143, 145	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
147		mat2pmatbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
148	147, 1, 11, 44, 52	mat2pmatval 22447	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)𝑙))))
149	10, 9, 146, 148	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)𝑙))))
150		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
151	150	anim2i 616	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
152		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
153	151, 152	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
154	147, 1, 11, 44, 52	mat2pmatval 22447	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑥) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
155	153, 154	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑥) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
156		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
157	156	anim2i 616	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
158		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
159	157, 158	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
160	147, 1, 11, 44, 52	mat2pmatval 22447	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
161	159, 160	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
162	155, 161	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r‘𝐶)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
163	138, 149, 162	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)))
164	163	ralrimivva 3199	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  Vcvv 3473  ⟨cotp 4636   ↦ cmpt 5231   × cxp 5674  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑_m cmap 8824  Fincfn 8943  Basecbs 17149  ._rcmulr 17203  Scalarcsca 17205  0_gc0g 17390   Σ_g cgsu 17391  Mndcmnd 18660   MndHom cmhm 18704   GrpHom cghm 19128  CMndccmn 19690  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129   RingHom crh 20361  LModclmod 20615  AssAlgcasa 21625  algSccascl 21627  Poly₁cpl1 21921   maMul cmmul 22106   Mat cmat 22128   matToPolyMat cmat2pmat 22427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-assa 21628  df-ascl 21630  df-psr 21682  df-mpl 21684  df-opsr 21686  df-psr1 21924  df-ply1 21926  df-mamu 22107  df-mat 22129  df-mat2pmat 22430

This theorem is referenced by:  mat2pmatmhm  22456