MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat2pmatmul 21482
Description: The transformation of matrices into polynomial matrices preserves the multiplication. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatmul ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦

Proof of Theorem mat2pmatmul
Dummy variables 𝑚 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
31, 2matmulr 21189 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
43eqcomd 2744 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (.r𝐴) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
54oveqdr 7198 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦))
6 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
8 crngring 19428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
98ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
10 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
11 mat2pmatbas.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝐴)
1211eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1312biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1413adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1514adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
161, 6matbas2 21172 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
1716adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
1815, 17eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
1911eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2019biimpi 219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2120ad2antll 729 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2216eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
2322adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
2421, 23mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
252, 6, 7, 9, 10, 10, 10, 18, 24mamuval 21139 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
265, 25eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
27263ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
28 oveq1 7177 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖𝑥𝑚) = (𝑘𝑥𝑚))
29 oveq2 7178 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → (𝑚𝑦𝑗) = (𝑚𝑦𝑙))
3028, 29oveqan12d 7189 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙) → ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗)) = ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))
3130mpteq2dv 5126 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙) → (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))) = (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))
3231oveq2d 7186 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
3332adantl 485 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙)) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
34 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑘𝑁)
35 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑙𝑁)
36 ovexd 7205 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))) ∈ V)
3727, 33, 34, 35, 36ovmpod 7317 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
3837fveq2d 6678 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))))
39 eqid 2738 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
40 ringcmn 19453 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
418, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CMnd)
4241ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑅 ∈ CMnd)
43423ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
44 mat2pmatbas.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (Poly1𝑅)
4544ply1ring 21023 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
468, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
47 ringmnd 19426 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Mnd)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Mnd)
4948ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Mnd)
50493ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑃 ∈ Mnd)
51103ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
52 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
53 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
5446adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Ring)
5544ply1lmod 21027 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
568, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
5756adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ LMod)
5852, 53, 54, 57asclghm 20696 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
5944ply1sca 21028 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6059adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6160oveq1d 7185 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 GrpHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
6258, 61eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃))
63 ghmmhm 18486 . . . . . . . . . 10 ((algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6564adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
66653ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6793ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
6867adantr 484 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
6934adantr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑘𝑁)
70 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑚𝑁)
71153ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
7271adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
7372, 12sylibr 237 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑥𝐵)
741, 6, 11, 69, 70, 73matecld 21177 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅))
7535adantr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑙𝑁)
761fveq2i 6677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
7711, 76eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
7877eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
7978biimpi 219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8079ad2antll 729 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
81803ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8281adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8382, 78sylibr 237 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦𝐵)
841, 6, 11, 70, 75, 83matecld 21177 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
856, 7ringcl 19433 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
8668, 74, 84, 85syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
87 eqid 2738 . . . . . . . 8 (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))
88 ovexd 7205 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ V)
89 fvexd 6689 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
9087, 51, 88, 89fsuppmptdm 8917 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) finSupp (0g𝑅))
916, 39, 43, 50, 51, 66, 86, 90gsummptmhm 19179 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))))
9244ply1assa 20974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
9392adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
9452, 53asclrhm 20704 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ AssAlg → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
9660oveq1d 7185 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 RingHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
9795, 96eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
9897adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
99983ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
10099adantr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
101213ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
102101adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
103102, 19sylibr 237 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦𝐵)
1041, 6, 11, 70, 75, 103matecld 21177 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
105 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (.r𝑃) = (.r𝑃)
1066, 7, 105rhmmul 19601 . . . . . . . . 9 (((algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) ∧ (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))
107100, 74, 104, 106syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))
108107mpteq2dva 5125 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑚𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))) = (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))
109108oveq2d 7186 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))) = (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))))
11038, 91, 1093eqtr2d 2779 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙)) = (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))))
111110mpoeq3dva 7245 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))))
112 mat2pmatbas.c . . . . 5 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
113 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
114 eqid 2738 . . . . 5 (.r𝐶) = (.r𝐶)
11546ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
116 eqid 2738 . . . . 5 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
117 eqid 2738 . . . . 5 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
11893ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
119 simp2 1138 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
120 simp3 1139 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
121 simp1rl 1239 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑥𝐵)
1221, 6, 11, 119, 120, 121matecld 21177 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
12344, 52, 6, 113ply1sclcl 21061 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
124118, 122, 123syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
125 simp1rr 1240 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑦𝐵)
1261, 6, 11, 119, 120, 125matecld 21177 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
12744, 52, 6, 113ply1sclcl 21061 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
128118, 126, 127syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
129 oveq12 7179 . . . . . . 7 ((𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗) → (𝑘𝑥𝑚) = (𝑖𝑥𝑗))
130129fveq2d 6678 . . . . . 6 ((𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
131130adantl 485 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
132 oveq12 7179 . . . . . . 7 ((𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗) → (𝑚𝑦𝑙) = (𝑖𝑦𝑗))
133132fveq2d 6678 . . . . . 6 ((𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
134133adantl 485 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
135 fvexd 6689 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑚𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) ∈ V)
136 fvexd 6689 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑚𝑁𝑙𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) ∈ V)
137112, 113, 114, 105, 115, 10, 116, 117, 124, 128, 131, 134, 135, 136mpomatmul 21197 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))))
138111, 137eqtr4d 2776 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
1391matring 21194 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
1408, 139sylan2 596 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
141140anim1i 618 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
142 3anass 1096 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
143141, 142sylibr 237 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵))
144 eqid 2738 . . . . . 6 (.r𝐴) = (.r𝐴)
14511, 144ringcl 19433 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
146143, 145syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
147 mat2pmatbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
148147, 1, 11, 44, 52mat2pmatval 21475 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))))
14910, 9, 146, 148syl3anc 1372 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))))
150 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
151150anim2i 620 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥𝐵))
152 df-3an 1090 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥𝐵))
153151, 152sylibr 237 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵))
154147, 1, 11, 44, 52mat2pmatval 21475 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
155153, 154syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
156 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
157156anim2i 620 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦𝐵))
158 df-3an 1090 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦𝐵))
159157, 158sylibr 237 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦𝐵))
160147, 1, 11, 44, 52mat2pmatval 21475 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦𝐵) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
161159, 160syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
162155, 161oveq12d 7188 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
163138, 149, 1623eqtr4d 2783 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)))
164163ralrimivva 3103 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053  Vcvv 3398  cotp 4524  cmpt 5110   × cxp 5523  cfv 6339  (class class class)co 7170  cmpo 7172  m cmap 8437  Fincfn 8555  Basecbs 16586  .rcmulr 16669  Scalarcsca 16671  0gc0g 16816   Σg cgsu 16817  Mndcmnd 18027   MndHom cmhm 18070   GrpHom cghm 18473  CMndccmn 19024  Ringcrg 19416  CRingccrg 19417   RingHom crh 19586  LModclmod 19753  AssAlgcasa 20666  algSccascl 20668  Poly1cpl1 20952   maMul cmmul 21136   Mat cmat 21158   matToPolyMat cmat2pmat 21455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-ot 4525  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-ofr 7426  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-sup 8979  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-hash 13783  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-hom 16692  df-cco 16693  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-prds 16824  df-pws 16826  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-ghm 18474  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-rnghom 19589  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-dsmm 20548  df-frlm 20563  df-assa 20669  df-ascl 20671  df-psr 20722  df-mpl 20724  df-opsr 20726  df-psr1 20955  df-ply1 20957  df-mamu 21137  df-mat 21159  df-mat2pmat 21458
This theorem is referenced by:  mat2pmatmhm  21484
  Copyright terms: Public domain W3C validator