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Theorem mat2pmatmul 22453
Description: The transformation of matrices into polynomial matrices preserves the multiplication. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
mat2pmatbas.c 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Baseβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatmul ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘‡β€˜(π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦)) = ((π‘‡β€˜π‘₯)(.rβ€˜πΆ)(π‘‡β€˜π‘¦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐻,𝑦

Proof of Theorem mat2pmatmul
Dummy variables π‘š 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)
31, 2matmulr 22160 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (.rβ€˜π΄))
43eqcomd 2736 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (.rβ€˜π΄) = (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©))
54oveqdr 7439 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦) = (π‘₯(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)𝑦))
6 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
7 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
8 crngring 20139 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
98ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
10 simpll 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
11 mat2pmatbas.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
1211eleq2i 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π΄))
1312biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π΄))
1413adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π΄))
1514adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π΄))
161, 6matbas2 22143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝑁 Γ— 𝑁)) = (Baseβ€˜π΄))
1716adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝑁 Γ— 𝑁)) = (Baseβ€˜π΄))
1815, 17eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝑁 Γ— 𝑁)))
1911eleq2i 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝐡 ↔ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))
2019biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))
2120ad2antll 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))
2216eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝑁 Γ— 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄)))
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝑁 Γ— 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄)))
2421, 23mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝑁 Γ— 𝑁)))
252, 6, 7, 9, 10, 10, 10, 18, 24mamuval 22108 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)𝑦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘—))))))
265, 25eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘—))))))
27263ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘—))))))
28 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑖π‘₯π‘š) = (π‘˜π‘₯π‘š))
29 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 β†’ (π‘šπ‘¦π‘—) = (π‘šπ‘¦π‘™))
3028, 29oveqan12d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = π‘˜ ∧ 𝑗 = 𝑙) β†’ ((𝑖π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘—)) = ((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™)))
3130mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = π‘˜ ∧ 𝑗 = 𝑙) β†’ (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘—))) = (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™))))
3231oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = π‘˜ ∧ 𝑗 = 𝑙) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘—)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™)))))
3332adantl 480 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = π‘˜ ∧ 𝑗 = 𝑙)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘—)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™)))))
34 simp2 1135 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ π‘˜ ∈ 𝑁)
35 simp3 1136 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ 𝑙 ∈ 𝑁)
36 ovexd 7446 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™)))) ∈ V)
3727, 33, 34, 35, 36ovmpod 7562 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ (π‘˜(π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦)𝑙) = (𝑅 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™)))))
3837fveq2d 6894 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘˜(π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦)𝑙)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑅 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™))))))
39 eqid 2730 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
40 ringcmn 20170 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
418, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
4241ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
43423ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
44 mat2pmatbas.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4544ply1ring 21990 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
468, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
47 ringmnd 20137 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Mnd)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ Mnd)
4948ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ Mnd)
50493ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ 𝑃 ∈ Mnd)
51103ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
52 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
53 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
5446adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5544ply1lmod 21994 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
568, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ LMod)
5756adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
5852, 53, 54, 57asclghm 21656 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ) ∈ ((Scalarβ€˜π‘ƒ) GrpHom 𝑃))
5944ply1sca 21995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
6059adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
6160oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑅 GrpHom 𝑃) = ((Scalarβ€˜π‘ƒ) GrpHom 𝑃))
6258, 61eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃))
63 ghmmhm 19140 . . . . . . . . . 10 ((algScβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6564adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
66653ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6793ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6867adantr 479 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6934adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ π‘˜ ∈ 𝑁)
70 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ π‘š ∈ 𝑁)
71153ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π΄))
7271adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π΄))
7372, 12sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
741, 6, 11, 69, 70, 73matecld 22148 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ (π‘˜π‘₯π‘š) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7535adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ 𝑙 ∈ 𝑁)
761fveq2i 6893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅))
7711, 76eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅))
7877eleq2i 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝐡 ↔ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅)))
7978biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅)))
8079ad2antll 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅)))
81803ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅)))
8281adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅)))
8382, 78sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
841, 6, 11, 70, 75, 83matecld 22148 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ (π‘šπ‘¦π‘™) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
856, 7ringcl 20144 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘˜π‘₯π‘š) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘šπ‘¦π‘™) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
8668, 74, 84, 85syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ ((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
87 eqid 2730 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™))) = (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™)))
88 ovexd 7446 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ ((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™)) ∈ V)
89 fvexd 6905 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
9087, 51, 88, 89fsuppmptdm 9376 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
916, 39, 43, 50, 51, 66, 86, 90gsummptmhm 19849 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™))))) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑅 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™))))))
9244ply1assa 21942 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ AssAlg)
9392adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 ∈ AssAlg)
9452, 53asclrhm 21663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ AssAlg β†’ (algScβ€˜π‘ƒ) ∈ ((Scalarβ€˜π‘ƒ) RingHom 𝑃))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ) ∈ ((Scalarβ€˜π‘ƒ) RingHom 𝑃))
9660oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑅 RingHom 𝑃) = ((Scalarβ€˜π‘ƒ) RingHom 𝑃))
9795, 96eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
9897adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
99983ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
10099adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
101213ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))
102101adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))
103102, 19sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1041, 6, 11, 70, 75, 103matecld 22148 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ (π‘šπ‘¦π‘™) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
105 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
1066, 7, 105rhmmul 20377 . . . . . . . . 9 (((algScβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) ∧ (π‘˜π‘₯π‘š) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘šπ‘¦π‘™) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™))) = (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘˜π‘₯π‘š))(.rβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘šπ‘¦π‘™))))
107100, 74, 104, 106syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™))) = (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘˜π‘₯π‘š))(.rβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘šπ‘¦π‘™))))
108107mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™)))) = (π‘š ∈ 𝑁 ↦ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘˜π‘₯π‘š))(.rβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘šπ‘¦π‘™)))))
109108oveq2d 7427 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((π‘˜π‘₯π‘š)(.rβ€˜π‘…)(π‘šπ‘¦π‘™))))) = (𝑃 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑁 ↦ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘˜π‘₯π‘š))(.rβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘šπ‘¦π‘™))))))
11038, 91, 1093eqtr2d 2776 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘˜(π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦)𝑙)) = (𝑃 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑁 ↦ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘˜π‘₯π‘š))(.rβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘šπ‘¦π‘™))))))
111110mpoeq3dva 7488 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘˜(π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦)𝑙))) = (π‘˜ ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑁 ↦ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘˜π‘₯π‘š))(.rβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘šπ‘¦π‘™)))))))
112 mat2pmatbas.c . . . . 5 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
113 eqid 2730 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
114 eqid 2730 . . . . 5 (.rβ€˜πΆ) = (.rβ€˜πΆ)
11546ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
116 eqid 2730 . . . . 5 (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))
117 eqid 2730 . . . . 5 (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))
11893ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
119 simp2 1135 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑖 ∈ 𝑁)
120 simp3 1136 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑗 ∈ 𝑁)
121 simp1rl 1236 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
1221, 6, 11, 119, 120, 121matecld 22148 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
12344, 52, 6, 113ply1sclcl 22028 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
124118, 122, 123syl2anc 582 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
125 simp1rr 1237 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1261, 6, 11, 119, 120, 125matecld 22148 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
12744, 52, 6, 113ply1sclcl 22028 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
128118, 126, 127syl2anc 582 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
129 oveq12 7420 . . . . . . 7 ((π‘˜ = 𝑖 ∧ π‘š = 𝑗) β†’ (π‘˜π‘₯π‘š) = (𝑖π‘₯𝑗))
130129fveq2d 6894 . . . . . 6 ((π‘˜ = 𝑖 ∧ π‘š = 𝑗) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘˜π‘₯π‘š)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))
131130adantl 480 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (π‘˜ = 𝑖 ∧ π‘š = 𝑗)) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘˜π‘₯π‘š)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))
132 oveq12 7420 . . . . . . 7 ((π‘š = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗) β†’ (π‘šπ‘¦π‘™) = (𝑖𝑦𝑗))
133132fveq2d 6894 . . . . . 6 ((π‘š = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘šπ‘¦π‘™)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))
134133adantl 480 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (π‘š = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗)) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘šπ‘¦π‘™)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))
135 fvexd 6905 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ π‘š ∈ 𝑁) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘˜π‘₯π‘š)) ∈ V)
136 fvexd 6905 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘šπ‘¦π‘™)) ∈ V)
137112, 113, 114, 105, 115, 10, 116, 117, 124, 128, 131, 134, 135, 136mpomatmul 22168 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))(.rβ€˜πΆ)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))) = (π‘˜ ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘š ∈ 𝑁 ↦ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘˜π‘₯π‘š))(.rβ€˜π‘ƒ)((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘šπ‘¦π‘™)))))))
138111, 137eqtr4d 2773 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘˜(π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦)𝑙))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))(.rβ€˜πΆ)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))))
1391matring 22165 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
1408, 139sylan2 591 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
141140anim1i 613 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐴 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)))
142 3anass 1093 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)))
143141, 142sylibr 233 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐴 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
144 eqid 2730 . . . . . 6 (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜π΄)
14511, 144ringcl 20144 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦) ∈ 𝐡)
146143, 145syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦) ∈ 𝐡)
147 mat2pmatbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
148147, 1, 11, 44, 52mat2pmatval 22446 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦) ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜(π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦)) = (π‘˜ ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘˜(π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦)𝑙))))
14910, 9, 146, 148syl3anc 1369 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‡β€˜(π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦)) = (π‘˜ ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘˜(π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦)𝑙))))
150 simpl 481 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
151150anim2i 615 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
152 df-3an 1087 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
153151, 152sylibr 233 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
154147, 1, 11, 44, 52mat2pmatval 22446 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))))
155153, 154syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗))))
156 simpr 483 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
157156anim2i 615 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
158 df-3an 1087 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
159157, 158sylibr 233 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
160147, 1, 11, 44, 52mat2pmatval 22446 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗))))
161159, 160syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗))))
162155, 161oveq12d 7429 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)(.rβ€˜πΆ)(π‘‡β€˜π‘¦)) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))(.rβ€˜πΆ)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))))
163138, 149, 1623eqtr4d 2780 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‡β€˜(π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦)) = ((π‘‡β€˜π‘₯)(.rβ€˜πΆ)(π‘‡β€˜π‘¦)))
164163ralrimivva 3198 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘‡β€˜(π‘₯(.rβ€˜π΄)𝑦)) = ((π‘‡β€˜π‘₯)(.rβ€˜πΆ)(π‘‡β€˜π‘¦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472  βŸ¨cotp 4635   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  Scalarcsca 17204  0gc0g 17389   Ξ£g cgsu 17390  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18703   GrpHom cghm 19127  CMndccmn 19689  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128   RingHom crh 20360  LModclmod 20614  AssAlgcasa 21624  algSccascl 21626  Poly1cpl1 21920   maMul cmmul 22105   Mat cmat 22127   matToPolyMat cmat2pmat 22426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-assa 21627  df-ascl 21629  df-psr 21681  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-ply1 21925  df-mamu 22106  df-mat 22128  df-mat2pmat 22429
This theorem is referenced by:  mat2pmatmhm  22455
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